Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:"

Kazimierz Szymczak
7 lat temu
Przeglądów:

1 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w kolejnych latach są niezależnymi zmiennymi losowymi. Prawdopodobieństwo, że w ciągu 3 lat ubezpieczony będzie miał w sumie nie więcej niż 7 szkód wynosi: (A) (B) 0.00 (C) 0.20 (D) 0.50 (E) 0.65

( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w kolejnych latach są niezależnymi zmiennymi losowymi.

2 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 2. W klasycznym modelu procesu nadwyżki U ( t) = u + ct S N () t u jest nadwyżką początkową, ct jest sumą składek zgromadzonych do momentu t, N t jest procesem Poissona z parametrem intensywności λ, () n S n = Y i jest sumą wypłat, i= () proces N t i pojedyncze wypłaty Y Y,,... są niezależne., 2 Y3 Niech L oznacza maksymalną stratę, L jej dystrybuantę, zaś Ψ prawdopodobieństwo ruiny przy nadwyżce początkowej u. Wiadomo, że zachodzi: ( u) = Ψ( u) = Pr( t 0 U ( t) 0) F L. F ( u) Załóżmy, że wypłaty Yi mają rozkład wykładniczy z wartością oczekiwaną parametr intensywności składki c wynosi c = 0% λμ. μ, oraz iż Wartość funkcji Ψ ( u) w punkcie u E( L) +.96 var( L) (A) 2.5% (B) 3.4% (C) 4.3% (D) 5.2% (E) 6.% = wynosi: 2

λ, () n S n = Y i jest sumą wypłat, i= () proces N t i pojedyncze wypłaty Y Y,,... są niezależne.

3 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 3. W pewnym ubezpieczeniu działa 4-klasowy system No Claim Discount. Składki roczne wynoszą: 200 zł w klasie 55 zł w klasie 2, 25 zł w klasie 3, 00 zł w klasie 4. Przejście z klasy do klasy następuje corocznie, przy czym po roku bezszkodowym ubezpieczony z klasy przechodzi do 2, z klasy 2 do 3, z klasy 3 do 4, a jeśli był w klasie 4, to dalej w niej pozostaje. Po roku ze szkodą (lub szkodami) ubezpieczony zawsze przechodzi do klasy. Rozważmy ubezpieczonego, który generuje w kolejnych latach szkody zgodnie z procesem Poissona o częstotliwości λ = ( ln 5 ln 4) rocznie. Załóżmy, że każdą szkodę zgłasza natychmiast po jej zajściu. Wartość oczekiwana składki płaconej przez niego w n-tym roku ubezpieczenia dąży przy n do granicy równej: (A) (B) (C) (D) (E) 28 zł 32 zł 36 zł 40 zł 44 zł 3

Przejście z klasy do klasy następuje corocznie, przy czym po roku bezszkodowym ubezpieczony z klasy przechodzi do 2, z klasy 2 do 3, z klasy 3 do 4, a jeśli był w klasie 4, to dalej w niej pozostaje.

4 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 4. Niech: Y będzie zmienną losową o rozkładzie Gamma ( β ) oczekiwaną równą αβ i wariancją αβ. R będzie liczbą z przedziału ( 0, β ). Wtedy: inf Ε exp R( Y d) Y > d 0 wynosi: d > [ ( ) ] α,, z wartością (A) β β R dla α >, zaś β β R α dla α (0,) (B) jeden dla α >, zaś β β R α dla α (0,) (C) jeden dla dowolnych α > 0 (D) β β R dla dowolnych α > 0 (E) β β R α dla dowolnych α > 0 4

5 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 5. Liczba szkód w ciągu roku w pewnym ubezpieczeniu równa jest: N = M , gdzie: M K K, M, M 2, M 3,... są niezależnymi zmiennymi losowymi, zaś M, M 2, M 3,... mają identyczny rozkład prawdopodobieństwa K oznacza liczbę wypadków, i ma rozkład Poissona o wartości oczekiwanej λ, M i jest liczbą szkód z i-tego wypadku, i ma rozkład określony na liczbach naturalnych (bez zera). O rozkładzie liczby szkód z jednego wypadku wiemy, że: Pr( M = ) = p, Pr( M > ) = p. Prawdopodobieństwo warunkowe iż w danym roku doszło jedynie do jednego wypadku pod warunkiem, iż wystąpiła więcej niż jedna szkoda: Pr( K = N > ) przy założeniach liczbowych: wynosi z dobrym przybliżeniem: (A) 0.65 (B) 0.53 (C) 0.37 (D) 0.22 (E) 0.8 λ =, 5 4 p = 5 5

.. mają identyczny rozkład prawdopodobieństwa K oznacza liczbę wypadków, i ma rozkład Poissona o wartości oczekiwanej λ, M i jest liczbą szkód z i-tego wypadku, i ma rozkład określony na liczbach

6 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 6. Ubezpieczeni są losowo dobrani z populacji, w której: łączna wartość szkód dla ubezpieczonego charakteryzującego się wartością λ parametru Λ ma złożony rozkład Poissona z oczekiwaną liczbą szkód N równą λ, rozkład wartości pojedynczej szkody jest taki sam dla wszystkich ubezpieczonych, a jego wartość oczekiwana wynosi μ, parametr Λ ma rozkład Gamma (2,4) o wartości oczekiwanej /2 i wariancji /8. Ubezpieczyciel sprzedaje członkom tej populacji ubezpieczenie w zamian za składkę płatną z góry w wysokości: 20 % μ Ε( Λ N > 0), a na koniec roku tym ubezpieczonym, którzy nie zgłosili żadnej szkody, wypłaca bonus w wysokości: 20 % μ Ε( Λ N > 0) Ε( Λ N = 0). { } Bonus wynosi: (A) (B) (C) (D) (E) 7 μ 8 5 μ 8 5 μ 20 3 μ 0 μ 3 6

