falowa natura materii

Transkrypt

1 10 listopada 2016

2 1 Fale de Broglie a

3 Dyfrakcja promieni X 1895 promieniowanie X dopiero w 1912 dowód na ich falowa naturę - to promieniowanie elektromagnetyczne zjawiska falowe: ugięcia, dyfrakcji - trudne: niewielka długość fali pomysł: dyfrakcja na krysztale - stała sieci rzędu m

4 Dyfrakcja promieni X dyfrakcja na krysztale. każdy z atomów źródłem kulistej fali odbitej. dodatnia interferencja od sasiednich płaszczyzn krystalicznych (Bragga) tylko gdy różnica dróg optycznych jest całkowita wielokrotnościa długości fali. NaCl: powierzchnie sieciowe

5 Dyfrakcja promieni X dyfrakcja na krysztale. każdy z atomów źródłem kulistej fali odbitej. dodatnia interferencja od sasiednich płaszczyzn krystalicznych (Bragga) tylko gdy różnica dróg optycznych jest całkowita wielokrotnościa długości fali. 2d sin(θ) = nλ, n = 1, 2, 3,... - n - porzadek odbicia zmiana θ, mierzona intensywność odbitego światła (odbicie Bragga)

6 Dyfrakcja promieni X dyfrakcja na krysztale. każdy z atomów źródłem promieniowania elektromagnetycznego. dodatnia interferencja od sasiednich płaszczyzn krystalicznych (Braggów) tylko gdy różnica dróg optycznych jest całkowita wielokrotnościa długości fali. 2d sin(θ) = nλ, n = 1, 2, 3,... zmiana θ, mierzona intensywność odbitego światła (odbicie Braggów) nagroda Nobla dla Braggów (1915). (znowu mówimy o falowych własnościach światła) dyfrakcja promieni X: narzędzie badania struktury krystalicznej

7 Fale materii fotony - czasteczkowa własności fali świetlnej Louis de Broglie - odwrotny pomysł 1924 czastki moga wykazywać własności falowe (podobnie jak światło korpuskularne) dla fotonów p = hν c = h λ, więc λ = h p de Broglie proponuje zastosować wzór dla czastek λ = h γmv, γ = 1/ 1 v 2 /c 2 dla ciała 50g i prędkości 30m/s długość fali m dla elektronu i prędkości v = c/30 długość fali m dla czastek α z doświadczenia Rutherforda 1/15c, 8000 mas elektronu, λ = 5 fm 1927 potwierdzenie falowych własności czastek, 1929 Nobel dla de Broglie a 1926 Schrödinger zapisuje równanie falowe dla czastek

8 Dyfrakcja czastek potwierdzenie falowej natury czastek: eksperyment rozpraszania elektronów Davissona Germera 1927 dodatnia interferencja od sasiednich płaszczyzn krystalicznych (Braggów) tylko gdy różnica dróg optycznych jest całkowita wielokrotnościa długości fali. 2d sin(θ) = nλ, n = 1, 2, 3,... zmiana θ, mierzona intensywność odbitego światła (odbicie Braggów) kryształ niklu z d = nm działo elektronowe (emisja termiczna + przyspieszanie w polu elektrycznym): 54 ev długość fali de Broglie nm. wynik doświadczenia: nm

9 Fale de Broglie a Mikroskop elektronowy długos c fali de Broglie a λ = h, γmv p γ = 1/ 1 v 2 /c 2 dla elektronu i predkos ci v = c/30 długos c fali m (rozmiar atomu) długos c fali jak dla promieni X, ale dla promieni X nie potrafimy skonstruowac soczewek mikroskop elektronowy: rozdzielczos c 50 pm resolution i powiekszenie x. mikroskopy s wietlne: rozdzielczos c 200 nm i powiekszenie 2000 x.

10 Fale elektronowe w atomie wodoru od Broglie a (1924) do Bohra (1913): brakujaca interpretacja warunku kwantowania orbit model Bohra L n = mv nr n = n z czego r n = n2 h 2 ɛ 0 πme 2 fala de Broglie λ = h mv model planetarny atomu mv 2 = e2 r 4πɛ 0 r v = e 2 2 4πɛ 0 r warunek: całkowita liczba długości fal na orbicie nλ n = 2πr n n h mv = 2πrn h 4πɛ 0 r n = 2πr me n z tego warunku również uzyskujemy r n = n2 h 2 ɛ 0 πme 2 warunek kwantyzacji orbit Bohra jest równoważny z warunkiem funkcji falowej periodycznie zmiennej na orbicie elektronowej

11 Ruch falowy fala sinusoidalna : Ψ(x, t = 0) = A sin( 2π λ x) Ψ(x, t) - chwilowe wychylenie: struna, powierzchnia wody, pole E, B. A - amplituda, prędkość poruszania się fali v: fala sinusoidalna : Ψ(x, t) = A sin( 2π (x vt)) λ fala spełnia równanie (falowe) 2 Ψ x = 1 2 Ψ 2 v 2 t 2 przepisać λ = vt fala sinusoidalna : Ψ(x, t) = A sin(2π( x λ t T )) liczba falowa k = 2π λ, częstość katowa ω = 2π T Ψ(x, t) = A sin(kx ωt) dla fali w przeciwnym kierunku Ψ(x, t) = A sin(kx + ωt) przesunięcie fazowe φ, Ψ(x, t) = A sin(kx + ωt + φ)

12 Hipoteza Borna faluje: struna, powierzchnia wody, pole elektromagnetyczne pytanie o naturę fal materii czastka opisane przez funkcję falowa Ψ(x, y, z, t), która może przyjmować np. ujemne wartości (interpretacja?) Born (1926): Ψ(x, y, z, t) 2 jako rozkład prawdopodobieństwa znalezienia czastki, jak poprzednio E 2 dla fotonów

13 Zasada superpozycji Ψ(x, t) = A sin(kx + ωt + φ) fala spełnia równanie (falowe) 2 Ψ x = 1 2 Ψ 2 v 2 2 superpozycja rozwiazań równania falowego spełnia to równanie

14 fale czy czastki

15 fale czy czastki chcemy sprawdzić przez która szczelinę elektron przeszedł oświetlamy jedna szczelinę - zobaczymy elektron, zmienimy jego fazę (przypadkowo), utrata spójności fali - nie zobaczymy interferencji dualizm korpuskularno-falowy : czasem jak czastka, czasem jak fala zasada komplementarności Bohra: nie jest możliwe podanie opisu obserwabli fizycznych jednocześnie w terminach fal i czastek, (albo/albo).

16 Funkcja falowa stan układu dany przez funkcję falowa: Ψ Ψ 2 = Ψ Ψ - interpretacja probabilistyczna pstwo znalezienia jej między x 1 a x 2 : x p = 2 Ψ 2 dx x 1 normalizacja, warunek znalezienia czastki : Ψ 2 dx = 1 Ψ - ciagła z pochodna, normowalna, na stanów zlokalizowanych musi znikać w ± λ = h p Ψ(x, t) = A cos(ωt kx + φ), k = 2π λ - liczba falowa przy φ = π/2 Ψ(x, t) = A sin(ωt kx) Funkcje falowe ulegaja superpozycji: Ψ(x, t) = Ψ(x, t) = A 2 (cos(ωt kx) + i sin(ωt kx)) A 2 exp(i(ωt kx))

17 Fala płaska dla czastki w próżni pęd jest ściśle określony dla stanu: Ψ(x, t) = A 2 exp(i(ωt kx) fala płaska Ψ(x, t) 2 = A gęstość prawdopodobieństwa nie zależy od położenia, brak informacji o lokalizacji czastki

18 superpozycja stanów własnych pędu (fal płaskich) weźmy superpozycję fal płaskich dla rożnych wartości k, ψ(x) = k C(k) exp(ikx) = C(k) 1 exp(ikx)dk 2π niech C(k) = ( 1 2απ )1/4 exp( k2 + exp( βy 2 )dy = π β ψ(x) = 21/4 α 1/4 π 1/4 exp( αx 2 ) 4α ) z własności transformaty Fouriera: C(k) = ψ(x) 1 2π exp( ikx)dx

19 superpozycja stanów własnych pędu (fal płaskich) weźmy superpozycję fal płaskich dla rożnych wartości k, ψ(x) = k C(k) exp(ikx) = C(k) 1 exp(ikx)dk 2π niech C(k) = ( 1 2απ )1/4 exp( k2 4α ) ψ(x) = C(k) 1 exp(ikx)dk 2π ( ) 2α 1/4 ψ(x) = π exp( αx 2 ) C(k) = C(k) 1 2π exp( ikx)dx ψ(x) 2 - gęstość prawdopodobieństwa w przestrzeni położeń C(k) 2 - gęstość prawdopodobieństwa w przestrzeni wektora falowego zobaczymy wkrótce, że dla fala płaska z wektorem k opisuje funkcję własna pędu: p = k (czastka opisana ta funkcja falowa niesie pęd k)

20 superpozycja fal płaskich ψ(x) 2 - gęstość prawdopodobieństwa w przestrzeni położeń C(k) 2 - gęstość prawdopodobieństwa w przestrzeni wektora falowego (pędu) p = k C(k) 2 = ( 1 2απ )1/2 exp( k2 ( 2α ) ) ψ(x) 2 2α 1/2 = π exp( 2αx 2 ) dokładnie określony pęd: całkowicie zdelokalizowana czastka i odwrotnie

