Wiadomości uzupełniające

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wiadomości uzupełniające"

Transkrypt

1 Rozdział 3 Wiadomości uzupełniające (Fragment z książki: I. Sobol. Metoda Monte Carlo. Moskwa, Nauka, 985.). O liczbach pseudolosowch Większość algortmów otrzmwania liczb pseudolosowch jest postaci γ k+ = F(γ k ). (38) Jeśli zadana jest początkowa liczba γ to wszstkie następne γ, γ 2,..., wliczane są według tego samego wzoru (38) dla k =, 2,..., Metoda środka kwadratów z p. 3.3 jest również postaci (38). W jej wpadku zamiast analitcznego wrażenia = F() podano zbiór operacji, które należ wkonać nad argumentem w celu otrzmania. =F() Rs Jaka powinna bć funkcja F()? Następując przkład pozwala zrozumieć na czm polega podstawowa trudność związana z wborem F(). P r z k ł a d Pokażem, że funkcja = F() przedstawiona na Rs. 28 nie może bć użwana w procesie generowania liczb pseudolosowch według wzoru (38). Rozpatrzm punkt o współrzędnch kartezjańskich (γ, γ 2 ), (γ 3, γ 4 ), (γ 5, γ 6 ),... rozmieszczone w jednostkowm kwadracie { < <, < < }. Ponieważ w tm wpadku γ 2 = F(γ ), γ 4 = F(γ 3 ), γ 6 = F(γ 5 ),..., to wszstkie takie punkt leżą na krzwej = F(). Jest to źle gdż punkt losowe powinn wpełniać równomiernie cał kwadrat. Z rozpatrzonego przkładu wnika, że użwając funkcji = F() we wzorze (38) można spodziewać się sukcesu tlko wted, gd jej grafik dostatecznie gęsto zapełnia cał kwadrat. Własność taką posiada np. funkcja = {g}, (39) gdzie g jest dużą liczbą, a {z} oznacza ułamkową część liczb z, tzn. {z} = z [z]. Na Rs. 29 pokazano wkres takiej funkcji prz g = 2. Cztelnik może sobie wobrazić, jak taki wkres wgląda w przpadku g = 5 7.

2 2 Rozdział 3. Wiadomości uzupełniające Rs Metoda porównań (metoda residuów) Najbardziej powszechną metodą generowania liczb pseudolosowch jest metoda zaproponowana przez D. Lemmera. Podstawę algortmu stanowi funkcja (39), jednakże dla wgod, jej realizacja na komputerze przebiega nieco inaczej. Definiuje się ciąg liczb całkowitch m k, w którm zadana jest liczba początkowa m =, a następne, m, m 2,... są wliczane według tego samego wzoru m k+ = 5 7 m k (mod2 4 ) (4) dla k =,, 2,.... Z liczb m k otrzmuje się liczb pseudolosowe γ k = 2 4 m k. (4) Formuła (4) mówi, że liczba m k+ jest równa reszcie z dzielenia liczb 5 7 m k przez 2 4. W teorii porównań (patrz dowoln podręcznik z teorii liczb) taką resztę nazwa się najmniejszm dodatnim residuum modulo 2 4. Stąd pochodzą obie nazw algortmu metoda porównań i metoda residuów. Spotkan termin metoda kongruencji jest wnikiem błędnego tłumaczenia. Angielski termin congruence posiada dwa znaczenia i oznacza zarówno kongruencję jak też równość modulo. Formuł (4) i (4) dają się łatwo realizować na komputerach pracującch z liczbami 4 bitowmi z wkorzstaniem polecenia mnożenia liczb podwójnej preczji. Należ wkorzstać młodsze cfr ilocznu. Okres ciągu m, m, m 2,..., pokrwa się z odcinkiem aperiodczności: P = L = Zawarte są w nim wszstkie liczb postaci 4n + nie większe niż Komputer serii EC Większość maszn cfrowch tej serii pracuje z liczbami 3 bitowmi. W ich oprogramowanie matematczne wchodzi generator RANDU polecan przez specjalistów IBM. Również tutaj realizowana jest metoda residuów: m k+ = g m k (mod 2 3 ), γ k = 2 3 m k, m =. Cznnik g = = został jednak wbran tak niezręcznie, że generator jest, praktcznie biorąc, zł. Zostało to pokazane przez wielu obliczeniowców dużo wcześniej nim udowodniono nieprzdatność generatora. W tm przpadku można polecić cznnik g = 5 3. Ciekawe, że liczb z grup γ, γ 2,..., γ N dla N = są jawnie żle rozmieszczone w przedziale (, ). 2 Jednak prz wzroście N rozkład poprawia się i prz N 5 jest całkowicie zadowalając. Dla rozpatrwanego ciągu P = L = Forsth J., Malcolm M., Mouler K., Komputerowe metod obliczeń matematcznch. M., Mir, 98. Tłumacz tej książki z niewiadomch powodów uznał za stosowne opatrzć wezwanie autorów b nie użwać RANDU następującą uwagą: To ostrzeżenie odnosi się oczwiście, do amerkańskich cztelników książki... 2 Pokazał to B. W. Schuhman.

