Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 25, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek

Transkrypt

1 Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 25, wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner

2 Wykład 24 - przypomnienie stan koherentny stan koherentny vs pojedyncze fotony na płytce światłodzielącej 2 fotony na płytce światłodzielącej 2 identyczne fotony na płytce światłodzielącej doświadczenie Hong-Ou-Mandela polaryzacja fotonu w różnych nieortogonalnych bazach kryptografia kwantowa stany splątane, przykład 2 fotony splątane w polaryzacji korelacje kwantowe stany splątane na płytce światłodzielącej

3 XIX wiek: promienie katodowe i anodowe 1859 Plücker, rurki wyładowcze, promienie katodowe 1886 Goldstein, promienie kanalikowe rura wyładowcza promienie katodowe = elektrony promienie kanalikowe = dodatnie jony atomowe (1897, Thompson) (1900, Wien)

4 Promieniowanie X, W.K.Roentgen 1912 M. Laue promieniowanie hamowania e e + γ energia kin. elektr. przed zderzeniem energia kin. elektr. po zderzeniu h max min hc hc eu min eu h K K ' K ' 0 h K eu min max kv nm U napięcie na lampie promieniowanie charakterystyczne przejścia pomiędzy poziomami energetycznymi atomów katody

5 Promieniowanie X, 2 Ugięcie Bragga (na monokrysztale) (analogie: wykład 13, siatka dyfrakcyjna; wykład 20, modulator akusto-optyczny) Δ = AB + BC AE = 2AB AE = AD = d tan Θ Δ = 2d sin Θ = nλ 2d 2AD cos Θ sin Θ

6 Promieniowanie X, 3 Metoda Debye a-scherrera (metoda proszkowa) 2d sin Θ = nλ d1 1 d2 2 d3 3

7 Hipoteza de Broglie a 1924 L. de Broglie Oczekujemy symetrii: jeśli fale elektromagnetyczne są cząstkami to cząstki powinny być falami λ = h p = h mυ Dla swobodnej cząstki o energii E = ħω mamy: Ψ z, t = e i 2π λ z ωt. Podobnie jak dla fotonu z płaskiej fali monochromatycznej (wykład 23) dokładnie znamy energię i pęd cząstki ale kompletnie nieokreślone jest jej położenie oraz własności czasowe. Jeśli chcemy zdefiniować położenie oraz czas potrzebujemy pakiety falowe w przestrzeni (np. wiązka gaussowka) i czasie (np. impuls gaussowski).obowiązuje zasada nieoznaczoności Hesienberga ΔxΔp x ħ 2 gdzie Δx oraz Δp x należy rozumieć jako wariancje położenia i pędu. Podobna nierówność obowiązuje dla czasu i energii: Liczby: ΔtΔE ħ 2 1. elektron, energia 100 ev p = 2m e E kg m s, λ = h/p 0.12nm 2. atom sodu, T=10-8 K E = kt J, p = mkt kg m s, λ = h/p 0.12μm 3. kulka, 1g, 100m/s λ = h/ Mυ m

8 dyfrakcja i interferencja elektronów Dyfrakcja na krawędzi E = ev, λ = m Dyfrakcja na drucie 2 μm E = ev włókno ma dodatni potencjał

9 Interferencja atomów He dysza wytwarzająca strugę helu A szczelina 2 μm B 2 szczeliny 1 μm odległe o 8μm PM - fotopowielacz O. Carnal, J. Mlynek, PRL 66, 2689 (1991) Physical Review Letters

10 BEC - fale materii Kondensat Bosego-Einsteina (ang. Bose Einstein Condensate BEC) 12 m 6 10 cm 8 3 tworzenie kondensatu interferencja 2 kondensatów laser atomowy

11 BEC - fale materii Eric A. Cornell Wolfgang Ketterle Carl E. Wieman The Nobel Prize in Physics 2001 was awarded jointly to Eric A. Cornell, Wolfgang Ketterle and Carl E. Wieman "for the achievement of Bose-Einstein condensation in dilute gases of alkali atoms, and for early fundamental studies of the properties of the condensates".

