Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019
|
|
- Sabina Sobczyk
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019
2 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda.
3 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Warszawa jest stolic Polski. prawda.
4 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Warszawa jest stolic Polski. prawda = 8. prawda.
5 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Warszawa jest stolic Polski. prawda = 8. prawda. 5 1 = 2. faªsz.
6 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Warszawa jest stolic Polski. prawda = 8. prawda. 5 1 = 2. faªsz. Ksi»yc jest gwiazd. faªsz.
7 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Warszawa jest stolic Polski. prawda = 8. prawda. 5 1 = 2. faªsz. Ksi»yc jest gwiazd. faªsz. Chyba pojad do Wenezueli. To nie jest zdanie logiczne.
8 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Warszawa jest stolic Polski. prawda = 8. prawda. 5 1 = 2. faªsz. Ksi»yc jest gwiazd. faªsz. Chyba pojad do Wenezueli. To nie jest zdanie logiczne. Czy masz ochot na kaw? To nie jest zdanie logiczne.
9 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Warszawa jest stolic Polski. prawda = 8. prawda. 5 1 = 2. faªsz. Ksi»yc jest gwiazd. faªsz. Chyba pojad do Wenezueli. To nie jest zdanie logiczne. Czy masz ochot na kaw? To nie jest zdanie logiczne. Przyporz dkowanie zdaniu logicznemu warto±ci logicznej nazywamy warto±ciowaniem.
10 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Warszawa jest stolic Polski. prawda = 8. prawda. 5 1 = 2. faªsz. Ksi»yc jest gwiazd. faªsz. Chyba pojad do Wenezueli. To nie jest zdanie logiczne. Czy masz ochot na kaw? To nie jest zdanie logiczne. Przyporz dkowanie zdaniu logicznemu warto±ci logicznej nazywamy warto±ciowaniem. Zadania logiczne oznacza b dziemy maªymi literami alfabetu, najcz ±ciej p, q, r i nazywa je b dziemy zmiennymi zdaniowymi.
11 Spójnik logiczny. Zªo»onym zdaniem logicznym nazywamy zdanie logiczne, które zawiera spójnik logiczny. Spójnikami logicznymi s : negacja, oznaczamy. ( p ) czytamy: nieprawda,»e p. alternatywa, oznaczamy. ( p q ) czytamy: p lub q. koniunkcja, oznaczamy. ( p q ) czytamy: p i q. implikacja, oznaczamy. ( p q ) czytamy: Je»elip, to q. równowa»no±, oznaczamy. ( p q ) czytamy: p wtedy i tylko wtedy, gdy q.
12 Spójnik logiczny. Zªo»onym zdaniem logicznym nazywamy zdanie logiczne, które zawiera spójnik logiczny. Spójnikami logicznymi s : negacja, oznaczamy. ( p ) czytamy: nieprawda,»e p. alternatywa, oznaczamy. ( p q ) czytamy: p lub q. koniunkcja, oznaczamy. ( p q ) czytamy: p i q. implikacja, oznaczamy. ( p q ) czytamy: Je»elip, to q. równowa»no±, oznaczamy. ( p q ) czytamy: p wtedy i tylko wtedy, gdy q. Warto± logiczn zdania zawieraj cego spójnik logiczny prezentuj poni»sze tabele: p ~ p p q p q p q p q p q
13 Tautologie. Formuª rachunku zda«nazywamy wyra»enie utworzone przy pomocy zmiennych zdaniowych oraz spójników logicznych, a tak»e je±li to konieczne z nawiasów.
14 Tautologie. Formuª rachunku zda«nazywamy wyra»enie utworzone przy pomocy zmiennych zdaniowych oraz spójników logicznych, a tak»e je±li to konieczne z nawiasów. Tautologi nazywamy tak formuª rachunku zda«, która zawsze przyjmuje warto± logiczn równ 1.
15 Tautologie. Formuª rachunku zda«nazywamy wyra»enie utworzone przy pomocy zmiennych zdaniowych oraz spójników logicznych, a tak»e je±li to konieczne z nawiasów. Tautologi nazywamy tak formuª rachunku zda«, która zawsze przyjmuje warto± logiczn równ 1. Zadanie. Udowodni,»e poni»sze formuªy zdaniowe s tautologiami. Prawa przemienno±ci: Rozdzielno± koniunkcji wzgl dem (p q) (q p) alternatywy: (p q) (q p) (p (q r)) ((p q) (p r). (p q) (q p). Rozdzielno± alternatywy wzgl dem Prawa ª czno±ci: koniunkcji: ((p q) r) (p (q r)) (p (q r)) ((p q) (p r))). ((p q) r) (p (q r)) Prawa de'morgana: ((p q) r) (p (q r)). ( (p q)) (( p) ( q)) Prawo podwójnego przeczenia ( (p q)) ( p q). ( ( p)) p. Prawo zaprzeczenia implikacji: Prawo wyª czonego ±rodka: (p q) (p ( q)). ( p) p.