3 . O metodach generowania wielkości losowch 3. O metodach generowania wielkości losowch W paragrafie tm przedstawiono najważniejsze metod generowania wielkości losowch. U podstaw klasfikacji tego rodzaju metod leż ilość liczb losowch potrzebnch do otrzmania jednej wartości ξ. Podstaw klasfikacji można znaleźć w [3] gdzie pokazano ją po raz pierwsz.. Przekształcenie postaci ξ = g() Pierwsze miejsce wśród tego tpu przekształceń zajmuje bezspornie metoda funkcji odwrotnch. Pokażem, że sposob generowania dskretnch i ciągłch wielkości losowch, które został pokazane w 4, są szczególnmi przpadkami tej metod. Przpominam, że dstrbuantą (funkcją rozkładu) dowolnej wielkości losowej nazwa się funkcję F() = P{ξ < }, określoną dla wszstkich < <. Oczwiście, F(). łatwo pokazać, że funkcja F() nie maleje ze wzrostem i, że zawsze istnieją granice lim F() = i lim F() =. Funkcja F() nie musi jednakże bć silnie monotoniczna: w pewnch przedziałach może bć stała. Nie musi też bć ciągła: może posiadać skoki. =F() =G() Rs. 3 Załóżm, że = F() jest ciągła i silnie monotoniczna (Rs. 3). Istnieje wówczas ciągła funkcja odwrotna = G(), dla której prz wszstkich < < i wszstkich < < G(F()) =, F(G()) =. (42) Pokażem, że dstrbuantą zmiennej losowej G() jest F(). Rzeczwiście, P{G(γ) < } = P{F(G(γ)) < F()} = P{γ < F()}. Ponieważ γ ma rozkład jednorodn w przedziale (, ), to prawdopodobieństwo P{γ < F()} = P{ < γ < F()} jest równe długości przedziału (, F()), tzn. równa się F(). Pokazaliśm więc, że P{G(γ) < } = F(). (43) W konsekwencji, zmienna losowa ξ z ciągłą i monotoniczną funkcją rozkładu F() może bć generowana według reguł ξ = G(γ). (44) Podobnie jak γ, γ równomiernie wpełnia przedział (, ). Zamiast formuł (44) można więc użwać formuł ξ = G( γ). (45)

4 4 Rozdział 3. Wiadomości uzupełniające Przedstawiona metoda generowania zmiennch losowch według reguł (44) lub (45) nosi nazwę metod funkcji odwrotnch. Okazuje się, że metodę funkcji odwrotnch można zastosować do generowania liczb losowch ξ dla przpadku dowolnej funkcji rozkładu F(). W miejscach gdzie funkcja odwrotna (w zwkłm sensie) jest niejednoznaczna lub, gd nie jest określona dla wszstkich < <, należ ją rozsądnie rozszerzć. W ten sposób = G() stanie się jednoznaczna i niemalejąca, i chociaż nie można zagwarantować, że prz wszstkich < < i < < będą spełnione równości (42) to będzie spełnione żądanie słabsze, a mianowicie nierówności G() i F(). To wstarcza b zamiast (43) zapisać P{G(γ) < } = P{G(γ) } = P{γ F()} = P{γ < F()}. P r z k ł a d Rozpatrzm ciągłą wielkość losową ξ z p 4.2. łatwo pokazać, że krzwa przedstawiona na Rsunkach 2 i 3 jest częścią dstrbuant. Jeśli a < < b to F() = P{ξ < } = P{a < ξ < } = p() d. (46) Pełna dstrbuanta została przedstawiona na Rs.3. Pokazano też funkcję odwrotną = G(). W przkładzie tm rozsądne rozszerzenie funkcji odwrotnej sprowadziło się do tego, że fragment funkcji = F() uzupełniono prz < a i > b. Jest rzeczą oczwistą, że metoda z p. 4.2 (patrz (23)) pokrwa się z metodą funkcji odwrotnch (patrz (44)). =F() p +p +p 2 3 p +p 2 p =F() a b =G() p +p +p 2 3 p +p 2 =G() p a b Rs Rs. 32 P r z k ł a d Rozpatrzm dskretną zmienną losową ξ z p. 4.. Funkcję rozkładu tej zmiennej w szczególnm przpadku n = 4 pokazuje Rs.32. Wbierając dowolną wartość γ na osi, zawartą międz zerem i jednością stwierdzam, że odpowiadająca jej wartość G(γ) jest równa jednej z wartości i takiej, że P{G(γ) = i } = p i. Widać stąd, że metoda z p. 4. jest również metodą funkcji odwrotnch. P r z k ł a d Rozpatrzm wielkość losową ξ tpu mieszanego, której rozkład z prawdopodobieństwem.4, jest równomiern w przedziale < < 2 i z prawdopodobieństwem.6 zmienna ta przjmuje wartość. Na Rs.33 pokazano nieciągłą dstrbuantę F() tej zmiennej oraz funkcję odwrotną G(). Ponieważ {.2, < <, F() =.2 +.6, < < 2.

