Nagrzewanie wsadów w piecach pośrednich ( ) t n. 1. Klasyczna metoda obliczania stanów nieustalonych

Transkrypt

1 agrzeanie sadó iecach ośrednich ajczęściej sokaną alikacją elekroermiczną jes nagrzeanie sadó sałch, umieszczonch środoisku gazom, rz doroadzeniu cieła rzez konekcję i radiację. Środoisko ośrednicz cznnie unoszeniu cieła rzejmoanego ze źródła cieła i rzekazanego do sadu. sosunku do romienioania, środoisko gazoe oddzielające źródło cieła od sadu, najczęściej rakoane jes jako diaermiczne, co jes całkoicie słuszne jednie dla różni. ajmniejsze odsęsa od ego założenia sęują dla lenu i azou, kóre rakcznie nie mają zdolności romienioania. Ze zględu na sosoanie iecach elekrcznch regulaoró emeraur, można iecach nierzelooch roadzić rzesrzenn arunek graniczn rzeciego rodzaju rażan sałą arością emeraur amoser grzejnej cons i sałą średnią arością sółcznnika nału cieła do sadu α cons. Po umieszczeniu zimnego sadu o jednorodnej emeraurze < komorze grzejnej, cieło nała do zenęrznej oierzchni sadu. óżnica emeraur nagrzanej ars zenęrznej sadu i zimniejszej od niej ars enęrznej ołuje rzeł cieła głąb sadu rzez rzeodzenie. rezulacie emeraura każdm unkcie sadu zmienia się czasie nagrzeania:,, z, () ( ) agrzeania można uznać za jednorodne jednie rzadku sadó unkoch, lub sadó o nieskończonej arości rzeodności cielnej łaściej. Proces nagrzeania określon jes óczas, gd znana jes osać unkcji (), o kórej decdują: qα () - eonoskie rao nału cieła: ( ) z - Prao Fouriera: q (3) n - Prao Fouriera rażające rędkość zmian emeraur sadu: a (4) Korzsając z raa zachoania energii, srumień cieła nałając do zenęrznej oierzchni sadu musi bć rón srumienioi odłającemu z ej oierzchni głąb sadu (ciągłość srumienia rzełającego rzez oierzchnię): α ( z) (5) n. Klasczna meoda obliczania sanó nieusalonch Teoria odobieńsa daje możliość uroszczenia zależności sadó nagrzeanch ośrednio sosobem konekcjno radiacjnm. a rzkład układ rónań dla ł można rzekszałcać: a (.) α ( z) (.) z iech oznacza charakersczn miar ł ( rzadku nagrzeania dusronnego ), sanoiąc ołoę jej grubości. Dzieląc każde z rónań (.) i (.) kolejno z

2 rzez różnicę ( ) i uzględniając rz m,że cons i ( ), orzmujem: (.3) a a (.4) z z Poższe niki skazują, że zmienne mogą bć zgruoane aki sosób, b uorzł czer liczb zględne, bezmiaroe. rezulacie orzmujem unkcję o mniejszej liczbie zmiennch: α a,, (.5) olę zmiennch rónaniu (.5) odgra liczba Fouriera, liczba Bioa, sółrzędna zględna i emeraura krerialna. - Klasikacja sadó Liczba Bioa różni się od znanej z eorii konekcji liczb ussela jednie znaczeniem rzeodności cielnej łaściej, kóra rzadku Bioa oznacza łasność sadu rakoanego jako obiek sanie sałm. Jeżeli liczbę Bi rzedsaim jako: α Bi (.6) To idzim jej sens izczn jako liczb ujaniającej sosunek ielkości decdującch o rzeodności cielnej oru nału cieła do sadu, oraz oru rzeodzenia cieła e sadzie. Liczba a jes ięc skaźnikiem oisującm rzeł cieła mi doma orami, sęując m. in. rz nagrzeaniu ośrednim konekcjno radiacjnm. sad dzieli się zasadniczo na drobne i masne. Tch znaczeń nie rakujem sensie dosłonm. sad drobne są o sad, kóre nagrzeają się sosób bliski jednorodnemu, obec czego można roces nagrzeania oisać unkcją ( ). e sadach masnch mam odczas nagrzeania ak duże różnice emeraur, że rzeba korzsać unkcję (, ). sad można uznać zdecdoanie za drobn, jeżeli Bi<,5 Jeżeli Bi>,5, enęrznego sadku emeraur ominąć nie można i sad uznajem jako masn. - sad drobn agrzeanie sadu drobnego jes rzadkiem, gd emeraura sadu jes jednorodna każdej chili czasoej. Ilość cieła mieniana międz ooczeniem i sadem czasie d może bć obliczona na odsaie zoru eona:

