1. Ubezpieczenia życiowe
|
|
- Zbigniew Włodarczyk
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas wypłaty i kwota wypłaty mogą być także zmiennymi losowymi. Wartość teraźniejszą wypłaty oznaczamy Z; jest ona obliczana na bazie ustalonej stopy procentowej r (tzw. techniczna stopa procentowa). Oczekiwana wartość teraźniejsza wypłaty, E(Z), nazywana jest jednorazową składką netto (net single premium). Ta składka jednak nie odzwierciedla ryzyka, które ponosi ubezpieczyciel. Aby to ryzyko oszacować potrzebne są inne charakterystyki zmiennej losowej Z, np. wariancja Podstawowe typy ubezpieczeń Podstawowymi typami ubezpieczeń są ubezpieczenia na życie i czasowe ubezpieczenia na życie (ang.: whole life insurance, term insurance). Rozważmy ubezpieczenie na życie, tzn. takie, które wypłaca 1 jp. na koniec roku śmierci. Tak więc kwota wypłaty jest ustalona, ale moment wypłaty K + 1 jest losowy. Wartość teraźniejsza wynosi Z υ K+1. Zmienna Z przyjmuje wartości υ, υ 2, υ 3,... i rozkład zmiennej Z jest określony rozkładem K: Pr(Z υ k+1 ) Pr(K k) k p x q x+k, dla k, 1, 2,.... Jednorazową składkę netto (JSN) oznaczymy A x : A x E[υ K+1 ] υ k+1 kp x q x+k. k Wariancję zmiennej Z obliczymy ze wzoru: Var(Z) E(Z 2 ) (A x ) 2. Ponieważ υ e δ, gdzie δ jest intensywnością oprocentowania, więc E(Z 2 ) E(υ 2(K+1) ) E(e 2δ(K+1) ), a więc jest to jednorazowa składka netto obliczona przy dwukrotnie większej intensywności oprocentowania. Zatem obliczenie wariancji nie jest trudniejsze niż obliczenie składki netto. Przykład. Obliczyć A 3, jeżeli czas życia spełnia prawo de Moivre a z ω 1, tzn. T 3 ma rozkład jednostajny na przedziale [, 7] oraz υ, 95 (odpowiada to r 5, 26%). Ponieważ Pr(K k) 1 7, więc A k,95 k+1 1,95,95 71, ,5 Ubezpieczenie, które zapewnia wypłatę tylko wtedy, gdy śmierć nastąpi w ciągu n lat nazywamy czasowym (terminowym) ubezpieczeniem na życie z czasem trwania n. Np. 1 jp. jest wypłacana tylko, gdy śmierć nastąpi w ciągu pierwszych n lat; terminem wypłaty jest koniec roku śmierci. Mamy zatem: υ K+1 dla K, 1,..., n 1 Z dla K n, n + 1,... Składkę netto oznaczymy A 1 x:n. n 1 A 1 x:n υ k+1 kp x q x+k. k 1
2 Tak jak poprzednio, drugi moment E(Z 2 ) jest równy jednorazowej składce przy podwojonej intensywności oprocentowania, co wynika z tego, że: Z 2 e 2δ(K+1) dla K, 1,..., n 1 dla K n, n + 1, Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na dożycie (ang.: pure endowment) z czasem trwania n zapewnia wypłatę sumy ubezpieczenia tylko wtedy, gdy ubezpieczony żyje po n latach. Wartość teraźniejsza wypłaty wynosi więc: dla K, 1,..., n 1 Z υ n dla K n, n + 1,... Składkę netto oznaczamy teraz A 1 x:n. Wariancja zmiennej Z ma wartość A 1 x:n υn np x. Var(Z) E(Z 2 ) (EZ) 2 υ 2n np x υ 2n np 2 x υ 2n np x nq x Ubezpieczenie na życie i dożycie W ubezpieczeniu na życie i dożycie (ang.: endowment) suma ubezpieczenia jest płatna na koniec roku śmierci, jeśli ta nastąpi w ciągu n lat, lub na koniec n-tego roku: υ K+1 dla K, 1,..., n 1 Z υ n dla K n, n + 1,... Jednorazową składkę netto oznaczamy A x:n. Jak widać, zmienna Z jest sumą zmiennych odpowiadających ubezpieczeniu na życie (Z 1 ) i ubezpieczeniu na dożycie (Z 2 ): Z Z 1 + Z 2. Zatem oraz Ale A x:n