16 Tautologie. Rozwi zanie dla (p (q r)) ((p q) (p r))). p q r q r p ( q r) p q p r ( p q) ( p r) ( p ( q r)) (( p q) ( p r))
17 Kwantykatory. Kwantykatory s to symbole matematyczne odpowiadaj ce zwrotom: "dla ka»dego x" oraz "istnieje x". Oznacza si je odpowiednio: oraz. x x
18 Kwantykatory. Kwantykatory s to symbole matematyczne odpowiadaj ce zwrotom: "dla ka»dego x" oraz "istnieje x". Oznacza si je odpowiednio: oraz. x x Symbole oraz nazywamy kwantykatorami ograniczonymi i czytamy ϕ(x) ϕ(x) odpowiednio: "dla ka»dego x maj cego wªasno± ϕ(x)..." oraz "istnieje x maj ce wªasno± ϕ(x) takie,»e..."
19 Kwantykatory. Kwantykatory s to symbole matematyczne odpowiadaj ce zwrotom: "dla ka»dego x" oraz "istnieje x". Oznacza si je odpowiednio: oraz. x x Symbole oraz nazywamy kwantykatorami ograniczonymi i czytamy ϕ(x) ϕ(x) odpowiednio: "dla ka»dego x maj cego wªasno± ϕ(x)..." oraz "istnieje x maj ce wªasno± ϕ(x) takie,»e..." Przykªady: (x 7) 2 0 czytamy: dla ka»dej liczby rzeczywistej x, (x 7) 2 0. x R
20 Kwantykatory. Kwantykatory s to symbole matematyczne odpowiadaj ce zwrotom: "dla ka»dego x" oraz "istnieje x". Oznacza si je odpowiednio: oraz. x x Symbole oraz nazywamy kwantykatorami ograniczonymi i czytamy ϕ(x) ϕ(x) odpowiednio: "dla ka»dego x maj cego wªasno± ϕ(x)..." oraz "istnieje x maj ce wªasno± ϕ(x) takie,»e..." Przykªady: (x 7) 2 0 czytamy: dla ka»dej liczby rzeczywistej x, (x 7) 2 0. x R 125 = n 5 czytamy: istnieje liczba naturalna n taka,»e 125 = n 5. n N
21 Iloczyn kartezja«ski. Denicja Przyjmujemy,»e dane s dwa zbiory X, Y oraz x X i y Y. Par uporz dkowan elementów x i y (na pierwszym miejscu x na drugim miejscu y) oznaczamy (x, y). Iloczynem kartezja«skim zbiorów X oraz Y nazywamy zbiór: XxY = {(x, y) : x X y Y }.
22 Iloczyn kartezja«ski. Denicja Przyjmujemy,»e dane s dwa zbiory X, Y oraz x X i y Y. Par uporz dkowan elementów x i y (na pierwszym miejscu x na drugim miejscu y) oznaczamy (x, y). Iloczynem kartezja«skim zbiorów X oraz Y nazywamy zbiór: XxY = {(x, y) : x X y Y }. Przykªady. y y 4 y < 0,1 > x < 2,4) 4 < 2,4 > x < 2,4 > x 2 4 x
23 Relacje. Denicja Ka»dy podzbiór ϱ XxX nazywamy relacj w zbiorze X. Zapis xϱy oznacza,»e (x, y) ϱ.
24 Relacje. Denicja Ka»dy podzbiór ϱ XxX nazywamy relacj w zbiorze X. Zapis xϱy oznacza,»e (x, y) ϱ. Denicja Relacj w zbiorze X nazywamy: zwrotn xϱx. x X symetryczn xϱy yϱx. przechodni x,y X ((xϱy yϱz) xϱz). x,y,z X Relacj, która jest zwrotna, symetryczna i przechodnia nazywamy relacj równowa»no±ci.
25 Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia.