5 . O metodach generowania wielkości losowch 5..8 =F() =G().2 2 Rs. 33 to z (44) otrzmujem następującą regułę losowania ξ: { 5γ, < γ <.2, F() =,.2 < γ <.8, 5(γ.6),.8 < γ <. Wbór losowego kierunku w przestrzeni Kierunek będziem zadawać za pomocą wektora jednostkowego wstawionego w początku układu współrzędnch. Końce takich wektorów leżą na sferze jednostkowej. Powiedzenie dowoln kierunek jest równoważne stwierdzeniu, że koniec wektora kierunkowego reprezentuje losow punkt Ω o rozkładzie równomiernm na powierzchni sfer. Prawdopodobieństwo tego, że Ω wpadnie w dowolnm elemencie powierzchni ds jest równe ds/(4π). φ Ω ψ z Rs. 34 Wbierzm na sferze współrzędne sferczne (φ, ψ) z osią biegunową O (Rs.34). Wówczas ds = sin φ dφ dψ, gdzie φ π, ψ < 2π. Oznaczm przez p(φ, ψ) gęstość punktu losowego (φ, ψ). Z żądania i poprzedniej równości wnika, że p(φ, ψ) dφ dψ = ds/(4π) p(φ, ψ) = (4π) sin φ.

6 6 Rozdział 3. Wiadomości uzupełniające Na podstawie wspólnej gęstości φ i ψ można wznaczć oddzielne gęstości obu tch wielkości p (φ) = p 2 (ψ) = 2π π p(φ, ψ) dψ = 2 sin φ, p(φ, ψ) dφ = 2π. Równość p(φ, ψ) = p (φ)p 2 (ψ) pokazuje, że zmienne φ i ψ są niezależne. Jest jasne, że ψ ma rozkład równomiern w przedziale (, 2π) i formuła losowania ψ jest ψ = 2πγ. (47) Formułę wboru φ otrzmam z metod funkcji odwrotnch (45): a stąd F(φ) = φ p (φ) dφ = ( cos φ) = γ, 2 cos φ = 2γ. (48) Formuł (47), (48) pozwalają wbrać losow kierunek. Oczwiste jest, że wartości γ wstępujące w tch formułach, powinn bć niezależne od siebie. Przekształcenie tpu ξ = g(γ, γ 2 ) Ten rodzaj przekształceń obejmuje bardzo często spotkaną w praktce, metodę superpozcji. Założm, że dstrbuanta F() wielkości losowej ξ może bć przedstawiona jako superpozcja wielu funkcji rozkładu: F() = m c k F k (), (49) k= gdzie wszstkie c k > i c + c c m =. Założm jednocześnie, że wielkości losowe zadane przez dstrbuant F k () potrafim modelować, np. prz pomoc metod funkcji odwrotnch G k (). Wprowadźm pomocniczą zmienną losową ( ) 2... m κ, c c 2... c m tak, że P{κ = k} = c k. Pokażem, że jeśli wbierzem dwie liczb losowe γ i γ 2 i według γ wlosujem numer κ, a następnie wliczm G κ (γ 2 ), to dstrbuantą tej wielkości będzie F(). Rzeczwiście, ze znanego wzoru na całkowite prawdopodobieństwo wnika, że m P{G κ (γ 2 ) < } = P{G κ (γ 2 ) < κ = k}p{κ = k}. k= Wstępujące tutaj prawdopodobieństwo warunkowe jest P{G κ (γ 2 ) < κ = k} = P{G k (γ 2 ) < } = P{γ 2 < F k ()} = F k (). W konsekwencji dostajem P{G κ (γ 2 ) < } = m F k ()c k = F(). k= Jeśli istnieją odpowiadające gęstości to zamiast superpozcji (49) można rozpatrwać superpozcję gęstości: p() = m c k p k (). k=

7 . O metodach generowania wielkości losowch 7 P r z k ł a d w procesie rozpraszania fotonu na zimnm elektronie cosinus kąta rozpraszania µ = cosθ jest wielkością losową o gęstości p() = (3/8)( + 2 ),, < < ; jest to tzw. prawo Raleigha. Jeśli zastosujem metodę funkcji odwrotnch, to otrzmam równanie sześcienne (/8)(µ 3 + 3µ + 4) = γ. Skorzstam z metod superpozcji kładąc p() =.75p () +.25p 2 (), gdzie p () =.5 jest gęstością stałą, a p 2 () =.5 2. Odpowiadające tm gęstościom funkcje rozkładu są bardzo proste F () = ( + )/2, F 2 () = ( 3 + )/2. Funkcje odwrotne pozwalają zapisać następującą, końcową formułę modelowania { 2γ2, γ µ = <.75, 3 2γ2, γ >.75. P r z k ł a d Rozpatrzm dskretną zmienną losową ( ) ξ 2... n. (5) p p 2... p n Założm, że wszstkie prawdopodobieństwa w (5) są postaci p i = m i 2 s, gdzie m i są liczbami całkowitmi, ( m i 2 s ), i wartość s jest wielokrotnie mniejsza niż n. Wówczas, może okazać się rzeczą wgodną przedstawienie ξ w postaci superpozcji nie więcej niż s zmiennch losowch o jednakowo prawdopodobnch wartościach (w p. 4. obserwowaliśm, że takie wielkości łatwo jest modelować). Wjaśnim tę możliwość w konkretnm przkładzie. Niech w (5) n = 9 i wszstkie p i = m i /64. Liczniki m i przedstawione są w tablic 3. Z prawej stron te m i zapisane są w sstemie dwójkowm, v k oznacza liczbę jednek w k-tej kolumnie. T a b l i c a 3 k i m v k 8 2 Wnika stąd, że ξ można zapisać w postaci superpozcji trzech zmiennch losowch ξ (k) prz k = 4, 5, 6: ξ (4) przmuje wartości 8 z prawdopodobieństwem / 8; ξ (5) przmuje wartości, 2, 9 6 z prawdopodobieństwami / ; ξ (6) przmuje wartości 3 6, 9 3, 7 9 z prawdopodobieństwami / 2. Współcznniki c k odpowiadające tm wielkościom, wliczone według wzoru c k = v k 2 k, są równe c 4 = / 2, c 5 = 5 / 6, c 6 = 3 / 6. W celu zapisania ostatecznej reguł wbierania ξ wprowadzim oznaczenia Otrzmam formułę (, 2,..., ) = (, 2, 9,,..., 6 ), (z, z 2,..., z 2 ) = ( 3, 4, 5, 6, 9,,..., 3, 7, 8, 9 ). i, i = + [8γ 2 ], γ < / 2, ξ = i, i = + [γ 2 ], / 2 < γ < 3 / 6, z i, i = + [2γ 2 ], 3/ 6 < γ. Jeśli do tego przkładu zastosujem metodę modelowania z p. 4., to okaże się, że trzeba wielokrotnie porównwać γ z p, p + p 2, p + p 2 + p 3, itd.

8 8 Rozdział 3. Wiadomości uzupełniające Modelowanie zmiennej losowej normalnej Niech ξ będzie normalną zmienną losową z parametrami a =, σ =. Niech η będzie taką samą zmienną losową niezależną od ξ. Gęstość punktu losowego o współrzędnch kartezjańskich (ξ, η) na płaszczźnie (, ) równa się wówczas ilocznowi gęstości ξ i η: p(, ) = e 2 /2 e 2 /2 = + 2 )/2 2π 2π 2π e (2. Przejdźm do współrzędnch biegunowch na płaszczźnie: = r cos φ, = r sin φ. Niech ρ, θ będą losowmi współrzędnmi biegunowmi punktu (ξ, η): ξ = ρ cos φ, η = ρ sin φ. Wspólna gęstość ρ, θ jest p(r, φ) = p(, ) (, ) (r, φ) = r /2 2π e r2. Gęstości ρ, θ wlicza się w prost sposób p (r) = p 2 (φ) = 2π p(r, φ) dφ = re r2 /2, p(r, φ) dr = 2π. Ponieważ p(r, φ) = p (r)p 2 (φ), to ρ i θ są niezależne i łatwo je modelować według ich dstrbuant. Funkcje te są w miarę proste: F (r) = e r2 /2, F 2 (φ) = φ/(2π), gdzie < r <, < φ < 2π. Z równań F (ρ) = γ, F 2 (θ) = γ 2 otrzmam formuł modelowania: Końcowe formuł ρ = 2 ln γ, φ = 2πγ 2. ξ = 2 ln γ cos 2πγ 2, η = 2 ln γ sin 2πγ 2 pozwalają, na podstawie dwóch liczb γ i γ 2, wliczać dwie niezależne wartości normalnej zmiennej losowej z parametrami a =, σ =. Każda z tch formuł ma jednakże postać ξ = g(γ, γ 2 )..3. Przekształcenie postaci ξ = g(γ, γ 2,..., γ n ) Przkład. Wielkość losową ξ, której dstrbuanta F() = n dla < <, można wznaczć według reguł ξ = ma(γ, γ 2,..., γ n ), (5) gdzie γ, γ 2,..., γ n są liczbami losowmi. W samej rzecz, jasne jest, że P{ξ < } = P{ ma i n γ i < } = P{γ <,..., γ n < }, i ponieważ γ, γ 2,..., γ n są niezależne, to P{γ <,..., γ n < } = P{γ < }... P{γ n < } = n Jeśli będziem modelować ξ metodą funkcji odwrotnch (44), to z równania ξ n = γ otrzmam, że ξ = n γ. (52) Porównując (5) z (52) dochodzim do następującego wniosku: zamiast wciągać n-t pierwiastek z liczb losowej można znajdować największą spośród n liczb losowch.