A 1 x:n + A 1 x:n, Var(Z) Var(Z 1 ) + 2Cov(Z 1, Z 2 ) + Var(Z 2 ). Cov(Z 1, Z 2 ) E[(Z 1 E(Z 1 ))(Z 2 E(Z 2 ))] Zatem ostatecznie E(Z 1 Z 2 Z 1 E(Z 2 ) E(Z 1 )Z 2 + E(Z 1 )E(Z 2 )) E(Z 1 Z 2 ) E(Z 1 )E(Z 2 )) E(Z 1 )E(Z 2 ) A 1 x:n A 1 x:n. Var(Z) Var(Z 1 ) + Var(Z 2 ) 2A 1 x:n A 1 x:n. Stąd wynika, że ryzyko przy sprzedaży ubezpieczenia na życie i dożycie jest mniejsze niż przy sprzedaży ubezpieczenia na życie jednej osobie, a na dożycie drugiej. Uwaga. Zakładamy (dla prostoty), że suma ubezpieczenia wynosi 1. Gdyby suma wynosiła C, to jednorazową składkę netto należy pomnożyć przez C, a wariancję przez C 2. Rozważmy jeszcze bezterminowe ubezpieczenia na życie odroczone na m lat: dla K, 1,..., m 1 Z υ K+1 dla K m, m + 1,... 2
3 Składkę dla tego ubezpieczenia oznaczamy m A x. Mamy oraz także m A x m p x υ m A x+m, m A x A x A 1 x:m. Tak jak w przypadku zwykłym (bez odroczenia) drugi moment E(Z 2 ) równy jest jednorazowej składce netto przy dwukrotnie większej intensywności oprocentowania Ubezpieczenie płatne w momencie śmierci Do tej pory zakładaliśmy, że suma ubezpieczenia jest płatna na koniec roku śmierci. To założenie pozwala na wyprowadzenie wzorów bezpośrednio z tablic trwania życia, ale nie jest realistyczne. Załóżmy teraz, że wypłata następuje w momencie śmierci, tj. w chwili T. Wartością bieżącą kwoty 1 płatną w momencie T jest Z υ T. Składkę netto dla tego ubezpieczenia oznaczamy Āx. Ponieważ, jak wiemy: tj. g(t) t p x µ x+t, więc Pr(t < T < t + dt) t p x µ x+t dt, Ā x υ t tp x µ x+t dt. Przykład. W ubezpieczeniu x-latka wypłata kwoty 1 następuje w momencie śmierci, i wiadomo, że odchylenie standardowe wartości obecnej równa się JSN dla tego ubezpieczenia. Obliczyć tę składkę przy założeniu, że długość życia ma rozkład wykładniczy. oraz Ā x υ t tp x µ x+t dt e δt e µt µdt µ µ + δ, ) 2 Var(Z) 2 µ ( µ ) 2. Ā x (Āx µ + 2δ µ + δ Z równości odchylenia standardowego i JSN mamy: skąd Zatem µ ( µ ) 2 ( µ ) 2, µ + 2δ µ + δ µ + δ µ δ 2 1. Ā x µ µ µ + δ δ 2 1 µ δ + 1, Praktyczny wzór przybliżony dla Āx można znaleźć zakładając, że u q x jest liniową funkcją u, dla < u < 1 (Założenie a). Wtedy, ponieważ T K + S (K + 1) (1 S), oraz z założenia K i S są niezależne i S ma rozkład jednostajny, więc υ T υ K+1 υ (1 S) υ K+1 (1 + r) 1 S, a ponieważ E((1 + r) 1 S ) (1 + r) u du s 1 r δ, 3
4 zatem ostatecznie Ā x E(υ K+1 )E((1 + r) 1 S ) r δ A x. Podobny wzór można wyprowadzić dla ubezpieczeń terminowych. Dla ubezpieczenia na życie i dożycie czynnik r δ pojawia się tylko w części dotyczącej ubezpieczenia terminowego: Ā x:n Ā1 x:n + A 1 x:n r δ A1 x:n + A 1 x:n A x:n + ( r δ 1)A1 x:n Ubezpieczenie płatne na koniec miesiąca śmierci Załóżmy teraz, że suma ubezpieczenia jest płatna na koniec m-tej części roku (np. na koniec miesiąca), w której następuje śmierć, tj. w chwili K +S (m), gdzie S (m) 1 [ms + 1], m (czyli S (m) otrzymujemy z S przez zaokrąglenie w górę do następnej wielokrotności liczby 1 m ). Zatem dla ubezpieczenia na życie o sumie 1 mamy: Z υ K+S(m). Zakładając, że u q x jest liniowe dla < u < 1 (Założenie a), mamy, analogicznie jak wyżej K + S (m) (K + 1) (1 S (m) ), E((1 + r) 1 S(m) ) 1 m (1 + r) 1 k (m) m s r m 1 r. (m) Otrzymujemy: k1 ( A (m) x E(υ K+1 )E (1 + r) 1 S(m)) r r A x. (m) Przy m mamy znaną już równość: Ā x r δ A x. Przykład. Za jednorazową składkę netto można kupić polisę wypłacającą kwotę K na koniec roku śmierci lub polisę o tej samej wartości płatną na koniec kwartału śmierci. Techniczna stopa procentowa wynosi 5%. O ile procent droższa jest druga polisa? Ponieważ A (4) x r A x r, (4) więc Zatem polisa jest droższa o 1,86%. A (4) x, 5 A x 4( 4 1, , 5 1) 2. Ogólne typy ubezpieczeń życiowych Rozważmy ubezpieczenie, w którym wypłata jest zmienna i załóżmy, że suma ubezpieczenia jest płatna na koniec roku śmierci. Jeżeli c j jest sumą ubezpieczenia dla j-tego roku, to Z c K+1 υ K+1. 4
5 Rozkład zmiennej Z, składkę netto i wyższe momenty tej zmiennej łatwo obliczyć. Mamy: E(Z h ) c h k+1υ h(k+1) kp x q x+k, h 1, 2,.... k Można takie zmienne ubezpieczenie traktować jako kombinację odroczonych ubezpieczeń na życie, z których każde ma stałą wartość. Zatem E(Z) c 1 A x + (c 2 c 1 ) 1 A x + (c 3 c 2 ) 2 A x +... W przypadku ubezpieczenia terminowego: ck+1 υ Z K+1 dla K, 1,..., n 1 dla K n, n + 1,... To ostatnie ubezpieczenie można także przedstawić jako kombinację ubezpieczeń czasowych rozpoczynających się teraz: E(Z) c n A 1 x:n + (c n 1 c n )A 1 x:n (c 2 c 3 )A 1 x:2 + (c 1 c 2 )A 1 x:1. Takie równości mogą być przydatne do obliczenia składki netto, ale nie do obliczenia wyższych momentów Z. W przypadku ubezpieczeń płatnych w chwili śmierci, sumę ubezpieczenia traktujemy jako funkcję c(t), t. Zatem Jednorazowa składka netto wynosi: E(Z) Z c(t )υ T. c(t)υ t tp x µ x+t dt. Przykład. Na osobę w wieku x lat wystawiono bezterminową polisę dającą wypłatę 16 w momencie śmierci. Dalsze trwanie życia x-latka opisuje funkcja gęstości t+1 f T (t) 6 gdy t 1 poza tym Wyznacz jednorazową składkę netto przy natężeniu oprocentowania δ, 2. Rozwiązanie. 16Āx 16,2t t+1 e 6 d t e,2t (t + 1) d t 2 75 ( 5)(t + 15)e,2t e 2. 2 Przykład. Na x-latka wystawiono polisę, która po 1 latach odroczenia daje 4-letnie ubezpieczenie na życie ze świadczeniem w wysokości 1, płatnym w momencie śmierci. Wyznacz wariancję wypłat z tej polisy według ich wartości na moment wystawienia polisy, jeśli: (i) natężenie zgonów jest stałe: µ x+t, 5; (ii) natężenie oprocentowania wynosi δ, 5. Wartość obecna wypłaty jest zmienną losową 1Z, gdzie: υ T gdy 1 T < 5 Z poza tym Obliczamy momenty zmiennej: EZ 5 1 e,5t e,5t, 5dt 1 2 (e 1 e 5 ), 5
6 Zatem 5 E(Z 2 ) e,1t e,5t, 5dt 1 3 (e 1,5 e 7,5 ). 1 Var(1Z) 25( 4 3 e 1,5 4 3 e 7,5 e 2 + 2e 6 e 1 ) 4,16. Rzeczywiste obliczenie składki można zredukować do obliczeń w modelu dyskretnym. Mamy: E(Z) E(Z K k) Pr(K k) k E(c(k + S)υ k+s K k) Pr(K k) k E(c(k + S)(1 + r) 1 S K k)υ k+1 Pr(K k). k Zatem określając otrzymujemy: c k+1 E[c(k + S)(1 + r) 1 S K k], E(Z) c k+1 υ k+1 kp x q x+k. k Oczywiście aby obliczyć c k+1 potrzebna jest znajomość rozkładu warunkowego S pod warunkiem K k. Właściwymi założeniami umożliwiającymi te obliczenia są Założenie a i Założenie b. Przy Założeniu a, tzn. gdy u q x+k jest liniowe, µ x+k+u q x+k 1 uq x+k q x+k up x+k, mamy ( ) c k+1 c(k + u)(1 + r) 1 u k+up x µ x+k+u du : ( k p x q x+k ) 1 q x+k 1 q x+k c(k + u)(1 + r) 1 u up x+k µ x+k+u du Zał.a c(k + u)(1 + r) 1 u q x+k du c(k + u)(1 + r) 1 u du. Założenie b, tj. µ x+k+u µ x+k+ 1 2, up x+k (p x+k ) u daje natomiast: c k+1 1 q x+k c(k + u)(1 + r) 1 u (p x+k ) u µ x+k+ 1 2 du c(k + u)(1 + r) 1 u (p x+k) u µ x+k+ 1 2 du. Przykładowo, załóżmy, że suma ubezpieczenia rośnie wykładniczo, tzn.: Wtedy przy Założeniu a otrzymujemy: c k+1 c(t) e τt. e τ(k+u) (1 + r) 1 u du e τk+δ e (τ δ)u du e τk eδ e τ δ τ. Zauważmy, że dla τ otrzymujemy znany wynik c k+1 eδ 1 δ r δ. 6
