DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018

Transkrypt

1 DB Algebra linioa semestr letni 208 Teoria oraz iększość zadań niniejszym skrypcie zostały opracoane na podstaie książek:. G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry linioej cz. I, Wydanicto Naukoo-Techniczne, Warszaa J. Rutkoski, Algebra linioa zadaniach, Wydanicto Naukoe PWN, Warszaa 2008.

2 Spis treści ELEMENTARNA TEORIA PRZESTRZENI LINIOWYCH 3. Teoria Metoda eliminacji Gaussa Przestrzeń, podprzestrzeń Kombinacje linioe ektoró, linioa zależność ektoró Baza i ymiar przestrzeni linioej Suma algebraiczna i suma prosta podprzestrzeni Zadania TEORIA MACIERZY 8 2. Teoria Operacje na macierzach Rząd macierzy Zadania WYZNACZNIK MACIERZY opracoanie dra Piotra Rzonsoskiego Teoria Definicja i podstaoe łasności yznacznika, t. Laplace a, t. Cauchy ego Wzór na macierz odrotną Wzory Cramera Zadania

3 ELEMENTARNA TEORIA PRZESTRZENI LINIOWYCH Przestrzeń, podprzestrzeń, linioa zależność ektoró, ymiar, baza, suma prosta przestrzeni. Teoria.. Metoda eliminacji Gaussa Niech m, n N i niech K będzie doolnym ciałem. Układ rónań postaci: a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x a mn x n = b m, (.) gdzie a ij, b i K dla doolnych i =, 2,..., m, j =, 2,..., n nazyamy układem m rónań linioych o n nieiadomych x, x 2,..., x n. Następujące przekształcenia nie zmieniają zbioru roziązań układu:. zamiana miejscami dóch doolnych rónań układu, 2. pomnożenie doolnego rónania układu przez niezeroy element ciała K, 3. dodanie do doolnego rónania układu innego rónania tego układu pomnożonego przez doolny element ciała K. METODA ELIMINACJI GAUSSA:. W układzie (.) yszukujemy rónanie, którym przy nieiadomej x, spółczynnik a i jest różny od 0 i staiamy to rónanie na piersze miejsce. 2. Mnożymy rónanie piersze przez a i. Otrzymujemy rónanie, którym spółczynnik przy x jest róny. 3. Dodajemy do rónania drugiego, trzeciego,..., m-tego, rónanie piersze pomnożone odpoiednio przez a 2, a 3,..., a m. Otrzymamy układ rónań, którym pierszym rónaniu przy x jest spółczynnik róny, a rónaniach drugim, trzeci,..., m-tym spółczynnik przy x jest róny 0: x + a 2 x a n x n = b a 22x a 2nx n = b 2 a m2x a mnx n = b m, 4. Czynności. 3. potarzamy dla rónań od drugiego do m-tego, otrzymanego układu rónań (.2), itd. (.2) 3

4 DB Algebra linioa semestr letni Przestrzeń, podprzestrzeń Definicja.. (Ciało). Ciałem nazyamy niepusty zbiór K (posiadający co najmniej da elementy) raz z działaniami + : K K K oraz : K K K takimi, że: C. (K, +, ) jest pierścieniem przemiennym z jedynką. C2. Zbiór K = K \ {0} z mnożeniem jest grupą. Definicja..2 (Charakterystyka ciała). Niech K będzie ciałem. Jeśli istnieje liczba naturalna n taka, że n = 0, to charakterystyką ciała K nazyamy najmniejszą liczbę naturalną o tej łasności i oznaczamy char K. Jeśli dla każdego n N, mamy n 0, to móimy, że charakterystyka ciała K jest róna 0. Przykład... char Q = char R = char C = 0, char Z/p = p, gdzie p jest liczbą pierszą. Definicja..3 (Przestrzeń linioa). Niech K będzie doolnym ciałem. θ = θ V V oraz z doma działaniami: Zbiór V z yróżnionym elementem + : V V V dodaania elementó V, : K V V mnożenia elementó V przez elementy K, nazyamy przestrzenią linioą nad ciałem K (lub przestrzenią ektoroą nad ciałem K), jeśli spełnione są następujące arunki:. (V, +, θ) jest grupą abeloą z elementem neutralnym θ, 2. α (v + ) = α v + α, 3. (α + β) v = α v + β v, 4. α (β v) = (αβ) v, 5. v = v, gdzie oznacza element neutralny dla mnożenia ciele K, tzn. jedynkę ciała K. Róności z podpunktó zachodzą dla szystkich v, V oraz α, β K. Elementy przestrzeni linioej nazyamy ektorami. Elementy ciała K nazyamy skalarami. Przykład..2. Przykłady przestrzeni linioych:. K n := {(a, a 2,..., a n ) : a i K dla każdego i =, 2,..., n}, 2. K[x] przestrzeń ielomianó jednej zmiennej nad ciałem K, 3. K n [x] = {f K[x] : deg n}, 4. C [a,b] przestrzeń funkcji ciągłych określonych na przedziale [a, b] o artościach rzeczyistych nad R. Działania są zdefinioane następująco: (αf)(x) = αf(x), (f + g)(x) = f(x) + g(x). Definicja..4 (Podprzestrzeń). Niech V będzie przestrzenią linioą nad ciałem K. Niepusty podzbiór W V nazyamy podprzestrzenią przestrzeni V, jeśli spełnione są następujące da arunki:. dla doolnych, 2 W zachodzi + 2 W, 2. dla doolnych α K oraz W zachodzi α W. Poyższe da arunki możemy zastąpić definicji podprzestrzeni rónoażnie jednym następującym arunkiem: Piszemy W < V. α, β K, 2 W : α + β 2 W

5 DB Algebra linioa semestr letni Kombinacje linioe ektoró, linioa zależność ektoró Definicja..5.. Układem ektoró przestrzeni linioej V o skaźnikach ze zbioru T nazyamy każdą funkcję v : T V. Wartość funkcji v na elemencie t T oznaczamy v t. Układ ektoró będziemy zapisyać postaci (v t ) t T. 2. Niech V będzie przestrzenią linioą nad ciałem K. Niech będzie dany układ ektoró S = (v, v 2,..., v m ) z V oraz układ skalaró (α, α 2,..., α m ) z K. Wektor: v = α v + α 2 v α m v m = m α i v i nazyamy kombinacją linioą ektoró układu S. Skalary α i nazyamy spółczynnikami tej kombinacji. Linioą kombinację ektoró można zdefinioać dla doolnego układu ektoró S = (v t ) t T, gdzie T jest penym niekoniecznie skończonym zbiorem skaźnikó. Należy jednak pamiętać, że po to, aby yrażenie: α t v t miało sens, trzeba założyć, że α t = 0 dla praie szystkich t T. t T 3. Niech V będzie przestrzenią linioą nad ciałem K. Niech S = (v t ) t T będzie penym układem ektoró z V. Weźmy układ skalaró (α t ) t T t T K, taki że α t = 0 dla praie szystkich t T. Wektor: i= v = t T α t v t nazyamy kombinacją linioą ektoró układu S. Skalary α t nazyamy spółczynnikami tej kombinacji. 4. Niech V będzie przestrzenią linioą nad ciałem K. Móimy, że ektory układu S = (v, v 2,..., v m ) z V rozpinają przestrzeń V, jeśli każdy ektor v V jest kombinacją linioą ektoró v i, dla i =, 2,..., m. Oznacza to, że każdy ektor v V można zapisać postaci: dla penych skalaró α, α 2,..., α m K. v = α v + α 2 v α m v m 5. Niech będzie dany układ ektoró (v, v 2,..., v m ) z przestrzeni V. Wtedy zbiór szystkich kombinacji linioych: L(v, v 2,..., v m ) = {α v + α 2 v α m v m : α, α 2,..., α m K} ektoró v, v 2,..., v m nazya się połoką linioą układu ektoró (v, v 2,..., v m ). 6. Niech dany będzie skończony układ ektoró (v, v 2,..., v m ) przestrzeni linioej V nad ciałem K. Móimy, że układ ten jest linioo zależny, gdy istnieją skalary α, α 2, ldots, α m K takie, że α k 0 dla penego k {, 2,..., m} oraz zachodzi róność: α v + α 2 v α m v m = θ V. Nieskończony układ ektoró (v t ) t T przestrzeni V nad ciałem K jest linioo zależny, gdy peien jego skończony podukład jest linioo zależny. Doolny układ ektoró (v t ) t T przestrzeni V nad ciałem K nazyamy linioo niezależnym, jeśli nie jest on układem linioo zależnym.