12 konsekwencje lokalizacji cząstki przykład: elektron w atomie E = E kin + E pot E = p2 2m e2 4πε 0 r Załóżmy, że elektron krąży po orbicie o promieniu r. Lokalizacja elektronu skutkuje rozmyciem jego pędu pęd nie może być mały. Z zasady nieoznaczoności Heisenberga mamy: Δp ħ 2Δx = ħ r 1 r 2 Przyjmijmy: p = ħ r wtedy: E = ħ2 2mr 2 e2 4πε 0 r szukamy minimum energii: de dr = ħ2 mr 3 + e2 4πε 0 r 2 = 0 skąd r = 4πε 0ħ 2 me 2 oraz E min = 1 me 4 2 4πε 2 0 ħ 2 1 r E

13 Równanie Schrodingera, E. Schrodinger, cząstce przypisujemy zespoloną funkcję (funkcję falową) Ψ(z, t) Postulaty: 1. Spełnione są równania : λ = h, ν = E/h p 2. Energia cząstki: E = p 2 2m + V długość fali de Broglie a 3. Równanie musi być liniowe w Ψ - możliwa interferencja częstość fali de Broglie a i ωt kz 4. Dla V = const dostajemy funkcję falową swobodnej cząstki Ψ sw z, t = e oznaczenia: k = 2π/λ, ω = 2πν wstawiamy do r-nia na energię i dostajemy ħ 2 k 2 + V z, t 2m = ħω Postulat 3 dopuszcza tylko funkcję Ψ oraz jej pochodne. Stąd równanie próbne α 2 Ψ dψ + V z, t Ψ = β z2 dt Postulat 4: 2 Ψ sw z 2 = k 2 Ψ sw Ψ sw, z = iωψ sw co daje αk 2 + V = iωβψ sw

14 Równanie Schrodingera, 2 αk 2 + V = iωβψ sw Porównując ostatnie r-nie z ħ 2 k 2 + V z, t 2m = ħω dostajemy α = ħ 2 2m β = ħ i i ωt kz Ψ sw z, t = e Ostatecznie,1D r-nie Scrodingera to ħ2 2 Ψ dψ + V z, t Ψ = iħ 2m z2 dt Uwaga: powyższe rozumowanie wcale nie dowodzi poprawności r-nia Schrodingera. Znaleźliśmy jedynie takie r-nie różniczkowe, które spełnia postulaty 1-4. O poprawności r-nia Schrodingera wnioskujemy na podstawie zgodności jego przewidywań z doświadczeniem

15 Interpretacja funkcji falowej, 1 według M. Borna Rozważamy zagadnienie 1-D: Ψ(z, t) Funkcja falowa Ψ(z, t) kompletnie opisuje układ fizyczny nie możemy mieć więcej informacji o układzie gęstość prawdopodobieństwa P z, t = Ψ(z, t) 2 interferencja Ψ = Ψ 1 + Ψ 2, Ψ 2 = Ψ Ψ Re Ψ 1 Ψ 2 normalizacja f.f. Ψ(z, t) 2 dz = 1 prąd prawdopodobieństwa t ΨΨ = = z ħ 2im dψ Ψ dψ Ψ dz dz P z, t + j z, t = 0 t z prąd prawdopodobieństwa zachowanie prawdopodobieństwa z 2 z 1 P z, t dz = = j z 1, t j z 2, t Oczekujemy, że prąd prawdopodobieństwa będzie różniczkowalną funkcją zmiennych przestrzennych. Stąd wynika ciągłość funkcji falowej i jej pochodnych.

16 Interpretacja funkcji falowej, 2 Stany stacjonarne Nadal rozważamy zagadnienie 1-D: Ψ(z, t) Potencjał nie zależy o czasu. Załóżmy, że da się rozdzielić zmienne Ψ z, t Wstawiamy do r-nia Schrodingera ħ2 2 ψ df f + V z ψf = iħψ 2m z2 dt skąd mamy ħ2 2 ψ 2m z 2 + Vψ ψ Obie strony równania muszą być stałą. Nazwijmy ją E = iħ df dt f = ψ z f(t) dostajemy 2 równania: ħ2 2 ψ + Vψ = Eψ 2m z2 iħ df dt = Ef Potrafimy rozwiązać 2. r-nie: f t = e iet/ħ = e iωt Porównując z funkcją falową swobodnej cząstki widzimy, że E = ħω to energia cząstki Ostatecznie: Ψ z, t = ψ(z)e iet/ħ Ψ z, t 2 = ψ z 2 gęstość prawd. nie zależy od czasu stan stacjonarny o zadanej energii