7 Przy Założeniu b : c k+1 e τ(k+u) e µ δ(1 u) x+k+ 1 2 e u ln p x+k du µ x+k+ 1 2 e τk+δ e u(τ δ+ln p x+k) du µ x+k+ 1 2 e τk+δ 1 τ δ + ln p x+k [e τ δ+ln p x+k 1] µ x+k+ 1 2 e τk e τ p x+k e δ τ δ + ln p x+k µ x+k+ 1 2 e τk e δ p x+k e τ. δ τ µ x+k+ 1 2 Wzory obowiązują oczywiście tylko wtedy, gdy mianowniki są niezerowe. Jeżeli np. δ τ, to przy Założeniu a mamy c k+1 e δ(k+u) e δ(1 u) du e δ(k+1) du e δ(k+1) Standardowe typy ubezpieczeń życiowych ze zmienną sumą Będziemy zakładać, że suma ubezpieczenia jest płatna na koniec roku śmierci. Rozważmy standardowe rosnące ubezpieczenie na życie, w którym c j j. Wartość teraźniejsza wypłaty jest zmienną losową: Jednorazowa składka netto wynosi: (IA) x Z (K + 1)υ K+1. (k + 1)υ k+1 kp x q x+k. k W przypadku n-letniego ubezpieczenia terminowego: (K + 1)υ K+1, K, 1,..., n 1 Z, K n, n + 1,... a składka netto wynosi: n 1 (IA) 1 x:n (k + 1)υ k+1 kp x q x+k. k Tę składkę można potraktować jako sumę składek dla ubezpieczeń odroczonych: (IA) 1 x:n A x + 1 A x + + n 1 A x n n A x, lub też (IA) 1 x:n na1 x:n A1 x:n 1 A1 x:n 2 A1 x:1. Zauważymy też, że składka dla n-letniego ubezpieczenia na życie i dożycie wynosi: (IA) x:n (IA) 1 x:n + na 1 x:n W standardowym ubezpieczeniu malejącym suma ubezpieczenia zmniejsza się od n do. Dokładniej, wartość teraźniejsza wypłaty to: (n K)υ K+1, K, 1,..., n 1 Z, K n, n + 1,... 7
8 Tego typu ubezpieczenia są powszechnie stosowane przy spłacie kredytów (o ile dług, zgodnie z planem amortyzacji, również maleje liniowo). Mamy: n 1 (DA) 1 x:n (n k)υ k+1 kp x q x+k, k (DA) 1 x:n A1 x:n + A1 x:n 1 + A1 x:n A1 x:1. Załóżmy teraz, że suma ubezpieczenia jest płatna w chwili śmierci, tj. Z c(t )υ T. Jeśli suma ubezpieczenia rośnie corocznie, a dokładniej c(t) [t + 1], to Z (K + 1)υ T. Aby wyliczyć składkę (IĀ) x należy obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej: Z (K + 1)υ K+1 (1 + r) 1 S. Przy Założeniu a zmienne K i S są niezależne oraz E((1 + r) 1 S ) r δ, zatem (IĀ) x r δ (IA) x. W sytuacji, gdy suma ubezpieczenia jest zwiększana q razy w roku, za każdym razem o 1 q, mamy: Z (K + S (q) )υ T, i po rachunkach otrzymamy: 2.2. Wzory rekurencyjne Wykażemy, że D o w ó d. (I (q) Ā) x (IĀ) x Āx + r d(q) d (q) δ A x. A x A x υq x + υa x+1 p x υ k+1 kp x q x+k k υq x + υ υq x + υ υ k kp x q x+k k1 υ k+1 k+1p x q x+k+1 k υq x + υp x υ k+1 kp x+1 q x+k+1 k υq x + υp x A x+1. Interpretacja: Składka netto dla x-latka jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej określonej jako zdyskontowana suma ubezpieczenia w przypadku śmierci, i jako zdyskontowana składka netto dla x+1-latka w przypadku przeżycia. Przepisując wzór jako A x υa x+1 + υ(1 A x+1 )q x, widzimy, że składka A x+1 jest zachowana w obu przypadkach (życia lub śmierci), a ponadto w przypadku śmierci konieczna jest dodatkowa kwota 1 A x+1 aby wypłacić świadczenie. 8
