Metody Informatyczne w Budownictwie Metoda Elementów Skoczonych ZADANIE NR 1

Transkrypt

1 Metody Informatyczne w Budownictwie Metoda Elementów Skoczonych ZADANIE NR 1 Wyznaczy wektor sił i przemieszcze wzłowych dla układu elementów przedstawionego na rysunku poniej (rysunek nie jest w skali!). kn 1kN kn m 1kN 5kN/m 1kN/m 5m kn 5m k 1 k 1 k k 5m 5m Rysunek 1 Prosz dobra elementy dyskretyzujce układ majc do dyspozycji nastpujce parametry geometryczne i materiałowe: - sztywno spryn: k 1 = 1 kn/m, k = 5 kn/m - moduł sprystoci: E = kpa - pole przekroju poprzecznego: A =.1m - moment bezwładnoci: I = 1-5 m 4 ROZWIZANIE Krok 1 dyskretyzacja zadania Układ naley podzieli na elementy i wzły. Mona to zrobi na kilka sposobów, przy czym naley pamita, e od dyskretyzacji bd uzalenione wyniki! Przykład dyskretyzacji przedstawia rysunek. Kolorem niebieskim zaznaczono numeracj wzłów, a kolorem czerwonym numeracj i rodzaje elementów przypisanych poszczególnym fragmentom zdykretyzowanego układu.

2 6 RamaD 5 4 RamaD 3 PrtD 6 PrtD 9 RamaD PrtD 7 PrtD 8 PrtD 1 RamaD 1 9 RamaD 11 1 RamaD 13 1 Spryna 1 3 Spryna 11 Spryna 15 Spryna 1 13 Rysunek Krok utworzenie macierzy sztywnoci dla kadego elementu Mamy 4 elementy sprynowe, 6 elementów typu ramad oraz 5 elementów typu prtd. Cztery macierze sztywnoci spryn: k1, k, k i k15 utworzymy komendami: >>k1=sztywnoscelementsprezynowy(1) >>k=sztywnoscelementsprezynowy(5) >>k=sztywnoscelementsprezynowy(1) >>k15=sztywnoscelementsprezynowy(5) Sze macierzy sztywnoci ramd: k3, k4, k5, k11, k1 i k13 wymaga zdefiniowania ich charakterystyk geometryczno-materiałowych, tj: >>E=8E7; >>A=.1; >>I=1E-5; >>L3=5; >>theta3=9; >>L4=5; >>theta4=; >>L5=5; >>theta5=9; >>L11=5; >>theta11=7; >>L1=5; >>theta1=; >>L13=5; >>theta13=7; po czym mona przystpi do utworzenia macierzy elementów komendami: >>k3=sztywnoscelementramowyd(e,a,i,l3,theta3) >>k4=sztywnoscelementramowyd(e,a,i,l4,theta4) >>k5=sztywnoscelementramowyd(e,a,i,l5,theta5) >>k11=sztywnoscelementramowyd(e,a,i,l11,theta11) >>k1=sztywnoscelementramowyd(e,a,i,l1,theta1) >>k13=sztywnoscelementramowyd(e,a,i,l13,theta13)

3 ostatnie pi macierzy elementowych dla prtówd: k6, k7, k8, k9 i k1 powstanie w wyniku wykonania czynnoci zwizanych z: - deklaracj charakterystyk geometrycznych elementów: >>[L6 theta6]=dlugosckatelementpretowyd(,1,5,1); >>L7=; >>theta7=7; >>[L8 theta8]=dlugosckatelementpretowyd(5,1,1,1); >>L9=5; >>theta9=; >>L1=5; >>theta1=; - budow sztywnoci elementów: >>k6=sztywnoscelementpretowyd(e,a,l6,theta6) >>k7=sztywnoscelementpretowyd(e,a,l7,theta7) >>k8=sztywnoscelementpretowyd(e,a,l8,theta8) >>k9=sztywnoscelementpretowyd(e,a,l9,theta9) >>k1=sztywnoscelementpretowyd(e,a,l1,theta1) Krok 3 składanie macierzy sztywnoci elementów w jedn globaln macierz dla całego układu Aby poprawnie poskłada macierze elementów k i (i=1,,3,...,15) w jedn globaln macierz sztywnoci K, naley ustali liczb wszystkich stopni swobody w naszym zdyskretyzowanym układzie. Numeracj stopni swobody przedstawia rysunek 3. Naley pamita o generalnej zasadzie, e jeli w wle łcz si róne elementy, to musz by w nim dopasowane stopniami swobody k 9 k k 6 k 8 k 7 18 k k 1 k 1 k k k 1 k k k 8 k 15 9 Rysunek 3 Poniewa w układzie mamy 9 stopni swobody, globalna macierz sztywnoci bdzie miała wymiar 9x9. Macierz K naley przed składaniem wyzerowa, co wykonujemy komend:

4 >>K=zeros(9,9) Poniewa mamy 15 elementów, to funkcje składania sztywnoci naley wywoła a 15 razy, uwaajc na liczb oraz numery stopni swobody składanego elementu. Mamy do dyspozycji trzy funkcje składania sztywnoci: ZlozSztywnosc1S dla elementów z 1 stopniem swobody w wle (spryna), ZlozSztywnoscS dla elementów z stopniami swobody w wle (prtd) i ZlozSztywnosc3S dla elementów z 3 stopniami swobody w wle (ramad). Kad z tych funkcji naley wywoła tyle razy, ile danych elementów jest w układzie podajc jako parametry globaln macierz K (która jest wynikiem), macierz elementu k i (i=1,,3,...,15) i numery stopni swobody definiujce dany element (najpierw w wle o niszym numerze, a potem w wle o wyszym numerze): - najpierw 4 spryny (prosz porówna z rysunkiem nr 3) >>K=ZlozSztywnosc1S(K,k1,1,3) >>K=ZlozSztywnosc1S(K,k,,4) >>K=ZlozSztywnosc1S(K,k,5,8) >>K=ZlozSztywnosc1S(K,k15,6,9) - potem 6 ram >>K=ZlozSztywnosc3S(K,k3,3,4,5,6,7,8) >>K=ZlozSztywnosc3S(K,k4,6,7,8,9,1,11) >>K=ZlozSztywnosc3S(K,k5,6,7,8,1,13,) >>K=ZlozSztywnosc3S(K,k11,19,,1,,3,4) >>K=ZlozSztywnosc3S(K,k1,9,1,11,,3,4) >>K=ZlozSztywnosc3S(K,k13,,3,4,5,6,7) - i na kocu 5 prtów >>K=ZlozSztywnoscS(K,k6,1,13,15,16) >>K=ZlozSztywnoscS(K,k7,15,16,17,18) >>K=ZlozSztywnoscS(K,k8,15,16,19,) >>K=ZlozSztywnoscS(K,k9,1,13,17,18) >>K=ZlozSztywnoscS(K,k1,17,18,19,) Na odpowiednich miejscach w macierzy K pojawi si sumowane sztywnoci poszczególnych elementów. Krok 4 uwzgldnienie warunków brzegowych Warunkami brzegowymi w naszym zadaniu s: - znane przemieszczenia wzłów nr 1,, 1 i 13 podpory unieruchamiaj nastpujce stopnie swobody: 1,, 8 i 9, tj. U1 = U = U8 = U9 = (stosujemy wielkie litery U,, Φ i M, bo pracujemy na stopniach swobody!) - znane obcienia w pozostałych stopniach swobody (zobacz rysunek 4 i 5): 3 = kn 4 = kn 5 = M5 = knm 6 = kn 7 = q1 L / = 5 5/ = 1.5kN 8 = M8 = q1 L /1 = 5 5 /1 = 1.4kNm 9 = kn

5 = q 1 = q = kn = kn = M = kn = 1kN = kn = kn = 1kN = kn = M = kn = q L / = 1 5/ = 5kN = M3 = q L /1 = 1 5 = kn = kn = M L / + q 1 1 L 7 /1 + q = knm = knm = knm L / = 5 5/ 1 5/ = 37.5kN L /1 = 5 5 /1 1 5 /1 =.83kNm /1 = 1.4kNm U 16=? 16=-1kN U 15 =? 15=-kN U 13=? 13 =-kn U 7=? 7=-1.5kN Φ =? M =knm U 1=? 1=kN Φ 8=? M 8=-1.4kNm U 6=? 6=kN U 18=? 18=kN U 17=? 17=kN U 9=? 9=kN U =? =kn U 1=? 1=-37.5kN U 3=? Φ 11 =? 3=-5kN M 11=-1.4kNm Φ 1=? M 1=kNm U 19=? 19=-1kN Φ 4=? M 4=.83kNm U =? =-kn U 4=? 4=kN Φ 5=? M 5=kNm U 6=? 6=kN Φ 7 =? M 7=kNm U 1=m 1=? U 3=? 3=kN U 5=? 5=kN U 8=m 8=? U =m =? U 9=m 9=? Rysunek 4 Poniewa obcienie równomiernie rozłoone q musi zosta zamienione na ekwiwalentne obcienia wzłowe i M, stosujemy dobrze znany schemat oblicze, przedstawiony na rysunku 5 (prosz zwróci uwag na konwencj znaków przy wartociach momentów i sił skupionych!).

6 q + ql/ ql/ L Rysunek 5 ql /1 ql /1 Powyszy układ obcie wprowadzamy w postaci globalnego wektora (ma 9 pozycji, tyle ile stopni swobody w układzie): - zerowanie całego wektora (nie trzeba bdzie wprowadza zerowych obcie) >>=zeros(9,1); - wprowadzamy siły skupione >>(13)=-; >>(15)=-; >>(16)=-1; >>(19)=-1; >>()=-; - wprowadzamy obcienia ekwiwalentne (dobrym zwyczajem jest pozwoli programowi na wyliczenie wartoci ni wklepywa zaokrglone, a wic niedokładne, liczby) >>(7)=-5*5/; >>(8)=-5*5*5/1; >>(1)=-5*5/-1*5/; >>(11)=5*5*5/1-1*5*5/1; >>(3)=-1*5/; >>(4)=1*5*5/1; Uwzgldniajc wiadome przemieszczenia, układ równa redukuje si z 9 do 5 równa. Wycinamy z macierzy K kolumny i wiersze odpowiadajce unieruchomionym stopniom swobody, tj. 1,,8 i 9 (kopiujemy zatem wiersze i kolumny z wntrza macierzy K: od 3 do 7): >>k=k(3:7,3:7); to samo robimy z wektorem obcie (nie znamy przecie reakcji 1,, 8 i 9) >>f=(3:7); Krok 5 rozwizanie równa Wyliczamy nieznane przemieszczenia poleceniem (eliminacja Gaussa): >>u=k\f i otrzymujemy w wyniku przemieszczenia i rotacje dla stopni swobody od 3 do 7: u =

7 (przemieszczenia s w [m] a rotacje w [rad]). Krok 6 obróbka wyników (postprocessing) Majc przemieszczenia wszystkich wzłów, moemy obliczy reakcje w podporach. Najpierw zbierzmy przemieszczenia w jeden wektor (dodajemy znane przemieszczenia do wyników): >>U=[;;u;;] a potem wyliczmy siły: >>=K*U otrzymamy w wyniku komplet obcie wzłowych: =

8 (siły s w [kn] a momenty w [knm]). Zatem, reakcje wynosz: 1 = kN; = 6.65kN, 8 = kN i 9 = 44.35kN. Odkształcony układ został przedstawiony na rysunku Rysunek 6 ZADANIE NR Zaproponowa modyfikacj układu konstrukcyjnego z zadania poprzedniego, dziki której zmniejszeniu ulegn przemieszczenia poziome. ROZWIZANIE Jednym z najprostszych rozwiza jest zablokowanie moliwoci obrotu elementów nr 3 i 13 w wzłach nr 3 i 11 zatem o ile moliwe bd ograniczone przemieszczenia poziome i pionowe w tych wzłach (sprynki, czyli podatne podłoe gruntowe), o tyle połczenia nie bd miały przegubów. Krok 1 dyskretyzacja zadania Układ moe by podzielony na elementy i wzły tak jak w zadaniu poprzednim - zobacz rysunek łatwiejsze bdzie porównanie uzyskanych wyników.

9 Krok utworzenie macierzy sztywnoci dla kadego elementu Poniewa pracujemy na tym samym zdyskretyzowanym układzie, komendy s identyczne jak w kroku nr w zadaniu poprzednim. Jeli zadanie to rozwizujemy bezporednio po zadaniu 1, to w pamici Matlaba s ju zadeklarowane macierze sztywnoci wszystkich elementów i nie trzeba ju ich drugi raz oblicza. Krok 3 składanie macierzy sztywnoci elementów w jedn globaln macierz dla całego układu Komentarz jest taki sam jak w kroku. Krok 4 uwzgldnienie warunków brzegowych Warunkami brzegowymi w naszym zadaniu s: - znane przemieszczenia wzłów nr 1,, 1 i 13 podpory unieruchamiaj nastpujce stopnie swobody: 1,, 8 i 9, tj. U1 = U = U8 = U9 =, a do tego dochodz jeszcze blokady rotacji w wzłach nr 3 i 11, tj. stopnie swobody: U5 = Φ5 = U7 = Φ7 = (zobacz rysunek 7, prosz zwróci uwag, e wygodniej jest operowa tylko jednym wektorem U, ni dwoma U i Φ i dlatego rotacje w obliczeniach te zapiszemy jako U; ta sama uwaga dotyczy wektora obcie wzłowych i M stosujemy oznaczenie wspólne: ) - znane obcienia w pozostałych stopniach swobody tak jak w zadaniu poprzednim (zobacz rysunek 7): U 16=? 16=-1kN U 15=? 15=-kN U 13 =? 13=-kN U 7=? 7=-1.5kN Φ =? M =knm U 1 =? 1=kN Φ 8=? M 8=-1.4kNm U 6=? 6=kN U 18=? 18=kN U 17=? 17=kN U 9=? 9=kN U =? =kn U 1=? 1=-37.5kN U 3=? Φ 11=? 3 =-5kN M 11=-1.4kNm Φ 1=? M 1=kNm U 19=? 19=-1kN Φ 4=? M 4=.83kNm U =? =-kn U 4=? 4=kN Φ 5= M 5=?kNm U 6=? 6=kN Φ 7= M 7=?kNm U 1=m 1=? U 3=? 3=kN U 5=? 5=kN U 8=m 8=? U =m =? U 9=m 9=? Rysunek 7 Powyszy układ obcie wprowadzamy w postaci globalnego wektora (ma 9 pozycji, tyle ile stopni swobody w układzie): - zerowanie całego wektora (zerujemy poprzednie wyniki) >>=zeros(9,1); - wprowadzamy siły skupione >>(13)=-;

10 >>(15)=-; >>(16)=-1; >>(19)=-1; >>()=-; - wprowadzamy obcienia ekwiwalentne >>(7)=-5*5/; >>(8)=-5*5*5/1; >>(1)=-5*5/-1*5/; >>(11)=5*5*5/1-1*5*5/1; >>(3)=-1*5/; >>(4)=1*5*5/1; Uwzgldniajc wiadome przemieszczenia i rotacje, układ równa redukuje si z 9 do 3 równa (4 znane przemieszczenia i rotacje). Wycinamy z macierzy K kolumny i wiersze odpowiadajce unieruchomionym stopniom swobody, tj. 1,, 5, 7, 8 i 9 (kopiujemy zatem wiersze i kolumny z wntrza macierzy K: od 3 do 4 i od 6 do 6): >>k=[k(3:4,3:4) K(3:4,6:6); K(6:6,3:4) K(6:6,6:6)]; to samo robimy z wektorem obcie (nie znamy przecie reakcji 1,, 5=M5, 6=M6, 7 i 8) >>f=[(3:4);(6:6)]; Krok 5 rozwizanie równa Wyliczamy nieznane przemieszczenia poleceniem (eliminacja Gaussa): >>u=k\f i otrzymujemy w wyniku przemieszczenia i rotacje dla stopni swobody od 3 do 4 i od 6 do 6: u = (przemieszczenia s w [m] a rotacje w [rad]).

11 Krok 6 obróbka wyników (postprocessing) Majc przemieszczenia wszystkich wzłów, moemy obliczy reakcje w podporach. Najpierw zbierzmy przemieszczenia w jeden wektor (dodajemy znane przemieszczenia do wyników zera na pozycjach 1,, 5, 7, 8 i 9): >>U=[;;u(1:);;u(3:3);;;] a potem wyliczmy siły: >>=K*U otrzymamy w wyniku komplet obcie wzłowych: = (siły s w [kn] a momenty w [knm]). Zatem, reakcje wynosz: 1 = kN; = kN, 5 = M 5 = -6.49kNm, 7 = M 7 =.415kNm, 8 = kN i 9 = kN. Głównym celem modyfikacji zadania, było zmniejszenie przemieszcze poziomych układu, które zestawiono w tabeli poniej, zaznaczajc je kolorem czerwonym. Stopie Swobody Zadanie Zadanie

12 Z wyjtkiem dwóch stopni swobody, zaznaczonych w tabeli powyej pogrubion czcionk, wszystkie przemieszczenia poziome s ponad dwukrotnie mniejsze po modyfikacji układu. Porównanie odkształconych układów przedstawiono na rysunku 8 (kolorem niebieskim zaznaczono wyniki z zadania nr ) Rysunek 8 KONIEC