9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI
|
|
- Ryszard Kaczor
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI W rozdzal 5 wyprowadzlśmy równan równowag saycznj dla cała analzowango modą lmnów skończonych. Równan o można równż znrprować jako równan ruchu cała zapsan w pwnj chwl przy pomnęcu s bzwładnośc. Prawa srona go równana moż bowm zalżć od czasu moż być usalona dla j chwl. Przmszczna układu zalżć będą wówczas akż od czasu. Dla wększośc przypadków w kórych zachodz porzba uwzględnna obcążń zmnnych w czas konczn js uwzględnn sł bzwładnośc w równanach równowag. Orzymujmy wówczas problm dynamczny. Ponżj sformułujmy problm dynamk cał sprężysych dyskryzowanych lmnam skończonym. Wykorzysując zasadę d'alambra w równanu równowag saycznj uwzględna sę sły bzwładnośc jako część sł masowych. Jżl przyspszna lmnów będą aproksymowan w n sam sposób co przmszczna lmnów wówczas wkor sł zwnęrznych możmy zmodyfkować do posac b R B N [ f ρ N d & dv ] (9.) gdz w wkorz sł masowych f n uwzględnono sł bzwładnośc. Wkor d js wkorm przyspszń punków węzłowych lmnu zaś ρ js gęsoścą masy lmnu. Równan równowag dynamcznj zapszmy zam w posac M d& + Kd R (9.) gdz R d są wkoram zalżnym od czasu. Macrz mas M ma posać: M ρ N N dv V (9.3) Macrz M w posac (9.3) nos nazwę macrzy konsysnnj (z macrzą szywnośc K ponważ dla obu macrzy przyjęo sam funkcj kszału). Zauważmy ż ak sformułowana macrz mas lmnu js w ogólnośc macrzą płną. W oblcznach konsrukcj nżynrskch sosuj sę częso uproszczoną posać macrzy mas zw. macrz nkonsysnną kórą orzymuj sę z modlu dynamczngo w posac mas skoncnrowanych w węzłach lmnów. Isonym uproszcznm go podjśca js fak ż orzymywan nkonsysnn macrz mas mają srukurę dagonalną co znakomc upraszcza rozwązan równana ruchu. Zakładając ż p js sał można konsysnną macrz mas dla lmnu blkowgo oblczyć korzysając z zalżnośc (9.3): L 54 3L L ρl 4L 3L 3L m ρ N Ndx (9.3 ) 4 sym. 56 L 4L Macrz nkonsysnną orzymać można przyjmując ż masa blk skupona js po połow w jj węzłach. Orzymujmy wdy: omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar
2 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI L L / m ρ (9.3 ) sym. L / Powróćmy jdnak do równana ruchu. W konsrukcjach rzczywsych w czas drgań nasępuj rozpraszan (dysypacja) nrg. Zjawsko o uwzględna sę w równanu ruchu przz wprowadzn sł zalżnych od prędkośc ruchu zw. sł łumna. Uwzględnając sły ponown w wkorz sł masowych orzymujmy b R B N [ f ρ N d & κ N d & ] dv (9.4) gdz d oznacza wkor prędkośc węzłów lmnu a współczynnk K łumn. Równan równowag dynamcznj uwzględnając fk łumna zapszmy raz w posac: M d & + Cd & + Kd R (9.5) gdz C js macrzą łumna układu. Macrz ą można zapsać formaln w posac: C κ N V N dv. (9.6) Macrz łumna przyjmowana js zazwyczaj w posac zw. łumna proporcjonalngo: C α M + α (9.7) K gdz współczynnk α α są wyznaczan na podsaw udzału poszczgólnych posac drgań własnych. Zauważmy analogę równana (9.5) do znango nam z kursu mchank chncznj równana ruchu o jdnym sopnu swobody (mx ' + x + kx r). Jżl równan (9.5) ma opsywać okrślony problm brzgowo-począkowy o nalży j oczywśc rozparywać z warunkam począkowym: d ( ) d (9.8) Z mamayczngo punku wdzna macrzow równan (9.5) rprznuj układ n sprzężonych z sobą lnowych równań różnczkowych zwyczajnych rzędu druggo z sałym współczynnkam. Rozwązan go układu (zn. znalzn n funkcj-składowych wkora uogólnonych przmszczń układu) orzymać można sosując sandardow podjśc rozwązywana równań różnczkowych z sałym współczynnkam. Rozwązan o można sosunkowo ławo orzymać gdy lczba równań js mała zn. gdy mamy do czynna z nwlką lczbą sopn swobody. W zagadnnach nżynrskch wymary macrzy wysępujących w równanu (9.5) są jdnak duż (częso wększ od ). Dlago ż clow js sosowan akch mod rozwązana kór wykorzysywałyby pwn cchy ych macrzy (ch symrę pasmowość) pozwalając jdnoczśn na uproszczn rozwązana. Mody rozwązywana układu równań różnczkowych o posac (9.5) można podzlć na dw zasadncz grupy: mody całkowana bzpośrdngo modę suprpozycj modalnj. Jak pokażmy nżj ob mody są sob blsk a wybór jdnj z nch zalżć będz od ch numrycznj fkywnośc. omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar
3 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI 3 9. Zagadnna własn w dynamc konsrukcj Rozparzmy obcn problm zw. drgań własnych układu bz łumna opsany nasępującym układm równań: Załóżmy rozwązan układu równań (9.9) w posac: M d & + Kd (9.9) d( ) φ sn( ) (9.) gdz macrz Ф składa sę z n wkorów zwanych posacam drgań własnych a ω js częsoścą drgań własnych (w jdnoskach: rad/s). Podsawając powyższ do równana (9.9) orzymujmy: lub ( K ω M ) φ (9.) Kφ ω Mφ (9.) Równan (9.) lub (9.) dfnuj zw. uogólnony problm własny. Równan o ma n rozwązań rzczywsych w posac par: warość własna-wkor własny: (ω Ф ) (ω Ф )...(ω n Ф n ) gdz przz Ф oznaczono-y wkor własny j. -ą kolumnę macrzy Ф Omówmy raz podsawow własnośc warośc wkorów własnych wysępujących w równanu (9.) kór okazać sę mogą przydan przy ch poszukwanu.. Każda z warośc własnych każdy wkor własny spłna równan (9.) lub (9.): Kφ ω Mφ. (9.3) Równan o js spłnon równż przz wkor αф (α js sałą różną od zra) ponważ K( αφ ) ω M( αφ ) (9.4) Mówmy zam ż wkor własny js zdfnowany ylko przz jgo krunk w n-wymarowj przsrzn. Wymaga sę ponado by był spłnony warunk φ φ (9.5) M Warunk n ograncza długość wkora Ф. Zalżność (9.5) oznacza spłnn zw. warunku M- oronormalnośc wkorów własnych bowm zachodz φ Mφ δ (9.6) j j gdz δ j js symbolm Kronckra (przyjmuj warość gdy j równą zru w pozosałych przypadkach). Warunk (9.6) wynka bzpośrdno z orogonalnośc wkorów własnych sandardowgo problmu własngo. Zauważmy ż przmnażając lwosronn równan (9.3) przz wkor Ф j. orzymujmy φ Kφ ω ε Mφ ω δ (9.7) j j j Równan o obrazuj koljną własność wkorów własnych problmu (9.) a manowc ch K- orogonalność. omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar
4 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI 4. Ważną cchą warośc własnych problmu (9.) js o ż są on prwaskam równana charakrysyczngo p( ω ) d( K ω M ) (9.8) bowm jdnorodn równan (9.) ma nzrow rozwązan ylko wdy gdy d( K ω M ) (9.9) Jżl macrz (K ω M) rozłożymy na dolny górny rójką wdług rozkładu Cholskgo o d( K co prowadz do warunku.. zn. n ω M ) d( L L ) l (9.) n p( ω ) l (9.) 3. Warośc własn są rzczyws. Załóżmy ż Ф ω. są waroścam zspolonym a Ф oraz ω - są z nm sprzężon. Możmy zapsać Kφ ω Mφ (9.) przmnażając lwosronn przz Ф - mamy: φ Kε ω φ Mφ (9.3) Podsawając do (9.) rozwązan sprężon oblczając ranspozycję go równana orzymujmy: Nasępn przmnażając lwosronn przz Ф mamy: φ φ K ω φ M (9.4) Kφ ω φ Mφ (9.5) Ponważ lw srony równań (9.3) (9.5) są sob równ węc orzymujmy czyl: ( ω ω ) φ Mφ (9.6) ω ω (9.7) wobc czgo warośc własn ω - ω muszą być rzczyws. omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar
5 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI ransformacja uogólnongo problmu własngo do posac sandardowj Wększość problmów mchank kórych rozwązan sprowadza sę do rozwązana problmu własngo prowadz do sandardowgo problmu własngo lub moż być do ngo zrdukowana. W ym mjscu chcmy pokazać jak n procs można przprowadzć w przypadku równań dynamk. Zaznaczmy ż wymagan o n js ylko formaln al prowadz do sosowana znaczn fkywnjszych algorymów rozwązywana problmu nż ma o mjsc w przypadku rozwązywana uogólnongo problmu własngo. Innym słowy problm sandardowy rozwązuj sę ławj szybcj. Okazuj sę ponado ż własnośc warośc własnych wkorów własnych problmu sandardowgo zachowują swą ważność w problm uogólnonym co ma son znaczn z punku wdzna mchancznj nrpracj wynków. Borąc pod uwagę fkywność sosowanych chnk oblcznowych będzmy saral sę zachować ważną cchę macrzy wysępujących w równanu równowag ypu (9.) a manowc ch symrę. Dążyć będzmy do go by powsały problm własny był symryczny. Załóżmy ż macrz mas M js dodano okrślona. Nspłnn go założna wymaga przprowadzna saycznj kondnsacj ych sopn swobody kór odpowadają zrowym waroścom własnym (porównaj rozdz. 5). Równan K Ф ω MФ możmy przransformować do nnj posac przz dkompozycję macrzy M : M LL (9.8) gdz macrz L js dolnym rójkąm orzymanym w procs dkompozycj Cholskgo macrzy M. Podsawając powyższ do równana (9.) orzymujmy: Kφ ω LL φ (9.9) Przmnażając ob srony przz L - orzymujmy gdz dfnując wkor ~ φ L φ (9.3) ~ ~ K ~ φ ω φ (9.3) K ~ L KL (9.3) Zauważmy ż macrz K js macrzą symryczną. Jżl macrz M js źl uwarunkowana (co prowadzć moż do ndokładnj jj dkompozycj) wówczas możmy rozłożyć macrz szywnośc K na macrz rójkąn. Przpsując równan (9.) w posac orzymamy podobn jak wyżj Mφ Kφ (9.33) ω gdz Mφ φ ω (9.34) M ~ L ML (9.35) K L L (9.36) omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar
6 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI 6 ~ φ L φ (9.37) Zwróćmy uwagę na pwn cchy przdsawonych wyżj ransformacj. W przypadku gdy macrz M js dagonalna o macrz K ma ę samą szrokość półpasma co macrz K. Gdy macrz mas M n js dagonalna (czyl js konsysnna) macrz K js w ogólnośc macrzą płną co prowadz do dużgo nakładu pracy przy wykonywanu ransformacj. W drugm przypadku ławo zauważyć ż ponważ macrz K js zawsz pasmowa macrz M js zawsz macrzą płną ransformacja js nfkywna (wymagana js duża lczba opracj). Podkrślmy jszcz ż fkywność algorymu rozwązywana równana (9.) js bardzo sona w wszyskch nmal zagadnnach dynamk konsrukcj w każdj bowm modz całkowana równana (9.5) konczna js znajomość częsośc kołowych posac drgań analzowango układu. 9.3 Mody całkowana równań ruchu Powróćmy ponown do równana macrzowgo (9.5). Równan o jak już powdzlśmy js równanm różnczkowym druggo rzędu z sałym współczynnkam. Do rozwązana go równana można sosować sandardow podjśc jdnak z względu na pwn własnośc macrzy M C K w analz ruchu cała dyskryzowango lmnam skończonym sosuj sę zasadnczo dw grupy mod: mody całkowana bzpośrdngo modę suprpozycj modalnj. Ponżj omówmy ob grupy Mody całkowana bzpośrdngo W modach bzpośrdngo całkowana równan ruchu w posac (9.5) js całkowan krok po kroku. rmn "całkowan bzpośrdn" oznacza ż równan o n js przkszałcan do nnj posac (w odróżnnu od mody suprpozycj modalnj). Isoą mody całkowana bzpośrdngo js założn ż równan ruchu (9.5) ma być spłnon w wybranych chwlach a n w całym przdzal całkowana oraz założn o charakrz zmnnośc przmszczń prędkośc przyspszń pomędzy ym