9 Ogólniej, mamy dla k, 1, 2,...: A x+k υa x+k+1 υ(1 A x+k+1 )q x+k. Mnożąc przez υ k i sumując po k otrzymamy: A x υ k υ(1 A x+k+1 )q x+k. k Zauważmy, że υ(1 A x+k+1 )q x+k jest składką netto dla ubezpieczenia rocznego. 9
Ubezpieczenia życiowe
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ubezpieczenia życiowe 1. Z historii ubezpieczeń W uproszczeniu mówiąc mamy dwa tradycyjne modele ubezpieczeń. Pierwszy ma źródło w towarzystwach
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 4: UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt (zwany polisą), w którym ubezpieczony zobowiązuje się do opłacenia składki (jednorazowo lub
Bardziej szczegółowoUbezpieczenia na życie
ROZDZIAŁ 4 Ubezpieczenia na życie Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt (zwany polisą), w którym ubezpieczony zobowiązuje się do opłacenia składki (jednorazowo lub w ratach), a w zamian za to ubezpieczyciel
Bardziej szczegółowo3 Ubezpieczenia na życie
3 Ubezpieczenia na życie O ile nie jest powiedziane inaczej, w poniższych zadaniach zakładamy HJP. 3.1. Zadania 7.1-7.26 z Miśkiewicz-Nawrocka, Zeug-Żebro, Zbiór zadań z matematyki finansowej. 3.2. Mając
Bardziej szczegółowoElementy teorii przeżywalności
Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1.1 Zapisz 1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 8 lat 2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 3 lat 3. P-two, że noworodek
Bardziej szczegółowoLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:...klucz odpowiedzi... Czas egzaminu:
Bardziej szczegółowo1. Przyszła długość życia x-latka
Przyszła długość życia x-latka Rozważmy osobę mającą x lat; oznaczenie: (x) Jej przyszłą długość życia oznaczymy T (x), lub krótko T Zatem x+t oznacza całkowitą długość życia T jest zmienną losową, której
Bardziej szczegółowoXXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowo1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza
1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza x µ x = 06e. dożyje wieku największej śmiertelności (tzn. takiego wieku, w którym
Bardziej szczegółowoLXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa, 28
Bardziej szczegółowoLXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoSkładki i rezerwy netto
ROZDZIAŁ 6 Składki i rezerwy netto 1 Składki netto Umowę pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym dotyczącą ubezpieczenia na życie nazywa się polisą ubezpieczeniową Polisa taka zawiera szczegółowe warunki
Bardziej szczegółowoLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń życiowych 17 marca 2008 r.
1. Niech oznacza przeciętne dalsze trwanie życia w ciągu najbliższego roku obliczone przy założeniu hipotezy interpolacyjnej o stałym natężeniu wymierania między wiekami całkowitymi. Podobnie niech oznacza
Bardziej szczegółowoLXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń życiowych r.
. W populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo de Moivre a z wiekiem granicznym ω = 50, dzieckiem jest się do wieku d. W wieku d rozpoczyna się pracę i pracuje się do wieku p.w wieku p przechodzi
