RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska

Transkrypt

1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1

2 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania (1.1) nazywamy funkcję ϕ(t) klasy C n, która podstawiona do równania w miejsce x zmienia to równanie w tożsamość. Wykres funkcji ϕ (t) w przestrzeni R m+1 zmiennych (t,x) nazywamy krzywą całkową równania (1.1). Definicja. Weźmy równanie: x (t) = f(t, x(t)) (1.) Zagadnienie początkowe(cauchy ego) dla równania (1.) z warunkiem początkowym x(t 0 ) = x 0 : { x (t) = f(t, x(t)) x(t 0 ) = x 0 (1.3) Definicja 3. autonomiczne(zależy tylko od x) nieautonomiczne(zależy dodatkowo od czasu t) x = f(x) x = f(t, x) x = x x = t + x Definicja 4. Tablica I: Rodzaje równań Rozwiązaniem zagadnienia (1.3) nazywamy funkcję klasy C 1 na przedziale [t 0, t 0 + a] spełniającą równanie (1.) oraz warunek początkowy x(t 0 ) = x 0.

3 Rozdział Istnienie i jednoznaczność rozwiązań równań różniczkowych Założenia wspólne: f(t, x) : R m+1 R m Q = {(t, x) : t t 0 a, x x 0 b} M := sup (t,x) Q f(t, x) nazwa tw. założenia teza PEANO f ciągła na Q zagadnienie (1.) ma rozwiązanie α = min(a, b ) na [t M 0, t 0 + α] PICARDA- f Lipschitzowska ze stałą L zagadnienie (1.) ma jednoznaczne LINDELÖFA α < min(a, b, 1 ) M L rozwiązanie na t t 0 α Tablica I: Twierdzenia o istnieniu rozwiązań UWAGA: Są to twierdzenia dotyczące rozwiązań lokalnych jednak zbiory rozwiązań można konstruować tak, aby je przedłużać. Przykład 1. Niejednoznaczność rozwiązań przy braniu funkcji nie będącej Lipschitz a. Metoda rozdzielania zmiennych: dx dx = x 0 = x(1) = (1 + ( c dt )) x = dt = 1 = c = x 1 = t + C x(t) = (t 1) x = (t + C ) - całka ogólna x(t)=0 dorzucamy jeszcze rozw. osobliwe NIEJEDOZNACZNOŚĆ c -4-4 x(t) t - 3-4

4 Rozdział 3 Równania liniowe 3.1 Równania liniowe pierwszego rzędu Definicja 5. Równanie liniowe: gdzie p(t),q(t) funkcje zmiennej t (a, b) Równanie liniowe jednorodne: Twierdzenie 1. x +p(t)x=q(t) (3.1) x +p(t)x=0 (3.) Niech będzie dany operator liniowy L(x)=x +p(t)x. Wtedy: a). Jądro operatora L jest przestrzenią jednowymiarową, jej bazą jest funkcja u(t) = exp( t 0 p(s)ds); x-rozw.(3.) L(x) = 0(x Ker). b). u(t) = t 0 q(τ)exp( τ p(s)ds)dτ jest szczególnym rozwiązaniem równania niejednorodnego L(x)=q(t) (uzmiennianie stałych). c). Każde rozwiązanie równania L(x)=q(t) można przedstawić w postaci sumy rozwiązania szczególnego u p (t) i pewnego rozwiązania z jądra operatora L, tzn. x(t) = u p (t) + u(t) UWAGA: Istnieją różne typy równań sprowadzalnych do równań liniowych np. Bernoulliego, Riccatiego. 4

5 3. Równania liniowe drugiego rzędu Definicja 6. Zagadnienie początkowe: x +p(t)x +q(t)x=r(t) (3.3) Warunek początkowy: x(t 0 ) = x 0,x (t 0 ) = x 1 (3.4) Definicja 7. Niech x 1 (t), x (t) funkcje różniczkowalne na (a,b). Wrońskianem układu x 1, x nazywamy wyrażenie: ( ) x1 (t) x W (x 1, x )(t) = det (t) x 1(t) x = x 1 (t)x (t) x (t)x 1(t) (3.5) (t) Gdy W (x 1, x )(t) 0 to układ funkcji x 1, x nazywamy liniowo niezależnym. Twierdzenie. Niech będzie dany operator liniowy rzędu : Wtedy: L(x)=x +p(t)x +q(t)x. a). Jądro operatora L jest dwuwymiarowe, jego bazą są funkcje x 1, x spełniające warunek W (x 1, x )(t) 0 b). Każde rozwiązanie równania L(x)=q(t) można przedstawić w postaci sumy rozwiązania szczególnego x p (t) i pewnego rozwiązania z jądra operatora L, tzn. Definicja 8. x(t) = x p (t) + C 1 x 1 (t) + C x (t) Równanie charakterystyczne operatora liniowego L(x) = ax + bx + cx: aλ + bλ + c = 0 (3.6) 5