17 Od rozwiązań stacjonarnych do dynamiki załóżmy, że (dla danego układu) potrafimy znaleźć stany stacjonarne oraz opowiadające im energie ψ n z, E n gdzie n oznacza indeks bądź zbiór indeksów (niekoniecznie dyskretnych) Wtedy wiemy, że: Ψ n z, t = ψ n (z)e ie nt/ħ Mechanika kwantowa dopuszcza superpozycje. Rozważmy najprostszą z nich: Ψ z, t = a 1 ψ 1 z e ie1t/ħ + a 2 ψ 2 (z)e ie 2t/ħ i policzmy gęstość prawdopodobieństwa Ψ z, t 2 = a 1 ψ 1 z e ie1t/ħ + a 2 ψ 2 (z)e ie 2t/ħ a 1 ψ 1 z e ie1t/ħ + a 2 ψ 2 z e ie2t/ħ = = a 1 ψ 1 z 2 + a 1 a 2 ψ 1 z ψ 2 z e i E 1 E 2 t/ħ + a 2 a 1 ψ 2 z ψ 1 z e i E 1 E 2 t/ħ + a 2 ψ 2 z 2 dudnienia z częstością ω = E 2 E 1 ħ

18 Uwaga: w tym zagadnieniu nie żądamy ciągłości pochodnych f.f. bo mamy nieskończony skok potencjału nieskończona studnia 1-D, 1 Cząstka o masie m zamknięta w jednowymiarowym pudełku. Długość pudełka: a V z V z = 0 dla a 2 < z < a 2 dla z a 2 Dla z a mamy ψ z = 0 2 W obszarze a < z < a trzeba znaleźć rozwiązanie r-nia 2 2 Schrodingera ħ2 d 2 ψ 2m dz 2 = Eψ czyli d 2 ψ dz 2 + k2 ψ = 0 gdzie k 2 = 2mE ħ 2 z Rozwiązania to ψ z = A cos kz + B sin kz Funkcja falowa musi być ciągła: A cos ka/2 + B sin ka/2 = 0 A cos ka/2 + B sin ka/2 = 0

19 Nieskończona studnia 1-D, 2 ψ z = A cos kz + B sin kz + równania ciągłości dają dyskretny zbiór funkcji falowych i energii cząstki z cos a a ψ n z = 2 a ψ n z = 2 a cos nπz a sin nπz a funkcje falowe są orto-normalne ψ m ψ m dz = δ nm dla n = 1,3,5, dla n = 2,4,6, z sin a a 2 z cos a a E n = ħ2 k 2m n 2 = ħ2 E n = n 2 E 1 π 2 2m a 2 n2 nieskończona liczba dyskretnych poziomów energetycznych

20 cząstka w jamie (o skończonej głębokości) Cząstka o masie m umieszczona w jednowymiarowej jamie (studni) potencjału. Szerokość studni: a V z V 0 studnia 1-D o skończonej głębokości I II III V 0 dla z a 2 V z = 0 dla a 2 < z < a 2 V 0 dla z a 2 a 2 a 2 z Rozważamy ruch cząstki oddzielnie w każdym z obszarów I III ħ2 d 2 ψ 2m ħ2 d 2 ψ 2m ħ2 d 2 ψ 2m dz 2 = E V 0 ψ z a 2 dz 2 = Eψ a 2 < z < a 2 dz 2 = E V 0 ψ z a 2 (1) (2) (3)

21 cząstka w skończonej jamie, 2 W obszarze II korzystamy z gotowych rozwiązań dla nieskończenie głębokiej studni ψ II z = A cos kz + B sin kz z k = 2mE ħ 2 V z V 0 studnia 1-D o skończonej głębokości I II III W obszarach I i III mamy dwie możliwości 1. E > V 0 cząstka swobodna 2. E < V 0 cząstka uwięziona w jamie Zajmiemy się przypadkiem 2. a 2 a 2 z W obszarze I r-nie Schrodingera: d 2 ψ I dz 2 α2 ψ I = 0 gdzie α 2 = 2m V 0 E ħ 2 ma rozwiązania wykładnicze ψ I z = Ce αz + De αz Analogicznie, ψ III z = Ee αz + Fe αz Wybieramy rozwiązania zanikające: ψ I z = De αz ψ III z = Ee αz Żądamy ciągłości funkcji falowej i jej pochodnej na granicach obszarów ψ I a/2 = ψ II a/2 dψ I dz a/2 = dψ II dz a/2 To samo dla granicy w a/2.

22 cząstka w skończonej jamie, 3 Dzielimy rozwiązania na parzyste i nieparzyste. Zajmiemy się pierwszymi. Ciągłość funkcji falowej i jej pochodnej w a/2 daje A cos ka/2 = De αa/2 ka sin ka/2 = αde αa/2 Dzieląc powyższe r-nia stronami dostajemy k tan ka/2 = α i przekształcamy do ka/2 tan ka/2 = αa/2 Dla modów niesymetrycznych analogiczne rachunki dają ka/2 cot ka/2 = αa/2 V z V 0 studnia 1-D o skończonej głębokości I II III a 2 a 2 z Nowe, bezwymiarowe, zmienne: u = αa/2 v = ka/2 pozwalają zapisać r-nia wyżej w postaci u = v tan v rozw. symetryczne u = v cot v rozw. niesymetryczne Jednocześnie, z poprzedniej transparencji, wyliczamy u 2 + v 2 = mv 0a ħ 2

23 cząstka w skończonej jamie, 4 u 2 + v 2 = mv 0a ħ 2 u = v tan v rozw. symetryczne u = v cot v rozw. niesymetryczne Taki zestaw równań już raz rozwiązywaliśmy przy okazji analizy dielektrycznego płaskiego falowodu symetrycznego (wykład 6). Wystarczy zrobić podstawienie v h 2 d, u h 1 d oraz mv 0a V aby skorzystać z gotowych rozwiązań ħ 2 Wnioski: 1. Liczba rozwiązań n max jest zawsze skończona i zależy od wartości parametru mv 0a. W szczególności dla mv 0 a ħ 2 < π 2 ħ 2 istnieje tylko jedno rozwiązanie pojedynczy stan związany w studni. 2. Rozwiązania możemy ponumerować poczynając od 1 do n max 3. Energie kolejnych stanów rosną numerem indeksu V

24 cząstka w skończonej jamie, 5 V z studnia 1-D o skończonej głębokości Wnioski: V 0 1. Funkcja falowa cząstki wypełnia jamę potencjału cząstka jest równocześnie w całej jamie choć prawdopodobieństwo znalezienia jej w poszczególnych obszarach nie jest takie samo. 2. Funkcje falowe mają niezerową amplitudę także w obszarach gdzie E < V 0. W obrazie klasycznym nie ma takiej możliwości. 3. Głębokość wnikania funkcji falowej w obszar klasycznie zabroniony jest różna dla różnych rozwiązań generalna zasada: im bliżej V 0 jest energia cząstki tym głębiej penetruje ona obszary poza studnią a 2 1 a 2 E 1 E 0 z

25 Półprzewodnikowe studnie kwantowe Przykład: laser na studniach kwantowych L. Zeng, et al. APL (1998)

26 Nieskończona studnia 3-D, 1 Cząstka o masie m zamknięta w prostopadłościennym pudełku o wymiarach a b c V x, y, z = 0 dla a 2 < x < a 2, b 2 < y < b 2, c 2 < z < c 2 wszędzie indziej Funkcja falowa zeruje się poza pudełkiem. Wewnątrz pudełka szukamy rozwiązań iloczynowych ψ x, y, z = ψ x (x)ψ y (y)ψ z (z) Wstawiamy do r-nia Schrodingera ħ2 ψ = Eψ 2m i przekształcamy do 1 d 2 ψ x ψ x dx d 2 ψ y ψ x dy d 2 ψ z ψ x dz 2 + k2 = 0 gdzie, ponownie, k 2 = 2mE. ħ 2 Ostatnia równość jest równoważna 3 r-niom d 2 ψ i dx 2 + k i 2 ψ i = 0, i = x, y, z, k i 2 i = k 2

27 Nieskończona studnia 3-D, 2 Dla każdego wymiaru stosujemy znane rozwiązania studni 1-D: E ψ xl x = 2 lπx cos a a ψ xl x = 2 a sin lπx a a > b > c dla l = 1,3,5, dla l = 2,4,6, ψ ym y = 2 b ψ ym y = 2 b ψ zn z = 2 c ψ zn z = 2 c cos mπy b sin mπy b cos nπz c sin nπz c dla m = 1,3,5, dla m = 2,4,6, dla n = 1,3,5, dla n = 2,4,6, n = 3 l = 3 l = 2 l = 1 m = 3 m = 2 m = 1 n = 2 n = 1 ψ lmn x, y, z = ψ xl x ψ ym y ψ zn z E lmn = ħ2 π 2 l 2 2m a 2 + m2 b + n2 c 2 układ jest opisany przez 3 liczby kwantowe l, m, n = 1,2,3

28 kropki kwantowe, 1 Studnia 3-D o skończonej głębokości Im mniejsze kropki kwantowe tym bardziej niebieskie świecenie

29 kropki kwantowe, 2 CdSe jelito myszy, różne markery: actina laminina jądro komórki czerwony - zielony - niebieski

30 Schodek potencjału E V 0 cząstka pada od lewej strony na barierę potencjału. Oddzielnie wypisujemy r-nie Schrodingera dla obu obszarów d 2 ψ dz 2 + k 1 2 ψ = 0 d 2 ψ dz 2 k 2 2 ψ = 0 k 1 2 = 2mE ħ 2 > 0, k 2 2 = 2m V 0 E ħ 2 > 0 ψ z = 0 fala padająca fala obita Ae ik 1z + Be ik 1z dla z < 0 Ce k 2z dla z > 0 z penetracja bariery (fala ewanescencyjna) Ciągłość f.f. i jej pochodnej A + B = C ik 1 A B = k 2 C B = 1 i k 1 k i k 1 k 2 B 2 = A 2 cząstka odbija się od schodka głębokość wnikania 1/k 2 analogia z całkowitym wewn. odbiciem (wykład 5)

31 tunelowanie 1928 G. Gamov, emisja α U Th He He E V 0 0 a z rozwiązania: ψ z = k 1 2 = 2mE ħ 2 k 2 2 = 2m V 0 E ħ 2 Ae ik 1z + Be ik 1z dla z < 0 Ce k 2z dla 0 < z < a A e ik 1z + B e ik 1z dla z > a ciągłość f.f. i jej 1. pochodnej + rachunki T = A 2 1 = A k 1 + k 2 2 sinh 4 k 2 k 2 k 2 a 1 Słabe tunelowanie k 2 a 1 T 16 E V 0 1 E V 0 e 2k 2a

32 Scanning Tunelling Microscope (STM) PZT 1. generacja 4. generacja ka 2 1 Czerwone - atomy Cs na GaAs (110) - niebieskie

33 oscylator harmoniczny, klasyczny V z Potencjał i siła F z V z = K 2 z2 = dv dz = Kz z Równanie ruchu m d2 z dt 2 = Kz d 2 z dt 2 + ω2 z = 0, ω 2 = K m Rozwiązanie z t = A cos ωt + φ υ t = dz = ωa sin ωt + φ dt energia E = m 2 υ2 + K 2 z2 = K 2 A2 gęstość prawdopodobieństwa 1 P cl = A 2 z 2 Pcl z z

34 oscylator harmoniczny, kwantowy, 1 Stacjonarne równanie Schrodingera d 2 ψ + K dz 2 2 z2 ψ = Eψ ħ2 2m d2 ψ + ω2 dz 2 ħ 2 z2 ψ = 2mE ψ ħ 2 d 2 ψ = dz 2 ζ2 λ ψ, ζ 2 = mω ħ z, λ = 2E ħω Potencjał V z = K 2 z2 Rozwiązania: rozwiązanie ψ n ζ = H n ζ e ζ2 2, n = 0,1,2 wielomian Hermite a E n = ħω n Normalizacja ψ m ζ ψ m ζ dζ = δ nm

35 wzbudzenie laserowe oscylator harmoniczny, kwantowy, v = 0 SiH 2 SiD 2... fluorescencja v = 0 ω = K m M. Fukushima, S. Mayama, and K. Obi, J.Chem.Phys. 96, (1992)