Jacek Cichoń Katedra Informatyki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej

Transkrypt

1 JCI Aaliza matematycza Jacek Cichoń Katedra Iformatyki Wydział Podstawowych Problemów Techiki Politechiki Wrocławskiej MAP3045: Aaliza Matematycza. Wykład przezaczoy jest dla studetów I roku I stopia Iżyierii Biomedyczej a Wydziale Podstawowych Problemów Techiki. Odbywa się w środy w godz. :5 3:00 w sali.8 (C 3). Na stroie tej zajdziesz iformacje o zasadach zaliczeia, realizowaym materiale, literaturze oraz listę zadań. Obecość a wykładzie jest obowiązkowa, ale raczej ie będzie sprawdzaa : ). Ale uważajcie: program kursu jest jest dość obszery. Musicie systematyczie pracować. Jeśli opuścicie jakichkolwiek zajęcia, to musicie je atychmiast samodzielie adrobić. Zasady zaliczaia kursu Ćwiczeia Na ćwiczeiach odbędą się trzy 30 miutowe kolokwia. Na każdym z ich dostaiecie do zrobieia 3 zadaia. Za każde z ich będziecie mogli otrzymać do 5 puktów. Za aktywość moża uzyskać dodatkowo do 5 puktów. Ocea końcowa z ćwiczeń będzie wystawiaa za pomocą astępującej tabelki: Pkt C Ćwiczeia do wykładu prowadzą: dr. K. Majcher, dr R. Rałowski, dr S. Żeberski oraz dr hab. prof. J. Własak. Egzami.. Egzami podstawowy: , godz. :00 3:00, sala 3/A. Egzami poprawkowy:.0.06, godz. :00 3:00, sala 3/A. Osoby, które otrzymają z egzamiu oceę 5.0 będa mogły poprawić ją a oceę 5.5. W tym celu będą musiały się umówić ze mą a krótkie spotkaie. 3. Do egzmiu poprawkowego przystąpić mogą tylko te osoby, które z egzamiu w pierwszym termiie otrzymały oceę dst. Sposób oceiaia i ocea końcowa /4

2 JCI Aaliza matematycza Sposób oceiaia i ocea końcowa Na egzamiie dostaiecie do zrobieia 6 zadań. Za każde z ich będziecie mogli otrzymać do 5 puktów. Ocea z egzamiu będzie wystawiaa za pomocą astępującej tabelki: Pkt E Na egzamiie możecie korzystać ze swoich otatek. Nie wolo posługiwać się iteretem. Zadaia ależy rozwiązywać samodzielie: jeśli zostaiecie złapaie a ściągaiu, to otrzymacie oceę dst. Przykładowe zadaia a egzami: Przykład.pdf. Obowiązujący materiał:. to co zostało omówioe a wykładzie. wszystko co zajduje się a tej stroie 3. wszystko co było omówioe a środowych dodatkowych zajęciach z matematyki. Na egzami proszę przyieść kilka kartek papieru. Będzie musieli zać swój umer ideksu. Powodzeia. Wyiki pierwszego egzamiu Egzami poszedł wam bardzo dobrze!!! Ocey wpisałem do systemu w sobotę około godziy 3:00. Zaledwie kilka osób ie zaliczyło. Aby otrzymać oceę celującą trzeba było otrzymać oceę bdb (zgodie z tabelką, która zajduje się a tej stroie) oraz bez żadych rachuków rozwiązać Zadaie 6 (oblicz całkę ), gdyż wystarczyło zauważyć, że fukcja jest π π (x + ) si(x)dx a a a f(x)dx = 0 ieparzysta, więc dla dowolego mamy. f(x) = (x + ) si(x) Osoby, które ie mają wpisaej ocey do systemu Edukacja.CE muszą pojawić a drugim egzamiie w diu W poiedziałek umówioy byłem z paroma osobami a ewetuale poprawieie ocey z 5.0 a 5.5. Ale ikt się ie pojawił. Tak a wszelki wypadek: ja urzęduję w pokoju 4B/D. Na tej "poprawce" dostaiecie jedo ieco trudiejsze zadaie iż te, które były a egzamiie i będziecie mieli 5 miut czasu a jego rozwiązaie. Literatura Podstawowa. F. Leja, Rachuek Różiczkowy i Całkowy, Wydawictwo Naukowe PWN, 0. W. Krysicki, L. Włodarski, Aaliza Matematycza w Zadaiach, Cz. I, PWN, Warszawa 006 Pomocicza. K. Kuratowski, Rachuek Różiczkowy i Całkowy. Fukcje Jedej Zmieej, Wydawictwo Naukowe PWN, 0. G. M. Fichteholz, Rachuek Różiczkowy i Całkowy, T. I II, PWN, Warszawa M. Zakrzewski, "Markowe Wyklady z Matematyki, aaliza", wydaie I, Wroclaw 03, Oficya Wydawicza GiS Lista zadań: Aaliza_005_IB.pdf. Przykładowa lista zadań a pierwsze kolokwium: Aaliza_005_IB_K.pdf Pytaia do mie związae z kursem: QadA Zagadieia omówioe a wykładzie /4