chwlam. Załóżmy zam ż w chwl są znan przmszczna d prędkośc d przyspszna d układu opsango równanm (9.5). Rozparywany przdzał czasowy () dzlmy na n równych przdzałów w kórych poszukujmy ych wlkośc czyl dla chwl Zbudujmy algorym kóry pozwol oblczyć poszukwan wlkośc w nasępnych krokach wykorzysując rozwązan z poprzdngo kroku. W n sposób orzymamy rozwązana w wszyskch rozparywanych chwlach z przdzału (). Opsan wyżj podjśc zlusrujmy jdną z mod całkowana bzpośrdngo a manowc zw. modą różnc cnralnych. Moda a nalży do jdnj z najbardzj fkywnych mod j grupy. W modz j zakłada sę zmnność w czas wkora przyspszń w posac a wkor prędkośc w posac d & ( d d d ) + + (9.38) d & ( d + d+ ) (9.39) Rozwązan równana (9.5) dla chwl + orzymamy rozparując san równowag dynamcznj w chwl : omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar
7 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI 7 M d & + Cd & + Kd R (9.4) Podsawając wyrażna na opraory różncow (9.38) (9.39) do (9.4) orzymujmy: lub ( d d d )M ( d d )C Kd R ( M C )d R + ( ( M K )d ( ( M C ) d (9.4) + (9.4) Z równana go oblczamy poszukwany san przmszczń w chwl + czyl d +. Zauważmy ż rozwązan d + js orzymywan na podsaw rozwązana w chwl. Modę ę zalcza sę zam do mod całkowana jawngo (xplc). Zauważmy równż ż w procs rozwązywana równana (9.4) n wymaga sę odwracana macrzy szywnośc K co js dużą zalą. Oblczn wkora d wymaga uprzdngo oblczna wkora przmszczń w chwlach poprzdnch -. Zachodz węc konczność opracowana pwnj procdury sarowj. Ponważ wkory d d d są znan dla chwl dlago korzysając z (9.38) (9.39) możmy wyznaczyć d w fkcyjnj chwl poprzdzającj począk ruchu - : d d d + & d (9.43) Ponżj podano dwusopnowy algorym całkowana równana ruchu modą różnc cnralnych. Oblczna wsępn. Oblczn macrzy K M C. Oblczn d d d 3. Okrśln oblczn sałych: a a a a a 3 a 4. Oblczn d - d - d +.5 d 5. Oblczn M ~ a M+a C 6. rangularyzacja macrzy M ~ : M ~ L D L Oblczna dla każdgo kroku. Oblczn wkora obcążna fkywngo R Rˆ R ( K a M )d ( a M a C ) d 3. Rozwązan równana (9.4) dla chwl + L D L d + R 3. Oblczn wkorów prędkośc przyspszń (o l js o wymagan) d&& a( d d + d+ ) d& a ( d + d ) + omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar
8 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI 8 W przypadku gdy macrz łumna js równa zru równan (9.4) upraszcza sę do posac: gdz Rˆ ( M )d Rˆ (9.44) R ( K M )d ( M )d (9.45) Gdy w równanu (9.44) macrz mas będz dagonalna wdy rozwązan orzymuj sę wykonując ylko przypsan wzorm (9 45) mnożna: ( ) d ( ) + Rˆ ( ) (9.46) m gdz d + () oraz R () oznaczają - składow wkorów d + () R () a m. -ą składową dagonalnj macrzy mas (założylśmy dodakowo ż m >). Zauważmy równż ż ponważ n rozwązujmy w ym przypadku układu równań lnowych n js ż wymagana znajomość globalnych macrzy szywnośc mas. Macrz mogą być okrślon ylko na pozom lmnów a ch udzał uwzględnany odpowdno przy budow wkora R. Z posac równana (9.46) powyższj uwag wynka ż moda różnc cnralnych w ym przypadku js bardzo fkywna. Wdać bowm ż do rozwązana (9.46) n js wymagana duża pamęć kompura (n mamy globalnych macrzy) a rozwązan uzyskuj sę wykonując ylko mnożna macrzy (a n ch rangularyzację). Podsawow korzyśc j mody osąga sę w przypadku gdy macrz mas js dagonalna łumn układu można pomnąć. Chocaż jak wspomnlśmy wczśnj dagonalna posać macrzy mas js ylko pwnym jj przyblżnm o jdnak na skuk bardzo prosj procdury całkowana równań ruchu w j posac opłaca sę dokonywać naw bardzo gęsgo podzału analzowango układu na lmny skończon by zrkompnsować przyblżoną jj posać. Ważną cchą mody różnc cnralnych js jj zalżność od kroku całkowana. Okazuj sę bowm ż krok n n moż być dowoln duży mus spłnać zalżność n kr (9.47) π gdz js najmnjszym okrsm drgań własnych układu. Czylnk ławo zauważy sln ogranczn j mody wynkając z pojawna sę warunku (9.47). Okazuj sę ż w clu okrślna najmnjszgo okrsu drgań nalży oblczyć najwększą częsość drgań własnych czyl rozwązać płny problm (9.). Mody całkowana kór wymagają spłnna warunku ypu (9.47) nazywają sę modam warunkowo sablnym. Oznacza o ż nspłnn go warunku moż powodować narasan (akumulację) błędów całkowana zaokrąglń w rakc rozwązywana równań ruchu. Wśród nnych mod całkowana bzpośrdngo równań ruchu kórych n będzmy uaj omawać nalży wymnć modę Houbola Wlsona Nwmarka. Mody nalżą do mod bzwarunkowo sablnych (pod warunkm przyjęca pwnych warośc współczynnków kór charakryzują każdą z nch) Moda suprpozycj modalnj Efkywność mod całkowana bzpośrdngo równań ruchu malj gdy lczba kroków js duża. Oznacza o ż clow js sosowan ych mod w przypadku analzy ruchu w sosunkowo krókm czas jgo rwana. Gdy czas n js dług o clow js przkszałcn równana (9.5) w nną posać dla kórj analza ruchu będz fkywnjsza. Podsumowując powyższ gdy lczba omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar
9 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI 9 sopn swobody układu js duża lczba kroków js równż duża o lpj js przkszałcć układ równań równowag do posac wymagającj mnjszgo nakładu pracy. Najczęścj przkszałcna akgo można dokonać wykorzysując rozwązana problmu drgań własnych M d& + Kd (9.48) Przypomnjmy ż rozwązanm równana macrzowgo (9.48) js n par (ω czyl macrz o posac: Ф.) Ω ω ω K ω n (9.49) Porównując wzory (9.5) (9.7) wdzmy ż spłnon są nasępując zalżnośc: φ Kφ Ω φ Mφ (9.5) Dokonajmy raz ransformacj równana (9.5) sosując podsawn d( Orzymamy wówczas równan ruchu w posac: a po lwosronnym przmnożnu przz Ф orzymamy: Borąc pod uwagę (9.5). mamy osaczn: ) φx( ) (9.5) M φ X& + CφX& + KφX R (9.5 ) φ MφX& + φ CφX& + φ KφX φ R (9.5 ) X& + φ CφX& + Ω X φ R (9.53) Równan (9.5) nalży jszcz uzupłnć warunkam począkowym: Md & φ Md&. (9.54) X φ X Z równana (9.53) wynka ż gdy pomnmy macrz łumna o orzymamy układ równań rozprzężony w posac j. n równań skalarnych X& + Ω X φ R (9.55) & x ( ) + ω x ( ) r ( ) (9.56) omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar
10 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI gdz r ( ) R( ) (9.57) φ Warunk począkow ruchu orzymamy z (9.54): φ Md x & φ Md& (9.58) x Rozwązan równań (9.56) możmy uzyskać w sposób przdsawony w poprzdnm rozdzal j. wykorzysując jdną z mod całkowana bzpośrdngo lub wykorzysując zw. całkę Duhamla: x( ) r ( τ )snω( τ )dτ + α snω + β cosω ω (9.59) gdz sał α. β. wyznacza sę z warunków począkowych (9.58). Równan (9.59) rozwązuj sę zazwyczaj numryczn. Aby orzymać rozwązan naszgo problmu wyjścowgo nalży po rozwązanu n równań (9.56) powrócć do ransformacj (9.5). W n sposób orzymamy osaczn rozwązan w posac: n d( ) φ x( ) (9.6) Podsumowując w modz suprpozycj modalnj w przypadku braku sł łumna nalży najprw rozwązać uogólnony problm własny nasępn rozprzężony układ równań równowag a na konc dokonać suprpozycj każdgo z orzymanych rozwązań wdług zalżnośc (9.6). Dodajmy na konc ż w wlu przypadkach prakycznych możmy uwzględnć w (9.6) ylko klka prwszych wkorów <>. (posac drgań) co dalj znakomc upraszcza powyższy algorym. W przypadku analzy ruchu opsango płnym równanm (9.53) zn. z uwzględnnm łumna moda suprpozycj modalnj moż być nadal fkywna gdy założymy łumn proporcjonaln: φ Cφ ω ζ δ (9.6) j gdz ς. js współczynnkm łumna a δ. symbolm Kronckra. W n sposób założylśmy ż wkor własny (posać drgań) js równż C-orogonalny osaczn orzymujmy równan ruchu w posac: j & x ( ) + ω ζ δ + ω x ( ) r ( ) (9.6) j kór rozwązuj sę w podobny sposób jak dla przypadku bz łumna z ym ylko ż całka Duhamla ma raz nco nną posać uwzględnającą fk łumna ζ ω ( τ ) ζ ω x( ) r ( τ ) snω( τ )dτ + ( α snω + β cosω ) ω (9.63) gdz ω (9.64) ω ζ a sał α. β.. wyznacza sę z warunków począkowych (9.58). omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar
11 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSRUKCJI Zadana. Wyprowadzć wzór na współczynnk macrzy mas M (9.3) wykorzysując sformułowan nrgyczn (nrgę knyczną).. Wyprowadzć wzór na macrz mas M dla pręa kraowncy płaskj: - macrz konsysnną - macrz nkonsysnną. 3. Rozwązać zagadnn drgań swobodnych układu o posac d&& 6 d + d && 4 d warunkach począkowych d d w przdzal czasowym [ ] gdz js najmnjszym okrsm drgań własnych (przyjąć /). Wykorzysać modę różnc cnralnych modę suprpozycj modalnj. Porównać wynk z rozwązanm dokładnym: / 3.5 / 3 5 / 3( cos ) d / 3 / 3 / 3 (+ cos 5 ) 4. Rozwązać za pomocą całk Duhamla równan ruchu układu o jdnym sopnu swobody w posac: & x&+ω x R sn p oraz x x& 5. Oblczyć macrz ransformacj Ф dla problmu drgań przdsawongo za pomocą macrzy w zadanu. Nasępn napsać rozprzężony układ równań (9.56). omasz Łodygowsk Wold Kąkol Moda lmnów skończonych w wybranych zagadnnach mchank konsrukcj nżynrskch Alma Mar
gdzie E jest energią całkowitą cząstki. Postać równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego Wprowadźmy do lewej i prawej strony równania Schrödingera
San sacjonarny cząsk San sacjonarny - San, w kórym ( r, ) ( r ), gęsość prawdopodobńswa znalzna cząsk cząsk w danym obszarz przsrzn n zalży od czasu. San sacjonarny js charakrysyczny dla sacjonarngo pola
DYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Algorytmy numeryczne w Delphi. Ksiêga eksperta
IDZ DO PRZYK ADOWY ROZDZIA SPIS TREŒCI KALOG KSI EK KALOG ONLINE ZAMÓW DRUKOWANY KALOG Algorymy numryczn w Dlph Ksêga kspra Auorzy: Brnard Baron, Arur Pasrbk, Marcn Mac¹ k ISBN: 83-736-95-8 Forma: B5,
Proces stochastyczny jako funkcja dwóch zmiennych. i niepusty podzbiór zbioru liczb rzeczywistych T. Proces stochastyczny jest to funkcja
POJĘCI PROCSU STOCHSTYCZNGO Przykład mpluda napęca gnrowango przz prądncę prądu zmnngo zalży od czynnków losowych moż być zapsana jako funkcja X sn c c - sała okrślająca częsolwość - zmnna losowa o rozkładz
BADANIE WYBRANYCH STRUKTUR NIEZAWODNOŚCIOWYCH
ZAKŁAD EKSPLOATACJI SYSTEMÓW ELEKTOICZYCH ISTYTUT SYSTEMÓW ELEKTOICZYCH WYDZIAŁ ELEKTOIKI WOJSKOWA AKADEMIA TECHICZA ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
E2. BADANIE OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO
E. BADANE OBWODÓW PĄDU PZEMENNEGO ks opracowały: Jadwga Szydłowska Bożna Janowska-Dmoch Badać będzmy charakrysyk obwodów zawrających różn układy lmnów akch jak: opornk, cwka kondnsaor, połączonych z sobą
Zmiany w stosunku do poprzedniego wydania...9 Przedmowa...11 Rozdział 1. Definicje typów, procedur, funkcji i klas dla zagadnień numerycznych...