6 DB Algebra linioa semestr letni Tierdzenie... Niech V będzie przestrzenią linioą nad ciałem K. Niech S = (v, v 2,..., v m ) będzie penym układem ektoró z V. Niech będzie dany układ ektoró S 0 = (v i, v i2,..., v ik ), gdzie v ij dla j k są penymi ektorami układu S oraz liczby i, i 2,..., i k są parami różne. Wóczas:. Jeśli ektory z S są linioo zależne, to jeden z nich jest kombinacją linioą pozostałych. 2. Jeśli θ V jest jednym z ektoró układu S, to układ S jest linioo zależny. 3. Jeśli ektory układu S są linioo niezależne, to ektory układu S 0 są linioo niezależne. 4. Jeśli ektory układu S 0 są linioo zależne, to ektory układu S są linioo zależne...4 Baza i ymiar przestrzeni linioej Definicja..6. Układ ektoró S = (v t ) t T przestrzeni V nazyamy bazą przestrzeni V, jeśli są spełnione następujące arunki:. Układ S jest linioo niezależny. 2. Układ S rozpina przestrzeń V, tzn. V = L(S). W szczególności, jeśli skończony układ ektoró S = (v, v 2,..., v n ) jest bazą przestrzeni V, to móimy, że V ma bazę skończoną. Definicja..7. Niech dane będą da układy ektoró S = (v t ) t T oraz S 2 = ( t ) t T2 przestrzeni V. Móimy, że układ S zaiera układ S 2, gdy T 2 T oraz t = v t dla każdego t T 2. Zaieranie układó zapisujemy S 2 S. Tierdzenie..2. Niech V będzie przestrzenią linioą nad ciałem K i niech S = (v t ) t T będzie danym układem ektoró V. Wtedy następujące arunki są rónoażne:. Układ S jest bazą przestrzeni V. 2. Każdy ektor v V da się jednoznacznie zapisać postaci kombinacji linioej ektoró: v = t T α t v t, gdzie v t S i α t są praie szystkie róne S jest maksymalnym układem linioo niezależnym V ze zględu na relację zaierania układó. 4. S jest minimalnym układem ze zględu na relację zaierania układó, które rozpinają przestrzeń V. Definicja..8. Niech S = (v t ) t T będzie bazą przestrzeni linioej V oraz niech v V.. Układ skalaró (α t ) t T taki, że α t = 0 dla praie szystkich t T oraz taki, że: v = α t v t, t T nazyamy spółrzędnymi ektora v zględem bazy S i oznaczamy symbolem v S. 2. W szczególności, jeśli V ma bazę skończoną S = (v, v 2,..., v n ) oraz: v = α v + α 2 v α n v n, to spółrzędne ektora v V zględem bazy S zapisujemy jako ektor z K n następujący sposób: α α 2 v S =.. α n

7 DB Algebra linioa semestr letni Tierdzenie..3. Niech S = (v, v 2,..., v n ) oraz S 2 = ( t ) t T baza S 2 też jest skończona i składa się z n ektoró. będą bazami przestrzeni linioej V. Wóczas Definicja..9. Niech V będzie przestrzenią linioą nad ciałem K.. Jeśli V ma skończoną bazę S, to móimy, że V jest przestrzenią skończenie ymiaroą. 2. Liczbę elementó bazy S przestrzeni skończenie ymiaroej V nazyamy ymiarem przestrzeni V i oznaczamy symbolem dim K V. 3. Jeśli przestrzeń V nie ma skończonej bazy, to móimy, że jest nieskończenie ymiaroa. Wniosek..3.. Niech dim K V = n.. Jeśli S = (v, v 2,..., v m ) jest linioo niezależnym układem ektoró V, to m n. 2. Jeśli S = (v, v 2,..., v n ) jest linioo niezależnym układem ektoró V, to S jest bazą przestrzeni V...5 Suma algebraiczna i suma prosta podprzestrzeni Niech V będzie przestrzenią linioą nad ciałem K. Definicja..0. Sumą algebraiczną podprzestrzeni W, W 2,..., W n przestrzeni V nazyamy zbiór: W + W W n = { n : i W i, dla i =, 2,..., n}. Jest to najmniejsza podprzestrzeń przestrzeni V zaierająca n i= W i. Definicja... Sumę algebraiczną W +W W n nazyamy sumą prostą podprzestrzeni W, W 2,..., W n, gdy przedstaienie każdego ektora W + W W n postaci: = n, gdzie i W i, dla każdego i =, 2,..., n jest jednoznaczne, tzn. gdy = n, gdzie i W i, dla każdego i =, 2,..., n jest drugim takim przedstaieniem, to i = i, dla każdego i =, 2,..., n. Jeśli W = W + W W n oraz suma algebraiczna jest sumą prostą to piszemy W = W W 2... W n lub W = n W i. Tierdzenie..4. Suma algebraiczna W + W W n jest sumą prostą podprzestrzeni W, W 2,..., W n przestrzeni V tedy i tylko tedy, gdy zachodzi następujący arunek: i {, 2,..., n} : W i (W + W W i + W i W n ) = {θ V } Tierdzenie..5. Jeśli podprzestrzenie W, W 2 przestrzeni V mają ymiar skończony, to podprzestrzenie W + W 2 oraz W W 2 mają rónież ymiar skończony i zachodzi: i= dim K (W + W 2 ) = dim K W + dim K W 2 dim K W W 2.

8 DB Algebra linioa semestr letni Zadania Zadanie.2.. Roziązać (metodą Gaussa) następujące układy rónań ciele liczb rzeczyistych: (a) (b) (c) x + 3x 2 + 5x 3 = 2 2x + 7x 2 + 9x 3 = 3x + 8x 2 + 7x 3 = 7 2x + 5x 2 + 2x 3 = 5x + 9x 2 + 7x 3 = 3 x 8x 2 + 7x 3 = x + 2x 2 x 3 = 4 3x + 5x 2 2x 3 = 9 4x + 5x 2 x 3 = 7 (d) (e) (f) x + 3x 2 + x 3 + 4x 4 = 0 3x + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 5x + x 2 + 2x 3 + 8x 4 = 4 7x + 3x 3 + 5x 4 = 0 x + 2x 2 + 2x 3 = 2 x + 4x 2 + 3x 3 = 6 3x + 4x 2 + 4x 3 = 8 5x 6x 2 3x 3 = 8 x + 4x 2 + 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 5 x + 3x 2 + x 3 + 2x 4 + 5x 5 = 2 x + 7x 2 + 5x 3 2x 4 3x 5 = 4.2. Roziązanie: (a) = = = 9 3 3= = = = (b) (c) Zatem: x = x 2 = 3 x 3 = = = = = Układ sprzeczny = = = 2 3= = Zatem: x = 2 t x 2 = 3 + t x 3 = t, t R

9 DB Algebra linioa semestr letni (d) (e) (f) = = 3 5, 4= = = = Układ sprzeczny = = 3 3, 4= = = = = = 2+ 3, 4= = = 2 3= Zatem: x = 4 x 2 = 5 x 3 = = =+42 3= 3 3= = Zatem: x = 7 + 2s 5t u x 2 = 3 s + t + 2u x 3 = s x 4 = t x 5 = u, s, t, u R Zadanie.2.2 (zd). Czy zbiór Q( 2) := {a + b 2 : a, b Q} ze zykłymi działaniami dodaania i mnożenia jest ciałem?.2.2 Roziązanie: Zadanie.2.3 (zd). Udoodnić, że charakterystyka ciała jest liczbą pierszą lub jest róna Roziązanie: Niech K będzie ciałem. Załóżmy, że char K 0. Zatem char K = n > 0. Czyli n jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że n = 0. Przypuśćmy, że n jest liczbą złożoną. Wóczas n = k m, gdzie < k, m < n. Mamy: 0 = n = km = (k )(m ) Ponieaż K jest ciałem, ięc szczególności jest dziedziną całkoitości, stąd: k = 0 lub m = 0.