9 . O metodach generowania wielkości losowch 9 P r z k ł a d W p. 5.2 rozpatrzono prost strumień zgłoszeń, w przpadku, którego przedział czasu τ międz dwoma kolejnmi zawiadomieniami jest eksponencjalną wielkością losową. W bardziej złożonch strumieniach, nazwanch strumieniami Erlanga, przedział τ jest wielkością losową o gęstości p() = w której. Ponieważ funkcja Γ(n) = n e d = (n )! an (n )! n e a, (53) nazwa się funkcją gamma, to również gęstość (53) nazwana jest rozkładem gamma. Okazuje się, że wielkość (53) można losować według wzoru ξ = (/a) ln(γ γ 2... γ n ). Nie będziem go dowodzić. Zauważm tlko, że formuła (27) jest szczególnm przpadkiem ostatniego wzoru dla n =. Wkorzstanie statstk porządkowch Wbierzm n liczb losowch γ, γ 2,..., γ n i uporządkujm je w kolejności rosnącej: γ () γ (2)... γ (s)... γ (n). Wielkość γ (s) nazwana jest s-tą porządkową statstką rozkładu równomiernegonego. Jest jasne, że γ (s) zależ od wszstkich γ, γ 2,..., γ n. Gęstość rozkładu γ (s) jest znana 3 : dla < < gęstość jest równa p() = nc s n s ( ) n s. (54) Oznacza to, że różne wielkości losowe o takich gęstościach można modelować za pomocą statstk porządkowch. Niech będą zadane liczb naturalne s i t. Połóżm n = s + t. Gęstość (54) przejdzie w tzw. rozkład beta: gdzie B(s, t) jest funkcją beta p() = s ( ) t /B(s, t), < <, (55) B(s, t) = Γ(s)Γ(t)/Γ(s + t) = (s )!(t )!/(s + t )!. W celu modelowania wielkości losowej ξ o rozkładzie beta należ wziąć liczb losowe γ, γ 2,... γ s+t i spośród nich wbrać γ (s). Zauważm, że nadrzędną statstką porządkową γ (n) jest rozpatrwana wcześniej wielkość losowa ma(γ, γ 2,..., γ n ). Sposob modelowania rozkładów beta i gamma o parametrach ułamkowch rozpatrwane są w [4]..4. Przekształcenia postaci ξ = g(γ, γ 2,..., γ n,...) Do tej klas należą przekształcenia, w którch liczba zmiennch losowch użwanch prz 3 Schemat dowodu. Wbierzm dowoln przedział (, + ). Z każdą wartością γ zwiążem trz losowe zdarzenia A = {γ < }, A 2 = { γ < + }, A 3 = { + γ}. Prawdopodobieństwa tch zdarzeń są równe p =, p 2 =, p 3 =. Rozważm n niezależnch wartości γ, γ 2,..., γ n. Zdarzenie i wstąpi ν i raz, ν +ν 2 +ν 3 = n. Jeśli m + m 2 + m 3 = n i dla wszstkich i m i n, to zgodnie z prawem wielomianowm Nie jest trudno zrozumieć, że P{ν = m, ν 2 = m 2, ν 3 = m 3 } = n! m!m 2!m 3! pm p m 2 2 p m 3 3. P{ γ (s) < + } = P{ν = s, ν 2 =, ν 3 = n s} + O(( ) 2 ). Dzieląc przez i przechodząc do granic otrzmam poszukiwaną gęstość P{ γ (s) < + } p() = lim = ncn s s ( ) n s. (54)

10 Rozdział 3. Wiadomości uzupełniające obliczaniu jednej wartości ξ jest losowa i dowolnie duża. Średnia liczba zmiennch losowch potrzebnch do wliczenia pojednczego ξ musi bć oczwiście skończona. Wśród przekształceń tego tpu najczęstsze są metod akceptacji. Należ do nich przkładowo, metoda Neumanna opisana w p Podstawowa właściwość metod akceptacji: oprócz formuł modelowania zadan jest warunek akceptacji; na przkład, ξ = g(γ, γ 2,..., γ m ) prz warunku h(γ, γ 2,..., γ m ) >. W celu wbrania ξ tą metodą, należ wziąć liczb losowe γ, γ 2,..., γ m i jeśli spełnion jest warunek akceptacji wznaczć ξ. W przeciwnm wpadku odrzuca się te liczb i wbiera nowe. Prawdopodobieństwo, że grupa liczb γ, γ 2,..., γ m nie zostanie odrzucona, równe ε = P{h(γ, γ 2,..., γ m ) > }, nazwa się efektwnością metod akceptacji. To bardzo ważna charakterstka metod. Prz wborze N grup liczb γ, γ 2,..., γ m otrzmuje się średnio εn wartości ξ. Oznacza to, że ab otrzmać εn losowch wartości ξ zużwa się Nm liczb losowch. Na jedną wbraną wartość ξ zużwa się natomiast średnio m/ε liczb losowch. Metoda ta staje się więc nieefektwna dla ε. Uogólniona metoda Neumanna Załóżm, że gęstość p() wielkości losowej ξ określonej w przedziale a < < b da się zapisać w postaci p() = p ()f(), gdzie p () jest gęstością pomocniczej zmiennej losowej η, którą potrafim modelować, a cznnik f() jest ograniczon: f() C. Przedział (a, b) nie musi bć skończon. Wielkość ξ można generować następująco: ) wbieram wartość η oraz losową liczbę γ niezależną od η i wliczam η = Cγ. 2) Jeśli η < f(η ) to kładziem ξ = η, w przeciwnm wpadku odrzucam η, γ i wbieram nową parę wartości η, γ. Dowód. Prawdopodobieństwo, że punkt (η, η ) znajdzie się w pasie (, + d), (Rs. 35), jest równe p ()d. Ponieważ η ma w przedziale < < C rozkład równomiern, to prawdopodobieństwo warunkowe, że punkt ten nie zostanie odrzucon jest równe f()/c, a więc jest proporcjonalne do f(). W konsekwencji, prawdopodobieństwo znalezienia się wartości ξ = η w przedziale (, + d) jest proporcjonalne do ilocznu p ()d f() = p()d. C =f() a +d Rs. 35 Prawdopodobieństwo akceptacji można obliczć drogą sumowania warunkowch prawdopodobieństw akceptacji f()/c, a mianowicie ε = b a f() C p () d = C b a p() d = C.

