W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji

Transkrypt

1 W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt uogólniony rodziny indeksowanej {A t } t T podzbiorów D to zbiór t T A t = {f :T D t T.f (t) A t } f t T A t Dom(f ) = T t T. f (t) A t. Relacje równowa»no±ci Dwuargumentowa relacja r w zbiorze A jest relacj równowa»no±ci wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwrotna, symetryczna i przechodnia: x A (x r x); x, y A (x r y y r x); x, y, z A(x r y y r z x r z). Zbiór (typ) ilorazowy A/r = {a/r a Dom(r)} a/r = b/r wtedy i tylko wtedy, gdy a r b. Klasy abstrakcji Przykªad: J dro przeksztaªcenia f : A B: [x] r = {y A x r y}. x, y ker(f ) f (x) = f (y). Uwaga: x [x] r.

2 Wªasno±ci klas abstrakcji Warunki równowa»ne Fakt: Nast puj ce warunki s równowa»ne: a) x r y; a) x r y; d) [x] r [y] r ; e) [x] r = [y] r. d) [x] r [y] r ; e) [x] r = [y] r. (d) (e) Skoro [x] r [y] r, to jest takie z,»e z [x] r [y] r. Wtedy z r x oraz z r y. (a) (b) Je±li x r y to x {z z r y} = [y] r. (b) (c) Je±li x [y] r, to z denicji x r y i z symetrii y r x. Zatem y {z z r x} = [x] r. (c) (d) Skoro y [x] r oraz y [y] r, to y [x] r [y] r. Niech v [x] r. Wtedy v r x, x r z, oraz z r y. Z przechodnio±ci v r y, czyli v [y] r. Pokazali±my,»e [x] r [y] r. Podobnie w przeciwn stron, a wi c [x] r = [y] r. (e) (a) Je±li [x] r = [y] r, to x [y] r, a wi c x r y. Wªasno±ci klas abstrakcji Zasada abstrakcji Podziaª zbioru A to rodzina P P(A) o wªasno±ciach: 1) x [x] r. 2) Nast puj ce warunki s równowa»ne: p(p P p ); p, q(p, q P (p = q p q = )); a) x r y ; P = A, czyli x(x A p P (x p)). Twierdzenie (Zasada abstrakcji) d) [x] r = [y] r ; e) [x] r [y] r. Wniosek: [x] r = [y] r x/r = y/r Moraª: Mo»na uwa»a,»e A/r to zbiór klas abstrakcji. 1) Je»eli r jest relacj równowa»no±ci w A, to A/ r jest podziaªem zbioru A. 2) Je»eli P jest podziaªem zbioru A, to istnieje taka relacja równowa»no±ci r w A,»e P = A/ r. Dowód:

3 Zasada abstrakcji: Ka»dy podziaª zbioru A jest postaci A/ r. 1. r jest relacj równowa»no±ci; 2. Zwrotno± i symetria s ªatwe. Przechodnio± : Przypu± my,»e x r y i y r z. Wtedy s takie p, q P,»e x, y p oraz y, z q. Ale wtedy p q, wi c p = q. Skoro wi c x p i z q = p, to x r z. Zasada abstrakcji: Ka»dy podziaª zbioru A jest postaci A/ r je±li x p P, to [x] r = p. ([x] r p) Niech x p P i niech t [x] r. Wtedy x, t q dla pewnego q P. Ale q = p bo x p q. Zatem t p. (p [x] r ) Je±li t p, to t r x (bo x p) wi c t [x] r. Zasada abstrakcji: Ka»dy podziaª zbioru A jest postaci A/ r. 1. r jest relacj równowa»no±ci; 2. je±li x p P, to [x] r = p. Poka»emy,»e P = A/ r. ( ): Je±li p P, to p, wi c jest x p. Wtedy p = [x] r na mocy (2), wi c p A/ r. ( ): Dla dowolnego x A istnieje takie p P,»e x p. Wtedy [x] r = p. A zatem ka»da klasa [x] r A/ r nale»y do P. Dwa naturalne przeksztaªcenia Kanoniczna surjekcja κ : Dom(r) D/ r, κ(a) = [a] r ; Funkcja wyboru σ : D/ r D σ([a] r ) [a] r, Wtedy [σ(k)] r = K dla ka»dego K D/ r, czyli κ σ = id D/r.

4 Pewnik wyboru Zakªadamy,»e: Zawsze istnieje funkcja wyboru σ : D/ r D, o wªasno±ci σ([a] r ) [a] r. (nawet, gdy nie mo»emy jej zdeniowa ) Denicja Funkcja wyboru dla dowolnej rodziny R: taka funkcja f,»e f (A) A, gdy A R. Fakt (ªatwy) Dla dowolnej rodziny R zbiorów niepustych i parami rozª cznych istnieje funkcja wyboru. Pewnik wyboru Zbiór S X jest selektorem dla rodziny X, gdy S ma dokªadnie po jednym elemencie wspólnym z ka»dym zbiorem rodziny X, tj.: a X t a (S a = {t}). Wiemy,»e: dla dowolnej rodziny R niepustych zbiorów parami rozª cznych istnieje funkcja wyboru. Wniosek Dla dowolnej rodziny X niepustych zbiorów parami rozª cznych istnieje selektor. Dowód: Selektorem jest zbiór warto±ci funkcji wyboru. Dowód: Taka rodzina tworzy podziaª swojej sumy. Pewnik wyboru Wnioski Fakt (ªatwy) Dla dowolnej rodziny R zbiorów niepustych i parami rozª cznych istnieje funkcja wyboru. Fakt (trudn... iejszy) Dla dowolnej rodziny R zbiorów niepustych istnieje funkcja wyboru. Dowód: Zamiast A R bierzemy X A = { x, A x A}. Zbiory X A s parami rozª czne, wi c rodzina {X A A R} ma funkcj wyboru σ. Wtedy λa. π 1 (σ(x A )) jest funkcj wyboru dla R. Twierdzenie Je±li {A t } t T jest rodzin indeksowan zbiorów niepustych, to produkt Π t T A t jest niepusty. Dowód: Niech ϕ b dzie funkcj wyboru dla {A t t T }, i niech f (t) = ϕ(a t ), dla t T. Wtedy f t T A t.

5 Twierdzenie Zaªó»my,»e A. 1) Je±li f : A 1 1 B to istnieje g : B na A,»e g f = id A. 2) Je±li g : B na A to istnieje f : A 1 1 B,»e g f = id A. Dowód: (1) Jest α A i jest f 1 : Rg(f ) 1 1 A. na Dla b B przyjmujemy: { f 1 (b), je±li b Rg(f ); g(b) = α, w przeciwnym przypadku. (2) Dla a A, niech F a = g 1 ({a}). Zbiory F a s niepuste, wi c produkt Π a AF a jest niepusty; niech f Π a AF a. Wtedy g(f (a)) = a, dla a A, bo f (a) F a. Ponadto f : A 1 1 B, bo F a B s rozª czne. Wniosek Je±li A, to nast puj ce warunki s równowa»ne: 1) Istnieje funkcja f : A 1 1 B; 2) Istnieje funkcja g : B na A.