3 ( ) F dq α zd (.) Ponieaż energia a ooduje odższenie emeraur sadu, słuszna jes ięc zależność: dq mcd (.) a odsaie (.) i (.) mam: d d (.3) gdzie: mc α F z (.4) Po scałkoaniu (.3) mam: / ln ( F ) A (.5) ielkość sałej całkoania określim na odsaie arunku ocząkoego, że chili : ( ) Podsaiając (.6) do (.5) orzmujem osaecznie: e Korzsając z emeraur krerialnej orzmujem: Θ Aln (.6) (.7) Θ e (.8) Jako, że nie określono żadnego kierunku rzełu cieła, zależność (.8) słuszna jes zaróno dla rocesu nagrzeania ( > ), jak i sudzenia ( < ). Zależność ozalająca na określenie czasu nagrzeania sadu drobnego do emeraur nika bezośrednio z (.8): ln( / Θ) (.9) zeczis rzebieg nagrzeania różni się od oisanego unkcją (.9), onieaż ielkość nie jes sała rocesie nagrzeania. Głóną rzczną zmienności jes są zmian sółcznnika α, kórego arość zależ od emeraur sadu, zmieniającej się od emeraur ocząkoej do końcoej k. Posługując się zależnością (.9) należ roadzać średnią arość, dla średniej arości sółcznnika rzejmoania cieła: k śr (.) ln agrzeanie sadu masnego Zaroonoana meoda sanoi uogólnienie odanej ożej eorii nagrzeania jednorodnego sadó drobnch. oziązanie ograniczm do odania sosobu znaczania emeraur oierzchni zenęrznej z i emeraur środka sadu s, orzącego brłę geomercznie regularną. Prz znaczaniu sanu cielnego sadó masnch, oerujem z. rzecięną emeraurą sadu, deinioaną odobnie jak orzednio. Tego rodzaju sosób rażania rzecięnej emeraur sadu możli jes od arunkiem skorgoania zależności (.8), orzez roadzenie do ej zależności sółcznnika korekur k: k k Θ e (.)

4 rz czm: zas nagrzeania sadu masnego do emeraur krerialnej nosi: ln( /Θ) (.) k Θ (.3) - rzecięna emeraura sadu masnego o ułie czasu nagrzeania sółcznnik korekur zależn jes łącznie od liczb Bioa. Zależnie od ej liczb, arości sółcznnika k dla nieskończenie rozciągłej ł zebrano oniższej ablic. Bi,,4,8,,6,,4,8 3, 3,6 4,4 5, k,88,79,7,66,6,57,5,48,46,39,33 Możlie jes rónież znaczenie najiększej emeraur e sadzie: (.4) ajiększą różnicę emeraur rz czm z s można określić dla ł nasęując sosób:. 5 (.5) oznacza różnicę międz emeraurą zenęrznej oierzchni sadu i rzecięną emeraurą sadu. óżnicę ą znacza się sosób oisan oniżej. a odsaie rónania (.3) mam: d z z (.6) d rz czm sała czasoa nagrzeania: mc (.7) α Ponieaż sęująca rónaniu (.6) ochodna rzecięnej emeraur sadu zględem czasu nosi (jak nika z (.)): F z k ( ) e d k d (.8) ięc o odsaieniu ej arości do (.6) mam: z k ( ) e k (.9) obec ego, do znaczenia emeraur oierzchni zenęrznej sadu masnego można osłużć się zależnością: Odejmując od z Pamięając, że: z k ( ) e rzecięną emeraurę sadu ( ) e orzmujem zależność na szukaną różnicę emeraur: k (.) k orzmam: k ( k)( ) e (.) k ( ) e (.)