11 . O metodach generowania wielkości losowch Metoda Neumanna (p. 4.3) jest szczególnm przpadkiem metod uogólnionej, w której wbrano p () = /(b a) oraz f() = (b a)p(). Ponieważ p() M to f() (b a)m. Efektwność metod Neumanna jest więc ε = /(b a)m. Wnik ten można łatwo otrzmać bezpośrednio z Rs. 4 jeśli wobrazim, że punkt Γ ma równomiern rozkład w prostokącie a < < b, < < M. Efektwność losowania jest wted równa stosunkowi pola pod krzwą = p() do pola całego prostokąta ε = (b a)m b a p() d = (b a)m. P r z k ł a d Rozpatrzm gęstość p() = v() /3 dla < <, gdzie funkcja v() jest ograniczona v() A. Jako gęstość pomocniczą wbierzm p () = (2/3) /3, którą łatwo jest modelować metodą funkcji odwrotnch: η = γ 3/2. Wówczas f() = p()/p () = (3/2)v() (3/2)A. Warunek akceptacji η f(η ) można nieco uprościć dzieląc przez 3/2. Dostajem następującą metodę losowania ξ z gęstością p(). ) Wbiera się γ, γ 2 i oblicza się następnie η = (γ ) 3/2. 2) Jeżeli Aγ 2 < v(η ) to należ położć ξ = η, w przeciwnm wpadku wbiera się nowe γ, γ 2. Tablica A. 4 cfr losowch ) Tablica B. 88 liczb normalnch ) ) Liczb losowe imitują wartości wielkości losowej o rozkładzie (22). ) Liczb normalne imitują wartości normalnej zmiennej losowej (gaussowskiej) ζ, o parametrach rozkładu a =, σ =. LITERATURA. Buslenko, N.P., Metod statsttscheskh sptani (metod Monte-Karlo). Ed. Yu.A. Schreider, Moskwa, Fizmatgiz, Ermakov, S.M., Metod Monte-Karlo smezhne vapros, Moskwa, Nauka, Sobol, I.M., Tschslenne metod Monte-Karlo, Moskwa, Nauka, Ermakov, S.M, Mikhalov, G.A., Kurs statsttscheskovo modelrovana, Moskwa, Nauka, 976.

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.

Bardziej szczegółowo

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.

Bardziej szczegółowo

lim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów

lim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów 9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)

Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III) Zmienne losowe tpu ciągłego. Parametr zmiennch losowch. Izolda Gorgol wciąg z prezentacji (wkład III) Zmienna losowa tpu ciągłego Zmienna losowa X o ciągłej dstrbuancie F nazwa się zmienną losową tpu ciągłego,

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 4 ZADANIA - ZESTAW 4

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 4 ZADANIA - ZESTAW 4 ZADANIA - ZESTAW 4 Zadanie 4. 0-0,4 c 0 0, 0, Wznacz c. Wznacz rozkład brzegowe. Cz, są niezależne? (odp. c = 0,3 Zadanie 4.- 0-0,4 0,3 0 0, 0, Wznaczć macierz kowariancji i korelacji. Cz, są skorelowane?

Bardziej szczegółowo

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów.

Wykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów. Wkład Test zgodności. Test zgodności służą do werikacji hipotez mówiącch, że a dstrbuanta rozkładu populacji ma określoną z gór postać unkcjną b dstrbuant rozkładów dwóch populacji nie różnią się w sposób

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej

Pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia.

[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia. rzkład 10.3. Łuk paraboliczn. Rsunek przedstawia łuk wolnopodpart, którego oś ma kształt paraboli drugiego stopnia (łuk paraboliczn ). Łuk obciążon jest ciśnieniem wewnętrznm (wektor elementarnej wpadkowej

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez

Liczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez Liczb zespolone Ciało liczb zespolonch Niech C = R. Zdefiniujm dwa działania w C. Dodawanie + : C C zdefiniowane jest przez (, ) + (, ) = ( +, + ). Ćwiczenie. Obliczm (, ) + (, 0) =.................................................

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut Miejsce na naklejkę z kodem szkoł OKE ŁÓDŹ CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC ROK 008 PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR Czas prac 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, cz arkusz egzaminacjn zawiera

Bardziej szczegółowo

12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej

12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej 1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch

Bardziej szczegółowo

KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 1 Pochodne cząstkowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tlko jedna jest prawdziwa). Ptanie 1 Funkcja dwóch zmiennch a)

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze

Bardziej szczegółowo

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. a) Rozważając dwa przpadki ze względu na moduł mam: skąd ostatecznie,3>.

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji wykład 5

Pochodna funkcji wykład 5 Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe

Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 9 MARCA 019 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Cena nart po obniżce o

Bardziej szczegółowo

) q przyłożona jest w punkcie o współrzędnej x = x + x. Przykład Łuk trójprzegubowy.

) q przyłożona jest w punkcie o współrzędnej x = x + x. Przykład Łuk trójprzegubowy. rzkład 0.. Łuk trójprzegubow. Rsunek 0.. przedstawia łuk trójprzegubow, którego oś ma kształt półokręgu (jest to łuk kołow ). Łuk obciążon jest ciężarem konstrukcji podwieszonej. Narsować wkres momentów

Bardziej szczegółowo

(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych)

(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych) Podstaw matematczne (rachunek różniczkow dot. unkcji ciągłch) 1) Pochodna unkcji 1 zmiennej () de. () d ( ) d d d lim h ( h) h ( ) (h) () h UWAGA: () tg(α) tangens kąta nachlenia stcznej Warunki e k s

Bardziej szczegółowo

Przykłady do zadania 1.1 : Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach. π 4. (a) sin(x + y) dxdy, R = π 4, π ] [ dy = sin(x + y)dy = dx =

Przykłady do zadania 1.1 : Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach. π 4. (a) sin(x + y) dxdy, R = π 4, π ] [ dy = sin(x + y)dy = dx = achunek prawdopodobieństwa MAP6 Wdział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wkładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przkład do list : Całki podwójne Przkład do zadania. : Obliczć dane całki podwójne po wskazanch

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników

Rozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników Rozwiązwanie układu równań metodą przeciwnch współcznników Sposob postępowania krok po kroku: I. przgotowanie równań. pozbwam się ułamków mnoŝąc kaŝd jednomian równania równań przez najmniejszą wspólną

Bardziej szczegółowo

3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne. Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5.

3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne. Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5. WYKŁAD 7 3 Podstawowe własności unkcji Funkcje cklometrczne, hiperboliczne Deinicję unkcji o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mam w 3A5 3A37 (Uwaga: dziedzina naturalna) Często się zdarza, że unkcja

Bardziej szczegółowo

2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich.. CHRKTERSTKI GEOMETRCZNE FIGUR PŁSKICH.. Definicje podstawowch charakterstk geometrcznch Podczas zajęć z wtrzmałości materiałów

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera

Bardziej szczegółowo

Macierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)

Macierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A) Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać

Bardziej szczegółowo

RZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego

RZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego NIELINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego ma postać:

Bardziej szczegółowo

MATURA PRÓBNA 2 KLASA I LO

MATURA PRÓBNA 2 KLASA I LO IMIE I NAZWISKO MATURA PRÓBNA KLASA I LO CZAS PRACY: 90 MIN. SUMA PUNKTÓW: 60 ZADANIE (5 PKT) Znajdź wszstkie funkcje liniowe określone na zbiorze ;, którch zbiorem wartości jest przedział ; 0. ZADANIE

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu

Bardziej szczegółowo

SKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca

SKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego SKRYPT Z MATEMATYKI Wstęp do matematki Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 2 b

Ć w i c z e n i e K 2 b Akademia Górniczo Hutnicza Wdział Inżnierii Mechanicznej i Robotki Katedra Wtrzmałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wdział Górnictwa i Geoinżnierii Grupa nr: Ocena:

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?

Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkow Hamiltona energia funkcja falowa h d d d + + m d d dz

Bardziej szczegółowo

f x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx

f x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY MAJA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 ( 4) 2 8 4 jest

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1 Poniżej znajduje się fragment wykresu funkcji y = f (x). ZADANIE 2 Na podstawie podanego wykresu funkcji f

ZADANIE 1 Poniżej znajduje się fragment wykresu funkcji y = f (x). ZADANIE 2 Na podstawie podanego wykresu funkcji f IMIE I NAZWISKO ZADANIE Poniżej znajduje się fragment wkresu funkcji = f (). -7 -- - - 6 7 Dorsuj brakujac a część wkresu wiedzac, że dziedzina funkcji f jest przedział,, a wkres jest smetrczn względem

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna II.1, kolokwium rozwiazania 9 stycznia 2015, godz. 16:15 19:15

Analiza Matematyczna II.1, kolokwium rozwiazania 9 stycznia 2015, godz. 16:15 19:15 Analiza Matematczna II., kolokwium rozwiazania 9 stcznia 05, godz. 6:5 9:5 0. Podać definicj e zbioru miar 0. Udowodnić, że jeśli A = {(x,, z) : (x )(x + + z ) = 0}, to l (A) = 0. Zbiorem miar zero jest

Bardziej szczegółowo

BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 8 MARCA 015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Przbliżenie dziesiętne

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY TEORII ZBIORÓW ROZMYTYCH

ELEMENTY TEORII ZBIORÓW ROZMYTYCH ELEMENTY TEORII ZBIORÓW ROZMYTYCH OPRACOWAŁ: M. KWIESIELEWICZ POJĘCIA NIEPRECYZYJNE ODDZIAŁYWANIA CZŁOWIEK-OBIEKT TECHNICZNY OTOCZENIE (Hoang 990: człowieka na otoczenie, np.: ergonomiczna konstrukcja

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie równań stanu dla układów liniowych - pola wektorowe

Rozwiązanie równań stanu dla układów liniowych - pola wektorowe Rozwiązanie równań stanu dla układów liniowch - pola wektorowe Przgotowanie: Dariusz Pazderski Wprowadzenie Rozważm liniowe równanie stanu układu niesingularnego stacjonarnego o m wejściach: ẋ = A+ Bu,

Bardziej szczegółowo

Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego REGUŁA GULDINA

Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego REGUŁA GULDINA Młodzieżowe Uniwerstet Matematczne Projekt współfinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu połecznego REGUŁA GULDINA dr Bronisław Pabich Rzeszów marca 1 Projekt realizowan przez Uniwerstet

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne

Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawowe operatory genetyczne Plan wykładu Przypomnienie 1 Przypomnienie Metody generacji liczb

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy

Bardziej szczegółowo

V JURAJSKI TURNIEJ MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM FINAŁ 14 maja 2005 r.

V JURAJSKI TURNIEJ MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM FINAŁ 14 maja 2005 r. V JURAJSKI TURNIEJ MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM FINAŁ 4 maja 005 r. Przecztaj uważnie poniższą instrukcję: Test składa się z dwóch części. Pierwsza część zawiera 0 zadań wielokrotnego wboru. Tlko

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczbę 5 7 zaokr aglam do liczb,6.

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Matematka Poziom rozszerzon Listopad W niniejszm schemacie oceniania zadań otwartch są prezentowane przkładowe poprawne odpowiedzi. W tego tpu ch

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012

EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012 Centralna Komisja Egzaminacjna EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012 CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA MATEMATYKA ODPOWIEDZI I PROPOZYCJE OCENIANIA PRZYKŁADOWEGO ZESTAWU ZADAŃ PAŹDZIERNIK 2011 Zadania

Bardziej szczegółowo

Krzywe na płaszczyźnie.

Krzywe na płaszczyźnie. Krzwe na płaszczźnie. Współrzędne paramerczne i biegunowe. Współrzędne biegunowe. Dan jes punk O, zwan biegunem, kór sanowi począek półprosej, zwanej półosią. Dowoln punk P na płaszczźnie można opisać

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Z funkcji zdaniowej x + 3 = 7 można otrzymać zdania w dwojaki sposób:

Z funkcji zdaniowej x + 3 = 7 można otrzymać zdania w dwojaki sposób: Z funkcji zdaniowej + 3 = 7 można otrzmać zdania w dwojaki sposób: podstawiając w tej funkcji zdaniowej za stałe będące nazwami liczb np. 4 2 itp. poprzedzając tę funkcję zdaniową zwrotami: dla każdego

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi: Stan naprężenia Przkład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić sił masowe oraz obciążenie brzegu tarcz jeśli stan naprężenia wnosi: 5 T σ. 8 Składowe sił masowch obliczam wkonując różniczkowanie zapisane

Bardziej szczegółowo

( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.

( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia. Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia 5 ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻENIA 5 Naprężenia na dwlnej płaszczźnie Jak pamiętam płaski stan naprężenia w punkcie cechuje t że wektr

Bardziej szczegółowo

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi i schemat punktowania do próbnego zestawu egzaminacyjnego z zakresu przedmiotów matematyczno-przyrodniczych

Klucz odpowiedzi i schemat punktowania do próbnego zestawu egzaminacyjnego z zakresu przedmiotów matematyczno-przyrodniczych Klucz odpowiedzi i schemat punktowania do próbnego zestawu egzaminacjnego z zakresu przedmiotów matematczno-przrodniczch Z a d a n i a z a m k n i ę t e Numer zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

W przypadku przepływu potencjalnego y u z. nieściśliwego równanie zachowania masy przekształca się w równanie Laplace a: = + + t

W przypadku przepływu potencjalnego y u z. nieściśliwego równanie zachowania masy przekształca się w równanie Laplace a: = + + t J. Szantr Wkład nr 3 Przepłw potencjalne 1 Jeżeli przepłw płn jest bezwirow, czli wszędzie lb prawie wszędzie w pol przepłw jest rot 0 to oznacza, że istnieje fnkcja skalarna ϕ,, z, t), taka że gradϕ.

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Układ. x exp. = y 1. = y 2. = y n

Interpolacja. Układ. x exp. = y 1. = y 2. = y n MES 07 lokaln Interpolacja. Układ Interpolacja, wprowadzenie Interpolacja: po co nam to? Ptania MES polega na wznaczaniu interesującch nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leż pomiędz tmi punktami?

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 1-2

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 1-2 Stanisław Cichocki Natalia Nehreecka Zajęcia - . Model liniow Postać modelu liniowego Zapis macierzow modelu liniowego. Estmacja modelu Przkład Wartość teoretczna (dopasowana) Reszt 3. MNK - przpadek wielu

Bardziej szczegółowo

a, b funkcji liniowej y ax + b

a, b funkcji liniowej y ax + b . FUNKCJA LINIOWA zadania Zad... Napisz wzór funkcji liniowej, której wkres przechodzi przez punkt A (, ) i przecina oś OY w punkcie B (0,). Zad... Dan jest wzór funkcji liniowej: A) B) C) D) Na podstawie

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte Carlo. Jerzy Mycielski. grudzien Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo grudzien / 10

Metoda Monte Carlo. Jerzy Mycielski. grudzien Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo grudzien / 10 Metoda Monte Carlo Jerzy Mycielski grudzien 2012 Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo grudzien 2012 1 / 10 Przybliżanie całek Powiedzmy, że mamy do policzenia następującą całkę: b f (x) dx = I a Założmy,

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik

Bardziej szczegółowo

FINAŁ 10 marca 2007 r. KLASA PIERWSZA - POZIOM PODSTAWOWY Czas pisania 90 minut. x +

FINAŁ 10 marca 2007 r. KLASA PIERWSZA - POZIOM PODSTAWOWY Czas pisania 90 minut. x + FINAŁ 0 marca 007 r. KLASA PIERWSZA - POZIOM PODSTAWOWY Czas pisania 90 minut ZADANIE Największ wspóln dzielnik dwóch liczb naturalnch wnosi 6, a ich najmniejsza wspólna wielokrotność tch liczb równa jest

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek Nazwisko... Data... Wdział... Imię... Dzień tg.... Godzina... Ćwiczenie 36 Badanie układu dwóch soczewek Wznaczenie ogniskowch soczewek metodą Bessela Odległość przedmiotu od ekranu (60 cm 0 cm) l Soczewka

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Ruch po równi pochyłej

Ruch po równi pochyłej Sławomir Jemielit Ruch po równi pochłej Z równi pochłej o kącie nachlenia do poziomu α zsuwa się ciało o masie m. Jakie jest przspieszenie ciała, jeśli współcznnik tarcia ciała o równię wnosi f? W jakich

Bardziej szczegółowo