N równą λ, rozkład wartości pojedynczej szkody jest taki sam dla wszystkich ubezpieczonych, a jego wartość oczekiwana wynosi μ, parametr Λ ma rozkład Gamma (2,4) o wartości oczekiwanej /2 i

7 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 7. O rozkładzie zmiennej losowej X wiemy, że: Pr ( X [ 0,0] ) = Ε( X ) = 2 Pr( X < 2) 2 Przy tych założeniach o rozkładzie wariancja zmiennej X może przyjmować różne wartości. Kres górny zbioru tych wartości równy jest: (A) 8 (B) 0 (C) 2 (D) 4 (E) 6 7

X < 2) 2 Przy tych założeniach o rozkładzie wariancja zmiennej X może

8 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 8. Szkoda Y może przyjmować wartości ze skończonego zbioru liczb { y, y2,, } takich, że W = n i= K min{ y, y2, K, } 3. Łączna wartość szkód w portfelu W równa się: N i y i, gdzie N to liczba szkód o wartości y. Załóżmy, że i N,, y n i K N n n to nawzajem niezależne zmienne losowe o rozkładach Poissona z wartościami oczekiwanymi odpowiednio λ, K,λ. Wiemy, że: ( ) 600 ( ) 7700 E W =, VAR W =, n λ = λ i = 00. i= Jeżeli do każdej szkody zastosujemy udział własny ubezpieczonego w wysokości d = 3, to wariancja łącznej wartości szkód pozostałej na udziale ubezpieczyciela wyniesie: (A) 400 (B) 4300 (C) 4500 (D) 4750 (E) 5000 y n 8

Łączna wartość szkód w portfelu W równa się: N i y i, gdzie N to liczba szkód o wartości y.

9 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 9. Niech: N oznacza liczbę roszczeń z jednego wypadku ubezpieczeniowego, zaś: T, T2,..., T N oznacza czas, jaki upływa od momentu zajścia wypadku do zgłoszenia roszczenia odpowiednio -go, 2-go,, N-tego (numeracja roszczeń od -go do N- tego jest całkowicie przypadkowa, nie wynika więc z chronologii ich zgłaszania) Załóżmy, że: zmienne losowe N T, T,,... są niezależne,, 2 T3, T2, T3,... zmienne losowe T mają identyczny rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej (jednostką pomiaru czasu jest miesiąc) zmienna losowa N ma rozkład logarytmiczny dany wzorem: k c Pr( N = k) =, k =,2,3,... z parametrem c ( 0,). ln( c) k Niech A oznacza zdarzenie, iż w ciągu pierwszych 2 miesięcy od zajścia wypadku zgłoszono dokładnie jedno roszczenie, a więc iż: dokładnie jedna liczba ze zbioru liczb { T, T2,..., }, jest mniejsza lub równa 2. Prawdopodobieństwo tego, że więcej roszczeń z tego wypadku już nie będzie, a więc: Pr( N = A) wynosi: T N (A) (B) c ln( ce ce ln( ce ) ) (C) ce (D) + ce (E) ce ln( c) 9

z chronologii ich zgłaszania) Załóżmy, że: zmienne losowe N T, T,,... są niezależne,, 2 T3, T2, T3,.

10 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 0. Niech θ będzie dodatnią liczbą rzeczywistą. Rozważmy parę zmiennych losowych i D, oznaczających odpowiednio: T θ - moment czasu, w którym zaszła szkoda, D czas, jaki upływa od momentu zajścia szkody do jej likwidacji. Jednostką pomiaru czasu jest jeden rok. Załóżmy, że oraz D są niezależne, przy czym: T θ T θ ma rozkład jednostajny na odcinku ( 0, θ ) D ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej równej jeden. T θ Sumę ( T + D) interpretujemy jako moment czasu, w którym zlikwidowano szkodę. θ Warunkową wartość oczekiwaną Ε( T + D ) D θ > θ interpretujemy jako oczekiwany odstęp w czasie pomiędzy momentem zajścia a momentem likwidacji szkody, pod warunkiem iż szkoda, do której doszło na odcinku czasu ( 0, θ ), do końca tego odcinka czasu zachowała status szkody niezlikwidowanej. Granica: lim Ε DT θ wynosi: ( + D > θ ) θ (A) (B) (C) (D) (E) rok 3/2 roku 5/3 roku dwa lata nieskończoność 0

Jednostką pomiaru czasu jest jeden rok. Załóżmy, że oraz D są niezależne, przy czym: T θ T θ ma rozkład jednostajny na odcinku ( 0, θ ) D ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej równej jeden.

11 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2008 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko :... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadanie nr Odpowiedź Punktacja C 2 D 3 B 4 A 5 A 6 E 7 B 8 E 9 C 0 D * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.

.. K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel.

Podobne dokumenty

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r. Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym portfelu ryzy ubezpieczycielowi udaje się reompensować sobie jedną trzecią wartości pierwotnie wypłaconych odszodowań w formie regresów. Oczywiście