5 ( k)( ) (.3) Maksmalna różnica emeraur dla ł może zosać znaczona na odsaie (.3) i (.5). Korzsając na rzkład z (.3), (.5) i (.), można obliczć najniższą emeraurę sadu masnego: s z (.4) Średnia arość sółcznnika rzejmoania cieła obliczana jes jak orzednio, na odsaie średniej zenęrznej różnic emeraur: ( z) (.5) śr ln Model Beukena Innm sosobem obliczania sanó nieusalonch jes analogó do smulacji zjaisk cielnch układach órnch. niniejszm rozdziale kazano możliość sosoania analogó oarch na elemenach dskrench do smulacji ól emeraur sanach sacjonarnch i niesacjonarnch. Modeloanie usalonch ól emeraur na analogu u siaka rezsoró Zasada sosoania analogó osaci siaki rezsoró do smulacji zjaisk cielnch sanach usalonch kazana zosała na rosm rzkładzie dumiaroego ola odzielonego siaką dskrezującą na jednakoe rosoką o bokach i (rs. 3.). 3 4 s. 3.. iaka rosokąna dskrezująca łaskie ole emeraur. Dla ęzła oznaczonego numerem, rónanie różniczkoe Lalace'a rzjmuje nasęującą osać: (3.) Prz oznaczeniach z rs. 3., rónanie oższe rzedsaić można osaci różnicoej:

6 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 (3.) ónanie (3.) ma analogiczną osać, jak rónanie nikające z zasosoania ierszego raa Kirchoa do siaki rezsoró: (3.3) ónania (3.) i (3.3) będą analogiczne, jeśli emeraur ęzłach siaki dskrezującej ole emeraur będą roorcjonalne do oencjałó elekrcznch odoiednich ęzłach siaki rezsoró, oraz oor cielne będą roorcjonalne do odoiednich ooró elekrcznch (3.4) (3.5) (3.6) ielkość uża e zorze (3.4) jes z. skalą emeraur, deinioaną jako sosunek emeraur do odoiadającego jej oencjału elekrcznego. sółcznnik skali emeraur bardzo częso rzjmoan jes jako rón do oęgi całkoiej, co ozala na szbkie rzeliczanie oencjałó ęzłach siaki na emeraur modeloanego ola. Analogicznie, ielkość uża zależnościach (3.5) i (3.6), jes skalą ooru, deinioaną ogólnm rzadku jako: γ γ γ l l l F l F z z e : (3.7) Prz czm ielkość jes skalą miaró linioch. arości rezsancji oornikó modelującch ole emeraur dla siaki jak na rs. 3., dobrać można na odsaie oniższch zależności: (3.8) (3.9) ozaran jes rzadek siaki dumiaroej. Przjęo, iż oor cielne (i odoiadające im rezsancje) są różne osi oziomej i ionoej.