Bardziej szczegółowoXLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowo= µ. Niech ponadto. M( s) oznacza funkcję tworzącą momenty. zmiennej T( x), dla pewnego wieku x, w populacji A. Wówczas e x wyraża się wzorem: 1
1. W populacji B natężenie wymierania µ ( B ) x jest większe od natężenia wymierania ( A) µ x w populacji A, jednostajnie o µ > 0, dla każdego wieku x tzn. ( B) ( A) µ µ x = µ. Niech ponadto x M( s) oznacza
Bardziej szczegółowoLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA 1 Hipoteza jednorodnej populacji Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 11 Ubezpieczenia Ŝyciowe 2
Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - Ubezpieczenia Ŝyciowe 2 Składki netto w ubezpieczeniach Ŝyciowych Zakład ubezpieczeniowy pobiera za ubezpieczenia składkę brutto, składającą się ze składki netto
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 6: SKŁADKI OKRESOWE Składki okresowe netto Umowę pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym dotyczącą ubezpieczenia na życie nazywa się polisą ubezpieczeniową
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy
Bardziej szczegółowoXXXX Egzamin dla Aktuariuszy z 9 października 2006 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXX Egzamin dla Aktuariuszy z 9 października 2006 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowo1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci
1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci + t µ + t A + B 2. Wyznacz prawdopodobieństwo, że z grupy tej nikt nie umrze w ciągu najbliższych 5 lat, jeśli
Bardziej szczegółowoTablice trwania życia
ROZDZIAŁ 3 Tablice trwania życia 1 Przyszły czas życia Osobę, która ukończyła x lat życia, będziemy nazywać x-latkiem i oznaczać symbolem x Jej przyszły czas życia, tzn od chwili x do chwili śmierci, będziemy
Bardziej szczegółowo1. Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji: =
. Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji: ~ 0,9g( t) 0 t < 50 g ( t) =,2 g( t) 50 t. opisuje ona śmiertelność
Bardziej szczegółowo4. Ubezpieczenie Życiowe
4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego
Bardziej szczegółowo4. Ubezpieczenie Życiowe
4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego
Bardziej szczegółowoLXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoLXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoXXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut Warszawa, 6
Bardziej szczegółowoXLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZENIA NA ŻYCIE
UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE M BIENIEK Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym gwarantujący, że ubezpieczyciel w zamian za opłacanie składek, wypłaci z góry ustaloną
Bardziej szczegółowoLXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoXXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoLXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoMatematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa Ubezpieczenia na Życie
Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa Ubezpieczenia na Życie Rafał Kucharski rafal.kucharski@ue.katowice.pl Literatura [1] B. Błaszczyszyn, T. Rolski, Podstawy matematyki ubezpieczeń na życie, WNT Warszawa,
