Numeryczne rozwiązanie równania Schrodingera

Transkrypt

1 Numeryczne rozwiązanie równania Schrodingera

2 Równanie ruchu dla cząstki o masie m (elektron- cząstka elementarna o masie ~ kg) Mechanika klasyczna - mechanika kwantowa 1. Druga zasada dynamiki Newtona: pęd, operator, potencjał, energia kinetyczna, energia potencjalna 2. Równanie Schrodringera - swobodny elektron - elektron w studni potencjału: potencjał!!! Fizyczna realizacja studni (jamy) potencjału

3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrodringera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi - metody macierzowe znane również jako metody globalne - metody strzałów (metoda Numerowa) Metody wariacyjne Metody elementów skończonych Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrodingera, PWN Warszawa 2002.

4 Operator drugiej pochodnej w postaci numerycznej

5 Równanie Schrodingera z numerycznym operatorem drugiej pochodnej

6 Idea rozwiązania równania Schrodingera metodą strzałów (Numerowa) Warunki brzegowe: Przykładowe warunki startowe:

7 Postać bezwymiarowa równania Schrodringera Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrodingera, PWN Warszawa 2002.

8 Bezwymiarowa postać równania Schrodingera z numerycznym operatorem drugiej pochodnej Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrodingera, PWN Warszawa 2002.

9 Algebraiczne zagadnienie własne dla symetrycznej macierzy trójdiagonalnej Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrodingera, PWN Warszawa 2002.

10 Algebraiczne zagadnienie własne dla symetrycznej macierzy trójdiagonalnej Algebraiczne zagadnienie własne dla dyskretnego operatora energii Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrodingera, PWN Warszawa 2002.

11 Kwantowanie energii elektronów nieskończona studnia potencjału (przypomnienie) 0 d Z Funkcja próbna: Z warunków brzegowych mamy:

12 Kwantowanie energii elektronów skończona studnia potencjału (przypomnienie) W barierze funkcja falowa zanika wykładniczo Funkcja falowa praz jej pierwsza pochodna jest ciągłą na całym obszarze Brak rozwiązania analitycznego dla tego zagadnienia Do tego zagadnienia powrócimy na laboratorium

13 Ruch elektronu w ciele stałym masa efektywna 1. Struktura krystalograficzna (twierdzenie Blocha) 2. Struktura pasmowa ciała stałego: metale, półprzewodniki (dielektryki?) 3. Pojęcie masy efektywnej

14 Plan wykładu Ogólna klasyfikacja przyrządów półprzewodnikowych: - podział przyrządów półprzewodnikowych ze względu na zasadę ich działania (zjawisko fizyczne), - zastosowanie we współczesnym życiu, - parametry przyrządów półprzewodnikowych, kryteria ich doboru oraz ich ograniczenia fizyczne. Zjawiska fizyczne w przyrządach półprzewodnikowych i ich modelowanie: - równanie Schrodingera, stany związane, - samouzgodnione rozwiązanie równania Schrodingera i Poissona, - równanie transportu. Podstawowe materiały półprzewodnikowe: - półprzewodniki grupy IV, III-V, II-VI i inne, - technologie ich otrzymywania, - domieszkowanie półprzewodników, naturalne defekty, - położenie pasm względem poziomu próżni, energia stabilizacji poziomu Fermiego.

15 Równanie Schrodingera ze zmienna masą efektywną M(Z) const. Dla M(Z)=const.: Dla M(Z) const. trzeba poprawnie zdefiniować operator energii kinetycznej T. Operator ten musi być hermitowski T = T, np. postaci: Dlatego i równ. Schrodringera ze zmienna masa ma postać: Zarówno funkcja falowa oraz musi być ciągła.

16 Wyznaczanie wybranych wartości i wektorów własnych trójdiagonalnej macierzy symetrycznej przy pomocy metody Martina-Deana Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrodingera, Rozdział 3, PWN Warszawa 2002.

17 Algorytm Martina-Deana dla symetrycznej macierzy trójdiagonalnej

18 Problem obliczeniowy Architektura struktury półprzewodnikowej: składy studni i barier; szerokości studni i barier; poziom domieszkowania; Parametry materiałowe: masy efektywne, potencjały hydrostatyczne, itd. Naprężenia Efekty polaryzacyjne W celu korekcji potencjału V(z): rozwiązanie równania Poisona tj. obliczenia samouzgodnione Podejście teoretyczne: model jednopasmowy, przybliżenie masy efektywnej, V(z) Obliczenie stanów własnych: (energie i funkcje falowe) Struktura energetyczna dla studni kwantowej

19 Program zaliczeniowy i sprawozdanie Zagadnienie do rozwiązania w programie zaliczeniowym: Zaprojektowanie studni kwantowej dla emitera światła o zadanej długości fali Przykładowe długości fali oraz ich zastosowanie: - Niebieski laser do zapisu danych w DVD - Zielony laser wykorzystywany do pointerach - Czerwony laser wykorzystywany w komputerowych myszach optycznych - Laser emitujący światło o długości fali 1.3 m do transmisji danych w II oknie światłowodowym - Laser emitujący światło o długości fali 1.55 m do transmisji danych w III oknie światłowodowym - Lasery emitujące światło w zakresie m wykorzystywane do detekcji metanu i podobnych gazów - Diody elektroluminescencyjne o różnych barwach od czerwonej do niebieskiej