21 odchylenie standardowe dla położenia i czasu wariancja położenia ( x) 2 = (x x 2 ) ψ(x) 2 dx wariancja wektora falowego ( k) 2 = (k k )2 C(k) 2 dk ψ(x) = 21/4 α 1/4 exp( αx 2 ) π 1/4 y 2 exp( βy 2 )dy = 1 π 2 β 3/2 ( x) 2 = 1 4α ( k) 2 = α ( k) 2 = ( p) 2 = 2 α relacja nieoznaczoności dla pakietu gaussowskiego: x p = 2 dla dowolnej funkcji falowej: x p (relacja Heisenberga) 2

22 zasada nieoznaczoności Heisenberga pakiet gaussowski: ψ(x) = 21/4 α 1/4 π 1/4 exp( αx 2 ) relacja nieoznaczoności dla pakietu gaussowskiego: x p = 2 dla dowolnej funkcji falowej: x p (relacja Heisenberga) 2 im lepiej określone położenie - tym mniej wiemy o pędzie

23 zasada nieoznaczoności Heisenberga x p (relacja Heisenberga) 2 względny praktyczne: 1) pomiary pędu i położenia niekompatybilne 2)w skali mikro pomiar zaburza obserwowany obiekt jeśli Ψ to najgłębszy opis rzeczywistości, nie możemy opisać dokładnie trajektorii czastek to więcej niż problem ograniczonej zdolności pomiarowej i zaburzenia obiektu przez pomiar mechanika kwantowa (MK) oparta na funkcji falowej nie potrafi przewidzieć wyniku pojedynczego pomiaru, daje tylko rozkład prawdopodobieństwa możliwych do uzyskania wyników EPR

24 zasada nieoznaczoności Heisenberga x p (relacja Heisenberga) 2 względny praktyczne: pomiary pędu i położenia - niekompatybilne, w skali mikro pomiar zaburza obserwowany obiekt Demon Laplace a i determinizm (dokładne warunki poczatkowe i losy wszechświata) Heisenberg: dokładnych warunków poczatkowych nie da się ustalić

25 Relacja Heisenberga x p 2 czastka zamnięta w pudle o szerokości a, x = a, p =0, ale p 2 x 0 oszacowanie: p min p, p min = 2a, T min = p2 min 2m T > T min = 2 8ma 2 z lokalizacja w mechanice falowej wiażę się pewna energia kinetyczna z lokalizacja w punkcie - nieskończona energia kinetyczna stabilność orbitali atomowych: elektron nie spadnie na jadro, brakuje mu do tego energii

26 Relacja Heisenberga pęd-położenie x p (relacja Heisenberga) 2 energia-czas E t 2 tylko stany stacjonarne (o nieskończonym czasie życia) maja ściśle określone energie - stany własne operatora energii E = 0 cdn. czastki zwane rezonansami: nietrwałe, nieoznaczona masa szacowana z czasu życia, E = mc 2 m 2c 2 t

27 teoria falowa model Bohra: działa świetnie dla H i jonów wodoropodonych, nie tłumaczy widm atomów wieloelektronowych, nie pozwala na uogólnienie już dla helu, Rozwój teorii do 1924 : "stara teoria kwantów". prace Schrödingera, Heisenberga, Borna, Diraka - "mechanika kwantowa" : rozwiazany problem "całej chemii" (Dirac) oraz znacznej części fizyki. 1925/ rownanie Schrödingera - dla atomu wodoru. do dziś, nie udało się znaleźć dowodu doświadczalnego na niezupełność opisu rzeczywistości fizycznej (Einstein) przez mechanikę kwantowa. mechanika klasyczna: deterministyczna przyszłość pewna. mechanika kwantowa: opis probabilistyczny. mechanika kwantowa: ma odtwarzać wyniki mechaniki klasycznej dla obiektów dużych i zjawisk, w których skala działania znacznie większa niż h stan układu dany przez funkcję falowa: Ψ Ψ 2 = Ψ Ψ - interpretacja probabilistyczna pstwo znalezienia jej między x 1 a x 2 : x p= 2 Ψ 2 dx = x 1 normalizacja, warunek znalezienia czastki : Ψ 2 dx = 1

28 Czastka w pudle czastka zamknięta w 1D przestrzeni, w obszarze o długości L (drut kwantowy), opisana fala taka iż: L = n λ 2 λ = h p E = E kin = p2 2m E = n2 h2 2m(2L) 2 uwięziona czastka może posiadać wyłacznie dyskretne wartości energii dopuszczalne stany czastki numerowane przez n - liczbę kwantowa uwięziona czastka nie może być w spoczynku (energia kinetyczna zwiazana z uwięzieniem to dlatego elektron nie spada na jadro atomowe, stabilność atomów) L musi być rzędu co najwyżej 100 nm, abyśmy zobaczyli skwantowanie poziomów (nie musi być atom).

29 Równanie Schroedingera tutaj: pokazać jak opisuje, potem podać postulaty mq.