Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień
|
|
|
- Mikołaj Urban
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Teoria eroania - udia nieacjonarne Ai opień azimierz Duzinkieicz, dr hab. nż. aedra nżynerii Syemó Seroania Wykład 5-6/7 yemó eroania azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania
2 Poznane na ykładach modele obiekó dynamicznych zaze byliśmy anie doproadzić do rónoażnych, przy pełnieniu określonych założeń, modeli o cechach: rónania różniczkoe zyczajne z pochodnymi zględem czau linioe o paramerach niezależnych od czau niejednorodne z jedną lub z ieloma zmiennymi niezależnymi oraz z jedną lub ieloma zmiennymi zależnymi azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania
3 Obiek proadzący do rónania jednorodnego? y x Położenie doolne Przykład : ciężar o maie M zaiezony na nieażkim cięgnie o długości L i mogący bez arcia punkcie zaiezenia kołyać ię jednej płazczyźnie Położenie odnieienia L y M Cel budoy modelu: chcemy badać ruch ciężaru przy yrąceniu go z położenia rónoagi (odnieienia) x azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 3
4 Lin Budoa modelu: Prao rónoagi zaada dynamiki Neona dla ruchu obrooego: L Lco B d F L F d Tożamości, zależności iążące: Momen bezładności F B ML F o Siła yczna Mg F Mg in azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 4
5 Model maemayczny: ónanie różniczkoe: d g L in z arunkiem począkoym: d, azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 5
6 Jak możemy rakoać modele obiekó dynamicznych? Przedaiały one prao przearzania ygnału ejścioego obieku u() ygnał yjścioy obieku y() bezpośrednio lub z ykorzyaniem zmiennych anu x() Prao o umożliia dla danego kzału u() i znanych odpoiednich arości począkoych określić kzał y() Czy o rudne zadanie? Dla układó linioych ze ałymi półczynnikami nie azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 6
7 raficzne przedaienie poobu pozukiania odpoiedzi yemu dynamicznego chemay analogoe ozażamy najpier rónanie modelu ejście yjście kórym nie yępują pochodne ygnału ejścia n n d y d y dy an a a a y n n n u () z arunkami począkoymi: y n n y,y y,, y y () Czy porafilibyśmy zbudoać urządzenie, kóre roziązyałoby akie rónanie? azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 7
8 Taką amą rukurę mają pozczególne rónania anu modelu anu dxi A x B u i i (3) lub: dx i a i x a ii x i a in x n b i u b ip u p z arunkiem począkoym: x i x i, (4) azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 8
9 Czy porafimy zbudoać umaor (układ elekroniczny)? U f U e U e U e i U e i i f i g eg f U y u y u () u () k k n i f i u e,i y() u n ()... k n y n i k u i i azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 9
10 Czy porafimy zbudoać inegraor (układ elekroniczny)? u f u e u e i f i e i g e g C f - - e, y + u y C u d u u y f e y y u() k y() y u d y azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania
11 Dla rónania modelu ejście yjście Zapizmy: n d y n a n u an a n n d y n a a n dy a a n y (a) oraz arunki począkoe: y n n y,y y,, y y (a) azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania
12 - uzykianie pochodnych niżzych rzędó idea całkoania rónania y (n) () y (n-) () y (n-) (). y() y () - zadaanie arunkó począkoych u (k) () k y y k - uzykianie najyżzej pochodnej u() y() y () a n a a a a n n y (n) () y (n-) ()... an a n azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania
13 u () y() y () a n a a a a... n n y (n) () n y y (n-) () n y y y (n-) (). y() y () y (n-) () an a n Schema analogoy roziązyania rónania różniczkoego n n d y d y dy an a a a y n n n z arunkami począkoymi: u () y n n y,y y,, y y () azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 3
14 Dla rónania anu modelu przerzeni anu Zapizmy: dx i a i x a ii x i a in x n b i u b ip u p (3a) oraz arunek począkoy: x i x i, (4a) azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 4
15 A jeżeli yępują pochodne ygnału ejścia? Przykład ónanie: 3 d y d y dy y d u du..35u Warunki począkoe d y dy.8,., y du.;.7,u. azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 5
16 Zapizmy rónanie: 3 d y 3 d u 3.5 d y. du 3.5 dy.35u y Scałkujmy je jednokronie: d y du dy 3.5.u 3.5y.35u yd C C yznaczymy kładąc = i korzyając z arunkó począkoych d y C.8 du dy u 3.5y azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 6
17 Poórzmy operację całkoania: dy u 3.5y.u 3.5yd.35u yd C C yznaczymy kładąc = i korzyając z arunkó począkoych C dy u 3.5y azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 7
18 Wykonajmy operacje całkoania po raz rzeci y u 3.5yd.u 3.5yd.35u yd C C yznaczymy kładąc = i korzyając z arunkó począkoych C y. azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 8
19 3 d y 3 d u 3.5 d y. du 3.5 dy.35u y y u 3.5yd.u 3.5yd.35u yd C u () C C C Poznaliśmy meodę kolejnych całkoań meodę poaci kanonicznej y () azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 9
20 Jeżeli yępują pochodne ygnału ejścia a arunki począkoe ą zeroe dogodniejza je meoda zmiennej pomocniczej Przykład ónanie: d y dy 3 y du u Warunki począkoe dy, y ;u azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania
21 ónanie poddajemy oburonnie ranformacji Laplace a: 3 Y U Wproadzamy zmienną pomocniczą pełniającą rónanie: Wócza: 3 Y U P 3 Y 3 Y Zamia pieronego rónania modelujemy da rónania: 3 Y U Y P Y P P azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania
22 W dziedzinie czau da modeloane rónania: d y p 3 dy p y dy p y p Zróżniczkujemy rónanie yjścia: dy p dy p dy p y u - rónanie zmiennej pomocniczej - rónanie yjścia Dla = orzymamy: d y dy dy p azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania p 3 y p dy p y p dy p u y dy p
23 d y p 3 dy p y p u dy p y p y - rónanie zmiennej pomocniczej - rónanie yjścia u () y () -3. azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 3
24 raficzna reprezenacja yemó dynamicznych chemay blokoe Poglądoym narzędziem przedaiania yemó dynamicznych ą chemay blokoe doyczy o zczególnie yemó acjonarnych, zaróno linioych jak i nielinioych Schema blokoy obrazuje przepły i ranformacje informacji/ygnałó yemie Budoa chemau blokoego korzya z kilku ymboli podaoych, a zbudoany chema może być narzędziem pomocniczym analizie yemu azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 4
25 raficzna reprezenacja yemó dynamicznych chemay blokoe Symbole podaoe: i WE Opi poobu przearzania i WY Elemen yemu: przearzanie informacji ejścioej informację yjścioą i P Droga przeyłania informacji i P i P i P Węzeł zaczepoy: rozyłanie ej amej informacji do różnych elemenó yemu lub do ooczenia azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 5
26 i i A C i - i B A i C i B Węzeł umacyjny: umoanie algebraiczne ygnałó dochodzących z różnych elemenó yemu lub z ooczenia i A - i B i C Węzeł mnożący: mnożenie algebraiczne ygnałó dochodzących z różnych elemenó yemu lub z ooczenia i C i A i i i B A B azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 6
27 Technologię budoania chemau blokoego pokażemy na kilku przykładach Opi poobu przearzania użyy ymbolu elemenu yemu może mieć różny charaker charakeryyka ayczna dla elemenu aycznego nielinioego i WE Opi poobu przearzania i WY ranmiancja operaoroa lub idmoa dla elemenu dynamicznego linioego acjonarnego zkicoa charakeryyka kokoa lub impuloa dla elemenu dynamicznego linioego acjonarnego zkicoa charakeryyka częoli - ościoa dla elemenu dynamicznego linioego acjonarnego azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 7
28 azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 8 Zadania budoanie chemau blokoego oparciu o zależności opiu yemu eroania Zadanie : Działanie yemu eroania opiane je naępującymi zależnościami: x x y x x x x x x x x x u x Naryuj chema blokoy ego układu eroania
29 oziązanie x u x 3 u x x - 3 x x x x x x x x x x x x x x azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 9
30 x 3 3x x 3 x 3 x 4 4x x 4 4 x x 5 x x 5 x y x 4 x 5 x 4 - x 5 y azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 3
31 x 5 u - x 3 x x x x x x y 3 azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 3
32 Zadanie: Urzymać napięcie zailania odbiornikó ieci prądu ałego na ałym, zadanym poziomie U o =4V Zaproponoane roziązanie Wielkości zakłócające ω m - Φ Φ k k E z o U 5 U ε U o - Obiek eroany Wielkość erująca Wielkość eroana Układ erujący azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 3
33 Zależności U E z o E m W W, 4 k k 5U U U o U azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 33
34 Warość pożądana ielkości eroanej W przykładzie U Doępna iedza o obiekcie eroanym Syem erujący Wielkości zakłócające Wielkość erująca W przykładzie: o, m Syem eroany W przykładzie U Wielkość eroana E W przykładzie, k U, U o Układ zamknięy eroania (ze przężeniem zronym) azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 34
35 Przykład eroanie napięciem zailania chema blokoy Symbole z falką - zmienne Opi działania: U E z Schema blokoy: z - E U E m m E azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 35
36 azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 36 k k 5 k k + 5 k k
37 Schema blokoy yemu eroanego - prądnicy m z + k - E U k 5 m z k U f m,,, z k U azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 37
38 k Opi działania yemu eroanego - prądnicy U E z E m k 5 k () () (3) (4) (5) Podaiając kolejno () (5) do () orzymamy opi zależności ejście yjście prądnicy m mk (6) 5 z U Opi działania prądnicy nielinioy azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 38
39 Jeżeli m ałe, czyli m m con z + k m - E U k 5 z U k U f z,, k azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 39
40 U E z E m k k 5 k () (a) (3) (4) (5) U m 5 mk z (6a) Opi działania linioy azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 4
41 Schema blokoy yemu eroania m m z var + k E - U k 5 U U U U - U U + U k 4 k 4 U azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 4
42 Schema blokoy yemu eroania m m z var + k 5 k 4 - E U U - U + U m z U f U 3,,, U m z U azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 4
43 azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 43 Opi działania Podaiając kolejno (7) (8) do (6) orzymamy opi zależności ejście yjście yemu eroania z k m m U 5 U U U U k 4 (6) (7) (8) m z m m m m U U (9)
44 Schema blokoy yemu eroania m m z con + k m - E U k 5 U U U U - U U + U k 4 k 4 U azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 44
45 Schema blokoy yemu eroania m m z con z + k 5 m k - E U 4 U U U f 4,, U z U - U + U azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 45
46 azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 46 Opi działania Podaiając kolejno (7) (8) do (6a) orzymamy opi zależności ejście yjście yemu eroania m z m m m m U U (9a) U U U U k 4 (7) (8) z k m m U 5 (6a)
47 Technologia budoania chemau analogoego i blokoego na przykładzie modelu ilnika prądu ałego obcozbudnego Spróbujemy najpier zbudoać chema analogoy dla modelu nielinioego acjonarnego rozażanego ilnika d J di L di L i u u i D M i i i oz Pozukujemy zachoania ię rozażanego yemu przedziale czau [,), dla arunkó począkoych, i i i i azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 47