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA
KARIERA MATEMATYKĄ KREŚLONA UBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA Ryzyko i ubezpieczenie Możliwość zajścia niechcianego zdarzenia nazywamy ryzykiem. Ryzyko prawie zawsze wiąże się ze stratą. Ryzyko i ubezpieczenie
Bardziej szczegółowoOGÓLNE RENTY ŻYCIOWE
OGÓLNE RENTY ŻYCIOWE M. BIENIEK Rentą życiową nazywamy kontrakt między ubezpieczycielem a ubezpieczonym, w którym ubezpieczony w zamian za określoną opłatę, zwaną składką, otrzymuje ciąg z góry określonych
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 100 minut Warszawa, 31
Bardziej szczegółowo1 Elementy teorii przeżywalności
1 Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1 Zapisz 1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 80 lat 2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 30 lat 3. P-two, że noworodek
Bardziej szczegółowoLXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowo1 Elementy teorii przeżywalności
1 Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1 Zapisz 1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 80 lat 2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 30 lat 3. P-two, że noworodek
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń życiowych r.
1. W danej populacji intensywność śmiertelności zmienia się skokowo w rocznicę narodzin i jest stała aż do następnych urodzin. Jaka jest oczekiwana liczba osób z kohorty miliona 60-latków, które umrą po
Bardziej szczegółowoXLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowo1 Renty życiowe. 1.1 Podstawowe renty życiowe
Renty życiowe Renta życiowa jest serią płatności okonywanych w czasie życia ubezpieczonego Jej wartość teraźniejsza jest zienną losową (bo zależy o przyszłego czasu życia T, oznaczaną Y Postawowe renty
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej
ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,
Bardziej szczegółowoZadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),
Zadanie. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ) ( ) i gęstością: ( ) na przedziale ( ). Wobec tego ( ) wynosi: (A) 0.2295 (B) 0.2403 (C) 0.2457 (D) 0.25 (E) 0.269 Zadanie 2. Niech:
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I 1 Kodeks cywilny Tytu l XXVII, Umowa ubezpieczenia Dzia l I. Przepisy ogólne Dzia l II. Ubezpieczenia majatkowe
Bardziej szczegółowoZadanie 1. O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20:
Zadanie 1. O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20: E X 20 8 oraz znamy następujące charakterystyki dotyczące przedziału 10, 20 : 3 Pr
Bardziej szczegółowoREZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH
REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH M. BIENIEK Przypomnijmy, że dla dowolnego wektora przepływów c rezerwę w chwili k względem funkcji dyskonta v zdefiniowaliśmy jako k(c; v) = Val k ( k c; v), k = 0,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne.
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. 1 Przypomnienie Umowa ubezpieczenia zawiera informacje o: Przedmiocie ubezpieczenia Czasie
Bardziej szczegółowoLV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r.