Sps rśc Zmany w sosunku do poprzdngo wydana 9 Przdmowa Rozdzał Dfncj ypów, procdur, funkcj klas dla zagadnń numrycznych 3 Organzacja bblok oblczń numrycznych 4 Typ waranowy 4 3 Prdfnowany yp lczb zspolonych
BADANIE WYBRANYCH STRUKTUR NIEZAWODNOŚCIOWYCH
ZAKŁAD EKSPLOATACJI SYSTEMÓW ELEKTOICZYCH ISTYTUT SYSTEMÓW ELEKTOICZYCH WYDZIAŁ ELEKTOIKI WOJSKOWA AKADEMIA TECHICZA ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
IV. WPROWADZENIE DO MES
Kondra P. Moda mnów Sończonych ora zasosowana 7 IV. WPROWADZNI DO MS Poszuwan rozwązań rzybżonych bazuących na modach rsduanych waracynych naoya na rudnośc w doborz func bazowych orśonych na całym obszarz.
2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Wykład 6 Pochodna, całka i równania różniczkowe w praktycznych zastosowaniach w elektrotechnice.
Wykład 6 Pochodna, całka i równania różniczkow w prakycznych zasosowaniach w lkrochnic. Przypomnini: Dfinicja pochodnj: Granica ilorazu różnicowgo-przyros warości funkcji do przyrosu argumnów-przy przyrości
Kier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium
Ker. MTR Programowane w MATLABe Laboraorum Ćw. Zasosowane bbloecznych funkcj MATLABa do numerycznego rozwązywana równań różnczkowych. Wprowadzene Układy równań różnczkowych zwyczajnych perwszego rzędu
PROBLEM ODWROTNY DLA RÓWNANIA PARABOLICZNEGO W PRZESTRZENI NIESKOŃCZENIE WYMIAROWEJ THE INVERSE PARABOLIC PROBLEM IN THE INFINITE DIMENSIONAL SPACE
JAN KOOŃSKI POBLEM ODWOTNY DLA ÓWNANIA PAABOLICZNEGO W PZESTZENI NIESKOŃCZENIE WYMIAOWEJ THE INVESE PAABOLIC POBLEM IN THE INFINITE DIMENSIONAL SPACE S r e s z c z e n e A b s r a c W arykule skonsruowano
VII. ZAGADNIENIA DYNAMIKI
Konderla P. Meoda Elemenów Skończonych, eoria i zasosowania 47 VII. ZAGADNIENIA DYNAMIKI. Równanie ruchu dla zagadnienia dynamicznego Q, (7.) gdzie M NxN macierz mas, C NxN macierz łumienia, K NxN macierz
Wykład 2 Metoda Klasyczna część I
Tora Obwodów 2 Wykład 2 Moda Klasyczna część I Prowadzący: dr nż. Toasz Skorsk Insyu Podsaw lkrochnk lkrochnolog Wydzał lkryczny Polchnka Wrocławska D-1, 205/8 l: (071) 320 21 60 fax: (071) 320 20 06 al:
ψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
1 n 0,1, exp n
8. Właścwośc trmczn cał stałych W trakc zajęć będzmy omawać podstawow własnośc trmczn cał stałych, a szczgóln skupmy sę na cpl właścwym. Klasyczna dfncja cpła właścwgo wygląda następująco: C w Q (8.) m
ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie
ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna
Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
6. Dynamika Stan równowagi. ρb(x, y, z) V n t d. Siły
6. Dynamika P.Pluciński 6. Dynamika 6.1. tan równowagi t ρb d x, y, z P ρüx, y, z ρbx, y, z z n t d x y iły ρb wktor gęstości sił masowych [N/m 3 ] ρb d wktor gęstości sił masowych tłuminia [N/m 3 ] ρü
C d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:
Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili
1.7 Zagadnienia szczegółowe związane z równaniem ruchu Moment bezwładności i moment zamachowy
.7 Zagadnna zczgółow zwązan z równan ruchu.7. ont bzwładnośc ont zaachowy Równan równowag ł dzałających na lnt ay d poazany na ry..8 będz ało potać: df a tąd lntarny ont dynaczny: d d ϑ d r * d d ϑ r d
WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VII Przekształcenie Fouriera.
7. Całka Fouriera w posaci rzeczywisej. Wykład VII Przekszałcenie Fouriera. Doychczas rozparywaliśmy szeregi Fouriera funkcji w ograniczonym przedziale [ l, l] lub [ ] Teraz pokażemy analogicznie przedsawienie
Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ
WERYFIKACJA HIPOTEZY O ISTOTNOŚCI OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU Hpoezy o sonośc oszacowao paramerów zmennych objaśnających Tesowane sonośc paramerów zmennych objaśnających sprowadza sę do nasępującego
I. Metoda Klasyczna. Podstawy Elektrotechniki - Stany nieustalone. Zadanie k.1 Wyznaczyć prąd i w na wyłączniku. R RI E
Podsawy lkohnk - Sany nsalon. Moda Klasyzna Zadan k. Wyznazyć pąd w na wyłąznk. w? kładay ównana na podsaw sha. ównan haakysyzn: w d d w w d d d d d d p p p w Zadan k. Znalźć aką hwlę zas x aby spłnony
ĆWICZENIE 11 OPTYMALIZACJA NIEZAWODNOŚCIOWA STRUKTURY ELEKTRONICZNEGO SYSTEMU BEZPIECZEŃSTWA
ĆWICZENIE OPTYMALIZACJA NIEZAWODNOŚCIOWA STUKTUY ELEKTONICZNEGO SYSTEMU EZPIECZEŃSTWA Cl ćwicznia: zapoznani z analizą nizawodnościowo-ksploaacyjną lkronicznych sysmów bzpiczńswa; wyznaczni wybranych wskaźników
Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
Wykład 5 Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie
Wykład 5 Elemeny eorii układów liniowych sacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska
Służą opisowi oraz przewidywaniu przyszłego kształtowania się zależności gospodarczych.