7 arość jes charakersczna dla każdej siaki. zagadnieniach rakcznch bardzo chęnie korzsa się z ej ielkości, onieaż orzez jej odoiedni dobór, można bardzo łao zesaić model i konać dokładne omiar. Modeloanie nieusalonch ól emeraur na analogu u siaka Możliość korzsania analogii ermokineczno elekrcznej do modeloania nieusalonch ól emeraur o raz iersz doiedziona zosała rzez. L. Beukena roku 934. Isoą omsłu Beukena bło zasąienie linii długiej łańcuchem czórnikó u T, składającm się z biernch elemenó. Dzięki odoiedniemu doboroi arameró elekrcznch układu, możlie sało się soolnienie rzebiegó, umożliiające ich obserację za omocą rzrządó skazókoch. Klasczn model Beukena, oraz inne modele bierne, osałe niku rozszerzania jego koncecji, oierają się na założeniu nieskończenie dużej szbkości roagacji zaburzenia cielnego, a ięc i elekrcznego. Dla akiego rzadku, rónanie Fouriera oisujące nieusalone ole emeraur ośrodkach jednorodnch i izorooch rz jednokierunkom rzełie cieła, bez enęrznch źródeł cieła, ujęe jes zorem (3.). a grad ielkość a jes duzjnością cielną ośrodka, kórm rozrzesrzenia się zaburzenie cielne: a (3.) (3.) c ρ Możliość analogoego modeloania rónania nieusalonego ola emeraur kazana zosała dla rosego rzadku jednomiaroego rzeodzenia cieła. rzadku zasosoania do roziązania rónania (3.) meod u nieciągła rzesrzeń ciągł czas, orzmuje się dla układu jednomiaroego: Gdzie: ( ) c d ρ ( ) c ( i i) ( i i) (3.) d ρ jes ojemnością cielną, a - oorem cielnm elemenu ola emeraur o długości i jednoskom rzekroju. Dla klascznego modelu Beukena (rs. 3.), rónanie nikające z zasosoania rónania Kirchoa do ęzła i siaki, rzjmuje osać określoną rónaniem (3.3).

8 i- i i s. 3.. Klasczn model Beukena e d d i e i i i i (3.3) Porónując zależności (3.) i (3.3), można łao zauażć, iż rzejście międz ielkościami cielnmi i elekrcznmi maga orócz cześniej oznanch skal (emeraur i ooru), zdeinioania dodakoch sółcznnikó skali ojemności ( c ) i czasu ( ): c (3.4) e c (3.5) e Po zasąieniu ielkości cielnch, analogicznmi ielkościami elekrcznmi rónaniu (3.), orzmuje się: d i i c i i e de aro zauażć, iż zależności (3.3) i (3.6) będą idenczne, jeżeli sółcznniki skali sełniał będą zależność: i (3.6) c (3.7) Z oższego zoru nika, że zakładając skalę czasu, jednocześnie usala się ielkość ilocznu e. Z kolei bór rezsoró i kondensaoró maga częso uzględnienia ench ograniczeń nikającch ze sandarzacji elemenó chodzącch skład modelu. Dla ogólnego rzadku, kórm arości ooró i ojemności cielnch znaczane są na odsaie zależności (3.8) i (3.9), zór (3.7) może zosać rozinię do osaci ujęej rónaniem (3.). (3.8) F mc ρ c Fρ c (3.9)

9 arunki brzegoe c (3.) e a e oziązanie rónania rzeodzenia cieła (3.) maga zasze odania arunkó ocząkoch i brzegoch. sanach cielnie nieusalonch, arunki ocząkoe określane są jako ole emeraur chili czasoej. Bardzo częso arunek ocząko rzjmoan jes jako jednorodne ole emeraur. Model Beukena ozala na realizację arunkó brzegoch doolnego u, z mieszanmi łącznie. arunek brzego ierszego rodzaju realizoan jes rzez doroadzenie do granicznch ęzłó modelu, oencjału rzjęej skali emeraur /. Prz analizie sanó niesacjonarnch, możlia jes smulacja zmiennch czasie emeraur na brzegu analizoanego obszaru, orzez doroadzenie do ęzłó granicznch, zmiennego czasie oencjału. ealizacja arunku brzegoego drugiego rodzaju olega na doroadzeniu do ęzłó granicznch rądu o arości odoiadającej srumienioi cielnemu rzełającemu rzez brzeg analizoanego obszaru: I P / (3.) ielkość P jes skalą moc, sełniającą oniższą zależność: P P / (3.) arunek brzego rzeciego rodzaju olega na łączeniu międz źródło naięcia o oencjale / a ęzeł graniczn, rezsancji obliczonej edług zależności: o o b b αf b (3.3) Oór b jes z. oorem rzejmoania cieła. sółcznnik α jes z. sółcznnikiem rzejmoania cieła enęrzne źródła cieła mogą bć modeloane orzez doroadzenie do odoiednich ęzłó sieci rądó odoiadającch mocom źródeł cieła. anoisko laboraorjne