10 DB Algebra linioa semestr letni Bez straty ogólności możemy przyjąć, że k = 0. Otrzymujemy sprzeczność, gdyż k < n z założenia. Zatem n jest liczbą pierszą. Zadanie.2.4 (zd). Wyznaczyć charakterystykę ciała K, gdzie = Roziązanie: 0 = 4 = (2 )(2 ), stąd 2 = 0, ięc char K = 2. Zadanie.2.5. Obliczyć: (a) (b) Z/5, Z/ Roziązanie: (a) Z/5 4 = 4, ięc = 3, (b) Z/7 2 = 4, 3 = 5, 5 = 3, ięc = 6. Zadanie.2.6 (zd). Wykazać, że jeśli char K = p > 0, to (a + b) p = a p + b p, dla doolnych a, b K..2.6 Roziązanie: (a + b) p = p ( p ) k=0 k a p k b k = ( ) p 0 a p + ( ) p a p b ( ) p p ab p + ( ) p p b p. Zauażmy, że p ( ) p j = p! j p, stąd ( p j) a p j b j = pk j a p j b j = 0 dla j p. Mamy ięc: (a + b) p = a p + b p. Zadanie.2.7. Czy struktura V,, jest przestrzenią linioą nad ciałem R, gdzie: V = R >0 oraz : V V V, : R V V zdefinioane są zorami: v := v, α v := v α, dla doolnych v, V oraz α R. j!(p j)! dla.2.7 Roziązanie: Zadanie.2.8. Rozpatrując iloczyn ( + ) (v + ), gdzie v, V uzasadnić, że aksjomatach przestrzeni linioej słoo abeloa można opuścić..2.8 Roziązanie: Z jednej strony: Z drugiej strony: Zatem ( + ) (v + ) = ( + ) v + ( + ) = v + v + + = v + v + +. ( + ) (v + ) = (v + ) + (v + ) = v + + v + = v + + v +. v + v + + = v + + v +. Możemy ięc zastosoać prao skracania z leej strony przez v, z praej przez i otrzymamy: v + = + v.

11 DB Algebra linioa semestr letni 208 Zadanie.2.9. Czy struktura V, +, jest przestrzenią linioą nad ciałem R, gdzie: V := R 2 oraz + : V V V, : R V V zdefinioane są zorami: dla doolnych (x, x 2 ), (y, y 2 ) V oraz α R..2.9 Roziązanie: (x, x 2 ) + (y, y 2 ) := (x + y, x 2 + y 2 ), α (x, x 2 ) := (αx, x 2 ), Nie jest, bo nie zachodzi aksjomat trzeci dla przestrzeni linioych, tzn. Istotnie, niech (x, x 2 ) R 2 oraz α, β R, doolne. v V α, β K : (α + β) v = α v + β v. L = (α + β) (x, x 2 ) = ((α + β)x, x 2 ) = (αx + βx, x 2 ) P = α (x, x 2 ) + β (x, x 2 ) = (αx, x 2 ) + (βx, x 2 ) = (αx + βx, 2x 2 ) Zadanie.2.0. Spradzić, czy W < V, gdzie: (a) V = R 3, W = {(x, y, z) R 3 : x = 0}, (b) V = R 3, W = {(x, y, z) R 3 : x + y = 0}, (c) (d) (e) L P V = Map(R, R) := {f : R R : f jest funkcją}, W = {f Map(R, R) : f jest ograniczona}, V = Map(R, R) := {f : R R : f jest funkcją}, W = {f Map(R, R) : f(x) Q, dla każdego x R}, V = C [0,] := {f : [0, ] R : f jest funkcją ciągłą}, W = {f C [0,] : 2f(0) = f()}, (f) V = C [0,] := {f : [0, ] R : f jest ciągła}, W = {f C [0,] : x [0, ](f(x) = 0)}, (g) V = R[x], W = {f R[x] : f(0)f() = 0}, (h) V = R n, W = {(x, x 2,..., x n ) R n : x + x x n = 0}, (i) V = C n, W = {(x, x 2,..., x n ) C n : x = x n }, (j) V = C n, W = {(x, x 2,..., x n ) C n : x = x 2 =... = x n }..2.0 Roziązanie: (a) V = R 3, W = {(x, y, z) R 3 : x = 0}, W = {(0, y, z) : y, z R}. Niech (0, y, z), (0, y, z ) W oraz α, β R, óczas α(0, y, z) + β(0, y, z ) = (0, αy + βy, αz + βz ) W. }{{}}{{} R R Stąd W < V. (b) V = R 3, W = {(x, y, z) R 3 : x + y = 0}, W = {(x, x, z) : x, z R}. Niech (x, x, z), (x, x, z ) W oraz α, β R, óczas Stąd W < V. α(x, x, z) + β(x, x, z ) = (αx + βx, (αx + βx ), αz + βz ) W. (c) V = Map(R, R) := {f : R R : f jest funkcją}, W = {f Map(R, R) : f jest ograniczona},

12 DB Algebra linioa semestr letni Funkcja f : R R ograniczona, gdy istnieje M 0 0, takie że f(x) M 0 dla każdego x R. Niech f, f 2 W oraz niech M, M 2 0 takie, że f i (x) M i, dla każdego x R oraz i =, 2. Mamy: (f + f 2 )(x) = f (x) + f 2 (x) f (x) + f 2 (x) M + M 2 = f + f 2 W. Niech α R oraz f W oraz niech M 0 takie, że f(x) M, dla każdego x R. Wóczas: Stąd W < V. (α f)(x) = α f(x) = α f(x) α M = α f W. (d) V = Map(R, R) := {f : R R : f jest funkcją}, W = {f Map(R, R) : f(x) Q, dla każdego x R}, Niech f W. Zauażmy, że drugi aksjomat podprzestrzeni nie jest spełniony. Istotnie niech α = 2 oraz f W będzie funkcją stałą f(x) = dla każdego x R. Wóczas αf / W. Stąd W V. (e) V = C [0,] := {f : [0, ] R : f jest funkcją ciągłą}, W = {f C [0,] : 2f(0) = f()}, Niech f, g W oraz α, β R. Wóczas: Stąd α f + β g W, ięc W < V. 2(α f + β g)(0) = 2[(α f)(0) + (β g)(0)] = 2[α f(0) + β g(0)] = = α 2f(0) + β 2g(0) = α f() + β g() = (α f + β g)() (f) V = C [0,] := {f : [0, ] R : f jest ciągła}, W = {f C [0,] : x [0, ] (f(x) = 0)}, Definicja.2. (Ciągłość sensie Heinego). Niech X R. Funkcja f : X R jest ciągła punkcie x 0 X, gdy: (x n ) n N X : lim x n = x 0 = lim f(x n) = f(x 0 ) n n Definicja.2.2 (Ciągłość sensie Cauchy ego). Niech X R. Funkcja f : X R jest ciągła punkcie x 0 X, gdy: ε > 0 δ > 0 x X : x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ε. Zauażmy, że f(x) = x 2 oraz g(x) = (x ) 2 są funkcjami ciągłymi na całym R oraz, że f, g W. Jednak (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x 2 + (x ) 2 = 2x 2 2x + 0 dla x R. Zatem f + g / W, ięc W V. (g) V = R[x], W = {f R[x] : f(0)f() = 0}, Niech f, g W. Mamy: (f + g)(0) (f + g)() = f(0)f() +f(0)g() + g(0)f() + g(0)g(). }{{}}{{} =0 =0 Za założenia f(0)f() = 0 i g(0)g() = 0. Stąd f(0) = 0 lub f() = 0 oraz g(0) = 0 lub g() = 0. Możemy znaleźć takie f, g W, że np. f(0) = g() = 0 oraz f() 0 i g(0) 0. Wtedy f +g / W, ięc W V. (h) V = R n, W = {(x, x 2,..., x n ) R n : x + x x n = 0}, (i) V = C n, W = {(x, x 2,..., x n ) C n : x = x n },

13 DB Algebra linioa semestr letni (j) V = C n, W = {(x, x 2,..., x n ) C n : x = x 2 =... = x n } Zadanie.2.. Obliczyć przestrzeni (Z/5) 3 : 2 (, 4, 3) + 4 (3,, 2) (4, 2, 3)..2. Roziązanie: 2 (, 4, 3) + 4 (3,, 2) (4, 2, 3) 2 (, 4, 3) + 4 (3,, 2) (4, 2, 3) = (2, 3, ) + (2, 4, 3) + (, 3, 2) = (0, 0, ). Zadanie.2.2. Znaleźć ektor v (Z/7) 3 spełniający następującą róność tej przestrzeni: 3 v + (, 2, 5) = (3, 4, 6)..2.2 Roziązanie: 3 v + (, 2, 5) = (3, 4, 6). 3 v + (, 2, 5) = (3, 4, 6) 3 v = (3, 4, 6) + (6, 5, 2) 3 v = (2, 2, ) / 5 v = (3, 3, 5). Zadanie.2.3. Z ilu różnych ektoró składa się przestrzeń (Z/p) n, gdzie p jest liczbą pierszą?.2.3 Roziązanie: (Z/p) n = p n. Zadanie.2.4. Czy ektor (2, 4, 8) jest kombinacją linioą ektoró (, 2, 3), (3, 7, 5), (5, 2, 8) R 3. Jeśli jest, podać spółczynniki tej kombinacji..2.4 Roziązanie: Zadanie.2.5. Spradzić, czy pradzia jest przynależność: (a) (8, 9, ) L((3,, 4), (2, 7, 3)) R 3, (b) ( 2, 0,, 0) L((,,, 2), (0,,, 2), (2,,, ), (, 3, 0, 2)) R 4, (c) (, 5,, ) L((, 3, 4, 5), (, 4, 6, 3)) (Z/7) 4, (d) (x, y, z, t) L((,,, ), (0, 0,, ), (i,, i, )), gdzie x + y + z + t = 0 oraz t = C 4, (e) (7, 6, 4) L((3, 4, 2), (5, 5, 3)) R Roziązanie: Zadanie.2.6. Spradzić, czy zachodzi róność R 3 : (a) L((4, 5, 3), (5, 7, 5)) = L((6, 9, 7), (7,, 9)), (b) L((, 6, 5), (4,, 2)) = L((, 2, 2), (5, 2, 4)), (c) L((,, 3), (2, 5, 0)) = L((, 2, ), (, 0, 5), (2,, 8))..2.6 Roziązanie:

14 DB Algebra linioa semestr letni Zadanie.2.7. Pokazać, że jeśli v + v 2 + v 3 = θ, to L(v, v 2 ) = L(v 2, v 3 )..2.7 Roziązanie: Zadanie.2.8 (zd). Spradzić czy dane ektory, generują przestrzeń R n : (a) (2, 2), (, 3), dla n = 2, (b) (, 3, 5), (, 4, 7), (3, 8, 7), dla n = 3, (c) (, 2, 4), (7, 6, 4), (9, 7, 3), dla n = 3, (d) (, 2, 4), (3, 5, 9), dla n = Roziązanie: Zadanie.2.9. Spradzić, czy dane ektory przestrzeni V są linioo zależne: (a) V = R 3 nad ciałem R, ektory: (3,, 2), ( 9, 3, 6); (b) V = R 3 nad ciałem R, ektory: (4, 4, ), (, 4, 4); (c) V = R 3 nad ciałem R, ektory: (, 0, 4), (5,, ), (,, 0), (, 0, 8); (d) V = (Z/5) 3 nad ciałem Z/5, ektory: (,, 0), (4, 3, ), (, 4, 2); (e) V = C R nad ciałem R, ektory:, sin x, cos x; (f) V = C R nad ciałem R, ektory:, 2 x, 3 x, 6 x ; (g) V = C (0, ) nad ciałem R, ektory: log x, log 2x, log 3x;.2.9 Roziązanie: (a) V = R 3 nad ciałem R, ektory: (3,, 2), ( 9, 3, 6); [ ] [ ] [ ] 3 2 rz ========== 2= = rz 3 2 ======= rz 3 3 = Zatem ektory (3,, 2), ( 9, 3, 6) są linioo zależne. (b) V = R 3 nad ciałem R, ektory: (4, 4, ), (, 4, 4); = 2 0. [ ] 4 4 Zatem: rz = 2, czyli ektory (4, 4, ), (, 4, 4) są linioo niezależne. 4 4 (c) V = R 3 nad ciałem R, ektory: (, 0, 4), (5,, ), (,, 0), (, 0, 8); R 3 jest przestrzenią, której baza składa się z trzech ektoró, a jest to maksymalny sensie inkluzji układ linioo niezależny, ięc każde 4 ektory R 3 będą linioo zależne, ięc szczególności (, 0, 4), (5,, ), (,, 0), (, 0, 8) są linioo zależne. (d) V = (Z/5) 3 nad ciałem Z/5, ektory: (,, 0), (4, 3, ), (, 4, 2); = = 0. Zatem ektory (,, 0), (4, 3, ), (, 4, 2) są linioo zależne. (e) V = C R nad ciałem R, ektory:, sin x, cos x; Liczymy rońskian: sin x cos x W (x) = 0 cos x sin x 0 sin x cos x = cos x sin x sin x cos x = cos2 x sin 2 x = (cos 2 x + sin 2 x) = 0 Zatem funkcje:, sin x, cos x są linioo niezależne.

15 DB Algebra linioa semestr letni (f) V = C R nad ciałem R, ektory:, 2 x, 3 x, 6 x ; Liczymy rońskian: 2 x 3 x 6 x W (x) = 0 2 x ln 2 3 x ln 3 6 x ln 6 2 x ln 2 3 x ln 3 6 x ln x ln x ln x ln 2 6 = 2 x ln x ln x ln x ln x ln x ln x ln x ln x ln 3 6 = (g) = 2 x 3 x 6 x (ln 2 ln 2 3 ln ln 2 2 ln 3 3 ln 6 + ln 3 2 ln 3 ln 2 6 ln 3 2 ln 2 3 ln 6 ln 2 ln 3 3 ln 2 6 ln 2 2 ln 3 ln 3 6) Licząc na kalkulatorze dostaniemy np. W () 0. Zatem funkcje, 2 x, 3 x, 6 x są linioo niezależne. V = C (0, ) nad ciałem R, ektory: log x, log 2x, log 3x; roziążemy to zadanie na da sposoby: Sposób pierszy: Liczymy rońskian: log x log 2x log 3x W (x) = k =k k 2 log 2 log 2x log 3x x ln 0 x ln 0 x ln 0 ======== 0 x 2 ln 0 x 2 ln 0 x ln 0 x ln 0 x 2 ln 0 0 x 2 ln 0 = x 2 ln 0 = log 2 x ln 0 x ln 0 0 x 2 ln 0 x 2 ln 0 Zatem funkcje: log x, log 2x, log 3x są linioo zależne. Sposób drugi: Zauażmy, że dla doolnego c R \ {0} oraz a = ( log 3 log 2 ) c, b = log 3 log 2 c mamy: a log x + b log 2x + c log 3x = 0. Spradźmy: ( ) log 3 a log x + b log 2x + c log 3x = log 2 c log x log 3 c(log 2 + log x) + c(log 3 + log x) = log 2 = c log 3 3 log x c log x c log 3 clog log x + c log 3 + c log x = 0. log 2 log 2 Zatem funkcje: log x, log 2x, log 3x są linioo zależne. Zadanie Czy ektory = x 5, 2 = x 2 + 2x + 3, 3 = x 2 + x + torzą bazę przestrzeni R 2 [x]?.2.20 Roziązanie: Zadanie.2.2. Udoodnić, że ektory, x, x 2,..., x n stanoią bazę przestrzeni R n [x]..2.2 Roziązanie: Zadanie Wykazać, że dane ektory przestrzeni C R są linioo niezależne: (a), cos x, cos 2x, cos 3x,..., (b), sin x, sin 2 x, sin 3 x, Roziązanie:

16 DB Algebra linioa semestr letni Zadanie.2.23 (zad. 62, JR). Spradzić, czy każdy ektor przestrzeni R 3 przedstaia się jednoznacznie postaci kombinacji linioej następującego układu ektoró: (a) (, 0, ), (,, 3), (4,, ), (b) (3, 3, 5), (, 8, 4), (2, 7, 5), (c) (, 3, 4), (2, 7, 9), (d) (,, ), (, 2, 3), (4, 7, ), (3, 4, 7). Zadanie Wyznacz spółrzędne ektora: v = (, 2, 0) R 3 bazie ((, 0, ), ( 2,, 2), (0,, )). Zadanie.2.25 (zad. 68, JR). Zbadać, czy następujące ektory torzą bazę przestrzeni R 3 (ykorzystać fakt, że gdy dim K V = n, to n ektoró przestrzeni V torzy jej bazę ektory te są linioo niezależne): (a) (,, ), (,, ), (,, ), (b) (, 0, ), (5,, 6), (8, 5, 3). Zadanie.2.26 (zad. 69, JR). Wyznacz jedną z baz podprzestrzeni W przestrzeni R 4, gdzie: (a) W = { (x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : 2x + 3x 2 + 4x 4 = 0, 4x + 2x 2 + 3x 3 = 0 }, (b) W = { (x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 4x 2 9x 3 + 8x 4 = 0 }, (c) W = { (x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : 2x + 4x 2 + x 3 + 2x 4 = 0, x + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 0, 4x + 4x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 0 }, (d) W = { (x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x + 3x 2 + 9x 3 6x 4 = 0, x + 7x 2 + x 3 2x 4 = 0, 2x + x 2 + 7x 3 5x 4 = 0 }. Zadanie.2.27 (zad. 76, JR). Wskazać taką bazę podprzestrzeni W przestrzeni R 4, która jest podukładem danego układu ektoró rozpinających podprzestrzeń W. Określić ymiar podprzestrzeni W. (a) W = L((, 3, 3, 2), (3, 5, 6, 5), (8, 4, 9, ), (5, 3, 6, 7)), (b) W = L((,, 3, 7), (3, 4, 9, 7), (, 2, 5, 9), (4, 5, 9, 27)), (c) W = L((, 2, 0, ), (4, 5,, 3), (5,, 3, 2), (,,, 8)). Zadanie.2.28 (zad. 79, JR). Dla podanych podprzestrzeni W, W 2 < R 4 znaleźć bazę przestrzeni W W 2 : (a) W = L((,,, 0), (0, 0, 0, ), (,, 0, 0)), W 2 = {(x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 2 x 4 = 0}, (b) W = L((, 0, 0, ), (0,,, 0), (,, 0, 0)), W 2 = {(x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x x 2 = x 3 + x 4 = 0}, (c) W = L((, 7, 7, 8), (2, 6, 5, 7)), W 2 = L((5, 7,, 8), (5, 8,, 9)), (d) W = L((,, 4, ), (3, 4, 9, 3)), W 2 = L((3, 4, 7, 6), (5, 7, 9, 9)). Zadanie.2.29 (zad. 87, JR). Wiadomo, że R 4 = W W 2. Przedstaić dany ektor v R 4 postaci odpoiedniej sumy: (a) W = L((0, 0, 0, ), (,,, )), W 2 = {(x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x = x 2 5x 4 = 0}, v = (7, 2, 5, 8), (b) W = L((4, 0,, 0)), W 2 = {(x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 3 7x 4 = 0}, v = (5, 6, 9, ). Zadanie.2.30 (zad. R 4 = W W 2 : 88, JR). Zbadać, czy dla danych podprzestrzeni W, W 2 < R 4 pradziy jest ziązek (a) W = {(x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x x 3 = x 2 + x 3 = 0}, W 2 = L((,, 4, ), (0,, 3, 0)), (b) W = {(x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x + 2x 2 x 3 2x 4 = x 2 x 3 = 0}, W 2 = L((4,, 0, 3), (5,,, 4)). Zadanie.2.3 (zad. 89, JR). Podprzestrzenie W, W i W 2 przestrzeni R 4 określone są następująco: W = {(x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x + x 2 = x 3 + x 4 = 0}, W = {(x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x = x 2 = x 3 = x 4 }, W 2 = L((, 0,, 0), (0,, 0, )). Zbadać, czy W = W + W 2 i czy suma algebraiczna W + W 2 jest sumą prostą. Zadanie.2.32 (zad. 97, JR). Określone są podprzestrzenie W, W 2 < R 4. Obliczyć ymiary podprzestrzeni W, W 2, W + W 2, W W 2, gdzie: (a) W = L((2, 5, 0, 2)), W 2 = L((, 7, 3, 4), (3, 0, 5, 2)), (b) W = L((,,, )), W 2 = L((, 0, 3, ), (3, 5, 4, 2), (3, 4, 5, )), (c) W = L((,, 0, 0), (0, 0,, )), W 2 = {(x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x + 3x 2 x 3 + x 4 = 3x + 8x 2 4x 3 + 3x 4 = 0}, (d) W = L((,, 2, ), (6,,, 3)), W 2 = {(x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x +5x 2 +2x 3 +7x 4 = 3x 4x 2 +7x 3 +5x 4 = 0}, (e) W = {(x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x x 2 + x 4 = x + 2x 3 x 4 = 0}, W 2 = {(x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x + x 2 + x 3 = x + 3x 2 + x 3 x 4 = 0}.

17 DB Algebra linioa semestr letni Zadanie.2.33 (zad. 6, JR). Dane są ektory v, v 2,, 2, 3, 4 R 4. Wektory v, v 2 są linioo niezależne (dim R L(v, v 2 ) = 2), a L(, 2, 3, 4 ) = R 4. Które z ektoró, 2, 3, 4 można dołączyć do ektoró v, v 2, by otrzymać bazę przestrzeni R 4. (a) v = (, 4, 2, ), v 2 = (0,,, ) = (,, 0, 0), 2 = (2, 4,, 0), 3 = (, 0, 0, 2), 4 = (2, 5, 3, 4), (b) v = (,,, ), v 2 = (5, 2, 4, ) = (, 0,, ), 2 = (2,,, 0), 3 = (4,,, 2), 4 = (3, 4, 3, 4). Zadanie Niech W = {(x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x x 2 = x 4 x 2 + 2x 3 = 0} < R 4. Uzupełnić jedną z baz podprzestrzeni W do bazy przestrzeni R 4. Zadanie.2.35 (zad. 7, JR). Zbadać, dla jakich liczb x R dana trójka ektoró torzy bazę przestrzeni linioej R 3 : (a) (, 3, 4), (2,, 5), (, 8, x), (b) (, 2, 3), (3, 4, 9), (, x, 3), (c) (x, 4, ), (x,, 2), (5, x, 2). Zadanie.2.36 (zad. 40, 4, JR). Znaleźć układ rónań linioych określający daną podprzestrzeń przestrzeni R n : (a) L((, 0, 0), (0,, 0)), dla n = 3, (b) L((4,, 3), (0, 3, )), dla n = 3, (c) L((,, )), dla n = 3, (d) L((4,, 3, 5)), dla n = 4, (e) L((,,, ), (3, 4, 5, 8)), dla n = 4, (f) L((0,, 2, ), (, 3, 4, ), (4, 7, 6, )), dla n = 4. Zadanie Oblicz: A = A + 3I 3, 3A, D + D, ( B + D T ) T, D + B T, AA T, ( AA ) T T, A T A, C T C, CC T, BDD T, CC T A, αb, ADBE, C T AE, gdzie: , B = , C =, D = 0 2, E = 2, α R

18 2 TEORIA MACIERZY 2. Teoria 2.. Operacje na macierzach Definicja 2... Macierzą o elementach z ciała K o m ierszach i n kolumnach nazyamy każdą funkcję T : {,..., m} {,..., n} K. Zbiór szystkich macierzy o elementach z ciała K o m ierszach i n kolumnach oznaczamy symbolem M m n (K). Dla prostoty zapisu przyjmujemy, że T ((i, j)) = a ij i óczas zapisujemy: a a 2... a n a 2 a a 2n A = a m a m2... a mn lub skrótoo A = [a ij ] M m n (K). Fakt 2... M m n (K) z dodaaniem macierzy i mnożeniem przez skalar z ciała K jest przestrzenią linioą nad ciałem K. Definicje działań: [a ij ] + [b ij ] = [c ij ], gdzie c ij = a ij + b ij dla i =,..., m, j =,..., n, α [a ij ] = [c ij ], gdzie c ij = αa ij dla i =,..., m, j =,..., n. Definicja Niech m, n, l N oraz A = [a ij ] M m n (K), B = [b ij ] M n l (K). Iloczynem macierzy A i B nazyamy macierz [c i j] M m l (K) zdefinioaną następująco: c ij = Iloczyn macierzy A i B oznaczamy AB. n a ik b kj, dla i =,..., m, j =,..., l. k= Definicja Niech A = [a ij ] M m n (K). Macierzą transponoaną macierzy A, jest macierz A T = [a T ij ] M n m (K), zdefinioana następująco: a T ij = a ji, dla i =,..., m, j =,..., l. Fakt W zbiorze macierzy kadratoych M n (K) mnożenie macierzy jest działaniem enętrznym. Elementem neutralnym dla mnożenia jest macierz jednostkoa I = [a ij ], gdzie {, gdy i = j a ij = 0, gdy i j. 8

19 DB Algebra linioa semestr letni Zbiór M n (K) raz z dodaaniem macierzy, mnożeniem macierzy przez skalar oraz mnożeniem macierzy torzy algebrę (nieprzemienną) z jedynką nad ciałem K. Definicja Niech A = [a ij ] M n (K). Śladem macierzy A nazyamy sumę elementó na głónej przekątnej i oznaczamy symbolem tr A, tzn. n tr A = a ii Rząd macierzy Definicja Móimy, że macierz A jest postaci zredukoanej, gdy spełnione są następujące arunki: i=. (Jeśli ystępują macierzy A iersze zeroe). Począszy od penego iersza szystkie następne iersze macierzy składają się z samych zer. Poyżej tego iersza nie ma ierszy złożonych z samych zer. 2. W każdym niezeroym ierszu pierszy od leej niezeroy yraz jest róny. Ten niezeroy yraz będziemy nazyać jedynką iodącą iersza. 3. Jeśli da sąsiednie iersze nie są złożone z samych zer, to iodąca jedynka yższego iersza znajduje się na leo od iodącej jedynki niższego iersza. 4. Jeśli ponadto, każda kolumna zaierająca iodącą jedynkę ma pozostałe yrazy róne 0, to móimy, że macierz A jest postaci całkoicie zredukoanej. Definicja Następujące operacje ykonyane na ierszach macierzy, nazyać będziemy operacjami elementarnymi: OE. Zamiana miejscami dóch ierszy. OE2. Pomnożenie iersza przez niezeroy element ciała K. OE3. Dodanie do danego iersza ielokrotności innego iersza. Definicja Rzędem macierzy A nazyamy liczbę iodących jedynek doolnej postaci zredukoanej macierzy A. Fakt Operacje elementarne nie zmieniają rzędu danej macierzy. Fakt Dla doolnej macierzy A M m n (K), mamy: rz A = rz A T. Tierdzenie 2... Jeśli A M n (K), to następujące arunki są rónoażne:. A jest macierzą odracalną, 2. postać całkoicie zredukoana macierzy A jest macierzą identycznościoą I n, 3. rz A = n, 4. det A 0, 5. dla każdego b K n układ rónań linioych AX = b ma dokładnie jedno roziązanie, 6. jednorodny układ rónań linioych AX = θ n ma tylko jedno roziązanie: x = x 2 =... = x n = 0, 7. kolumny (iersze) macierzy A są ektorami linioo niezależnymi przestrzeni K n.

20 DB Algebra linioa semestr letni Zadania Zadanie Wykonać następujące działania na macierzach: [ ] 5 (a) 4, 2 8 [ ] [ ] (b) 3 +, [ ] [ ] (c) Zadanie (zad 2, JR). Niech: 2 A = 2 0, B =, C = Wykonać następujące iloczyny: AB, AC, A 2, BB T, B T B, AA T, B T A, B T C, C T B. Zadanie (zad 3, 5, 6, JR). Obliczyć iloczyny: (a) , (b) , (c) , [ ] 2 [ ] 3 (d) Zadanie (zad 7, JR). Podać przykład macierzy A, B M 2 (R) takich, że A 0, B 0 i AB = 0. Zadanie (zad. 20, JR). Niech n N. Obliczyć: [ ] n (a), 0 [ ] n a (b), 0 a [ ] n cos α sin α (c). sin α cos α 4 7 Zadanie (zad. 25, JR). Obliczyć ślad macierzy Zadanie (zad. 26, 09, 29, JR). Udoodnić, że dla doolnych macierzy A, B M m n (K), C M n l (K), D, F M n (K) zachodzi: (a) tr(d + F ) = tr D + tr F, (b) tr(df ) = tr(f D),

21 DB Algebra linioa semestr letni (c) tr(ad) = a tr D, (d) (A + B) T = A T + B T, (e) (A T ) T = A, (f) (aa) T = aa T, (g) (AC) T = C T A T. Zadanie (zad. 27, JR). Pokazać, że nie istnieją macierze A, B M n (K), takie że AB BA = I. Zadanie (zad. 30, JR). Wykazać, że dla każdej macierzy A M m n (K), iloczyn AA T jest macierzą symetryczną. Zadanie Znajdź postacie zredukoane i rzędy następujących macierzy: (a) A = 0, (b) B = 0, 5 3 4, , (c) C = , (d) D = Roziązanie: (a) A = 0 2= = = rz A = 3, (b) B = 0, 5 3 4, , 5 3 4, 5 2= = 5 3= = rz B = 3, (c) C = = = =3 2 4= = = rz C = 4,

22 DB Algebra linioa semestr letni (d) D = = = 3 7, 4= = = = = = rz D = 4. Zadanie Znajdź postacie całkoicie zredukoane i rzędy następujących macierzy: (a) A = , (b) B = Roziązanie: (a) A = = = 5 2 4= 4, 6= = = = 5+2 3, 6= = 5 4 6= = = = = = = rz A = 5,

23 DB Algebra linioa semestr letni (b) B = = = = = rz B = Zadanie W zależności od parametru m R oblicz rząd poniższych macierzy: (a) [ ] 3m + 7 m + 2 A = 6m 5 2m 2 2m + 5 m 2 + m (b) B = 2 5m + 0 3m 2 + 3m (c) 3 6m + 5 4m 2 + 2m [ ] 2m C = + 9m 5 m 2 + 6m + 5 2m 2 + 8m 0 m 2 + 5m m + m m m (d) D = m m + m m m 2 m m 2 m 5m m 5m m Roziązanie: [ ] [ ] [ 3m + 7 m + 2 (a) A = 2= 2 2 3m + 7 m m 5 2m m + 7 m + 2 [ ] [ ] 6 9 2= 2 (3m+7) 6 9 3m + 7 m (m 4) [ ] 6 m = 4 A 9 rz A = 0 0 m 4 A 2= 9 m 4 2 [ ] rz A = 2 2m + 5 m 2 + m 2m + 5 m 2 + m (b) B = 2 5m + 0 3m 2 + 3m 2=2 2 0 m m 2 + m 3 6m + 5 4m 2 3= m 0 0 m 2 m 5 0 m = 0 B rz B = m + 5 m 2 + m m 0 B 2= m 2 0 m + 3= m m 7 2 m = B 0 2 rz B = m + 5 m 2 + m m B 3= m 3 0 m + rz B = ] = 9

24 DB Algebra linioa semestr letni [ ] [ ] 2m (c) C = 2 + 9m 5 m 2 + 6m m + 5 m + 5 2m 2 + 8m 0 m 2 + 5m 2(m + 5)(m ) m(m + 5) [ ] 0 0 m = 5 C rz C = m 5 C = m+5 m = 2 C 2= m+5 2 [ 0 0 m 2 C 2= 2 m 2 ] [ 2(m ) m rz C = [ ] 0 ] [ ] 2 2(m ) 0 m + 2 rz C = 2 (d) Wiemy, że rząd macierzy danej jest róny rzędoi macierzy transponoanej, czyli rz D = rz D T. m + m m 2 5m D T = m m + m m m m m 2 5m = = 2 4 m m m 2 5m = 4 m 0 m m 2 5m m m m m m m m m 0 m m m = 3 m = 4 m m 2 5m m m m m 0 0 m m 0 0 m m m m m = 0 D T rz D = m 0 D T 3= m = 0 0 m m m = 5 D T rz D = 3 m D T 4= 5 m rz D = Zadanie Znajdź macierze odrotne (o ile istnieją) dla poniższych macierzy: A = 2 5 7, B = , C = 3, D = Roziązanie:

25 DB Algebra linioa semestr letni [ A I ] = = =3 2 3= = = = 2= [ ] I A 6 8 Zatem A = [ B I ] = =2+3 4= = = =3+32 4= = = = = 3+ 4, 2= = = = I B ] Zatem B = [ C I ] = =2+3 3= = = = = = = [ I C ] Zatem C =

26 DB Algebra linioa semestr letni [ D I ] = = = = rz D = 2 D nie istnieje.

27 3 WYZNACZNIK MACIERZY opracoanie dra Piotra Rzonsoskiego 3. Teoria 3.. Definicja i podstaoe łasności yznacznika, t. Laplace a, t. Cauchy ego Definicja 3... Wyznacznik macierzy kadratoej zdefiniujemy za pomocą indukcji matematycznej.. Jeżeli A = [a] M, (K), to det A = a. 2. Załóżmy, że został zdefinioany yznacznik macierzy kadratoej o n ierszach. Niech A M n,n (K) oraz niech M i,j M n,n (K) będzie macierzą, którą otrzymujemy po ykreśleniu z A i-tego iersza i j-tej kolumny. Ponadto niech A ij = ( ) i+j det M ij. Element A ij ciała K nazyamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A. Przy tych oznaczeniach yznacznik macierzy A definiujemy za pomocą yrażenia det A = a A + a 2 A a n A n Tierdzenie 3.. (Laplace a). Jeżeli A M n,n (K), to zachodzą następujące zory:. det A = a i A i + a i2 A i2 + + a in A in dla każdego i n, 2. det A = a j A j + a 2j A 2j + + a nj A nj dla każdego j n. Definicja Niech A M n,n (K) będzie macierzą o spółrzędnych a ij K. Wóczas móimy, że A jest macierzą:. dolną trójkątną/dolnotrójkątną, gdy ma zera nad przekątną, czyli a ij = 0 dla i < j, 2. górną trójkątną/górnotrójkątną, gdy ma zera pod przekątną, czyli a ij = 0 dla i > j, 3. przekątnioą (diagonalną), jeżeli a ij = 0 dla i j. Własności 3.. (Wyznacznika). Niech a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = M n,n(k). a n a n2 a nn 27

28 DB Algebra linioa semestr letni Jeżeli macierz A ma iersz lub kolumnę złożoną z samych zer, to det A = Dla każdego c K i dla każdego j n mamy a ca j a n a 2 ca 2j a 2n det = c det A a n ca n2 a nn Taka sama łasność zachodzi przy mnożeniu doolnego iersza macierzy przez skalar. 3. Jeżeli macierze B, C M n,n (K) różnią się od macierzy A tylko j-tą kolumną i mają postać a b j a n a 2 b 2j a 2n B =... a n b n2 a nn a a j + b j a n a 2 a 2j + b 2j a 2n C =... a n a nj + b n2 a nn to det C = det A + det B. Taka sama łasność zachodzi dla ierszy macierzy. 4. Jeżeli macierz A ma die identyczne kolumny (odpoiednio iersze), to det A = Zamiana miejscami dóch kolumn (ierszy) macierzy pooduje, że znak yznacznika zmienia się na przeciny. 6. Jeżeli jedna kolumna (iersz) macierzy A jest ielokrotnością innej kolumny (odpoiednio - iersza), to det A = Jeżeli do jednej kolumny (iersza) macierzy A dodamy ielokrotność innej kolumny (odpoiednio iersza), to yznacznik macierzy nie ulegnie zmianie. 8. Jeżeli A, B M n,n (K) to zachodzą następujące róności: det(ab) = det A det B = σ S n (sgn σ)b σ() b σ(2)2 b σ(n)n σ S n (sgn σ)b σ() b σ(2)2 b σ(n)n gdzie S n jest grupą permutacji zbioru n-elementoego, a sgn σ jest znakiem permutacji σ S n. Tierdzenie 3..2 (Cauchy ego). Jeżeli A, B M n,n (K), to 3..2 Wzór na macierz odrotną det(ab) = det A det B. Definicja Dla macierzy kadratoej A M n,n (K) definiujemy jej macierz dołączoną A A 2 A n A D A 2 A 22 A n2 = A n A 2n A nn tzn A D jest macierzą kadratoą, która na przecięciu i-tego iersza i j-tej kolumny ma dopełnienie algebraiczne A ji.

29 DB Algebra linioa semestr letni Tierdzenie Jeżeli A Gl n (K), to zachodzi następujący zór: 3..3 Wzory Cramera Mamy następujący układ rónań: A = det A AD a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b a m x + a m2 x a mn x n = b m (3.) Tierdzenie Jeżeli det A 0, to układ rónań (3.) ma dokładnie jedno roziązanie, które jest dane za pomocą zoró x i = det A x i det A, dla i n, gdzie A xi otrzymuje się przez zastąpienie i-tej kolumny macierzy A kolumną yrazó olnych układu (3.).

30 DB 3.2 Algebra Zadania linioa semestr letni Zadanie Obliczyć następujące yznaczniki: 0 0 (a) 2 3 0, (b) 0 2 3, (c) Roziązanie: (a) (b) (c) Policzymy ten yznacznik najpier prost z definicji, a następnie korzystając z różnych łasności yznacznika = ( ) ( )+2 ( ) ( ) = = ( ) + 3 det [ ] + ( ) +2 0 det [ ] + ( ) + 2 det [ ] + ( ) +2 0 det [ ] + + ( ) + 2 det [ ] + ( ) +2 3 det [ ] = = = = ========= = ( ) = 2 (2 + 3) = 0, k 2=k 2 k 3 ======== = ( ) = ========== = = ( ) +3 ( ) = (3 25) = 22, = ( ) = ( ) = 3. Zadanie Wykazać, że yznacznik macierzy dolnotrójkątnej/górnotrójkątnj jest róny iloczynoi elementó na przekątnej Roziązanie: Doód dla macierzy dolnotrójkątnej. Niech A n M n (R) będzie macierzą postaci: a a 2 a A n = a n, a n,2 a n,3 a n,n 0 a n a n2 a n3 a n,n a nn Indukcja ze zględu na n.. Krok początkoy: n =. A = [ a ]. det A = a. 2. Założenie indukcyjne: Dla n = k N mamy det A n = det A k = k i= a ii. 3. Teza indukcyjna: Wzór ten zachodzi dla n = k +, tzn. det A n = n a a 2 a det A n = det A k+ = det a k, a k,2 a k,3 a k,k 0. a k+, a k+,2 a k+,3 a k+,k a k+,k+ i= a ii

31 DB Algebra linioa semestr letni a a 2 a Doód: det A n = det A k+ = det = = ( ) 2(k+) a k+,k+ det A k ======== z zał. ind. a k, a k,2 a k,3 a k,k 0 a k+, a k+,2 a k+,3 a k+,k a k+,k+ a k+,k+ k i= a ii = k+ i= a ii = n i= a ii. Na mocy zasady indukcji matematycznej otrzymujemy, że dla każdego n N zachodzi: n det A n = a ii. Zadanie Wykaż, że jeśli liczba zer macierzy stopnia n jest iększa od n 2 n, to jej yznacznik róny jest Roziązanie: Z założenia iemy, że ta macierz ma przynajmniej n 2 n + zer. Tzn. tej macierzy jest co najyżej n 2 (n 2 n + ) = n niezeroych elementó. Stąd z zasady szufladkoej Dirichleta otrzymujemy, że macierzy tej istnieje co najmniej jedna kolumna/iersz zeroy, ięc z łasności. yznacznika mamy, że yznacznik jest róny zeru. Zadanie Wyproadzić zór na yznaczniki macierzy, 2 2, 3 3 z łasności 8 yznacznika Roziązanie: Niech A = [ a ], S = {σ }, gdzie: Zauażmy, że sgn σ =. det A = 2 2 [ ] a a Niech A = 2, S a 2 a 2 = {σ, σ 2 }, gdzie: 22 Zauażmy, że sgn σ = oraz sgn σ 2 =. det A = i= σ = ( ). sgn σ i a σi() = a i= σ = ( 2 2 ), σ 2 = ( 2 2 ). 2 sgn σ i a σi()a σi(2)2 = a a 22 a 2 a a a 2 a 3 Niech A = a 2 a 22 a 23, S 3 = {σ, σ 2, σ 3, σ 4, σ 5, σ 6 }, gdzie: a 3 a 32 a 33 i= σ = ( ), σ 2 = ( ), σ 3 = ( ), σ 4 = ( ), σ 5 = ( ), σ 6 = ( ). Zauażmy, że sgn σ = sgn σ 2 = sgn σ 3 = oraz sgn σ 4 = sgn σ 5 = sgn σ 6 =. det A = 6 sgn σ i a σi()a σi(2)2a σi(3)3 = a a 22 a 33 + a 2 a 32 a 3 + a 3 a 2 a 23 a 3 a 22 a 3 a 2 a 2 a 33 a a 32 a 23 i=

32 DB Algebra linioa semestr letni Zadanie Niech c R, A M n (R) i det A = a. Oblicz det ca Roziązanie: c c 0 a, c R, A M n (R), det A = a. Niech C M n (R), C = c det(c A) = det(ca) = det C det A = c n det A = c n a Zadanie Niech a, b, c, d, t R. Stosując tierdzenie Cauchy ego do macierzy [ ] [ ] a b c d A =, B = udoodnić tożsamość (a 2 + b 2 t)(c 2 + d 2 t) = (ac bdt) 2 + (ad + bc) 2 t. bt a dt c Roziązanie: det A = a 2 + b 2 t, det B = c 2 + d 2 t. det(a B) = (ac bdt) 2 + (ad + bc) 2 t. Z t. Cauchy ego: [ ] ac bdt ad + bc A B = (bc + ad)t ac bdt (a 2 + b 2 t)(c 2 + d 2 t) = det A det B = det(a B) = (ac bdt) 2 + (ad + bc) 2 t Zadanie Oblicz yznaczniki: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Roziązanie: (a) = ( 5) 2 3 = (b) 5 2 2= ========= k 2=k 2+k ================ k 3=k 3+k, k 4=k 4+k = ( ) ========= 3= = ( ) = 2(2 35) = 46

33 DB Algebra linioa semestr letni (c) (d) (e) (f) (g) (h) = ========= = 3 ( ) = 2( 2 + 3) = = ( ) k =k k ======== k 2=k 2 0k ========== k 3=k 3 00k ========== k 3=k 3 0k ========== = = = = ========= = ( ) = 8 9 = = = = = = = ========== k 4=k 4 3k ========= = ( ) =================== 2= = 3 2, 4= = ( ) = ( ) = = ( 49) = 49 Zadanie Za pomocą zoró Cramera roziąż następujący układ rónań nad ciałem R: (a) { 4x 7x 2 = 3 5x 6x 2 = 4 (b) x x 2 + x 3 = 3x 4x 2 + 5x 3 = 5 4x 5x 2 + 9x 3 = Roziązanie: (a) [ ] [ ] [ ] A =, A 5 6 x =, A 4 6 x2 = 5 4 det A =, det A x = 0, det A x2 =. Zatem: { x = 0 x 2 = (c) x + 3x 2 + 4x 3 = 2x + 4x 2 + 7x 3 = 2 4x + 9x 2 + x 3 = 5

34 DB Algebra linioa semestr letni (b) A = 3 4 5, A x = 5 4 5, A x2 = 3 5 5, A x3 = det A = 3, det A x =, det A x2 = 2, det A x3 = 2. Zatem: x = 3 x 2 = 2 3 x 3 = (c) A = 2 4 7, A x = 2 4 7, A x2 = 2 2 7, A x3 = det A = 7, det A x = 2, det A x2 =, det A x3 = 2. Zatem: x = 2 7 x 2 = 7 x 3 = 2 7 Zadanie (zad. 57, JR). Nie obliczając danego yznacznika, ykazać, że dzieli się on przez 0: (a) , (b) , (c) Zadanie Oblicz macierze odrotne do następujących macierzy (jeśli istnieją): (a) [ ] 7 9 A = (b) B = Roziązanie: [ ] 7 9 (a) A =, det A = (b) B = 4 3, (c) C = (d) D = A = ( ) + det [ 5 ] = 5 A 2 = ( ) 2+ det [ 9 ] = 9 A 2 = ( ) +2 det [ 4 ] = 4 A 22 = ( ) 2+2 det [ 7 ] = 7 [ ] 5 9 A D = 4 7 A = [ ] [ ] det A AD = = det B = cos α 0 sin α (e) E = 0 0 sin α 0 cos α

35 DB Algebra linioa semestr letni B = ( ) = ( ) = ( ) 3+ 3 B 2 = ( ) = ( ) = ( ) B 3 = ( ) = ( ) = ( ) B D = B = det B BD = = (c) C = 3 3, det C = 2 C = ( ) = ( ) = ( ) 3+ 3 C 2 = ( ) = ( ) = ( ) C 3 = ( ) = ( ) = ( ) C D = C = det C CD = = (d) D = 5 5 4, det D = D = ( ) = ( ) = ( ) D 2 = ( ) = ( ) = ( ) D 3 = ( ) = ( ) = ( ) D D = D = det D DD = =

36 DB Algebra linioa semestr letni cos α 0 sin α (e) E = 0 0, det E = sin α 0 cos α E = 0 0 cos α = cos α, E 2 = 0 sin α 0 cos α = 0, E 3 = 0 sin α 0 = sin α E 2 = 0 0 sin α cos α = 0, E 22 = cos α sin α sin α cos α =, E 32 = cos α sin α 0 0 = 0 E 3 = 0 sin α 0 = sin α, E 23 = cos α 0 sin α 0 = 0, E 33 = cos α 0 0 = cos α cos α 0 sin α E D = 0 0 sin α 0 cos α E = cos α 0 sin α det E ED = 0 0. sin α 0 cos α Zadanie 3.2. (zad. 59, JR). Doieść, że nie można tak dobrać elementó macierzy A M 3 (R), aby szystkie składniki, których sumą jest yznacznik macierzy A (zór Sarrusa), były dodatnie. Zadanie (zad. 60, JR). Obliczyć yznacznik: (a) n (c) x a a a a x a a a a x a a a a x Zadanie (zad. 62, JR). Obliczyć yznacznik Vandermonde a: x x 2 x n x 2 x 2 2 x n x n x 2 n x n (b) (d) a a 2 a n a + b a 2 a n a a 2 + b 2 a n a a 2 a n + b n a a a 2 a a a n a n Zadanie (zad. 72, JR). Niech A M m (K), B M m n (K), D M n (K). Wykazać, że: [ ] A B det = det A det D. 0 D Zadanie (zad. 73, JR). Niech A M m (K), C M n m (K), D M n (K). Wykazać, że: [ ] A 0 det = det A det D. C D Zadanie (zad. 74, JR). Niech A M m n (K), B M m (K), C M n (K). Wykazać, że: [ ] A B det = ( ) mn det B det C. C 0 Zadanie Roziąż rónania: n