48 Weźmy pierze rónanie J i i D M d oz M oz i i Tranformacja ygnałó części mechanicznej yemu Poinniśmy mieć meodę reprezenacji graficznej rónań różniczkoych Zaproponoane ymbole reprezenacja działań algebraicznych azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 48
49 Dodajmy ymbol całkoania funkcji przedziale [,] z arunkiem począkoym i WE i WE i WE Wócza ranformację ygnałó części mechanicznej możemy przedaić bardziej zczegółoo azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 49
50 d J i i D M oz i i M oz J - - D azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 5
51 Weźmy drugie rónanie di u i i i L i i u Tranformacja ygnałó części elekrycznej obód zbudzenia yemu i i i u i - L i azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 5
52 Weźmy rzecie rónanie di i i u L i i u i i i Tranformacja ygnałó części elekrycznej obód ornika yemu i azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 5
53 di i i u L i i i u - - L i i i i azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 53
54 u - L i i i i Zeaimy chema całego modelu i i i u M oz i - i i - L i - - i J D i azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 54
55 Silnik obiek/yem eroany Cel eroania np. urzymanie określonej prędkości kąoej ilnika, określonej cześniej: ałej eroanie ałoarościoe, zmiennej czaie eroanie programoe, nie znanej cześniej, podaanej na bieżąco eroanie nadążne Wielkości yjścioe obieku Wielkość eroana należy do jednej z kla ielkości yjścioych obieku eroanego Przyjmijmy: ielkość eroana prędkość kąoa ilnika Pozoałe oberoane ielkości yjścioe ielkości pomocnicze Zaem: ielkości pomocnicze prąd zbudzenia, prąd ornika azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 55
56 Silnik obiek/yem eroany c.d. Wielkości ejścioe obieku Pozukianie ielkości erującej; jakie ielkości ejścioe płyają na prędkość kąoą ilnika Momen oporoy zenęrzny ielkość zakłócająca Napięcie ornika, napięcie zbudzenia? kandydaci na ielkość erującą azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 56
57 Skupimy ię eraz na modelu zlinearyzoanym i ybierzemy opi za pomocą ranmiancji operaoroej zbudujemy chema blokoy ranmiancyjny d J di L di L i u u i i i D M i i i i oz azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 57
58 Niech L L L i i L L L M oz M oz u U u U Poddamy ranformacji Laplace a każde z rónań, przy zeroych arunkach począkoych Waro pamięać, że Linearyzacja ooczeniu punku rónoagi garanuje zeroe arunki począkoe azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 58
59 Pamięać poinniśmy rónież o arunkach jakie muzą pełniać funkcje f() (funkcje czau) poddaane ranformacji Laplace a Tranformację Laplace a możemy ooać do yemó linioych (czyli pełniających zaadę uperpozycji) i acjonarnych (czyli pełniających zaadę niezmienniczości czaie) Funkcja f() mui pełniać f dla (L) F f e Całka mui inieć (być zbieżna) (L) azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 59
60 Weźmy pierze rónanie i poddajmy je ranformacji Laplace a J d i i i i D M oz Orzymamy J i i D M oz D J i i M D J D J D i i M i i M oz oz oz azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 6
61 i i M D J D oz i i - D J D M oz azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 6
62 azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 6 Weźmy drugie rónanie i poddajmy je ranformacji Laplace a i u i d L Orzymamy U L U L U L
63 L U U L azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 63
64 azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 64 Weźmy końcu rzecie rónanie modelu i poddajmy je ranformacji Laplace a Orzymamy i U L i U L i U L i U L i i i u i d L
65 L U i i - - L U azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 65
66 Zeaimy chema całego modelu U L U M oz i - - L i i - D J D azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 66
67 Model obieku/yemu ypu ejście-yjście yrażony za pomocą ranmiancji operaoroych można oczyiście ooać dla obiekó/yemó ieloymiaroych Zaoujemy ą formę reprezenacji modelu yemu do rozażanego yemy - modelu proceó elekromechanicznych ilnika obcozbudnego prądu ałego Niech U U U U j Y Y Y Y i l ekory ranforma ielkości ejścioych i yjścioych azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 67
68 Dla yemu ieloymiaroego linioego i acjonarnego proadza ię macierz ranmiancji operaoroych i l j ij lj i l Model obieku/yemu ypu ejście-yjście yrażony za pomocą ranmiancji operaoroych ma ócza poać Y U azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 68
69 azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 69 Dla rozażanego modelu ilnika, możemy zapiać M M M M U U U oz Y gdzie U U M oz M U U M oz M U U M oz M
70 azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 7 Nierudno, oparciu o chema blokoy ierdzić U Pozczególne elemeny macierzy określa ię korzyając z linioości yemu (pełnianie zaady uperpozycji) T L U M oz M gdzie L T,
71 Jeżeli ybrać za ielkość erującą napięcie ornika u (), o najbardziej inereującymi ranmiancjami będą ranmiancje orach U M M oz Ualmy określające je yrażenia azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 7
72 Odpoiedni fragmen chemau blokoego dla oru: prędkość kąoa napięcie ornika U i - L i D J D Srukura: pęla ujemnego przężenia zronego azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 7
