Algebra linowa w pigułce

Transkrypt

1 Algebra Algebra linowa w pigułce Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk Algebra p. 1

2 Algebra linowa w pigułce Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem Algebra p. 2

3 Układ równań linowych { x+2y = 6, 3x y = 4 Algebra p. 3

4 Układ równań linowych { x+2y = 6, 3x y = 4 { y = 2, x = 2 (1) Algebra p. 3

5 Drugi układ { x+2y = 6, 3x+6y = 4 Algebra p. 4

6 Drugi układ { x+2y = 6, 3x+6y = 4 0 = 14? (2) Algebra p. 4

7 Trzeci układ { x+2y = 6, 3x+6y = 18 Algebra p. 5

8 Trzeci układ { x+2y = 6, 3x+6y = 18 0 = 0? (3) Algebra p. 5

9 Układ (2) jest sprzecznym brak rozwiazań { x+2y = 6, 3x+6y = 4 Algebra p. 6

10 Układ (3) nie jest układem { x+2y = 6, 3x+6y = 18 Algebra p. 7

11 Układ (3) nie jest układem { x+2y = 6, 3x+6y = 18 x+2y = 6 Algebra p. 7

12 Układ (3) nie jest układem { x+2y = 6, 3x+6y = 18 x+2y = 6 wiele rozwiazań: x = 2, y = 2 x = 4, y = 1 x = 6, y = 0 x = 1 2, y = 11 4 Algebra p. 7

13 Układ (3) nie jest układem { x+2y = 6, 3x+6y = 18 x+2y = 6 wiele rozwiazań: x = 2, y = 2 x = 4, y = 1 x = 6, y = 0 x = 1 2, y = 11 4 x = 1, y = 1 nie jest rozwiazaniem Algebra p. 7

14 Układ (3) nie jest układem { x+2y = 6, 3x+6y = 18 x+2y = 6 wiele rozwiazań: x = 2, y = 2 x = 4, y = 1 x = 6, y = 0 x = 1 2, y = 11 4 x = 1, y = 1 nie jest rozwiazaniem Rozwiazanie ogólne x = a, y = 1 2 (6 a) Algebra p. 7

15 Podsumowanie Układ może: mieć jedyne rozwiazanie nie mieć rozwiazań mieć nieskończenie wiele rozwiazań Układ nie może mieć dokładnie 2 rozwiazań Algebra p. 8

16 Większa ilość niewiadomych x+4y 2z +3t = 9, 2x y z t = 4, 5x+7y +z 2t = 7, 3x 2y 8z +5t = 21. 2R 1 +3R 2 R 3 sprzeczność Algebra p. 9

17 Większa ilość niewiadomych x+4y 2z +3t = 9, 2x y z t = 4, 5x+7y +z 2t = 7, 3x 2y 8z +5t = 23. 2R 1 +3R 2 R 3 trzy równania, cztery niewiadome, układ nieokreślony Algebra p. 10

18 Większa ilość niewiadomych { x+y +z +t = 1, 2x+2y +2z +2t = 0. Równań więcej, niż niewiadomych, układ sprzeczny Algebra p. 11

19 Poglad geometryczny. Układ (1) 3x y = 4 x+2y = 6 Algebra p. 12

20 Poglad geometryczny. Układ (2) x+2y = 6 3x+6y = 4 Algebra p. 13

21 Poglad geometryczny. Układ (3) x+2y = 6 3x+6y = 18 Algebra p. 14

22 Ogólne podejście geometryczne Dwie płaszczyzny (dwa układy współrzędnych): (x,y) oraz (X,Y). Każdemu punktowi (x, y) przyporzadkujemy punkt (X,Y), taki że { x+2y = X, 3x y = Y. Żeby rozwiazać układ (1), trzeba znaleźć taki punkt (x,y), że dla odpowiedniej pary (X,Y) spełniona była równość (X,Y) = (6,4). Algebra p. 15

23 Przekształcenie(x, y) (X, Y) (x,y) (X,Y) (0,0) (0,0) (0, 1) (2, 1) (0, 2) (4, 2) (1,0) (1,3) (1,1) (3,2) (1,2) (5,1) (2,0) (2,6) (2,1) (4,5) (2,2) (6,4) Algebra p. 16

24 Geometria przekształcenia(x, y) (X, Y) Algebra p. 17

25 Analiza układu (1) Obrazem kwadratów sa równoległoboki. Każdy punkt na płaszczyźnie (X,Y) jest obrazem pewnego punktu (x, y) dla każdych (X, Y) układ będzie miał rozwiazanie. Różne (x, y) przechodza do różnych (X,Y) rozwiazanie jest jednoznaczne. Algebra p. 18

26 Geometria przekształcenia dla równań (2) i (3) { x+2y = X, 3x+6y = Y. Algebra p. 19

27 Analiza układów (2) i (3) Obrazem całej płaszczyzny jest prosta. (6,4) nie leży na tej prostej układ (2) nie ma rozwiazań. (6,18) leży na prostej układ (3) ma rozwiazania. Cała prosta x + 2y = 6 zostaje spłaszczona do punktu (6,18) układ (3) ma nieskończenie wiele rozwiazań. Algebra p. 20