MODEL EOOMERYCZY MODEL EOOMERYCZY DEFIICJA Modl konomtrczn jst równanm matmatcznm (lub układm równao), któr przdstawa zasadncz powązana loścow pomędz rozpatrwanm zjawskam konomcznm., uwzględnającm tlko
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /
Wykład 4 Metoda Klasyczna część III
Teoria Obwodów Wykład 4 Meoda Klasyczna część III Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska D-, 5/8 el: (7) 3 6 fax: (7)
Podstawowe definicje
W-8 (Jarswc na ba J. Rukwsk) 5 slajów Ruch rgający Psaww fncj Swbn rgana harmncn Drgana łumn Drgana wymusn Skłaan rgań 3/8 L.R. Jarswc Psaww fncj rgana prcsy, w kórych ana wlkść fycna na prman rśn malj
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
LABORATORIUM ESBwT. Optymalizacja niezawodnościowa struktury elektronicznego systemu bezpieczeństwa
ZESPÓŁ LAORATORIÓW TELEMATYKI TRANSPORTU ZAKŁAD TELEKOMUNIKACJI W TRANSPORCIE WYDZIAŁ TRANSPORTU POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ LAORATORIUM ESwT INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA nr Opymalizacja nizawodnościowa srukury
ANALIZA ODPOWIEDZI UKŁADÓW KONSTRUKCYJNYCH NA WYMUSZENIE W POSTACI SIŁY O DOWOLNYM PRZEBIEGU CZASOWYM
Budownicwo Mariusz Poński ANALIZA ODPOWIEDZI UKŁADÓW KONSTRUKCYJNYCH NA WYMUSZENIE W POSTACI SIŁY O DOWOLNYM PRZEBIEGU CZASOWYM Wprowadzenie Coraz większe ograniczenia czasowe podczas wykonywania projeków
KONSPEKT WYKŁADU. nt. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH TEORIA I ZASTOSOWANIA. Piotr Konderla
Studa doktorancke Wydzał Budownctwa Lądowego Wodnego Poltechnk Wrocławskej KONSPEKT WYKŁADU nt. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH TEORIA I ZASTOSOWANIA Potr Konderla maj 2007 Kurs na Studach Doktoranckch Poltechnk
Rozwiązanie jednokierunkowego przepływu w przewodach prostoosiowych o dowolnym kształcie przekroju poprzecznego metodą elementów skończonych
Symulacja w Badanach Rozwoju Vol. 3, No. 1/2012 Tomasz Janusz TELESZEWSKI, Sławomr Adam SORKO Poltchnka Bałostocka, WBIŚ, ul.wjska 45E, 15-351 Bałystok E-mal: t.tlszwsk@pb.du.pl, s.sorko@pb.du.pl Rozwązan
Analiza wybranych własności rozkładu reszt
Analiza wybranych własności rozkładu rsz Poprawni skonsruowany i oszacowany modl, kóry nasępni ma być wykorzysany do clów analizy i prdykcji, poza wysokim sopnim odzwircidlania zmian warości mpirycznych
OGÓLNE PODSTAWY SPEKTROSKOPII
WYKŁAD 8 OGÓLNE PODSTAWY SPEKTROSKOPII E E0 sn( ωt kx) ; k π ; ω πν ; λ T ν E (m c 4 p c ) / E +, dla fotonu m 0 p c p hk Rozkład energ w stane równowag: ROZKŁAD BOLTZMANA!!!!! P(E) e E / kt N E N E/
przegrody (W ) Łukasz Nowak, Instytut Budownictwa, Politechnika Wrocławska, e-mail:lukasz.nowak@pwr.wroc.pl 1
1.4. Srawdzn moŝlwośc kondnsacj ary wodnj wwnątrz ścany zwnętrznj dla orawngo oraz dla odwrócongo układu warstw. Oblczn zawlgocna wysychana wlgoc. Srawdzn wykonujmy na odstaw skrytu Matrały do ćwczń z
WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE
Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml
Uogólnione wektory własne
Uogólnion wktory własn m Dfinicja: Wktor nazywamy uogólnionym wktorm własnym rzędu m macirzy A do wartości własnj λ jśli ( A - I) m m- λ al ( A - λ I) Przykład: Znajdź uogólniony wktor własny rzędu do
Teoria Sygnałów. II rok Geofizyki III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 4. iωα. Własności przekształcenia Fouriera. α α
ora Sygałów rok Gozyk rok ormatyk Stosowaj Wykład 4 Własośc przkształca ourra własość. Przkształc ourra jst low [ β g ] βg dowód: rywaly całkowa jst opracją lową. własość. wrdz o podobństw [ ] dowód :
ANALIZA OBWODÓW DLA PRZEBIEGÓW SINUSOIDALNYCH METODĄ LICZB ZESPOLONYCH
ANAZA OBWODÓW DA PZBGÓW SNUSODANYH MTODĄ ZB ZSPOONYH. Wprowadzn. Wprowadź fnkcję zspoloną znnj rzczwstj (czas) o następjącj postac: F( t) F F j t j jt t+ Fnkcj tj przporządkj na płaszczźn zspolonj wktor
Teoria Sygnałów. II rok Geofizyki III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Transformacja Hilberta. sgn( + = + = + lim.
Tora Synałów II rok Gozyk III rok Inormatyk Stosowanj Wykład 5 ) sn( d d d F Najprw nzbędny rzltat. Transormacja Forra (w sns rancznym) nkcj sn() F lm π sn Z twrdzna o dalnośc wynka, ż π sn Transormacja
Analiza danych jakościowych
Analiza danych jakościowych Ccha ciągła a ccha dyskrtna! Ciągła kg Dyskrtna Cchy jakościow są to cchy, których jdnoznaczn i oczywist scharaktryzowani za pomocą liczb jst nimożliw lub bardzo utrudnion.
Pobieranie próby. Rozkład χ 2
Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie
Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Maemayka ubezpeczeń mająkowych 7.05.00 r. Zadane. Pewne ryzyko generuje jedną szkodę z prawdopodobeńswem q, zaś zero szkód z prawdopodobeńswem ( q). Ubezpeczycel pokrywa nadwyżkę szkody ponad udzał własny
NIEZAWODNOŚĆ KONSTRUKCJI O PARAMETRACH PRZEDZIAŁOWYCH I LOSOWYCH
ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2 Sra: BUDOWNICTWO z. Nr kol. Andrzj POWNUK NIEZAWODNOŚĆ KONSTRUKCJI O PARAETRACH PRZEDZIAŁOWYCH I LOSOWYCH Strszczn. W pracy wykazano, ż mtoda projktowana konstrukcj
Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
MECHANIKA 2 MOMENT BEZWŁADNOŚCI. Wykład Nr 10. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA Wykład Nr 10 MOMENT BEZWŁADNOŚCI Prowadzący: dr Krzysztof Polko Defncja momentu bezwładnośc Momentem bezwładnośc punktu materalnego względem płaszczyzny, os lub beguna nazywamy loczyn masy punktu
( ) ( ) ( τ) ( t) = 0
Obliczanie wraŝliwości w dziedzinie czasu... 1 OBLICZANIE WRAśLIWOŚCI W DZIEDZINIE CZASU Meoda układu dołączonego do obliczenia wraŝliwości układu dynamicznego w dziedzinie czasu. Wyznaczane będą zmiany
i j k Oprac. W. Salejda, L. Bujkiewicz, G.Harań, K. Kluczyk, M. Mulak, J. Szatkowski. Wrocław, 1 października 2015
WM-E; kier. MBM, lisa za. nr. p. (z kary przemiou): Rozwiązywanie zaań z zakresu: ransformacji ukłaów współrzęnych, rachunku wekorowego i różniczkowo-całkowego o kursu Fizyka.6, r. ak. 05/6; po koniec
VI. MATEMATYCZNE PODSTAWY MES
Kurs na Studac Dotorancc Poltcn Wrocławsj (wrsja: luty 007) 40 I. MATEMATYCZE PODSTAWY MES. Problm abstracyjny Rozwązujmy problm lptyczny np. przstrznn zagadnn tor sprężystośc. Poszuujmy rozwązana u( nmatyczn
Wpływ stóp procentowych na wartoêç indeksu giełdowego WIG * Influence of Interest Rates on the WIG Stock Index
62 Rynk Insyucj Fnansow Bank Krdy srpń 28 Wpływ sóp procnowych na waroêç ndksu głdowgo WIG * Influnc of Inrs Ras on h WIG Sock Indx Jrzy Rmbza **, Grzgorz Przkoa *** prwsza wrsja: 26 lsopada 27 r., osaczna
WYKŁAD FIZYKAIIIB 2000 Drgania tłumione
YKŁD FIZYKIIIB Drgania łumione (gasnące, zanikające). F siła łumienia; r F r b& b współczynnik łumienia [ Nm s] m & F m & && & k m b m F r k b& opis różnych zjawisk izycznych Niech Ce p p p p 4 ± Trzy
Symulacja czasu wychładzania powietrza w przewodzie wentylacyjnym
Por Prybycn Symulacja casu ychłaana pora pro nylacyjnym Symulacja casu ychłaana pora pro nylacyjnym ) Do cgo służy program: Program służy o okrślna sybkośc ychłaana, lub ograna pora nąr prou nylacyjngo
Definicja: Wektor nazywamy uogólnionym wektorem własnym rzędu m macierzy A
Uogólnion wktory własnw Dfinicja: Wktor nazywamy uogólnionym wktorm własnym rzędu m macirzy A m do wartości własnj λ jśli ( A - I) m m- λ al ( A - λ I) Przykład: Znajdź uogólniony wktor własny rzędu do
I. Elementy analizy matematycznej
WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem
RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.
RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu
4.2. Obliczanie przewodów grzejnych metodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego
4.. Obliczanie przewodów grzejnych meodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego Meodą częściej sosowaną w prakyce projekowej niż poprzednia, jes meoda dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego. W
Podstawowe wyidealizowane elementy obwodu elektrycznego Rezystor ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ ) i t i t u ( ) u t u t i ( ) i t. dowolny.
Tema. Opracował: esław Dereń Kaedra Teorii Sygnałów Insyu Telekomunikacji Teleinformayki i Akusyki Poliechnika Wrocławska Prawa auorskie zasrzeżone Podsawowe wyidealizowane elemeny obwodu elekrycznego
ĆWICZENIE 2. BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH.
ĆWICZENIE BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH Wahadło sprzężone Weźmy pod uwagę układ złożony z dwóch wahadeł o długościach połączonych sprężyną o współczynniku kierującym k Rys Na wahadło działa siła będąca składową
mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej
mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba
Rozwiązanie równania różniczkowego MES
Rozwiązani równania różniczkowgo MES Jrzy Pamin -mail: jpamin@l5.pk.du.pl Instytut Tchnologii Informatycznych w Inżynirii Lądowj Wydział Inżynirii Lądowj Politchniki Krakowskij Strona domowa: www.l5.pk.du.pl
cx siła z jaką element tłumiący działa na to ciało.
Drgania układu o jedny sopniu swobody Rozparzy układ składający się z ciała o asie połączonego z nierucoy podłoże za poocą eleenu sprężysego o współczynniku szywności k oraz eleenu łuiącego o współczynniku
ver ruch bryły
ver-25.10.11 ruch bryły ruch obrotowy najperw punkt materalny: m d v dt = F m r d v dt = r F d dt r p = r F d dt d v r v = r dt d r d v v= r dt dt def r p = J def r F = M moment pędu moment sły d J dt
L6 - Obwody nieliniowe i optymalizacja obwodów
L6 - Obwody nlnow optymalzacja obwodów. Funkcj optymalzacj Tabla Zstawn najważnjszych funkcj optymalzacyjnych Matlaba [] Nazwa funkcj Rodzaj rozwązywango zadana Matmatyczny ops zadana fmnbnd Mnmalzacja
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całki pojedyncze
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całk pojedyncze Kwadratury nterpolacyjne Kwadratury nterpolacyjne Rozpatrujemy funkcję f() cągłą ogranczoną w przedzale domknętym [a, b]. Przedzał [a, b] dzelmy na skończoną lczbę
3. Siła bezwładności występująca podczas ruchu ciała w układzie obracającym się siła Coriolisa
3. Sła bezwładnośc występująca podczas uchu cała w układze obacającym sę sła Coolsa ω ω ω v a co wdz obsewato w układze necjalnym co wdz obsewato w układze nenecjalnym tajemncze pzyspeszene: to właśne
Lista nr Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych: a) y = y t,
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE B Lisa nr 1 1. Napisać równanie różniczkowe, jakie spełnia napięcie u = u() na okładkach kondensaora w obwodzie zawierającym połączone szeregowo oporność R i pojemność C,
Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.
Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych
I zasada termodynamiki dla układu zamkniętego (ujęcie masy kontrolnej)
Wykład 8 I zasada rmodynamk dla układów zamknęyh (uję masy konrolnj) Prwsza zasada rmodynamk jako równan knyzn dla układu zamknęgo (uję masy konrolnj; zmana sanu masy konrolnj) Układy owar; uję masy konrolnj
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ MECHANICZNY TECHNOLOGICZNY Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ MECHANICZNY TECHNOLOGICZNY Katdra Wytrzymałośc Matrałów Mtod Komutrowych Mchank Rozrawa doktorska Tytuł: Analza wrażlwośc otymalzacja wolucyjna układów mchancznych
Wykład 2 Wahadło rezonans parametryczny. l+δ
Wykład Wahadło rzonans paramryczny θ θ l l+δ C B B Wykład Wahadło - rzonans paramryczny E E E B mg l cos θ θ E kinb m d d l l+δ B B l C I m l E B B kinb' I m B' B' d d d d B l ml d d B ' mgl cos ' B gcos
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 9. jej modyfkacje. Oznaczena Będzemy rozpatrywać zagadnene rozwązana następującego układu n równań lnowych z n newadomym x 1... x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x
Instrukcja do ćwiczenia z przedmiotu Optymalizacja Procesów Cieplnych. Temat: Optymalna grubość izolacji ściany budynku.
Inrucja do ćwczna z przdmou Opymalzacja Proców Cplnych ma: Opymalna grubość zolacj ścany budynu. Clm ćwczna j wyznaczn opymalnj grubośc warwy zolacyjnj ścany budynu op rując ę mnmalzacją ozów całowych.
LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.