26 Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3
27 Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3
28 Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3 +( x)
29 Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3 +( x) x 3 y x + 3
30 Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3 +( x) x 3 y x + 3 ( 1)
31 Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3 +( x) x 3 y x + 3 ( 1) x + 3 y x 3
32 Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3 +( x) x 3 y x + 3 ( 1) x + 3 y x 3 x 3 y x + 3
33 Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3 +( x) x 3 y x + 3 ( 1) x + 3 y x 3 x 3 y x y 3 < 2,4 > x < 2,4 > 3 x
34 Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3 +( x) x 3 y x + 3 ( 1) x + 3 y x 3 x 3 y x + 3 Relacja jest zwrotna, bo x x = 0 3 x R 3 y 3 < 2,4 > x < 2,4 > 3 x
35 Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3 +( x) x 3 y x + 3 ( 1) x + 3 y x 3 x 3 y x + 3 Relacja jest zwrotna, bo jest symetryczna, bo x,y R x R x x = 0 3 x y = y x 3 y 3 < 2,4 > x < 2,4 > 3 x
36 Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3 +( x) x 3 y x + 3 ( 1) x + 3 y x 3 x 3 y x + 3 Relacja jest zwrotna, bo jest symetryczna, bo x,y R x R x x = 0 3 x y = y x nie jest przechodnia bo na przykªad: , 25 3, ale 4 0, 25 > 3 3 y 3 < 2,4 > x < 2,4 > 3 x
37 Relacje. W przypadku gdy zbiór X jest zbiorem zªo»onym ze sko«czonej liczby elementów wygodnie jest opisa relacj przy pomocy tabeli.
38 Relacje. W przypadku gdy zbiór X jest zbiorem zªo»onym ze sko«czonej liczby elementów wygodnie jest opisa relacj przy pomocy tabeli. Przyklad.Dana jest relacja w zbiorze X = {5, 6, 7, 8, 9}. x y Sprawdzi czy relacja jest zwrotna, symetryczna lub przechodnia. (1 na skrzy»owaniu elementów x i y oznacza xϕy, w przeciwnym razie wstawiono 0.)
39 Relacje. W przypadku gdy zbiór X jest zbiorem zªo»onym ze sko«czonej liczby elementów wygodnie jest opisa relacj przy pomocy tabeli. Przyklad.Dana jest relacja w zbiorze X = {5, 6, 7, 8, 9}. x y Sprawdzi czy relacja jest zwrotna, symetryczna lub przechodnia. (1 na skrzy»owaniu elementów x i y oznacza xϕy, w przeciwnym razie wstawiono 0.) Relacja nie jest zwrotna bo (5ϱ5).
40 Relacje. W przypadku gdy zbiór X jest zbiorem zªo»onym ze sko«czonej liczby elementów wygodnie jest opisa relacj przy pomocy tabeli. Przyklad.Dana jest relacja w zbiorze X = {5, 6, 7, 8, 9}. x y Sprawdzi czy relacja jest zwrotna, symetryczna lub przechodnia. (1 na skrzy»owaniu elementów x i y oznacza xϕy, w przeciwnym razie wstawiono 0.) Relacja nie jest zwrotna bo (5ϱ5). W przypdaku relacji opisanej przy pomocy tabeli relacja jest zwrotna, gdy na gªównej przek tnej wyst puj tylko jedynki.
41 Relacje. W przypadku gdy zbiór X jest zbiorem zªo»onym ze sko«czonej liczby elementów wygodnie jest opisa relacj przy pomocy tabeli. Przyklad.Dana jest relacja w zbiorze X = {5, 6, 7, 8, 9}. x y Sprawdzi czy relacja jest zwrotna, symetryczna lub przechodnia. (1 na skrzy»owaniu elementów x i y oznacza xϕy, w przeciwnym razie wstawiono 0.) Relacja nie jest zwrotna bo (5ϱ5). W przypdaku relacji opisanej przy pomocy tabeli relacja jest zwrotna, gdy na gªównej przek tnej wyst puj tylko jedynki. Relacja nie jest symetryczna. 5ϱ8 ale (8ϱ5) W przypdaku relacji opisanej przy pomocy tabeli relacja jest symetryczna, gdy tabela jest symetryczna wzgl dem gªównej przek tnej.
42 Relacje. W przypadku gdy zbiór X jest zbiorem zªo»onym ze sko«czonej liczby elementów wygodnie jest opisa relacj przy pomocy tabeli. Przyklad.Dana jest relacja w zbiorze X = {5, 6, 7, 8, 9}. x y Sprawdzi czy relacja jest zwrotna, symetryczna lub przechodnia. (1 na skrzy»owaniu elementów x i y oznacza xϕy, w przeciwnym razie wstawiono 0.) Relacja nie jest zwrotna bo (5ϱ5). W przypdaku relacji opisanej przy pomocy tabeli relacja jest zwrotna, gdy na gªównej przek tnej wyst puj tylko jedynki. Relacja nie jest symetryczna. 5ϱ8 ale (8ϱ5) W przypdaku relacji opisanej przy pomocy tabeli relacja jest symetryczna, gdy tabela jest symetryczna wzgl dem gªównej przek tnej. Relacja nie jest przechodnia, bo na przykªad 8ϕ9 9ϕ5 ale (8ϕ5).
43
Wyra»enia logicznie równowa»ne
Wyra»enia logicznie równowa»ne Denicja. Wyra»enia rachunku zda«nazywamy logicznie równowa»nymi, gdy maj równe warto±ci logiczne dla dowolnych warto±ci logicznych zmiennych zdaniowych. 1 Przykªady: Wyra»enia
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoLogika matematyczna (16) (JiNoI I)
Logika matematyczna (16) (JiNoI I) Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 15/16 lutego 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii zbiorów wiczenia
Spis tre±ci 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Ró»nica symetryczna 4 5 Kwantykatory 5 6 Relacje 7 7 Relacje porz dku i równowa»no±ci 8 8 Funkcje
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków. Logika formalna. Skªadnia rachunku zda« Skróty i priorytety. Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011
Podstawy matematyki dla informatyków Logika formalna Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011 Skªadnia rachunku zda«symbole (zmienne) zdaniowe (p, q, r,...), oraz znaki i s formuªami zdaniowymi.
Bardziej szczegółowoLogika intuicjonistyczna
9 listopada 2011 Plan 1 2 3 4 Plan 1 2 3 4 Intuicjonizm Pogl d w lozoi matematyki wprowadzony w 1912 L. E. J. Brouwera. Twierdzenia matematyczne powstaj dzi ki intuicjom naszego umysªu. Skupienie si na
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoW pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Bardziej szczegółowoMetoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych
1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera
Bardziej szczegółowoLogika pierwszego rz du. Sposób u»ycia. Tautologie, sposoby u»ywania logiki pierwszego rz du, zwi zki z j zykiem naturalnym
Logika pierwszego rz du. Sposób u»ycia. Tautologie, sposoby u»ywania logiki pierwszego rz du, zwi zki z j zykiem naturalnym Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ)
Bardziej szczegółowoRozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:
Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoPrzykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Bardziej szczegółowohttp://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/wstep.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wyksztaªcenie u studentów podstaw j zyka matematycznego, wypracowanie podstawowych umiej tno- ±ci przeprowadzania
Bardziej szczegółowoWstęp do matematyki listy zadań
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Wstęp do matematyki
Bardziej szczegółowoMatematyczne podstawy kognitywistyki
Matematyczne podstawy kognitywistyki Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Rachunek zbiorów Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne podstawy kognitywistyki Rachunek zbiorów 1
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
18 maja 2013 Twierdzenie Halla o maª»e«stwach Problem Wyobra¹my sobie,»e mamy m dziewczyn i pewn liczb chªopców. Ka»da dziewczyna chce wyj± za m», przy czym ka»da z nich godzi si po±lubi tylko pewnych
Bardziej szczegółowoRelacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)
Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowodet A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Bardziej szczegółowoMacierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoW poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoistnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoAutomorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego
Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego Krzysztof Kapulkin IX Warsztaty Logiczne 5 12 lipca 2008 1 Wst p W referacie tym przedstawiamy wyniki uzyskane przez Andrzeja Ehrenfeuchta i Andrzeja
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoSpis tre±ci. 1 Gradient. 1.1 Pochodna pola skalarnego. Plan
Plan Spis tre±ci 1 Gradient 1 1.1 Pochodna pola skalarnego...................... 1 1.2 Gradient................................ 3 1.3 Operator Hamiltona......................... 4 2 Ró»niczkowanie pola
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne. J zykoznawstwo i Informacja Naukowa I, UAM, Jerzy Pogonowski
Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne J zykoznawstwo i Informacja Naukowa I, UAM, 2002 Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Dwa zestawy pyta«egzaminacyjnych z Logiki Matematycznej:
Bardziej szczegółowoZadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0.in». 6 pa¹dziernika Oznaczenia. B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«:
Liczby zespolone Oznaczenia B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: N = {1, 2, 3,...}- zbiór liczb naturalnych, Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}- zbiór liczb caªkowitych, Q = { a b : a, b Z, b 0}- zbiór
Bardziej szczegółowoWST P DO MATEMATYKI WSPÓŠCZESNEJ. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2004/05
WST P DO MATEMATYKI WSPÓŠCZESNEJ Grzegorz Szkibiel Jesie«2004/05 Spis tre±ci 1 Elementy rachunku funkcyjnego 4 1.1 Elementy rachunku zda«..................... 4 1.2 Kwantykatory jako funktory zdaniotwórcze..........
Bardziej szczegółowoMatematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoPreliminaria logiczne
Preliminaria logiczne Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR Jerzy Pogonowski (MEG) Preliminaria
Bardziej szczegółowoGranular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY
Granular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY PB 2 PB 1 Projekt z wyznaczania reduktów zbioru Liczba osób realizuj cych projekt: 1-2 osoby 1. Wczytanie danych w formatach arf,
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoAlgebra Boole'a i logika cyfrowa
Algebra Boole'a i logika cyfrowa 7.X. 2009 1 Aksjomatyczna denicja algebry Boole'a Do opisywanie ukªadów cyfrowych b dziemy u»ywali formalizmu nazywanego algebr Boole'a. Formalnie algebra Boole'a to struktura
Bardziej szczegółowoMacierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n
Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoZiemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoNaukoznawstwo (Etnolingwistyka V)
Naukoznawstwo (Etnolingwistyka V) Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 25 listopada 2006 Jerzy Pogonowski (MEG) Naukoznawstwo (Etnolingwistyka V) 25 listopada
Bardziej szczegółowoNp. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Bardziej szczegółowoZadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na
Bardziej szczegółowoWybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Bardziej szczegółowoMaszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne
Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41
Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoKLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu
➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowo2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne
2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
Bardziej szczegółowoRównowano modeli oblicze
Równowano modeli oblicze Interpretacja rachunku 1 2 Twierdzenie Gödla o pełnoci Interpretacja jzyka FOL W 1931 K. Gödel udowodnił, e Jeeli formuła jest prawdziwa, to istnieje dowód tej formuły. Problem
Bardziej szczegółowo*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów
*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów
Bardziej szczegółowoJest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Bardziej szczegółowoPytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
Bardziej szczegółowoTeoretyczne Podstawy Informatyki
Instytut Informatyki Stosowanej Teoretyczne Podstawy Informatyki Wykªad 2. J zyki i gramatyki formalne Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Teoretyczne Podstawy Informatyki, Wykªad 2. J zyki i gramatyki
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna - wykªad (plik nieocjalny)
Matematyka dyskretna - wykªad (plik nieocjalny) A. Zembrzuski, P.Jankowski February 3, 009 0.1 Literatura 1. Kennweth A. Ross, Charles R.B. Wright, Matematyka dyskretna, PWN 006. Joanna Grygiel, Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowo(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];
Logika 1. Czy następujące sformułowania są zdaniami: (a) Wszystkie koty w Polsce są czarne. (b) Jak to udowodnić? (c) x + y = 7. (d) Jeśli x 2 = y 2, to x = y. (e) Jeśli x = y, to x 2 = y 2. (f) 2 n +
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoLista 1 (elementy logiki)
Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Zdania proste i złożone
Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoLogika dla matematyków i informatyków Wykªad 1
Logika dla matematyków i informatyków Wykªad 1 Stanisªaw Goldstein Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ 16 lutego 2016 Wszech±wiat matematyczny skªada si wyª cznie ze zbiorów. Liczby naturalne s zdeniowane
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowoMacierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoInformatyka, matematyka i sztuczki magiczne
Informatyka, matematyka i sztuczki magiczne Daniel Nowak Piotr Fulma«ski instagram.com/vorkof piotr@fulmanski.pl 18 kwietnia 2018 Table of contents 1 O czym b dziemy mówi 2 Dawno, dawno temu... 3 System
Bardziej szczegółowoNieklasyczna analiza skªadowych gªównych
* Wydziaª Matematyki i Informatyki UAM Pozna«Referat ten jest przygotowany na podstawie wspólnych wyników uzyskanych z Karolem Der gowskim z Instytutu Zarz dzania Pa«stwowej Wy»szej Szkoªy Zawodowej w
Bardziej szczegółowoWykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26
Wykład 1 Informatyka Stosowana 3 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 1 / 26 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) ( Egzamin) 30h (w semetrze letnim ) ( Egzamin) Zajęcia praktyczne:
Bardziej szczegółowoWykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa
Wykªad 2. Tranformata Laplace'a i metoda operatorowa Tranformata Laplace'a Dla odpowiednio okre±lonej klay funkcji zdeniujemy operator L, nazywany tranformat Laplace'a, okre±lony wzorem L[ f ]() = f(t)e
Bardziej szczegółowo