28 Analiza ogólnego układu { ax+by = X cx+dy = Y Właściwości układu zależa od właściwości przekształcenia (x,y) (ax+by,cx+dy) ax+by +cz = X dx+ey +fz = Y gx+hy +kz = Z (x,y,z) (ax+by +cz,dx+ey +fz,gx+hy +kz) Algebra p. 21

29 Język teorii mnogości { ax+by = X, cx+dy = Y. Układ ma rozwiazanie (X, Y) należy do obrazu przekształcenia T(x,y) (ax+by,cx+dy) (X,Y) Im(T) Algebra p. 22

30 Jaki może być obrazt? Płaszczyzna układ (1) Prosta układy (2) oraz (3) Algebra p. 23

31 Jaki może być obrazt? Płaszczyzna układ (1) Prosta układy (2) oraz (3) Punkt układ trywialny: { 0x+0y = X, 0x+0y = Y. Algebra p. 23

32 Obraz przekształcenia a przestrszeń rozwiazań Obraz płaszczyzna prosta punkt Przestrzeń rozwiazań punkt prosta płaszczyzna Algebra p. 24

33 WR 3 Obraz R 3 Przestrzeń rozwiazań punkt płaszczyzna prosta prosta płaszczyzna punkt R 3 W R n : suma wymiaru obrazu przekształcenia i wymiaru przestrzeni rozwiazań układu równa jest n Algebra p. 25

34 Macierze Niech dane będzie przekształcenie T(x, y) = (X, Y), gdzie { ax+by = X, cx+dy = Y. ( ) a b Macierz przekształcenia: c d Wektory-kolumny: ( x y ), ( X Y ). Algebra p. 26

35 Układ w postaci macierzowej ( ) ( ) ( ) a b x X =, gdzie c d y Y ( ) a b iloczynem macierzy c d ( ) ax+by cx+dy i kolumny ( ) x y jest kolumna dwie kolumny sa równe, jeżeli równę sa ich odpowiedne elementy Algebra p. 27

36 Układ trzech równań o trzech niewiadomych a b c d e f g h k x y = z X Y Z Algebra p. 28

37 Mnożenie przekształceń Niech dane będzie drugie { przekształcenie, AX +BY = X, U(X,Y) = (X,Y), gdzie CX +DY = Y. ( ) ( ) ( ) A B X X = C D Y Y czyli Iloczynem przekształceń T i U jest przekształcenie złożone UT(x,y) = U(X,Y) = (X,Y) Algebra p. 29

38 Macierz iloczynu przekształceń X = AX +BY = A(ax+by)+B(cx+dy) = (Aa+Bc)x+(Ab+Bd)y Y = CX +DY = C(ax+by)+D(cx+dy) = (Ca+Dc)x+(Cb+Dd)y ( ) ( ) ( ) Aa+Bc Ab+Bd x X = Ca+Dc Cb+Dd y Y ( ) ( )( ) ( ) A B a b x X = C D c d y Y Algebra p. 30

39 Definicja iloczynu macierzy ( ) A B C D ( ) a b c d = ( ) Aa+Bc Ab+Bd Ca+Dc Cb+Dd Algebra p. 31

40 Przykład Niech G będzie symetria względem osi Ox Niech H obrotem dookoła środka współrzędnych o kat 90 zgodnie ze wskazuwka zegara. ( ) G(x,y) = (x, y), macierz G = ( ) H(x,y) = (y, x), macierz H = ( ) ( ) ( ) Macierz GH = = Algebra p. 32

41 Obrót Niech R θ będzie obrotem o kat θ. ( ) cosθ sinθ Macierz R θ =. sinθ cosθ Niech R ϕ będzie obrotem o kat ϕ. ( ) cosϕ sinϕ Macierz R ϕ =. sinϕ cosϕ Iloczyn obrotów R θ R ϕ = R θ+ϕ ( ) cos(θ +ϕ) sin(θ +ϕ) Macierz R θ+ϕ = sin(θ +ϕ) cos(θ +ϕ) Algebra p. 33

42 Obrót Iloczyn macierzy ( ) ( ) cosθ sinθ cosϕ sinϕ R θ R ϕ = = sinθ cosθ sinϕ cosϕ ( ) cosθcosϕ sinθsinϕ cosθsinϕ sinθcosϕ sinθcosϕ+cosθsinϕ sinθcosϕ+cosθcosϕ ( ) cos(θ +ϕ) sin(θ +ϕ). sin(θ +ϕ) cos(θ +ϕ) = Wniosek: cos(θ +ϕ) = cosθcosϕ sinθsinϕ, sin(θ +ϕ) = sinθcosϕ+cosθsinϕ. Algebra p. 34

43 Wektoryn-wymiarowe Zmiana oznazceń ( ) ( ) x x 1 y x y z x 2 x 1 x 2 x 3 x 1. x n x 1. x n Algebra p. 35

44 Dodawanie wektorów ( ) ( ) ( ) x z x+z + = y t z +t ( ) ( ) ( ) x 1 y 1 x 1 +y 1 + = x 2 y 2 x 2 +y 2 x 1 y 1 x 1 +y =. x n y n x n +y n Algebra p. 36

45 Mnożenie wektorów przezα R ( ) ( ) x αx α = y αy ( ) ( ) x 1 αx 1 α = x 2 αx 2 x 1 αx 1 α. =. x n αx n Algebra p. 37

46 Macierzen-wymiarowe ( ) a b c d ( ) a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 1n..... a n1 a nn Algebra p. 38

47 Mnożenie macierzy przez wektor ( )( ) ( ) a b x ax+by = c d y cx+dy ( )( ) ( ) a 11 a 12 x 1 a 11 x 1 +a 12 x 2 = a 21 a 22 x 2 a 21 x 1 +a 22 x 2 a 11 a 1n x 1 a 11 x 1 + +a 1n x n =. a n1 a nn x n a n1 x 1 + +a nn x n Algebra p. 39

48 Wygodne oznaczenie dla sumy x 1 + +x n = n x i i=1 Algebra p. 40

49 Wygodne oznaczenie dla sumy x 1 + +x n = n x i i=1 a 11 x 1 + +a 1n x n = n i=1 a 1i x i Algebra p. 40

50 Wygodne oznaczenie dla sumy x 1 + +x n = n x i i=1 a 11 x 1 + +a 1n x n = n a 11 a 1n..... a n1 a nn x 1. x n i=1 = a 1i x i n a 1i x i. n a ni x i i=1 i=1 Algebra p. 40

51 Abstrakcyjna przestrzeń wektorowa Zbiór X, na którym określone sa dwa dzalania dodawanie + : X X X (X,Y) X +Y mnożenie przez liczbę rzeczywista (skalowanie) : R X X (α,x) α X(= αx) nawyza się przestrzenia wektorowa (liniowa), jeżeli spełnione sa warunki: Algebra p. 41

52 Przestrzeń wektorowa. Dodawanie Dodawanie wektorów jest łaczne: X,Y,Z X zachodzi (X +Y)+Z = X +(Y +Z) Dodawanie wektorów jest przemienne: X,Y X jest X +Y = Y +X Dodawanie wektorów ma element neutralny: 0 X, nazywany wektorem zerowym, że X +0 = X dla dowolnego X X. Dodawanie wektorów pozwala na odejmowanie: X X istnieje element X X, nazywany wektorem przeciwnym do X, taki, że X +X = 0 (wygodne oznaczenie: X = X). Algebra p. 42

53 Przestrzeń wektorowa. Skalowanie Skalowanie jest rozdzielne względem dodawania wektorów: λ R X,Y X zachodzi α(x +Y) = αx +αy Skalowanie jest rozdzielne względem dodawania liczb: α,β R X X jest (α+β)x = αx +βx Skalowanie jest zgodne z mnożeniem liczb: α,β R X X jest α(βx) = (αβ)x X X jest 1 X = X. Algebra p. 43

54 Przestrzeń wektorowa. Przykłady R n Wielomiany R[x] Wielomiany dwóch zmiennych R[x,y] Szeregi potęgowe R[[x]] a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + = a i x i i=0 Algebra p. 44

55 Przekształcenia liniowe Przekształcenie L : X X, X L(X) = LX nazywa się liniowym, jeżeli: X,Y X spełniono jest L(X +Y) = LX +LY α R, X X spełniono jest L(αX) = αlx Algebra p. 45

56 Google Uporzadkować strony (wyniki wyszukiwania) Ważność strony P jest W(P) Niech strona P j ma l i odnośników Jeżeli P j ma link na P i, strona P j przekazuje W(P j )/l j swojej ważności na P i Ważność P i wyniesie W(P i ) = W(P j ), l j P j B i gdzie B i jest zbiorem stron z odnośnikami do P i Algebra p. 46

57 Google podejście algebraiczne Macierz hiperlinków H: h ij = 1, jeżelip l j B i j 0 w pozostałych przypadkach hij > 0 i h ij = 1 H jest macierz Wektor ważności W = a stochastyczna w 1. w n Algebra p. 47

58 Google Równanie ważności W i = W j l j P j B i = n j=1 h ij W j Równanie ważności W = HW W jest wektorem stacjonarnym przekształcenia H Dla stochastycznej macierzy istnieje jednoznacznie określony wektor stacjonarny o dodatnich współrzędnych Algebra p. 48

59 Google przykład H = Algebra p. 49

60 Google ważności wyników W = 0,0600 0,0675 0,0300 0,0675 0,0975 0,2025 0,1800 0,2950 Algebra p. 50

61 Literatura Literatura [1] IAN STEWART: Concepts of Modern Mathematics, Penguin Books, [2] DAVID AUSTIN: How Google Finds Your Needle in the Web s Haystack, AMS Feature Column, December 2006, Algebra p. 51