3 JCI Aaliza matematycza [ ] Logika i zbiory. Spójiki logicze i pojęcie tautologii.. Najważiejsze tautologie.., 3., 4. 5., [prawa de Morgaa] 3. Zasada Ekstesjoalości: Zbiory A i B są rówe wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolego mamy. 4. Def. 5. Def. 6. Def. p p 7. Def. Dla określamy 8. Podstawowe prawa:.,., [prawa de Morgaa] 9. Formuła zdaiowa o dziedziie : przyporządkowaie elemetom zbioru wartości logiczych 0. Przekład: p p (p p) (p q) (q p) (p q) (q p) (p q) ( p q) (p q) ( p q) (p q) ( p q) x (x A x B) (x A B) ((x A) (x B)) (x A B) ((x A) (x B)) (x A B) ((x A) (x B)) A Ω A c = Ω A A B = B A A B = B A (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c {x R : (0 < x) (x )} = (0, ] Ω ϕ Ω Materiały pomocicze: rozdziały I, II z książki Wykłady ze Wstępu do Matematyki [4-0-05] Liczby rzeczywiste Ω. ( x)ϕ(x) dla wszystkich x Ω mamy ϕ(x) = (),. ( x)ϕ(x) istieje x Ω takie, że ϕ(x) = (). (x + y) = x + xy + y (x + y)(x y) = x y (x + y) 3 = x 3 + 3x y + 3xy + y 3.. Kwatyfikatory: jeśli ϕ jest formułą zdaiową o dziedziie, to. Wzory:,,! 3. Symbol Newtoa: ( k) = k( k)!. 4. Wzór dwumiaowy Newoa: 5. (x + y) = k=0 ( )x k y k k 6. Trójkąt Pascala. 7. Fukcja kwadratowa: ; wyróżik. 8. Nierówość Cauchy'ego: f(x) = ax + bx + c Δ = b 4ac 3/4