Komisja Egzamiacyja la Akuariuszy LIII Egzami la Akuariuszy z 3 paźzirika 0 r. Część II Mamayka ubzpiczń życiowych Imię i azwisko osoby gzamiowaj:... Czas gzamiu: 00 miu Warszawa, 3 paźzirika 0 r. Mamayka
STABILNOŚĆ ROZWIĄ ZAŃ SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNYCH ZAGADNIEŃ DYNAMIKI
ZSZYY NAOW AADMII MARYNARI WOJNNJ RO LIV NR (9) 3 Sansła Dobrocńsk, Lszk Fs Akadma Marynark Wojnnj Wydzał Mchanczno-kryczny, Insyu udoy kspoaacj Okręó 8-3 Gdyna, u. J. Śmdocza 69 -ma: S.Dobrocnsk@am.gdyna.p;
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH
POLIECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGEYKI INSYU MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGEYCZNYCH IDENYFIKACJA PARAMERÓW RANSMIANCJI Laboraorium auomayki (A ) Opracował: Sprawdził: Zawierdził:
OSZACOWANIE BŁĘDÓW A POSTERIORI I GĘSTOŚCI PUNKTÓW DANYCH EKSPERYMENTALNO-NUMERYCZNYCH
JÓZEF KROK, JAN WOJAS OSZACOWANIE BŁĘDÓW A POSERIORI I GĘSOŚCI PUNKÓW DANYCH EKSPERYMENALNO-NUMERYCZNYCH ESIMAION OF A POSERIORI ERROR AND MESH DENSIY OF EXPERIMENAL-NUMERICAL DAA Strszczn Abstract W nnjszym
Silniki cieplne i rekurencje
6 FOTO 33, Lao 6 Silniki cieplne i rekurencje Jakub Mielczarek Insyu Fizyki UJ Chciałbym Pańswu zaprezenować zagadnienie, kóre pozwala, rozważając emaykę sprawności układu silników cieplnych, zapoznać
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MACHANIKI BUDOWLI
POLIECHNIKA POZNAŃSKA INSYU KONSRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MACHANIKI BUDOWLI ĆWICZENIE PROJEKOWE NR 2 DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUEROWA Z PRZEDMIOU MECHANIKA KONSRUKCJI Wykonał: Kamil Sobczyński WBiIŚ; SUM;
Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB
Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe
Politechnika Wrocławska Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych. Materiał ilustracyjny do przedmiotu. (Cz. 2)
Poltchnka Wrocławska nstytut Maszyn, Napędów Pomarów Elktrycznych Matrał lustracyjny do przdmotu EEKTOTEHNKA (z. ) Prowadzący: Dr nż. Potr Zlńsk (-9, A0 p.408, tl. 30-3 9) Wrocław 004/5 PĄD ZMENNY Klasyfkacja
Przekształcenie Laplace a i jego zastosowania
Przekzałcenie Laplace a i jego zaoowania Funkcje pecjalne i dyrybucje Funkcja koku jednokowego (nazywana również funkcją Heaviide a) ( ) gdy > gdy < ( ) gdy gdy > < ( ) ( ) f a e > < e a ( ) f f ( ) A
Wykład X. ε, ε, ε = ε oznaczają współrzędne tensora odkształcenia, u i w są współrzędnymi wektora WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ
Wykład X ROZWIĄZANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYC Z WYKORZYSTANIEM TRANSFORMACJI LAPLACE A i FOURIERA CIĄG DALSZY. Konsolidacja półprzesrzeni konsolidujące pod działaniem ruchomego obciążenia skupionego. Rozważmy
dr inż. Paweł Szeptyński materiały pomocnicze do przedmiotu MECHANIKA TEORETYCZNA DYNAMIKA - ZADANIA
NAZEWNICTWO LINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH d n u a n d x + a d n 1 u n n 1 d x +... + a d 2 u n 1 2 d x + a d u 2 1 d x + a u = b( x) Powyższe równanie o niewiadomej funkcji
Zastosowanie technik sztucznej inteligencji w analizie odwrotnej
Zastosowane technk sztucznej ntelgencj w analze odwrotnej Ł. Sztangret, D. Szelga, J. Kusak, M. Petrzyk Katedra Informatyk Stosowanej Modelowana Akadema Górnczo-Hutncza, Kraków Motywacja Dokładność symulacj
Wykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń.
Wykład Zagadnene brzegowe lnowe teor sprężystośc. Metody rozwązywana, metody wytrzymałośc materałów. Zestawene wzorów określeń. Układ współrzędnych Kartezańsk, prostokątny. Ose x y z oznaczono odpowedno
u u u( x) u, x METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH i METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Szkc rozwązana równana Possona w przestrzen dwuwymarowe. Równane Possona to równae różnczkowe cząstkowe opsuące wele
Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU
Modelowanie ryzyka kredyowego MODELOWANIE ZA POMOCA PROCESU HAZARDU Mariusz Niewęgłowski Wydział Maemayki i Nauk Informacyjnych, Poliechniki Warszawskiej Warszawa 2014 hazardu Warszawa 2014 1 / 18 Proces
Sformułowanie Schrödingera mechaniki kwantowej. Fizyka II, lato
Sformułowanie Schrödingera mechaniki kwanowej Fizyka II, lao 018 1 Wprowadzenie Posać funkcji falowej dla fali de Broglie a, sin sin k 1 Jes o przypadek jednowymiarowy Posać a zosała określona meodą zgadywania.
ĆWICZENIE 5 BADANIE WYBRANYCH STRUKTUR NIEZAWODNOŚCIOWYCH
ĆWICZEIE 5 BADAIE WYBAYCH STUKTU IEZAWODOŚCIOWYCH Cl ćwczna: lustracja praktyczngo sposobu wyznaczana wybranych wskaźnków opsujących nzawodność typowych struktur nzawodnoścowych. Przdmot ćwczna: wrtualn
MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5
MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając
Ekonomiczno-techniczne aspekty wykorzystania gazu w energetyce
Ekonomiczno-chniczn aspky wykorzysania gazu w nrgyc anusz oowicz Wydział Inżynirii i Ochrony Środowiska Polichnika Częsochowska zacowani nakładów inwsycyjnych na projky wykorzysania gazu w nrgyc anusz
Ćw. S-II.2 CHARAKTERYSTYKI SKOKOWE ELEMENTÓW AUTOMATYKI
Dr inż. Michał Chłędowski PODSAWY AUOMAYKI I ROBOYKI LABORAORIUM Ćw. S-II. CHARAKERYSYKI SKOKOWE ELEMENÓW AUOMAYKI Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jes zapoznanie się z pojęciem charakerysyki skokowej h(),
DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających