W-23 (Jaroszewicz) 20 slajdów Na podstawie prezentacji prof. J. Rutkowskiego

Transkrypt

1 Bangkok, Thailand, March 011

2 W-3 (Jaroszewicz) 0 slajdów Na odstawie rezentacji rof. J. Rutkowskiego Fizyka kwantowa fale rawdoodobieństwa funkcja falowa aczki falowe materii zasada nieoznaczoności równanie Schrodingera

3 3/0-W3 Fale rawdoodobieństwa Rozkład elektronów na ekranie owinien być sumą rozkładów dla każdej szczeliny oddzielnie - obserwujemy obraz interferencyjny dla dwóch szczelin Do wyjaśnienia tego aradoksu musimy stworzyć nowy formalizm matematyczny: fale materii traktować jako fale rawdoodobieństwa wytwarzającą na ekranie obraz rążków rawdoodobieństwa B P 1 Rozkład obserwowany A r r 1 P Rozkład klasyczny

4 4/0-W3 Funkcja falowa Formalizm matematyczny za omocą którego usuwa się te aradoksy, rzyisuje każdej cząstce materialnej funkcję falową (,y,z,t) będącą funkcją wsółrzędnych i czasu Znajdując rozkład natężenia w obrazie dyfrakcyjnym można określić rawdoodobieństwo, że elektron adnie w określonym miejscu ekranu Kwadrat amlitudy funkcji falowej jest roorcjonalny do gęstości rawdoodobieństwa znalezienia elektronu w danym elemencie obszaru

5 5/0-W3 Właściwości funkcji falowej Prawdoodobieństwo znalezienia się elektronu w objętości dvddydz P ddydz gdzie warunek unormowania funkcji falowej dv 1 zasada suerozycji 1 + funkcja falowa owinna być ograniczona < V funkcja falowa nie stanowi bezośrednio obserwowanej wielkości. Fale klasyczne i fale odowiadające cząstkom odlegają równaniom matematycznym tego samego tyu, lecz w rzyadku klasycznym amlituda fali jest bezośrednio obserwowana, a dla funkcji falowej nie.

6 6/0-W3 h λ h π π λ h k π k h π Funkcja falowa cząstki oruszającej się wzdłuż osi, której długość fali jest równa λ o ( k t ) A cos o ω Stąd widać, iż rzeczywista ostać funkcji falowej jest niewłaściwa bo istniałyby unkty, gdzie nie można jej zaobserwować. Leiej zatem stosować ostać zesoloną i( k o ωt ) Ae ( k t ) A cos o ω ( i( k t )) i( k t ) Ae o ω Ae o ω ( ) A Pokazaliśmy, że jeżeli ęd cząstki osiada określoną wartość, to cząstkę można znaleźć z jednakowym rawdoodobieństwem w dowolnym unkcie rzestrzeni. Inaczej mówiąc, jeżeli ęd cząstki jest dokładnie znany, to nic nie wiemy o jej miejscu ołożenia.

7 7/0-W3 Paczki falowe materii Dla cząstki znajdującej się w t0 w określonym obszarze rzestrzeni kwadrat modułu funkcji falowej rzyjmuje ostać funkcji Gaussa A e σ (, 0) A e e( ik ) 4σ Tak zlokalizowana funkcja nazywana jest aczką falową o

8 8/0-W3 B B Suerozycja fal monochromatycznych Paczka falowa jest suerozycją fal o różnych długościach, odowiadają one różnym wartościom ędu k wsółczynniki Fouriera σ π e e 4σ 4σ ( k) e σ ( k k ) ( ) σ e π e e [ ] ( ) o σ o ( ik ) B e( ik ) o ( ik ) B( k) e( ik) B o ( ) B ( ) σ π n e σ e π n dk ( ) o σ ( ) o σ σ σ

9 9/0-W3 Zasada nieoznaczoności czym węższa jest rzestrzennie aczka falowa tym szerszy rozkład o ędzie σ σσ σ niemożliwe jest jednoczesne dokładne określenie wartości wsółrzędnej i ędu cząstki

10 10/0-W3 Zasada nieoznaczoności w ociągu λ chcemy zmierzyć rędkość ociągu wiedząc, że każdy wagon ma długość λ minęło nas n wagonów w ciągu czasu t okonana rzez ociąg droga wynosi l nλ l λ średnia rędkość ociągu wynosi l nλ v l t nλ t v vλ 4 v l t λ t im większy rzedział czasu tym omiar rędkości dokładniejszy, ale maleje dokładność ołożenia ociągu w chwili omiaru v n w mechanice kwantowej ociąg to aczka falowa o długości fali λ rozciągająca się na obszar l nλ λ h h 4 λ 4