4 JCI Aaliza matematycza 9. xy + + x y k=0 x y k k k=0 0. Pojęcie ograiczeia dolego i górego podzbioru liczb rzeczywistych. α = sup(a) ( x A)(x α) ( β < α)( x A)(β < x). Def. jeśli oraz.. Zasada zupełości: Każdy iepusty i ograiczoy z góry podzbiór liczb rzeczywistych ma supremum. 3. Tw. Zbiór liczb aturalych ie jest ograiczoy z góry. N Materiały pomocicze: rozdział III z książki Wykłady ze Wstępu do Matematyki [-0-05] Ciągi. Nierówość trojkąta:.. Nierówość Berouliego: jeśli to dla dowolego mamy. ( + x) + x 3. Pojęcie ciągu rosącego, iemalejącego, malejącego i ierosącego. 4. Metody sprawdzaia mootoiczości ciągu : () zbadaj ; () zbadaj a +. a 5. Defiicja (graica ciągu): x + y x + y x > N (a ) a + a 6. ( lim a = g) ( ϵ > 0)( N)( > N)( a q < ϵ) 7. Fakt: 8. Tw. 9. Tw. Jeśli ciągi oraz są zbieże, to.. lim c = c lim = 0 (a ) (b ) lim (a + b ) = lim a + lim b lim (a b ) = (lim a ) (lim b ) a lim b 0 lim = 3. jeśli, to 0. Przykład: lim + + = lim = = Tw. Jeśli oraz to.. Tw. Jeśli oraz jest podciągiem ciągu to. 3. Przykład: ciąg ie jest zbieży, gdyż oraz b lim a lim b lim a = α lim b = β α = β lim a = g (b ) (a ) lim b = g a = ( ) lim a = lim a+ =. [8-0-05] Ciągi: II. Defiicja:. ( lim a = ) ( C)( N)( > N)(a > C) 4/4

5 JCI Aaliza matematycza ( lim a = ) ( C)( N)( > N)(a < C) 3. Fakt:, 4. Fakt: Jeśli oraz, to 5. [Reguły postepowaia z ieskończoościami] 6. Przykład: 7. Przykład: 8. Tw. lim = lim = (lim a = ) ( )(a b ) (lim b = ) = Jeśli a > 0 a = 0 0, to a = ie jest określoe ie jest określoe ie jest określoe lim lim lim = = lim = lim Tw. Jeśli ciąg (a ) jest iemalejący i ograiczoy to jest zbieży. 0. Twierdzeie o trzech ciągach Jeśli oraz lim a = lim c = g to. lim ( + ) = = = 0. lim ( + ) lim ( + ) = = =. lim ( + ) ( )(a b c ) lim b = g. Przykład:. Tw. lim = 5 lim q = : q > : q = 0 : q < rozbieży : q < [8-0-05] Ciągi: III. Przykład: lim = 0 si() 5/4

6 JCI Aaliza matematycza. Przykład: 3. Tw: Jeśli to 4. Przykład: 5. Tw. 6. Tw. Ciąg a = ( + ) jest rosący i ograiczoyz góry przez liczbę 3 7. Def. + lim N k= = q + q + q + + q = q+ q lim k=0 = k lim a = : : a > 0 a = 0 0 : a < 0 8. lim ( + ) = e e = Tw. a ( a)(lim ( + ) = e a ) Graica fukcji Niech oraz. Mówimy, że lim f(x) = x x0 g, jeśli dla dowolego ciągu (a ) takiego, że.. 3. mamy f : A R ( )(a A) ( )(a x0) lim a = x0 x0 R lim f(a ) = g. lim x = x Przykład: x. [8-0-05] Ciągłość f a lim x a f(x) = a f : A R f(x) = x g(x) = c. Def. Fukcja jest ciągła w pukcie jeśli.. Def. Fukcja jest ciągła jeśli jest ciągła w każdym pukcie zbioru A. 3. Przykład: Fukcje i są ciągłe. 6/4

7 JCI Aaliza matematycza lim x a(f(x) + g(x)) = lim x a f(x) + lim x a g(x) lim x a(f(x) g(x)) = lim x a f(x) lim x a g(x) 4. Tw: :. 5. Tw: :. f(x) lim 6. Tw: : lim x a = x a f(x), o ile. g(x) lim x a g(x) lim x a g(x) 0 f 7. Wiosek: Jeśli fukcje f i g są ciągłe, to f + g, f g i są ciągłe. g 8. Wiosek: Wszystkie wielomiay są ciągłe. 9. Wiosek: Wszystkie fukcje wymiere są ciągłe. 0. Tw (Własość Darboux fukcji ciągłej). Jeśli jest ciągła, oraz f(b) > 0 to istieje c (a, b) takie, że f(c) = 0. Def. jest dla dowolego ciągu takiego, że oraz mamy. f : [a, b] R f(a) < 0 lim x a+ f(x) = g (a ) ( )(a > a) lim a = a lim f(a ) = g A to jest jede z wykresów, który macie do wygeerowaia (lista zadań):. [8--05] Wykresy fukcji lim x a f(x) = lim h 0 f(x + h). Przykład: f(x) = x. Tw.. f : (a, b) R takich, że a < x < y < b mamy f(x) < f(y). (a, b) x, y f : (a, b) R x, y takich, że a < x < y < b mamy f(x) > f(y). (a, b) 3. Def: Fukcja jest rosąca a odciku jeśli dla dowolych 4. Def: Fukcja jest malejąca a odciku jeśli dla dowolych 5. Def: Fukcja ma lokale miimum w pukcie jeśli istieje takie, że dla dowolego takiego, że mamy. 6. Def: Fukcja ma lokale maksimium w pukcie jeśli istieje takie, że dla dowolego takiego, że mamy. 7. Przykład: f : R R a ϵ > 0 x 0 < x a < ϵ f(x) > f(a) f : R R a ϵ > 0 f(x) = x (x )(x ) x 0 < x a < ϵ f(x) < f(a) 7/4

8 JCI Aaliza matematycza Fukcja ta ma asymptotę poziomą o rówaiu puktach oraz. x = x = f(x) = si(x) si(400x) 8. Przykład: dla y = x [0,.π] oraz asymptoty pioowe w 9. Przykład: f(x) = si( x ) Fukcja ta ma ieciągłość ieusuwalą w pukcie. 0. Fukcja zadaa wzorem x = 0 8/4

9 JCI Aaliza matematycza jest ieciągła w każdym pukcie. f(x) ={ : x Q 0 : x R Q [5--05] Ciągłość i różiczkowaie. Tw.Jeśli jest ciągła w pukcie oraz jest ciągła w pukcie, to złożeie g f jest ciągłe w pukcie a.. Wiosek: złożeie fukcji ciągłych jest ciągłe. 3. Pojęcie fukcji odwrotej. 4. Jeśli jest ciągła i różowartościowa, to fukcja f też jest ciągła 5. Przykład: Fukcja jest ciągła. 6. Tw. [Weierstrass] Jeśli jest ciągła, to istieje taki, że 7. Pochoda: f a g f(a) f : [a, b] R f(x) = x + F : [a, b] R x0 [a, b] ( x [a, b])(f(x) f(x0)). 8. f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h 9. Iterpretacja: aplet 0. Przykłady:,,,. Tw.. Tw. 3. Tw. (c) = 0 (x) = (x ) = x (x ) = x (x α ) = αx α (a f) = af (f + g) = f + g s(t) t s (t) 4. Przykład: Jeśli ozacza odległość w czasie, to iterpretujemy jako prędkość w chwili t, oraz s (t) jako przyśpieszeie w chwili t. 5. Przykład cd: Jeśli, to oraz (jest s(t) = to ruch jedostajie przyśpieszoy). gt + v0t + s0 s (t) = gt + v0 s (t) = g [0--05] Pochode. Tw.Jeśli f jest róziczkowala w pukcie A to jest ciągła w pukcie a. różiczkowalość ciągłość 3. Przykład: Fukcja jest ciągła w każdym pukcie, ale ie jest różiczkowala w pukcie Tw. 5. Tw. f(x) = x (f g) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) f ( ) (x) = g f (x)g(x) f(x)g (x) g (x) 6. Tw. Jeśli f ma ekstremum lokale w pukcie c oraz jest różiczkowala w pukcie c, to f (c) = 0 f : [a, b] R f(a) = f(b) = 0 (a, b) to istieje c (a, b)] takie, że f (c) = 0. f : [a, b] R (a, b) c (a, b)], że 7. Tw. Jeśli jest ciągła, oraz jest różiczkowala a 8. Jeśli jest ciągła oraz jest różiczkowala a to istieje takie 9/4

10 JCI Aaliza matematycza 9. f(b) f(a) b a = f (c) ( x (a, b))(f (x) > 0) f (a, b) ( x (a, b))(f (x) < 0) f (a, b) f(x) = ax + bx + c a > 0 f (x) = ax + b 0. Wiosek: Jeśli, to jest rosąca a odciku. Wiosek: Jeśli, to jest malejąca a odciku. Przykład. Niech i. Wtedy, więc f (x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = b. W tym pukcie fukcja f osiąga a miimum. 3. Przykład. f(x) = x 3 x +. Wtedy. 3 f (x) = x x = x(x ) x 0 5 f(x) 6 f (x) Wykres fukcji f(x) = x (x )(x ) 5. Lik: Badaie wykresu fukcji. Zapozajcie się dobrze z umieszczym tam apletem. Na astępym kolokwium będzie zadaie polegające a zbadaiu przebiegu zmieości fukcji zadaej wzorem postaci takiej, której aaliza przestawioa jest a tamtej stroie. f(x) = b x +a x+ x, a więc 0/4

11 JCI Aaliza matematycza [09--05] Pochode. Rówaie styczej do fukcji f w pukcie :. Rozważaia o paraboloidzie 3. Tw. 4. Wiosek: 5. Przykłady: x, (x + ) 00 = 00( + x ) 99 x,... +x 6. Tw. 7. Przebieg zmieości fukcji 8. Tw. (Bez dowodu),. 9. Tw. (f g) (x) = f (g(x)) g (x) f (ax + b) = af (ax + b) ( ( + x )) = (e x ) = e x f(x) = xe x 0. Ozaczeie:. Tw.. a y = f (a)(x a) + f(a) (si (x) = cos(x) cos (x) = si(x) (f (x)) = f (f (x)) l(x) = log e (x) (l(x)) = x [6--05] Pochode - c.d.. Tw. arcsi (x) = x. Tw. arcta (x) = +x ( x (a, b))(f (x) = 0) ( x (a, b))(f(x) = C) ( x (a, b))(f (x) = g (x)) ( x (a, b))(f(x) = g(x) + C) 3. Tw. Jeśli, to istieje stała C taka, że 4. Tw. Jeśli, to istieje stała C taka, że Całka. Defiicja: Jeśli, to całką ozaczoą z fukcji f a przedziale ( x [a, b])(f(x) 0) [a, b] azywamy pole powierzchi obszaru {(x, y) R : a x b 0 y f(x)}. f(t) dt Powierzchię tę ozaczamy symbolem b. a. 3. Zasadicze Twierdzeie Rachuku Różiczkowego i Całkowego: Jeśli f jest fukcją ciągłą, to dla każdego x mamy 4. d dx x a f(t) dt = f(x) 5. Tw. Załóżmy, że. Wtedy b. a 6. Przykład: 0 x dx = 3 F (x) = f(x) f(t) dt = F(b) F(a) Prezet świąteczy Oto prezet śiąteczy, który otrzymałem od Pai Katarzyy Fojcik: /4

12 JCI Aaliza matematycza Całka - II. Jeśli a < b < c to c. a f(x)dx = b a f(x)dx + c b f(x)dx. b a f(x)dx = a b 3. Defiicja: Fukcja jest fukcją pierwotą fukcji a odciku jeśli dla każdego mamy. 4. Tw. Jeśli F jest fukcją pierwotą fukcji f to 5. Def. Całką ieozaczoą fukcji f azywamy rodzię f(x)dx wszystkich fukcji pierwotych fukcji f 6. Tw.. 7. Lista podstawowych całek ieozaczoych: jeśli a to x a dx = a+ x a+ + C 8. Całkowaie przez części: 9. Przykład: f(x)dx F f (a, b) x (a, b) F (x) = f(x) b a f(x)dx = [F(x)] b a (= F(b) F(a)). (αf(x) + βg(x))dx = α f(x)dx + β g(x)dx dx = l( x ) + C x e x dx = e x + C si(x)dx = cos(x) + C cos(x)dx = si(x) + C x dx = arcsi(x) + C dx = arcta(x) + C +x f gdx = f g fg dx xe x dx = x(e x ) dx = xe x x e x dx = xe x e x dx = xe x e x + C = (x )e x + C 0. Całkowaie przez podstawieie: YouTube, YouTube from MIT si(x + )dx u = x +. Przykład: chcemy obliczyć. Stosujemy podstawieie. du Mamy =, co odczytujemy jako du = dx, czyli dx = du. Zatem dx si(x + )dx = si(u) du = si(u)du = ( cos(u)) + C = cos(x + ) + C /4

13 JCI Aaliza matematycza [3.0.06] Całka - III. R 4. 0 R x dx = = πr. Wiosek: koło o promieiu R ma pole πr. 3. Rozkład a ułamki proste: chcemy obliczyć całkę dx. x(3 x). Szukamy takie i, że. Po kilku krokach stwierdzamy, że takimi liczbami są 3. Liczymy 4. Mamy fukcję ciągłą a odciku. Ustalamy. Rozbijamy a odcików długości : defiiujemy.. Defiiujemy sumę dolą:. Defiiujemy sumę górą: 3. Tw (bez dowodu): 4. Graicę azywamy całką ozaczoą fukcji a przedziale 5. Przykład: dla fukcji mamy 6. Tw. Jesli dla to objętość bryły 7. Objętość kuli: 8. Objętość stożka: A B A = + x(3 x) x B 3 x dx = ( + dx = x(3 x) 3 x 3 x 3 A = B = 3 ( ) dx = x x f [a, b] [a, b] (b a)/) x k = a + (b a) k s (f; a, b) = k=0 if{f(x) : x k x x k+} b a S (f; a, b) = k=0 sup{f(x) : x k x x k+} b a lim s (f, a, b) = lim S (f, a, b) lim s (f, a, b) f [a, b] f(x) = x s (f, 0, ) = k=0 k więc lim s (f, 0, ) = =. f(x) 0 x [a, b] {(x, y, z) R 3 : y + z f(x)} π R ( R x ) dx = π R R π h r ( x) r dx = π( ) h 0 h ( ) = ( ( )) =, wyraża się wzorem π b. a f (x)dx R(R x )dx = π[r x x ] 3 R 4 = = πr 3 3 R 3 h 0 r h 3 x dx = π( ) [ x 3 ] h 0 = πr h. 3 [0.0.06] Całka - IV. Wzór a długość łuku:. Liczmy długość krzywej zadaej wzorem dla :. =. Teraz się bierzymy za wyliczeie całki 3. Stosujemy podstawieie Eulera; L = b a + (f (x)) dx L = 0 + (x) dx 0 + t dt 4. Po kilkuastu krokach otrzymujemy 5 5. Po podstawieiu przymujemy 3. Wzór a powierzchię bryły obrotowej: y = x x [0, ] + x dx + x = t x + x dx = (x + x + l( x + + x )) L = + log( + 5) P = π b a f(x) + (f (x)) dx 3/4

14 JCI Aaliza matematycza x 4. Powierzchia kuli o promieiu : R x si(x) 5. Przykłady całek, które ie wyrażają się przez fukcje elemetare: x dx, dx,. l(x) e x dx 6. Całkowaie umerycze 7. Fukcja, która ie jest całkowala w sesie Riemaa: Fukcja ta jest całkowala w sesie Lebesque'a. R π R R R x + dx = = 4πR. f(x) ={ : x Q 0 : x Q. [7.0.06] Ostati wykład Ostati wykład będziecie mieli z prof. Michałem Moraye. Dowiecie się a im o bardzo pożyteczej regule d'hospitala (bardzo ułatwiającej liczeie graic) oraz o zastosowaiu drugich pochodych do badaia fukcji. 4/4