10 gląd użanego ćiczeniu analizaora rzedsaiono na rs Urządzenie ozala na modeloanie jednomiaroch układó ermokinecznch sanach cielnie usalonch i nieusalonch s gląd sanoiska laboraorjnego - Zesół czórnikó ; - Zesół zasilacz; 3- Moduł omiaro; 4- Moduł serując; 5- onda omiaroa; 6- Mulimer Zasadniczą część modelu sanoią czórniki ( na rs. 3.3), umożliiające odzoroanie arameró cielnch analizoanego układu. anoisko składa się z 4 idencznch czórnikó, o schemacie rzedsaionm na rs Każd z czórnikó ma rezsancję nasaianą zakresie od do. kω z rozdzielczością. k Ω, oraz ojemność reguloaną zakresie. µ F z rozdzielczością. µ F. Model budoan jes orzez łączenie oszczególnch elemenó siaki dskrezacjnej za omocą zenęrznch rzeodó.

11 P P s chema ojednczego czórnika laboraorjnm analizaorze rzebiegó cielnch. Prz omoc cenralnego seroania rzekaźnikami konrakonomi ( P na rs. 3.4), isnieje możliość rónoczesnego rozładoania ojemności modelu (rzcisk ozładoanie zlokalizoan module serującm okazanm na rs ozład. Zamr. Praca ieć s Podsaoe rzciski modułu serującego. Użcie rzcisku Zamrożenie ( P na rs. 3.5) ooduje rozłączenie szskich ojemności modelu. sanie zamrożenia możlie jes dokonanie omiaró oencjałó oszczególnch ęzłach modelu, skorgoanie arości rezsoró (rz analizie nielinioej), ec. Analizaor umożliia rzeroadzenie smulacji rozmaich układó ermokinecznch. Możlie jes zadaanie doolnch arunkó brzegoch za omocą enęrznch lub zenęrznch źródeł naięcia lub rądu. Zasilacze ozalają dodakoo na odzoroanie enęrznch źródeł cieła, orzez roadzenie rądó do ęzłó sieci rerezenującch źródłoe elemen różnicoe. Zaleca się sosoanie zenęrznch zasilacz naięcioo rądoch ze zględu na lesze aramer rac ch zesołó, oraz możliość bardzo reczjnej nasa naięcia i rądu. Prz zadaaniu arunkó brzegoch ierszego i rzeciego rodzaju, nie należ rzekraczać naięcia. Prz korzsaniu z zasilacz rądoch, nie należ rzekraczać granicznej arości rądu ma. Badania konanie ćiczenia olega na smulacji układu ermokinecznego o aramerach zadanch rzez roadzącego. niniejszm rozdziale omóiono ea rac sólne dla szskich modeli. Przed rzsąieniem do konania części omiaroej, należ obliczć aramer elekrczne modelu. m celu najłaiej osęoać edług oniższej insrukcji.

12 ierszm kroku należ rzjąć skalę emeraur, oierając się na założeniu, iż korzsuje się górn zakres naięcio analizaora, kór danm rzadku nosi : (3.4) Jednocześnie należ rzjąć skalę czasu, określającą ile raz rzebiegi elekrczne będą soolnione (lub rzsieszone) sosunku do rzebiegó cielnch (3.5) a odsaie zależności (3.) naisać można, że e a [ Ω F ] (3.5) Gdzie a jes duzjnością cielną określoną na odsaie zależności (3.), a - miarem charakerscznm. Znając iloczn e (3.), znaczć można skalę ojemności i skalę ooru. celu znaczenia skali ojemności, należ obliczć ojemność cielną układu ermokinecznego na odsaie zależności (3.9). ależ rzjąć ilość czórnikó układu ( czórnikó), oraz założć ojemność elekrczną ojednczego czórnika (n. X F µ ). Znając ojemność cielną ojednczego czórnika, należ znaczć ojemność e X µ F. elekrczną całego układu: [ ] znaczenie ielkości oisanch orzednich unkach jes rónoażne z s rzjęciem skali ojemności: c 6 KF e ależ amięać, iż sełniona musi bć róność (3.), ięc skalę ooru znacza się jako: Oór cieln ojednczego elemenu ars odzielonej na części znacza się na odsaie zależności 3 F ezsancja jednego czórnika dla akiego rzadku nosi analogiczn sosób (z zachoaniem skali ooru) oblicza się oor rzejmoania cieła (dla arunkó brzegoch rzeciego rodzaju), oraz arości rezsancji, kóre ozażania doczą modeli zbudoanch z jednego maeriału. rzadku modeli składającch się z ielu ars, należ znaczć ojemność cielną i elekrczną dla jednej ars, a nasęnie odoiednie arości ars kolejnch znaczać z zachoaniem obliczonch skal. 3 Dla rónoległoboku

13 odoiadają m oorom. umerczna meoda różnic skończonch. Meod numerczne nie będą rezenoane niniejszej insrukcji. celach orónaczch, rozarzona zosanie meoda różnic skończonch olegająca na zasąieniu ogólnego rónania rzeodzenia cieła (4), układem rónań różnicoch. analizoanm rzadku nagrzeania sadu, rónanie o może zosać sroadzone do osaci jednomiaroej. Można je odzielić łaszczznami rosoadłmi do kierunku rzeodzenia cieła. Zasada orzenia modelu numercznego jes analogiczna jak rz modelu beukena. Możem ięc naisać dla i-ego elemenu i branego kroku czasoego: i, i, (3/6) i, i, i, i, i, i, ( ) i, Po odsaieniu oższch zależności do rónania (4) orzmujem: i, i, (3.7) i, i, a (,,, ) i i i (3.8) ie chodząc szczegół, oższa zależność ozala na uroszczone roziązanie rónania (4). Zależność a jes uroszczona rzez ominięcie ższch członó szeregu Talora ( ochodna emeraur o czasie ). Jes o meoda z krokiem rzód. a odsaie znanch emeraur z orzedniego kroku czasoego określam emeraurę i,. A co z arunkami brzegomi? celu ich uzględnienia, oór rzejmoania cieła / α zasęuje się akim samm oorem rzeodzenia cieła rzez arsę ciała o grubości / α. obliżu brzegu ciała orz się arsę o grubości / i rónanie rzeodzenia rzjmuje osać: F, F, a o, F, F,, (3.9) / / α ónania 3.8 i 3.9 bardzo łao zaimlemenoać na rzkład mah cad. Generalnie rocedura osęoania jes nasęująca: - dobrać odział różnico ciała ( na odcinki d ); - założć emeraur ocząkoe - założć arunki brzegoe - założć długość kroku czasoego i ilość ieracji - roziązać. ZADAIA: Poniższe zadania roziązać rz korzsaniu nasęującch meod: - meoda klasczna ( korzsając z krerió odobieńsa ) - meoda analogoa ( model beukena ) - meoda numerczna. niki orónać. Obliczć odchłki omiędz nikami. Ocenić dokładność i rzdaność oznanch meod.

14 ZAD Arkusz blach o grubości 5 mm o emeraurze ocząkoej, kórego masa łaścia nosi 785kg/m^3, cieło łaście.5 kj/kgk i rzeodności cielnej łaściej 4 /mk ma bć nagrzan do emeraur 9 elekrcznm iecu komorom 95. Prz założeniu obusronnego nału cieła ala8, obliczć czas nagrzeania blach ch arunkach. ZAD znaczć san ermiczn nagrzanego sadu i jednoskoą moc użeczną orzebną do nagrzania od º do º sadu osaci kęsó saloch o rzekroju orzecznm 66 cm, o rzeodności cielnej łaściej 36 /mk, ciele łaścim,6kj/kgk i masie łaściej 785 kg/m^3. mienione kęs ułożono bezośrednio na sodzie elekrcznego ieca o emeraurze 5º. Zakładam, że o sunięciu zimnego sadu, sółcznnik nału cieła z komor grzejnej ieca nosi średnio 45 /(m^k).