11 11/0-W3 Znaczenie zasady nieoznaczoności Heisenberga szerokość aczki falowej 1/ k t1/ ω k E ω E t S Działanie S można określić z dokładnością stałej Plancka Zasada nieoznaczoności określa granice możliwości naszych omiarów. Jest jednym z fundamentalnych twierdzeń mechaniki kwantowej: wyjaśnia dyfrakcję na szczelinie energie cząstek są zawsze większe od zera elektron nie sada na jądro atomowe

12 1/0-W3 Prędkość gruowa aczki klasycznie v g dω dk k E ( k ω ) ω E m m dω dk k m dω k v g dk m m v v g Paczka falowa rzemieszcza się z rędkością równą rędkości cząstki relatywistycznie E Eo + E de c c d dω de mv v g c c dk d E mc v v

13 13/0-W3 Rozływanie się aczki falowej Udowodnimy, że ojedynczej aczce falowej właściwy jest rozrzut wartości rędkości gruowej v g, który owinien rowadzić do zwiększenia szerokości. ( vg )t dvg 1 v v m o t g d - szerokość aczki falowej rośnie roorcjonalnie do t g m Rozływania się aczki falowej można uniknąć umieszczając cząstkę w studni otencjału o swobodny elektron zlokalizowany w chwili oczątkowej w obszarze o m (tyowy rozmiar atomu) o uływie sekundy będziemy mieć 1100 km

14 14/0-W3 Cząstka w studni otencjału wystęuje nałożenie się dwóch fal rozchodzących się w rzeciwnych kierunkach owstaje fala stojąca E (ev) E E 3 ik iωt ik iωt ( ) ( ik ik ) iωt t Be Be B e e e, iωt iωt (, t) ibe sin( k) Ae sin( k) Z warunków brzegowych n k n E n bo (0,t)0 n sin ( kl) 0 π n m ml kl nπ k n 00 sin 0 ( k) nπ L E E 1 e ik L e i n ik dozwolone wartości liczby falowej i energii cząstki λ

15 15/0-W3 Równanie Schrodingera-jak? E + m A sin k U( ) ( + ϕ) m m( E U 1 ) k ( E U ) k A sin d d d d d d ( k + ϕ) k m [ E U1 ] m [ E U( ) ] 1 (a) (b) (c) E 0 0 E 0 K /m U 1 U U 3 U() Jest to stacjonarne, jednowymiarowe równanie Schrödingera słuszne w układach nierelatywistycznych od warunkiem, że rozkład rawdoodobieństwa nie zmienia się w czasie

16 16/0-W3 Równanie Schrodingera W sytuacjach stacjonarnych, gdy otencjał nie zmienia się w czasie, zmienne rzestrzenne i czas można rozsearować i zaisać funkcję falową w ostaci: iω, y, z, t, y, z e d d ( ) ( ) t Postać rzestrzennej funkcji falowej, dla rzyadku jednowymiarowego, wyznaczamy z równania Schrödingera: m [ E U( ) ] stacjonarne, jednowymiarowe równanie Schrödingera równania Newtona fale dźwiękowe i fale w strunach równania Mawella fale świetlne równanie Schrödingera fale materii (funkcja falowa)

17 17/0-W3 Równanie Schrodingera dla d m cząstki swobodnej E U( ) U( ) 0 d k d d d m E którego rozwiązaniem jest d oznaczając rzyjmując B0 (cząstka orusza się w kierunku dodatnich ) iωt i ( ) ( ) ( k ωt t e Ae ), k m E [ ] tylko kinetyczna E ik ik ( ) Ae + Be m m m k E m π π λ k h funkcją falową cząstki swobodnej jest fala łaska o długości λ określonej zależnością de Broglie a

18 18/0-W3 Równanie Schrodingera dla nieskończonej jamy otencjału U E 3 E E 1 U d d m [ E U( ) ] U( ) 0 k m E 0 L U0 k d ik Ae + d warunki brzegowe ( 0 ) ( L) 0 A + B 0 sin Ae ( kl) 0 ikl ik ( ) Be + Be ikl kl π n E n n n ( ) C sin C Ai ml L wartości energii E n nazywamy wartościami własnymi odowiadające im funkcje falowe n funkcjami własnymi 0 nπ ( ikl ) 0 A e ikl e n1,,3... π

19 19/0-W3 Wnioski energia jest skwantowana, wystęują dyskretne wartości (oziomy) energii (n liczba kwantowa) cząstka nie może osiadać energii zerowej wynika z zasady nieoznaczoności L L E > 0 m stałą C wyznaczamy z warunku unormowania L L * nπ d C sin d L 0 0 L C 1 nπ C L n ( ) sin L L dla obiektów klasycznych oszczególne oziomy są tak bliskie, że nierozróżnialne 1 L 0 sin nπ L L d

20 Bangkok, Thailand, March 011