73 Tor głóny U L i D J D Tor przężenia zronego - i azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 73
74 Orzymamy L L L i D i L J i L J i D i D J D J D J D i L J L J i D L D L J D D i D J D D i D D D D i D D Tor: prędkość kąoa napięcie ornika ma cechy układu drugiego rzędu rz ( ) Y( ) U( ) p T p T T azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 74
75 Odpoiedni fragmen chemau blokoego dla oru: prędkość kąoa momen obciążenia zenęrznego i - L M oz i - D J D Srukura: pęla ujemnego przężenia zronego azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 75
76 Tor głóny M oz - D J D Tor przężenia zronego - i L i azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 76
77 Orzymamy M L D J D i L J i L J i D J D D J D D D L J D D L D D L D J D L i L J L J i D D D L D D Tor: prędkość kąoa momen oporoy zenęrzny ma cechy układu drugiego rzędu z akim amym rónaniem charakeryycznym jak or prędkość kąoa napięcie ornika azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 77
78 azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 78 D i D J L D L J L D D i D J L D L J D i??? L M M M M Częścioo ypełniliśmy macierz ranmiancji ()
79 Dalej proadźmy naępujące założenia Przyjmijmy, że napięcie zbudzenia poiada ałą arość lub nae założenie, że załączane je na ałą arość na yle cześniej przed momenem zmian innych ejść yemu, że uaną ej części yemu przebiegi przejścioe. Proadzi o do: * ilnik je yemem linioym acjonarnym, ale * uzykany przy poprzednich założeniach model ranmiancyjny ulega zmianie Poód drugiej zmiany napięcie u () nie pełnia arunku L ooania przekzałcenia Laplace a azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 79
80 Prześledźmy e zmiany Jeżeli ualona arość napięcia zbudzenia ynoi U n o oznaczając odpoiadającą ej arości napięcia zbudzenia arość prądu zbudzenia Orzymamy model n U n d J di L u n i D M i n oz azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 8
81 Dla uprozczenia oznaczmy n n ócza J L d di u n i D M i n oz azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 8
82 Weźmy pierze rónanie i poddajmy je ranformacji Laplace a Orzymamy J d n i D M oz J D M n D J M n oz oz D J M n oz T m M M D J D n oz m n gdzie oz m D, T m J D azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 8
83 T m M m n oz n - m T m M oz azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 83
84 azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 84 Weźmy drugie rónanie i poddajmy je ranformacji Laplace a Orzymamy i u di L n U T U L U L U L U L n n n n n gdzie L T,
85 T U n n - T U azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 85
86 Zeaimy chema całego modelu U n - T M oz n - D J D azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 86
87 Nierudno porzec, że mimo zmian modelu ranmiancyjnego yemu, rukura ranmiancji orach : prędkość kąoa napięcie ornika oraz prędkość kąoa momen oporoy zenęrzny pozoają niezmienione (ćiczenie łane pokazać o) nne ćiczenie: Dla chemau z poprzedniego lajdu policzyć całą macierz ranmiancji gdzie U M M M U M U M oz oz Y U M M oz azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 87
88 Wproadzimy jezcze jedno uprozczenie Jeżeli nie inereoać ię przebiegami prądu ornika, uzykamy proy model linioy acjonarny ilnika jako obieku eroanego prędkości kąoej z jednym ejściem erującym, jednym ejściem zakłócającym i jednym yjściem U M oz M azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 88
89 Lub bardziej zczegółoo M oz U - T n - m T m n gdzie U M U M U M Y oz M oz azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 89
90 Dziękuję koniec maeriału prezenoanego podcza ykładu azimierz Duzinkieicz, dr hab. inż. aedra nżynierii Syemó Seroania 9
Wykład 4: Transformata Laplace a
Rachunek prawdopodobieńwa MAP164 Wydział Elekroniki, rok akad. 28/9, em. leni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 4: Tranformaa Laplace a Definicja. Niech f() będzie funkcją określoną na R, przy czym
Przekształcenie Laplace a. Definicja i własności, transformaty podstawowych sygnałów
Przekzałcenie Laplace a Deinicja i właności, ranormay podawowych ygnałów Tranormaą Laplace a unkcji je unkcja S zmiennej zepolonej, kórą oznacza ię naępująco: L[ ] unkcja S nazywana bywa również unkcją
Przekształcenie Laplace a i jego zastosowania
Przekzałcenie Laplace a i jego zaoowania Funkcje pecjalne i dyrybucje Funkcja koku jednokowego (nazywana również funkcją Heaviide a) ( ) gdy > gdy < ( ) gdy gdy > < ( ) ( ) f a e > < e a ( ) f f ( ) A
WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VIII Przekształcenie Laplace a
8. Geneza przekzałcenia Laplace a. Wykład VIII Przekzałcenie Laplace a Warunek bezwzględnej całkowalności w przedziale niekończonym, nakładany na oryginały przekzałceń Fouriera, bardzo ogranicza ich klaę.
Wiesław Jażdżyński 4 października INSTRUKCJA I MATERIAŁY POMOCNICZE Ćwiczenie Przedmiot: Elektromechaniczne Układy Napędowe
Wiesła Jażdżyński 4 października 2017 INSTRUKCJA I MATERIAŁY POMOCNICZE Ćiczenie Przedmio: Elekromechaniczne Układy Napędoe MPS Tema: Dynamika maszyny prądu sałego Zakres ćiczenia: 1. Pomiary do idenyfikacji
Uniwersytet Zielonogórski Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniersytet Zielonogórski Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Instytut Steroania i Systemó Informatycznych ELEMENTY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI Semestr letni 2010 Laboratorium nr 4 LINIOWE
Temat ćwiczenia: STANY NIEUSTALONE W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH Wprowadzenie A.M.D.