Koisja Egzainacyjna dla Aktuariuszy LV Egzain dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część II Mateatyka ubezpieczeń życiowych Iię i nazwisko osoby egzainowanej:... Czas egzainu: 100 inut Warszawa, 13 grudnia
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 006 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Inwestor dokonuje
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.009 r. Zadanie. Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku K to liczba
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.
Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 5: RENTY ŻYCIOWE
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 5: RENTY ŻYCIOWE Rentą życiową nazywamy ciąg płatności który ustaje w chwili śmierci pewnej osoby (zwykle ubezpieczonego) Mówiąc o rencie życiowej nie zaznaczamy
Bardziej szczegółowoN ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rachunki oszczędnościowe
Bardziej szczegółowoElementy teorii przeżywalności
Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1.1 Przyjmijmy, że funkcja przeżycia s(x) = ax + b dla 0 x ω. Znaleźć medianę zmiennej X, jeśli wiadomo, że wartość oczekiwana E(X) = 60. Zadanie 1.2 Mając funkcje
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:
Zadanie. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną: Pr Pr ( = k) ( N = k ) N = + k, k =,,,... Jeśli wiemy, że szkód wynosi: k= Pr( N = k) =, to prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 5. Renty życiowe
ROZDZIAŁ 5 Renty życiowe Rentą życiową nazywamy ciąg płatności który ustaje w chwili śmierci pewnej osoby (zwykle ubezpieczonego) Mówiąc o rencie życiowej nie zaznaczamy czy osoba której przyszły czas
Bardziej szczegółowoXXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudniaa 2005 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudniaa 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych..00 r. Zadanie. Proces szkód w pewnym ubezpieczeniu jest złożonym procesem Poissona z oczekiwaną liczbą szkód w ciągu roku równą λ i rozkładem wartości szkody o dystrybuancie
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń na życie. Piotr Kowalski
Matematyka ubezpieczeń na życie Piotr Kowalski 27 stycznia 212 Spis treści 1 Elementy matematyki finansowej 1 1.1 Oznaczenia.............................. 1 1.2 Związki................................
Bardziej szczegółowoXXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:
Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZENIE NA ŻYCIE Z LOSOWĄ STOPĄ PROCENTOWĄ
UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE Z LOSOWĄ STOPĄ PROCENTOWĄ Krzysztof Janas Michał Krzeszowiec Koło Nauk Aktuarialnych Politechniki Łódzkiej Warszawa, 09-11.06.2008 r. Plan Założenia wstępne: Teoria oprocentowania
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowo1 Funkcja użyteczności
1 Funkcja użyteczności Funkcja użyteczności to funkcja, której wartościami są wartości użyteczności (satysfakcji, komfortu psychicznego). Można mówić o użyteczności różnych zjawisk. Użyteczność pieniądza
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1 liczb dodatnich. Rozważmy dwie zmienne losowe:... ma złożony rozkład dwumianowy o parametrach 1,q i, gdzie X, wszystkie składniki X
Zadanie. Mamy dany ciąg liczb q, q,..., q n z przedziału 0,, oraz ciąg m, m,..., m n liczb dodatnich. Rozważmy dwie zmienne losowe: o X X X... X n, gdzie X i ma złożony rozkład dwumianowy o parametrach,q
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie. Likwidacja szkody zaistniałej w roku t następuje: w tym samym roku z prawdopodobieństwem 0 3, w następnym roku z prawdopodobieństwem 0 3, 8 w roku
Bardziej szczegółowoUbezpieczenia majątkowe
Funkcje użyteczności a składki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych 2016/2017 Funkcja użyteczności Niech ω wielkość majątku decydenta wyrażona w j.p., u (ω) stopień
Bardziej szczegółowoJednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia.
Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia Wartość obecna wyp laty Y = Zatem JSN = = Kx +1 0, K x = 0, 1,..., n 1,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoWykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoImmunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych
Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22 Plan prezentacji
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.0 r. Zadanie. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Trzy osoby biorą
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA Z TEORII WIAROGODNOŚCI Zad. 1. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej
Bardziej szczegółowo