6 Rozwiązania równania L(x) = 0 zależą od : > 0 < 0 = 0 pierwiastki λ 1 λ R λ 1 λ - sprzężone C podwójny: λ 1 (t) = e b a t rozw. L(x)=0 e λ1t, e λ e λ1t = e αt (cosβt + isinαt) e λ1t, te λ 1t e λt = e αt (cosβt isinαt) rozw.ogólne c 1 e λ1t + c e αt c 1 e αt cosβt + c e λ sinβt tλ 1 (t) Tablica II: Rozwiązania równania L(x)=0 Znajdziemy rozwiązanie ogólne równania: x + 5x + 4x = 0 oraz zagadnienia początkowego : x(0) = 1, x (0) = λ + 5λ + 4 = 0 równanie charakterystyczne λ 1 = 4, λ = 1 pierwiastki x(t) = c 1 e 4t + c e t rozwiązanie ogólne x(0) = c 1 + c, x (0) = 4c 1 c c 1 = 1, c = x(t) = e 4t + e t rozwiązanie zagadnienia początkowego 3.3 Układy równań liniowych Definicja 9. Niech A(t) - macierz m m Rozważmy równanie: x = A(t)x (3.7) Macierzą fundamentalną układu (3.7) nazywamy macierz kwadratową m m spełniającą równanie X =A(t)X, dla której (t) 0. x x m 1 Gdzie macierz : X(t) = , a kolumnami są wektory x 1(t),...x m (t) x 1 m... x m m nazywane fundamentalnym układem rozwiązań układu (3.7). 6

7 Twierdzenie 3. Każde liniowe równanie jednorodne postaci (3.7) ma układ fundamentalny. Przykład. Znajdź macierz fundamentalną: Rozwiązanie: x = 3x + 5y y = 4x 5y z = 3x + 4y + 3z A = det(a λi) = 144 λ 1 = 7, λ = 5 wartości własne J(A) = macierz Jordana (A λi)x = 0 x 1 = (0, 0, 1), x = ( 5 P (x 1, x, x 3 ) = e J(A)t = 3, 1, ), x 4 3 = (1,, e 3t e 5t e 7t 1 macierz przejścia ) wektory własne 5 Rozwiązaniem układu jest: x(t) = P e J(A)t C e5t C + e 7t C 3 = e 5t C e 7t C 3 e 3t C e5t C + 1 e 7t C 3 7

8 3.4 Stabilność rozwiązań równań różniczkowych Definicja 10. Punkt x 0 nazywamy punktem stacjonarnym (płożeniem równowagi) równania x = f(x), jeżeli f(x 0 ) = 0. Przykład 3. Niech f(x)=x. Wtedy f=0, gdzy x=0. Zatem rozwiązanie x(t)=0 jest jedynym rozwiązaniem stacjonarnym podanego równania. Rozwiązania stacjonarne (x=const) STABILNE (w sensie Lapunowa) NIESTABILNE jeśli startując z warunku początkowego x 0 blisko rozwiązania stacjonarnego, pozostajemy w pobliżu tego rozwiązaniawraz z upływem czasu. ASYMPTOTYCZNIE STABILNE jeśli znajdzie się taki początkowy początkowy dowolnie blisko x=const dla którego rozwiązanie ucieka od x=const wraz z upływem czasu. jeśli jest stabilne i dla warunku pocz. dostatecznie blisko x=const rozwiązanie x(t) z tym war. pocz. zbiega do x przy t f(x) = x (as.) Przykłady f(x) = x Tablica III: Rodzaje rozwiązań 8

9 Hartmana-Grobmana Lapunowa x = Ax, σ(a)-spectrum A - zbiór wartości własnych A Re(σ(A)) < 0 = x=0 jest jeżeli f(p)=0 i wśród wartości własnych Df(p) asymptotycznie stabilnym p.równowagi nie ma wartości własnych czysto urojonych, Re(σ(A)) 0 oraz każda wartość to równanie nieliniowe x = f(x) i liniowe x = df(p) własna jest semiprosta = x=0 stabilny są topologicznie sprzężone w otoczeniu p. w.własna λ σ(a) taka, że Re(λ) > 0 to x=0 jest niestabilny. Tablica IV: Twierdzenia dotyczące stabilności punktu Przykład 4. { y = y z = z + y Rozwiązanie: szukamy punktów równowagi: macierz linearyzacji: ( df1 dy df dy df 1 dz df 1 dz { y = 0 z + y = 0 ) ( 1 0 y 1 ) { y = 0 z = 0 (0,0) obliczamy ( ) macierz linearyzacji w podanym punkcie (0,0): 1 0 wartości własne to -1,1. Nie ma wartości czysto urojonych więc korzystając z powyższych twierdzeń punkt (0,0) jest niesta- 0 1 bilny. 9

10 Dodatek Twierdzenie 4. Nierównośc Gronwalla Niech I R będzie otwarym odcinkiem takim, że t 0 C(I, R + ). Jeżeli t I zachodzi: I oraz α, β, u to dla każdego t I Definicja 11. u(t) α(t) + t 0 β(s)u(s)ds u(t) α(t) + α(s)β(s)e tβ(σ)dσ s ds t 0 Ustalmy ɛ > 0 oraz f C(IxD, R n ). Funkcję u : I u D nazywamy ɛ rozwiązaniem równania różniczkowego (1.1) jeżeli: I u I - niepusty i otwarty odcinek u C(I u, D) - odwzorowanie kawałkami klasy C 1 J I u takiego, że u C 1 (J, D) zachodzi nierówność: Twierdzenie 5. u (t) f(t, u(t)) ɛ (lemat) Niech I u I R (niepusty i otwarty odcinek) i niech f C(IxD, R n ). Ustalmy t 0 I. Odwzorowanie u : I u D jest rozwiązaniem równania różniczkowego u C(I u, D) oraz t I u u(t) = u(t o ) + f(s, u(s))ds t 0 10