aboraorium Elekroechniki i elekroniki ABORAORIUM AMD6 ema ćwiczenia: SANY NIEUSAONE W OBWODAH EEKRYZNYH Wprowadzenie Przejście od jednego anu pracy układu elekrycznego złożonego z elemenów R,, do innego
Układ uśrednionych równań przetwornicy
Układ uśrednionych równań przetwornicy L C = d t v g t T d t v t T d v t T i g t T = d t i t T = d t i t T v t T R Układ jet nieliniowy, gdyż zawiera iloczyny wielkości zmiennych w czaie d i t T mnożenie
Temat ćwiczenia: STANY NIEUSTALONE W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH Badanie obwodów II-go rzędu - pomiary w obwodzie RLC A.M.D. u C
aboraorium eorii Obwodów ABOAOIUM AMD6 ema ćwiczenia: SANY NIEUSAONE W OBWODAH EEKYZNYH Badanie obwodów II-go rzędu - pomiary w obwodzie Obwód II-go rzędu przedawia poniżzy ryunek.. ównanie obwodu di()
Wykład 9. Stateczność prętów. Wyboczenie sprężyste
Wykład 9. Stateczność prętó. Wyoczenie sprężyste 1. Siła ytyczna pręta podpartego soodnie Dla pręta jak na rysunku 9.1 eźmiemy pod uagę możliość ygięcia się pręta z osi podczas ściskania. jest modułem
16. CHARAKTERYSTYKI CZASOWE UKŁADÓW SLS
OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS 6. CHAATEYSTYI CZASOWE UŁADÓW SS 6.. SPOT FUNCJI A) DEFINICJA Niec ane bęą wie unkcje () i () całkowalne w każym przeziale (, ),
Mierniki cyfrowe. Mierniki, których wskazania są dyskretną funkcją wartości wielkości mierzonej. Realizowane głównie jako multimetry Zaciski pomiarowe
Przearzanie C/C Przearzanie cyfroo-cyfroe (C/C) realizoane jes poprzez układy cyfroe (od elemenarnych po mikroprocesoroe), kóre operują sygnałami cyfroymi zaróno na ejściu jak i na yjściu. Sygnały cyfroe
Temat 4. ( t) ( ) ( ) = ( τ ) ( τ ) τ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) Podstawowe własności dystrybucji δ(t) (delta Diraca)
Tema 4 Opracował: Leław Dereń Kaedra Teorii Sygnałów Inyu Telekomunikacji Teleinformayki i Akuyki Poliechnika Wrocławka Prawa auorkie zarzeżone Podawowe właności dyrybucji δ() (dela Diraca) ( ) δ gdy (
Zbigniew Skup. Podstawy automatyki i sterowania
Zbigniew Skup Podawy auomayki i erowania Warzawa Poliechnika Warzawka Wydział Samochodów i Mazyn Roboczych Kierunek "Edukacja echniczno informayczna" -54 Warzawa, ul. Narbua 84, el () 849 4 7, () 4 8 48
Belki na podłożu sprężystym
Belki na podłożu sprężystym podłoże inkleroskie, rónanie różniczkoe ugięcia belki, linie płyoe M-Q-, belki półnieskończone, sposób Bleicha, przykład obliczenioy odłoże inkleroskie Założenia Winklera spółpracy
Wyznaczanie profilu prędkości płynu w rurociągu o przekroju kołowym
.Wproadzenie. Wyznaczanie profilu prędkości płynu rurociągu o przekroju kołoym Dla ustalonego, jednokierunkoego i uarstionego przepłyu przez rurę o przekroju kołoym rónanie aviera-stokesa upraszcza się
ψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
Wykład 4 Metoda Klasyczna część III
Teoria Obwodów Wykład 4 Meoda Klasyczna część III Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska D-, 5/8 el: (7) 3 6 fax: (7)
MODEL MATEMATYCZNY OBRACAJĄCYCH SIĘ TŁUMIONYCH BELEK PODATNYCH
ODELOWANIE INśNIERSKIE ISSN 896-77 36 37-334 Gliice 8 ODEL ATEATCZN OBRACAJĄCCH SIĘ TŁUIONCH BELEK PODATNCH SŁAWOIR śółkiewski Inyu Auomayzacji Proceó Technologicznych i Zinegroanych Syemó Wyarzania Poliechnika
Ćwiczenie 6. Pomiary wielkości elektrycznych za pomocą oscyloskopu
Ćiczenie 6 Pomiary ielkości elektrycznych za pomocą oscyloskopu 6.1. Cel ćiczenia Zapoznanie z budoą, zasadą działa oscyloskopu oraz oscyloskopoymi metodami pomiaroymi. Wykonanie pomiaró ielkości elektrycznych
SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 5. UCZENIE SIĘ APROKSYMACJI FUNKCJI MODELE LINIOWE
SYSEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 5. UCZENIE SIĘ APROKSYMACJI FUNKCJI MODELE LINIOWE Częstochoa 4 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochoska MEODY APROKSYMACJI Metody aproksymacji
1.11. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSI UGIĘTEJ
.. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSI UGIĘTEJ od płem obciążenia prostolinioa oś podłużna belki staje się krzolinioa. Zakrzioną oś belki nazam linią ugięcia (osią ugiętą), przemieszczenie pionoe ( x) tej osi nazam
Egzamin z algebry liniowej 2003 r.
Egzamin z algebry linioej 003 r. Cześć I na ocene dostateczna Zadanie. Wyznacz szystkie liczby zespolone z takie, że a) z = 8 + 6i, b) ( + 3i) z = i. Zadanie. Wykonaj podane dzia lania macierzoe: [ 3 0
CHARAKTERYSTYKI CZASOWE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH
CHARAKERYSYKI CZASOWE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Zadani Chararyyi czaow uładów. Odpowidź oową wyznacza ię z wzoru: { } Problm: h L G X Wyznaczyć odpowidz oową i impulową całującgo z inrcją G h L G gdzi: Y X
q s,t 1 r k 1 t k s q k 1 q k... q n 1 q n q 1 i ef e, v 1 q,
Maemayka finanowa i ubezpieczeniowa - 3 Przepływy pienięŝne 1 Warość akualna i przyzła przepływów dykrenych i ciągłych Oprocenowanie - dykonowanie ciągłe ze zmienną opą (iłą). 1. Sopy przedziałami ałe
II.2 Położenie i prędkość cd. Wektory styczny i normalny do toru. II.3 Przyspieszenie
II. Położenie i prędkość cd. Wekory syczny i normalny do oru. II.3 Przyspieszenie Wersory cylindrycznego i sferycznego układu współrzędnych krzywoliniowych Wyrażenia na prędkość w układach cylindrycznym
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
NARASTANIE USZKODZEŃ W MATERIALE SPRĘŻYSTO- KRUCHYM W UJĘCIU PROBABILISTYCZNYM *
ROCZNIKI INŻYNIERII BUDOWLANEJ ZESZYT 7/007 Komisja Inżynierii Budolanej Oddział olskiej Akademii Nauk Kaoicach NARASTANIE USZKODZEŃ W MATERIALE SRĘŻYSTO- KRUCHYM W UJĘCIU ROBABILISTYCZNYM * Zbignie ERKOWSKI
Analiza instrumentów pochodnych
Analiza inrumenów pochonych Dr Wiolea owak Wykła 7 Wycena opcji na akcję bez ywieny moel Blacka-cholea z prawami o ywieny moel Merona Założenia moelu Blacka-cholea. Ceny akcji zachowują logarymiczno-normalnym.
ODPOWIEDZI, KRYTERIA OCENIANIA I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY. ZADANIE punktów. r r r
Okęoa Koija zainacyjna Poznaniu Maeiał ćiczenioy z fizyki i aonoii 011. Pozio ozzezony Kyeia oceniania i chea punkoania 1 ODPOWIDZI, KYTIA OCNIANIA I SCHMAT PUNKTOWANIA POZIOM OZSZZONY ZADANI 1. 10 punkó
geometria budynku podłoga na gruncie
geomeria budynku podłoga na gruncie Karolina Kurz dr inż., arch. ZACHODNIOPOMORSKI NIWERSYTET TECHNOLOGICZNY W SZCZECINIE WYDZIAŁ BDOWNICTWA I ARCHITEKTRY KATEDRA DRÓG, MOSTÓW I MATERIAŁÓW BDOWLANYCH 1
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody ytemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lita zadań nr 1 Prote zatoowania równań różniczkowych Zad. 1 Liczba potencjalnych użytkowników portalu połecznościowego wynoi 4 miliony oób. Tempo, w
(1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) Przy opisie zjawisk złożonych wartości wszystkich stałych podobieństwa nie mogą być przyjmowane dowolnie.
1. Teoria podobieństa Figury podobne geometrycznie mają odpoiadające sobie kąty róne, a odpoiadające sobie boki są proporcjonane 1 n (1.1) 1 n Zjaiska fizyczne mogą być podobne pod arunkiem, że zachodzą
A. Kasperski, M. Kulej, BO -Wyk lad 5, Optymalizacja sieciowa 1
A. Kaperki, M. Kulej, BO -Wyk lad, Opymalizacja ieciowa 1 Zagadnienie makymalnego przep lywu (MP). Przyk lad. W pewnym mieście inieje fragmen wodoci agów zadany w poaci naȩpuj acej ieci: 1 Luki oznaczaj
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
RUCH FALOWY. Ruch falowy to zaburzenie przemieszczające się w przestrzeni i zmieniające się w
RUCH FALOWY Ruch alowy to zaburzenie przemiezczające ię w przetrzeni i zmieniające ię w czaie. Podcza rozchodzenia ię al mechanicznych elementy ośrodka ą wytrącane z położeń równowagi i z powodu właności
Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele
Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
LABORATORIUM TEORII STEROWANIA. Ćwiczenie 6 RD Badanie układu dwupołożeniowej regulacji temperatury
Wydział Elektryczny Zespół Automatyki (ZTMAiPC). Cel ćiczenia LABORATORIUM TEORII STEROWANIA Ćiczenie 6 RD Badanie układu dupołożenioej regulacji temperatury Celem ćiczenia jest poznanie łaściości regulacji
Stabilność liniowych układów dyskretnych
Akademia Morka w Gdyni atedra Automatyki Okrętowej Teoria terowania Miroław Tomera. WPROWADZENIE Definicja tabilności BIBO (Boundary Input Boundary Output) i tabilność zerowo-wejściowa może zotać łatwo
Kinematyka płynów - zadania
Zadanie 1 Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a x = Xe y = Ye t 0 gdzie, X, Y oznaczają współrzędne materialne dla t = 0. Wyznaczyć opis ruchu w zmiennych Eulera. Znaleźć linię prądu. Pokazać,
C d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:
Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili
DYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Badanie funktorów logicznych TTL - ćwiczenie 1
adanie funkorów logicznych TTL - ćwiczenie 1 1. Cel ćwiczenia Zapoznanie się z podsawowymi srukurami funkorów logicznych realizowanych w echnice TTL (Transisor Transisor Logic), ich podsawowymi paramerami
MECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 11 Praca, moc, energia Prowadzący: dr Krzysztof Polko PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ Pracą siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku działania siły nazywamy iloczyn
PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA METODY ODPORNEJ W MODELOWANIU FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH WSTĘP
Agnieszka Ora Uniersye Śląski Kaoicach e-mail: agaora@pocza.one.pl, aora@ux.mah.us.edu.pl PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA METODY ODPORNEJ W MODELOWANIU FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Sreszczenie: ZałoŜenia, na kórych
Automatyka i Robotyka I stopień ogólnoakademicki stacjonarne Automatyka przemysłowa Katedra Automatyki i Robotyki dr inż. Paweł Łaski.
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Naza modułu Naza modułu języku angielskim Oboiązuje od roku akademickiego 2013/2014 A.
Wykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
( ) ( ) ( τ) ( t) = 0
Obliczanie wraŝliwości w dziedzinie czasu... 1 OBLICZANIE WRAśLIWOŚCI W DZIEDZINIE CZASU Meoda układu dołączonego do obliczenia wraŝliwości układu dynamicznego w dziedzinie czasu. Wyznaczane będą zmiany
2. MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW REGULACJI
. odele ateatyczne układó regulacji. OEE ATEATYZNE KŁAÓW EGAI etody yznaczania odeli ateatycznyc. analityczne (teoretyczne z ogólnyc ra fizycznyc zasady Hailtona rónania agrange a analogie elektroecaniczne
x k3 y k3 x k1 y k1 x 2
A. RANFORMACJA RZEMEZCZEŃ obrębie bryły ztynej Andrzej Wite odtay ontrcji mazyn y x - - y x - C x - O x x - x y - - Ry.. chemat tranformacji przemiezczeń Znany jet mały rch bryły ztynej (ry.) pncie O opiany
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie
ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna
Transformacja Hilberta (1905)
Tranormacja Hilbera 95 Zjęcie hp://en.wikipeia.org/wiki/davi_hilber Tranormacja Hilbera je liniowm przekzałceniem całkowm w ej amej ziezinie, zn. zarówno la gnału jak i jego ranorma, argumen je najczęściej
Wstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Zagadnienia na badanie wyników nauczani z fizyki kl II. [min]
![Zagadnienia na badanie wyników nauczani z fizyki kl II. [min]](/thumbs/72/68010680.jpg "Zagadnienia na badanie wyników nauczani z fizyki kl II. [min]")
Zagadnienia na badanie wyników nauczani z fizyki kl II Badanie wyników obejmuje natępujące działy: 1.Ruchy.Dynamika 3.Praca, moc, energia mechaniczna Przykładowe zadania Zad.1 (0-3pkt.) Jacek przez dwie
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Rozruch silnika prądu stałego
Rozruch silnika prądu sałego 1. Model silnika prądu sałego (SPS) 1.1 Układ równań modelu SPS Układ równań modelu silnika prądu sałego d ua = Ra ia + La ia + ea d równanie obwodu wornika d uf = Rf if +
Skręcanie prętów napręŝenia styczne, kąty obrotu, projektowanie 3
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie W przypadku kręcania pręa jego obciąŝenie anowią momeny kręcające i. Na ry..1a przedawiono przykład pręa zywno zamocowanego na ewym końcu (punk
4.2. Obliczanie przewodów grzejnych metodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego
4.. Obliczanie przewodów grzejnych meodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego Meodą częściej sosowaną w prakyce projekowej niż poprzednia, jes meoda dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego. W
Przykład obliczeń cieplnych nagrzewnicy powietrza Materiały do zajęć z wymiany ciepła v. 0.83
dr i. Paeł Kędzierki dr i. Michał Srzezeki gr i. Aa Koerka Przykład obliczeń cieplych agrzeicy poierza Maeriały do zajęć z yiay ciepła v. 0.83 ' " V " α α δ ' V l d ' d d z δ k g D Ry.. Rozkład eperaury
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
SKRYPT STRONY LITERATURA STRONY: 48, 63
LABORATORIUM TEORIA STEROWANIA I TECHNIKA REGULACJI OPIS UKŁADÓW AUTOMATYCZNEJ REGULACJI W PRZESTRZENI STANU Wydział EAIiIB Katedra Energoelektroniki i Automatyki Sytemów Przetwarzania Energii dr inż.
Dyskretny proces Markowa
Procesy sochasyczne WYKŁAD 4 Dyskreny roces Markowa Rozarujemy roces sochasyczny X, w kórym aramer jes ciągły zwykle. Będziemy zakładać, że zbiór sanów jes co najwyżej rzeliczalny. Proces X, jes rocesem
Przemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia
1 Przemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia + 0 k k 0 Przemieszczenie jes wekorem. W przypadku jednowymiarowym możliwy jes ylko jeden kierunek, a zwro określamy poprzez znak. Przyjmujemy, że
podstawowy (podstawowy / kierunkowy / inny HES) obowiązkowy (obowiązkowy / nieobowiązkowy) polski piąty zimowy (semestr zimowy / letni)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Naza modułu Naza modułu języku angielskim Oboiązuje od roku akademickiego 2015/2016 Napędy
Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )
Zadanie. Zmienna losowa: X = Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona. W abeli poniżej podano rozkład prawdopodobieńswa składnika sumy Y. W ejże abeli podano akże obliczone dla k = 0... 4 prawdopodobieńswa
SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS
TEMAT PRACY DYPLOMOWEJ: Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Sti iaanej SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS SSSSSSZSSSS SEMINARIUM GDAGSA K 8 0 2 Dyplimantka: JUSTYNA CoOJDA Primitir: Prif
Wykaz oznaczeń: i ra, i rb, i rc, i sa, i sb, i sc,
W_MIKROKONTROERZE DSP - TMS20F2406 Wykaz oznaczeń: i A, i B, i C, i A, i B, i C, J M e M p R R U d A, B, C, A, B, C, Θ A, B, C, A, B, C, Ω Ω pąd inika fazie (A, B, C), pąd tojana fazie (A, B, C), oent
Podstawy Automatyki. Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Transformacja Hilberta (1905)
