Ekonometria. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator KMNK. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

Transkrypt

1 Ekonometria Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 1 / 16

2 Agenda 1 Literatura Zaliczenie przedmiotu 2 Model ekonometryczny 3 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 2 / 16

3 Literatura Literatura Zaliczenie przedmiotu Literatura polskojęzyczna Gruszczyński M., Kuszewski T. i Podgórska M. (red), (2010), Ekonometria i badania operacyjne. Podręcznik dla studiów licencjackich., PWN, Warszawa. Literatura angielskojęzyczna Greene W.H., (2011), Econometric Analysis, Prentice Hall. Hill R.C., Griffiths W. E. i Lim G.C, (2011), Principle of Econometrics, Willey. Wooldridge J. M., (2012), Introductory Econometrics: A Modern Approach, Cengage Learning. Oprogramowanie MS Excel. Gretl [wersja polskojęzyczna, wersja angielskojęzyczna]. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 3 / 16

4 Literatura Zaliczenie przedmiotu Oficjalne sprawdziany ( 2): 26 kwietnia i 31 maja. Na każdym sprawdziane można uzyskać 6 pkt. Punkty autorskie (6 pkt.) Łącznie z ćwiczeń można uzyskać 18 pkt. Egzamin w sesji Na egzaminie można uzyskać 32 pkt. Aby podejść do egzaminu należy uzyskać przynajmniej 6 pkt. z ćwiczeń. Skala ocen liczba punktów do 24 od 24 od 30 od 35 od 40 od 45 ocena niedostateczna dostateczna dostateczna plus dobra dobra plus bardzo dobra Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 4 / 16

5 Model ekonometryczny Ekonometria to zbiór metod statystycznych i matematycznych pozwalających na empiryczną weryfikację teorii ekonomicznej. Inaczej Ekonometria pozwala na pomiar siły (istotności) i kierunku zjawisk i procesów ekonomicznych. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 5 / 16

6 Model ekonometryczny Rodzaje danych wykorzystywanych w ekonometrii/naukach ekonomicznych Dane przekrojowe Szeregi czasowe Dane panelowe Konsekwencje Rodzaj danych ma znaczenie w wyborze zarówno i) postaci funkcyjnej oraz ii) metody estymacji. Rodzaje zmiennych: Zmienna ilościowa i jakościowa. Zmienna bieżąca i opóźniona (szeregi czasowe; dane panelowe) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 6 / 16

7 Model ekonometryczny Model ekonometryczny Załóżmy, że zmienna y jest funkcją x 1, x 2,..., x k, t. że y = F (x 1, x 2,..., x k ) (1) Zauważmy, że równanie (1) określa funkcję deterministyczną. Wprowadźmy, element losowy, tj. ε: y = f (x 1, x 2,..., x k, ε) (2) Szczególnym przypadkiem (1) jest liniowa postać. Wtedy mowa o modelu regresji liniowej: gdzie: y = β 0 + β 1x 1 + β 2x β k x k + ε (3) y zmienna objaśniana, (endogeniczna). x 1,..., x k zmienne objaśnianające, (egzogeniczne). β 1,..., β k parametry strukturalne modelu. β 0 wyraz wolny. ε składnik losowy. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 7 / 16

8 Oznaczenia Zapis ogólny: Zapis macierzowy gdzie y = y = β 0 + β 1x 1 + β 2x β k x k + ɛ (4) y 1 y 2. y n X = β = y = Xβ + ε (5) β 0 β 1. β k 1 x 1,1 x 1,2... x 1,k 1 x 2,1 x 2,2... x 2,k x n,1 x n,2... x n,k ε 1 ε 2 ε =. ε n k liczba zmiennych objaśniających; n liczba obserwacji. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 8 / 16

9 Załóżmy, że badane zjawisko można opisać modelem postaci [lub prawdziwy proces generujący zmienną y jest następujący]: y = β 0 + β 1x 1 + β 2x β k x k + ε (6) Nieznane parametry można uzyskać przy pomocy Metody Najmniejszych Kwadratów (OLS ordinary least squares). Idea tej metody polega na znalezieniu takich wartości nieznanego wektora parametrów β, który minimalizują sumę kwadratów reszt, czyli różnic pomiędzy wartościami obserwowanymi a teoretycznymi: ˆβ = arg min e T e (7) β gdzie e = y ŷ = y X ˆβ. Ostatecznie estymator OLS (MNK) dla wektora β: ˆβ OLS = (X T X) 1 X T y (8) Szczegóły β a ˆβ β oznacza nieznany i prawdziwy wektor parametrów, a ˆβ jest oszacowaniem punktowym wektora parametrów. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 9 / 16

10 Załóżmy: 1 rz(x) = k + 1 n 2 Zmienne xi są nielosowe, a zatem są niezależne od składnika losowego 3 E(ɛ) = 0 4 D 2 (ε) = E(εε T ) = I σ 5 εi N (0, σ 2 ) Twierdzenie Gaussa - Markowa Estymator ˆβ uzyskany Klasyczną Metodą Najmniejszych Kwadratów jest estymatorem BLUE [best linear unbiased estimator], tj. zgodnym, nieobciążonym i najefektywniejszy w klasie liniowych estymatorów wektora β. nieobciążoność, czyli E( ˆβ) = β najefektywniejszy, czyli posiadający najmniejszą wariancję w swojej klasie zgodny, czyli lim n P( ˆβ n β ) < δ Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 10 / 16

11 Interpretacja Załóżmy, że oszacowaliśmy parametry modelu ekonometrycznego: ŷ = ˆβ 0 + ˆβ 1x 1 + ˆβ 2x ˆβ k x k (9) Interpretacja: Wzrost x i o jednostkę powoduje wzrost y o β i ceteris paribus jednostek. Uwagi: Należy pamiętać o zasadzie ceteris paribus. Oszacowanie wyrazu wolnego zazwyczaj nie ma interpretacji ekonomicznej (dlaczego?). Pułapka przyczynowości. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 11 / 16

12 Przykład [Greene, 2003] Funkcja konsumpcji została oszacowana dla gospodarki amerykańskiej w latach Wydatki konsumpcyjne (C) są objaśniane dochodem do dyspozycji (Y ) [obie zmienne w mln USD w cenach bieżących]: Ĉ = Y (10) 0.5 Konsumpcja Dochod Obserwowane wartości, wartości teoretyczne, reszty.

13 Estymacja błędów szacunku W przypadku MNK, możemy wyznaczyć estymator macierzy wariancji-kowariancji dla parametrów ˆβ OLS : gdzie S 2 ɛ = ˆD 2 ( ˆβ OLS ) = S 2 ε(x T X) 1 (11) ε T ε n (k + 1) = SSE( ˆβ OLS ) df (12) gdzie SSE( ˆβ OLS ) to suma kwadratów reszt, a df to liczba stopni swobody. Element diagonalne macierzy wariancji-kowariancji (oznaczmy jako ˆd ii), stanowią wariancję estymowanych parametrów. Zatem błąd szacunku dla i-tego parametru jest równy: S( ˆβ i) = d ii (13) Względny błąd szacunku S( ˆβ i) ˆβ i (14) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 13 / 16

14 Wyprowadzenie β OLS I Przyjmijmy zapis macierzowy oraz ustalmy liczbę obserwacji równą n oraz liczbę zmiennych objaśniających równą k. Oznaczmy: macierz zmiennych objaśniających jako X (o wymiarach (n (k + 1)); wektor zmiennej objaśnianej jako y (o wymiarach n 1), wektor parametrów modelu jako β (o wymiarach (k + 1) 1) oraz wektor nieobserwowalnego składnika losowego jako ε (o wymiarach n 1). Wtedy: y = Xβ + ε (15) Chcemy, znaleź takie wartości wektora β, które będą minimalizować odchylenie wartości obserwowanych zmiennej objaśniającej y od wartosci teoretycznych ^y. Wektor składnika, ε jest nieobserowalny, ale obserowalny jest wektor reszt e (o wymiarach n 1), taki że e = y ^y = y Xβ (16) Zawuażmy, że elementy wektora e mogą przyjmowac wartości zarówno dodatnie jak i ujemne. Dlatego minimalizowanie sumy elementów wektora e posiada pewien mankament (jaki?). Przyjmijmy sumę kwadratów reszt (SSE - error sum of squares) jako funkcję szukanego wektora parametrów β, którą chcemy minimalizować: SSE(β) = e T e = (y ŷ) T (y ŷ) = (y Xβ) T (y Xβ) (17) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 14 / 16

15 Wyprowadzenie β OLS II Po przemnożeniu macierzy w (17), otrzymujemy: SSE(β) = yy T 2y T Xβ + β T X T Xβ (18) Zróżniczkujmy wyrażenie (18) po β, wtedy otrzymamy: SSE(β) β = 2X T y + 2X T Xβ (19) Przyrównując pierwszą pochodną, tj. (19), otrzymujemy układ równań X T y = X T Xβ (20) Ostatecznie: ˆβ OLS = ( X T X ) 1 X T y (21) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 15 / 16

16 Wyprowadzenie estymatora - kowariancji oszacowań β OLS Ogólny wzór dla estymatora macierzy wariancji-kowariancji oszacowań ( ˆβ OLS ): D 2 ( ˆβ OLS ) = E [ ( ˆβOLS β ) ( ˆβOLS β ) T ] (22) Zauważmy, że ˆβ OLS = ( X T X ) 1 X T y = ( X T X ) 1 X T (Xβ + ε) = β + ( X T X ) 1 X T ε (23) Wtedy [ (X D 2 ( ˆβ ) ( OLS ) = E T 1 (X ) ) ] T X X T ε T 1 X X T ε [ (X ) ( ) ] = E T 1 X X T εε T X X T 1 X = ( X T X ) 1 X T E [ εε T] X ( X T X ) 1 Następnie korzystając z założenie o sferyczności macierzy wariancji-kowariancji składnika losowego, tj. D 2 (ε) = E(εε T ) = σi, można uprościć wzór na estymator wariancji kowariancji oszacowań do: D 2 ( ˆβ OLS ) = σ ( X T X ) 1 (24) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 16 / 16