Tranormacja Hilbera 95 Zjęcie hp://en.wikipeia.org/wiki/davi_hilber Tranormacja Hilbera je liniowm przekzałceniem całkowm w ej amej ziezinie, zn. zarówno la gnału jak i jego ranorma, argumen je najczęściej
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk
Opis systemów dynamicznych Mieczysław Brdyś 27.09.2010, Gdańsk Rozważmy układ RC przedstawiony na rysunku poniżej: wejscie u(t) R C wyjście y(t)=vc(t) Niech u(t) = 2 + sin(t) dla t t 0 gdzie t 0 to chwila
Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
SK-7 Wprowadzenie do metody wektorów przestrzennych SK-8 Wektorowy model silnika indukcyjnego, klatkowego
Ćwiczenia: SK-7 Wpowadzenie do metody wektoów pzetzennych SK-8 Wektoowy model ilnika indukcyjnego, klatkowego Wpowadzenie teoetyczne Wekto pzetzenny definicja i poawowe zależności. Dowolne wielkości kalane,
Laboratorium. Sterowanie napędami elektrycznymi zagadnienia wybrane
POLITECHNIKA WROCŁAWSKA INSTYTUT MASZYN, NAPĘDÓW I POMIARÓW ELEKTRYCZNYCH ZAKŁAD NAPĘDU ELEKTRYCZNEGO, MECHATRONIKI I AUTOMATYKI PRZEMYSŁOWEJ Laboratorium Sterowanie napędami elektrycznymi zagadnienia
Metody jakościowe i ilościowe na usługach wyceny nieruchomości
POLANICA ZDRÓJ, 16-18 rześnia 007 etody jakościoe i ilościoe na usługach yceny nieruchomości Anna Barańska Katedra Informacji o erenie Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środoiska Akademia Górniczo
Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ GÓRNICTWA I GEOLOGII. Roman Kaula
POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ GÓRNICTWA I GEOLOGII Roman Kaula ZASTOSOWANIE NOWOCZESNYCH NARZĘDZI INŻYNIERSKICH LabVIEW oraz MATLAB/Simulink DO MODELOWANIA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH PLAN WYKŁADU Wprowadzenie
LOKALNA ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW. 1. Definicja 2. Okna 3. Transformacja Gabora. Spis treści
LOKALNA ANALIZA CZĘSOLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW. Deinicja. Okna 3. ransormacja Gabora Spis reści Analiza czasoo-częsoliościoa sygnału moy Ampliuda.. andrzej 35_m.av -. 3 4 5 6 7 8 9 D 4. 3.5 D 3. DW D3 D4.5..5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Rozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:
WYKŁAD 13 DYNAMIKA MAŁYCH (AKUSTYCZNYCH) ZABURZEŃ W GAZIE Rozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:
MOSTKI NIEZRÓWNOWAŻONE PRĄDU STAŁEGO
Ćicenie 2 MOSTKI NIEZÓWNOWAŻONE PĄD STAŁEGO I. Cel ćicenia Celem ćicenia jest badanie łaściości metrologicnych mostkó nierónoażonych prądu stałego układach spółpracy ybranymi modelami cujnikó reystancyjnych.
Część 1 9. METODA SIŁ 1 9. METODA SIŁ
Część 1 9. METOD SIŁ 1 9. 9. METOD SIŁ Metoda ił jet poobem rozwiązywania układów tatycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowadza ię ona do rozwiązania
{ } = ( ) Przekształcenie Laplace a i jego zastosowania. Rozdział Obliczanie transformat Laplace a i transformat odwrotnych
Rozdział 8 Przekzałcenie aplace a i jego zaoowania Opracował: eław Dereń Inyu Telekomunikacji Teleinformayki i Akuyki Prawa auorkie zarzeżone 8 Obliczanie ranforma aplace a i ranforma odwronych NajwaŜniejze
Z e s p ó ł d s. H A L i Z
C h o r ą g i e w D o l n o l ą s k a Z H P P L A N P R A C Y K o m e n d y C h o r ą g w i D o l n o 6 l ą s k i e j I 2 0 1 5- V I 2 0 1 6 1. C h a r a k t e r y s t y k a C h o r ą g w i C h o r ą g
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Obwody prądu stałego i zmiennego
Obody prądu stałego i zmiennego Tomasz Słupiński Zakład Fizyki iała Stałego FD W 8.0.07 Praconia Fizyczna i Elektroniczna, dla nżynierii Nanostruktur oraz Energetyki i hemii Jądroej Plan W. Spray organizacyjne
Skręcanie prętów projektowanie 5
Skręcane pręó projekoane 5 Spoó rozązyana pręó kręcanych zoał omóony rozdzae. Zadana projekoe proadzają ę do okreśena ymaró przekroju poprzecznego pręa na podae arunku nośnośc /u arunku użykoana. przypadku
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
Kinematyka opisanie ruchu
Kinemayka opianie ruchu. Co o je ruch? Ruch je zjawikiem powzechnym. Poruzają ię gwiazdy i planey, poruza ię woda i powierze, zwierzęa i rośliny. Poruzaz ię Ty. Poruzają ię najmniejze cząki maerii. Słowem
INSTYTUT ENERGOELEKTRYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport serii SPRAWOZDANIA Nr LABORATORIUM TEORII I TEHCNIKI STEROWANIA INSTRUKCJA LABORATORYJNA
Na prawach rękopiu do użytku łużbowego INSTYTUT ENEROELEKTRYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport erii SPRAWOZDANIA Nr LABORATORIUM TEORII I TEHCNIKI STEROWANIA INSTRUKCJA LABORATORYJNA ĆWICZENIE Nr SPOSOBY
FIZYKA - wymagania programowe na poszczególne oceny
FIZYKA - wymagania programowe na pozczególne oceny I. Wykonujemy pomiary Ocena dopuzczająca wymienia przyrządy, za pomocą kórych mierzymy długość, emperaurę, cza, zybkość i maę podaje zakre pomiarowy przyrządu
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)
Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne