Przepływ płynów ściśliwych

Transkrypt

1 . Wiadoości odstaoe Wykład 6 Przeły łynó ściśliych W terodynaice rzełyó zakłada się, że rzeły jest jednoyiaroy, tj. araetry łynu zieniają się tylko kierunku rzełyu. Przeiana łynu układzie o rzełyie ustalony jest zbiore stanó ustalonych kolejnych rzekrojach kanału rzełyoego. Przekroje rostoadłe do ogólnego kierunku rzełyu są oznaczane liczbai arabskii, a ielkości z nii ziązane są zaoatrzone odoiednie indeksy dolne. Podczas rzełyu ustalonego araetry intensyne doolnych unktach łynu oraz działania na granicach układu nie zieniają się. Podstaoe rónania rzełyu ustalonego a) średnie asoe natężenie rzełyu (ydatek asoy): stosunek rzełyającej asy do czasu t, który ta asa rzełynęła t [kg/s] () b) objętościoe natężenie rzełyu (ydatek objętościoy) stosunek objętości łynu V do czasu t, który ta objętość rzełynęła V V t [ 3 /s] () gdzie: ole oierzchni rzekroju rostoadłego do kierunku rzełyu [ ], rędkość rzełyu [/s] c) rónanie zachoania asy (rónanie ciągłości) każdy rzekroju układu charakteryzującego się rzełye ustalony i jedną drogą rzełyu (rys. ) asoe i objętościoe natężenie rzełyu jest stałe const V const (3) raktycznie: lub

2 Rys.. Model strugi łynu z doa rzekrojai obliczenioyi - i - d) struień ędu (ilość ruchu) iloczyn asoego natężenia i rędkości rzełyu: SP [kg /s ] e) rónanie zachoania ędu rzyrost struienia ędu iędzy rzekrojai jest róny yadkoej F szystkich sił zenętrznych działających na łyn zaarty iędzy tyi rzekrojai ( - ) F (4) f) rónanie bilansu energetycznego dla układu o rzełyie ustalony M M Q z, Q, I - I - Mgh - Mgh Le L,, (5) lub M M Q z, Q, U - U V - V - Mgh - Mgh Le L, (6), gdzie: g iejscoe rzysieszenie siły ciężkości h ysokość środka ciężkości rzekroju rzełyoego onad uony ozio odniesienia PO L e, raca efektyna układu Cieło tarcia enętrznego i raca na okonanie sił tarcia ystęujące o obydu stronach znaku róności oyższego rónania znoszą się (Q, L, ) Dla gazó i ar ożna raktycznie oinąć ziany energii otencjalnej Mgh, a energię kinetyczną uzględnia się rzy rędkościach >4 /s.

3 Jeżeli założyy, że brak jest yiany cieła i racy z otoczenie (rzeły adiabatyczny), óczas oyższe rónania ożna zaisać nastęującej forie: M M I Mgh I Mgh const (7) M M U V Mgh U V Mgh const (8) g) uogólnione rónanie Bernoulliego M M V()d L Le - Mg( h - h ) (9) h) rędkość dźięku dla gazó doskonałych d a RT d () i) liczba Macha stosunek rędkości łynu do iejscoej rędkości dźięku Ma () a. Paraetry siętrzenia Paraetry soczynkoe struienia łynu, który został yhaoany do rędkości rónej zeru bez ykonyania racy efektynej (rzeiana izentrooo-adiabatyczna). Oznaczay je indekse dolny : a) entalia siętrzenia M M M M a M I Mc T I MRT MRT V () stanoi suę entalii statycznej oraz rzyrostu entalii dynaicznej rzy założeniu, że całkoita energia kinetyczna zostanie zaieniona tylko cieło. Dla rzełyu energetycznie odosobnionego entalia siętrzenia jest ielkością stałą (i const). b) teeratura siętrzenia dla gazó doskonałych - T T T T Ma c R (3) - c) ciśnienie siętrzenia dla łynu nieściśliego (4) Prędkość rzełyu łynu nieściśliego jest róna: ( - ) (5) Poiary dokonuje się za oocą rurki Prandtla ierząc anoetre różnicoy różnicę ciśnień siętrzenia i statycznego 3

4 Rys.. Scheat oiaru rędkości rzy oocy rurki Prandtla 3. Paraetry krytyczne Przekrój, który rędkość rzełyu staje się róna iejscoej rędkości dźięku. Paraetry określające stan gazu ty rzekroju są nazyane araetrai krytycznyi i oznaczane skaźnikie (indeks górny). Dla gazu doskonałego rędkość dźięku jest najiększa, gdy (gaz nieruchoy). Wynosi ona tedy: a RT. Prędkość dźięku jest róna zeru (a) rzy rozrężaniu gazu aż do różni (, T, i). Prędkość gazu osiąga óczas artość aksyalną róną: I ax i M (6) W rzyadku gazó doskonałych: ax RT a α RT - - (7) gdzie: α dla jednoatooych α,8, dla duatooych α,8, da ary odnej rzegrzanej α,63 Prędkość krytyczna gazach doskonałych: a a RT - i ax - (8) Dla liczby Macha Ma< rzeły jest oddźiękoy (<a - odkrytyczny). Dla Ma (a) rzeły jest krytyczny. Dla Ma> (>a) rzeły jest naddźiękoy (nadkrytyczny). Jeżeli Ma<,6, to na ogół gazy ożna traktoać jako nieściślie. 4

5 Teeratura krytyczna dla gazó doskonałych: T T lub k T T θ (9) dla gazó jednoatooych θ k,75 (,667), dla duatooych θ k,833 (,4), dla ary odnej rzegrzanej θ k,87 (,3) Ciśnienie krytyczne dla gazó doskonałych: - T T lub k - β () dla gazó jednoatooych β k,48 (,667), dla duatooych β k,58 (,4), dla ary odnej rzegrzanej β k,546 (,3) Gęstość krytyczna: - T T lub k - γ () dla gazó jednoatooych γ k,65 (,667), dla duatooych γ k,6 (,4), dla ary odnej rzegrzanej γ k,63 (,3) Wsółczynnik rędkości (liczba Lavala) stosunek rędkości rzełyu do rędkości krytycznej: a Ma λ () dla gazó doskonałych: - Ma Ma - Ma Ma λ (3) 5

6 4. Przeły izentrooy energetycznie odosobniony Przeły adiabatyczny bez ykonyania racy efektynej łynu nielekiego i nierzeodzącego jest rzełye izentrooy, który Q z,, L e,, Q, i S const. Zależność różniczkoa iędzy ole rzekroju kanału rzełyoego a rędkością rzełyu dla gazó doskonałych a ostać: d a - d d (Ma - ) (4) Wyroadzenie: Po zlogarytoaniu i zróżniczkoaniu rónania ciągłości rzełyu otrzyujey: d d d (5) Z kolei z ostaci różniczkoej rónania Bernoulliego ynika, że: d d d d( ) skąd - d a ięc - d d d d Po odstaieniu otrzyujey: d d d Z rónania izentroy ay: RT a. Po odstaieniu i odoiednich d rzekształceniach otrzyay zór yjścioy. Dyszą nazyay kanał rzełyoy, który zrasta rędkość (d>). Kanał o zienny rzekroju racuje jako dysza, jeżeli jego rzekrój zniejsza się kierunku rzełyu (d<) zakresie rędkości oddźiękoych (Ma<), a ziększa się (d>) zakresie rędkości naddźiękoych. Wartość Ma oże być osiągnięta tylko rzekroju inialny dyszy (d), który staje się óczas rzekroje krytyczny. Wyjaśnienie: Prędkość zrasta koszte sadku ciśnienia (d>,d<). Prędkości lotoesą niejsze od rędkości dźięku <a, obec czego a - > i raa stronarónania () a znak ujeny. Znak d będzie zgodny ze znakie raej strony, czyli d<. Oznacza to, że rzy rędkościach oddźiękoychrzełyu dysza oinna być zbieżna. W iarę zrostu rędkości zbieżny kanale dochodziy do rzekroju, który rędkość osiąga artość rędkości dźięku (a,ma). Jeżeli sadek ciśnienia d będzie dostatecznie duży (dalsze rozrężanie gazu), óczas dla uzyskania rędkości iększej od dźięku, na odstaie rónania () usi być sełniony arunek ziany kształtu na rozbieżny (d>). Kanał o odoiedni 6

7 ukształtoaniu oraz odoiadające u rzebiegi ciśnienia, rędkości rzełyu i rędkości dźięku zostały okazane na rys. 3. Rys. 3. Przebiegi ciśnienia, rędkości i rędkości dźięku dyszy de Lavala Bardzo istotny jest fakt zachoania ielkości kąta rozarcia kanału granicach ϕ 8 o o. Gdy kąt ten rzekracza o, nastęuje zeranie strugi, zaś kąty niejsze od 6 o oodują znaczny zrost ooró tarcia odczas rzełyu struienia rzez kanał. Sadek lokalnej artości dźięku odczas rzełyu rzez kanał jest soodoany alenie teeratury gazu iarę rozrężania izentrooego. Dyfuzore nazyay kanał rzełyoy, który aleje rędkość (d<). Kanał o zienny rzekroju racuje jako dyfuzor, jeżeli jego rzekrój zrasta (d>) kierunku rzełyu zakresie rędkości oddźiękoych (Ma<), a aleje (d<) zakresie rędkości naddźiękoych (Ma>) Przy ujeny rzyroście rędkości (d<) nastęuje zrost ciśnienia (d>), co rzy rędkościach oddźiękoych (<a) daje yniku artość dodatnią raej strony rónania (), a co za ty idzie rónież artość dodatnią leej strony czyli d>. Dyfuzor oddźiękoy usi być kanałe rozbieżny. Otyalny kąt rozbieżności nie oinien rzekraczać o (zazyczaj 6 o 7 o ). Na oniższy rysunku zostały rzedstaione kształty dysz i dyfuzoró dla rzełyu izentrooego energetycznie odosobnionego. 7

8 d> Dysza d< d< Dyfuzor d< d> d< Ma< <a Ma> >a Rys. 4. Kształty dysz i dyfuzoró dla rzełyu izentrooego energetycznie odosobnionego 5. Dysza zbieżna (Bendeana) Dysza o olu rzekroju alejący kierunku rzełyu (rzeły beztarcioy, izentrooo-adiabatyczny). Warunki racy dyszy zależą od ciśnienia ośrodka za dyszą. a) ciśnienie a za dyszą jest iększe od ciśnienia krytycznego ( a > ) Prędkość yłyu z dyszy a dla gazó doskonałych ( i - i ) ( i - i ) (6) - - R( T - T ) RT - (7) rónanie Saint Vananta 8

9 Masoe natężenie yłyu z dyszy: [kg/s] (8) a dla gazó doskonałych [kg/s] (9) - b) ciśnienie za dyszą a jest róne lub niejsze od ciśnienia krytycznego ( a ). Prędkość yłyu jest rędkością krytyczną (zór odany cześniej. Masoe natężenie yłyu: dla gazó doskonałych ax [kg/s] (3) - [kg/s] (3) Rys. 5. Przebieg ciśnień czynnika różnych rzyadkach rzełyu rzez dyszę zbieżną. Jeżeli ciśnienie ośrodka za dyszą jest niższe od ciśnienia krytycznego ( a < ), óczas struień łynu yłyającego z dyszy gałtonie się rozręża. Początkoo jego ciśnienie sada oniżej ciśnienia otoczenia, a nastęnie jest on srężany rzez ciśnienie otoczenia. Zjaisko to otarza się okresoo yołując efekt akustyczny. 9

10 6. Dysza naddźiękoa (de Lavala) Dysza zbieżno-rozbieżna. Kąt rozarcia części zbieżnej dyszy ynosi 6 o i nie a iększego łyu na racę dyszy. Kąt rozarcia części rozbieżnej dyszy zależy od rzeznaczenia dyszy i ynosi n. 8 - dla dysz turbin aroych, dla dysz silnikó rakietoych. Ziększenie tego kąta srzyja odryaniu się struienia od ścianek dyszy i ostaaniu dużych strat rzełyu. Przy rzełyie izentrooy energetycznie odosobniony rzekroje krytyczny jest rzekrój inialny dyszy de Lavala. Maksyalne asoe natężenie yłyu jest róne óczas: in ax (3) a dla gazó doskonałych ψ in - in ax - - (33) gdzie: - ψ dla gazó jednoatooych ψ,73, dla duatooych ψ,683, dla ary odnej rzegrzanej ψ,63 Stosunek ola rzekroju inialnego do ola rzekroju ylotoego: - in - - (34)

11 Rys. 6. Przebieg ciśnienia dyszy de Lavala 7. Obliczanie dysz Przy ustalony rzełyie izentrooy zakładay stałe ciśnienia otoczenia rzekroju lotoy - i rzekroju ylotoy -. Dla zadanych ciśnień i yznaczay β k, a nastęnie sradzay czy >. Jeżeli tak, to ay do czynienia z dyszą oddźiękoą. Jeżeli <, to ay do czynienia z dyszą naddźiekoą. Dysza oddźiękoa a) Przy znanych araetrach dolotoych i ylotoych określa się entalię oraz ylicza się rędkość yłyu ze zoru: ( i - i ) lub c ( T - T ) [/s] (35) b) ze zoru na ciągłość strugi rzy znany natężeniu rzełyu jest liczony rzekrój i średnica otoru ylotoego: 4 d (36) π

12 Dysza naddźiękoa a) rzy znanych araetrach lotoych (,, T ) i znany natężeniu rzełyu ze zoru (5) obliczay oierzchnię i średnicę inialną: in ψ 4 in d in (37) π b) nastęnie obliczay rędkość krytyczną i teeraturę krytyczną T a RT T T (38) c) nastęnie obliczay gęstość krytyczną g zoru: γ k (39) d) z kolei obliczay rędkość ylotoą rzy oocy zoru: RT - (4) - e) obliczay gęstość gazu czynnika rzekroju ylotoy: (4) f) obliczay rzekrój ylotoy F i średnica ylotoa d dyszy: i 4 d (4) π g) obliczay długość części rozbieżnej dyszy ze zoru: d - d in L rzy czy kąt rozarcia α4-6 (43) tgα Niełaściy dobór dysz iąże się ze znacznyi stratai i unieożliia uzyskanie obliczenioej rędkości yłyu

13 Przyadek. Zastosoano dyszę oddźiękoą, gdy arunki anują dla dyszy naddźiękoej tj. ciśnienie u ylotu jest niejsze od krytycznego <. Nie zachoano łaściego kształtu W części zbieżnej ustalą się araetry krytyczne a nadyżka ciśnienia (strugi obec otoczenia) będzie tracona na orzeczne rozrężanie gazu bez zrostu rędkości jego kierunku yłyu. Przyadek. Zastosoano dyszę naddźiękoą, gdy arunki anujące są dla dyszy oddźiękoej >. Nie a tedy ożliości osiągnięcia rędkości krytycznej najniejszy rzekroju, a taki rzyadku rozarta część dyszy sełnia funkcję dyfuzora oddźiękoego srężającego. Tego tyu dyszy są ykorzystyane rzy oiarze ydatku (dysza Venturiego), gdy chodzi na o ożliie ały sadek ciśnienia czynnika. 8. Uzględnienie tarcia rzy rzełyie Przeły rzeczyistego czynnika lekiego dyszy bez yiany cieła z otoczenie traktujey jako adiabatyczny (const), ale nie izentrooy (s const), onieaż skutek ystęoania tarcia o ścianki odczas rzełyu nastęuje odyższenie teeratury, entalii i entroii (raca tarcia zaienia się cieło ochłaniane rzez gaz). Przykładoe ykresy rozrężania dyszy i srężania dyfuzorze zostały rzedstaione oniżej układzie sółrzędnych i-s. Rys. 7. Wykresy i-s dla rozrężania dyszy i srężania dyfuzorze Na ykresie o sółrzędnych i-s rzyrosty energii kinetycznej łaściej dla rzełyu energetycznie odosobnionego lub izentrooego, bez ykonyania racy, są róne odoiedni sadko entalii łaściej. 3

14 Prędkość yłyu z kanału energetycznie odosobnionego: ( i - i3 ) ΔΔt ϕ ΔΔ 3 ϕ Δi gdzie: ϕ t (44) Δi Posługując się stosunkie teeratur, sraność dyszy ożna yrazić T - T3 T - T zore: η, zaś sraność dyfuzora: η T - T T - T3 Gdy zależnościach ystęują energie kinetyczne, tedy ygodnie jest osługiać się sółczynnikie strat energii kinetycznej: ( - 3 ) ζ - ϕ (45) Prędkość yłyu gazó doskonałych o stały ciele łaściy - - R( T - T ) R( T - ) (46) 3 3 T3 Jeżeli rzyjiey, że rzeły adiabatyczny jest olitrooy, to ykładnik olitroy ożna zaisać nastęującej ostaci: gdzie: δ - 3 [ ζ( δ -) ] ζ( δ -) (47) W rzyadku, kiedy rędkość dołyu jest oijalna ( ), tedy δ a ykładnik olitroy jest róny: ζ ( - ) (48) Przy rozrężaniu <, rzy srężaniu >. Prędkość yłyu rzy rzełyie adiabatyczny olitrooy rzez dysze 4

15 3 RT - - (49) asoe natężenie yłyu: - - ( ) (5) sraność adiabatyczna rozrężania i - i 3 η r ϕ - ζ (5) i - i sraność adiabatyczna srężania i - i η s (5) i - i 3 9. Przeły adiabatyczny z ykonyanie racy Zależność różniczkoa oiędzy racą efektyną a rędkością rzełyu dla gazó doskonałych: ( Ma - ) dl d - e (53) a Wykonanie racy efektynej dl e > rzez struień oddźiękoy Ma< ooduje zrost rędkości d>, rzy jednoczesny sadku gęstości d< i teeratury dt<. Liczba Macha zrasta do jedności. Dla rędkości naddźiękoych Ma> zrost rędkości osiąga się rzez doroadzenie racy czyli dl e <. Praca efektyna łaścia rzełyu adiabatycznego jest róna sadkoi entalii łaściej siętrzenia: 3 l e,3 i - i 3 - i, - i,3 (54) dla gazó doskonałych o stały ciele łaściy l e,3 c ( T, - T,3 ) R( T, - T,3 ) (55) - 5

16 dla rzełyu adiabatycznego izentrooego -, l e, RT, - (56) -, Jeżeli rędkości rzełyu są ałe, to ożna rzejść z araetró siętrzenia na araetry soczynkoe. W taki rzyadku raca efektyna staje się róna zenętrznej racy technicznej (zniejszonej o racę na okonanie sił tarcia enętrznego). Praca techniczna łaścia rzełyu adiabatycznego olitrooego - ( ) l t,3 R T - T3 RT - (57) - - łaścia zenętrzna raca techniczna - ( ) l zt,3 i - i R T - T RT - - (58) - raca łaścia zużyta na okonanie sił tarcia enętrznego - l,3 l t,3 - l zt,3 - RT - (59) - - Ponieaż l,3 > ięc rzyadku rozrężania jest >, a rzyadku rężania <. Teeratura końca rzeiany adiabatycznej olitrooej jest yższa od teeratury końca rzeiany izentrooej o ty say stanie oczątkoy i ciśnieniu końcoy, zaróno rzyadku rozrężania jak i srężania. Rys. 8. Wykresy -v i T-s dla rzełyu adiabatycznego uzględniającego ykonyanie racy 6

17 W rzyadku srężania adiabatycznego nie tylko brak jest odzyskiania cieła tarcia lecz rzecinie bezzględna artość zenętrznej racy technicznej zrasta na skutek rzebiegu srężania rzy iększych objętościach niż rzy braku tarcia.. Przeły z yianą cieła Zależność różniczkoa oiędzy ciełe yieniany z otoczenie a rędkością rzełyu gazó doskonałych - - dq a z ( Ma - ) d (6) Doroadzenie cieła dq z > yołuje zrost rędkości d> struienia oddźiękoego Ma<, a sadek rędkości d< struienia naddźiękoego Ma>. Przy rzełyie rzysieszony gazu doskonałego teeratura oczątkoo zrasta, aż do osiągnięcia rzez struień liczby Macha Ma, a nastęnie aleje. Cieło doroadzone do struienia nie ykonującego racy jest róne rzyrostoi entalii siętrzenia q z, i, - i, (6) Maksyalna ilość cieła, jaka oże być doroadzona do struienia gazu doskonałego rzełyającego rzez kanał o stały olu rzekroju bez ykonyania racy ynosi: ( Ma - ) q Ma i (6) ( ) a tedy zaróno struień oddźiękoy jak i naddźiękoy osiąga rędkość dźięku Ma. Z rónania zachoania ędu i rónania zachoania asy dla rzełyu rzez kanał o stały olu rzekroju ynika: v const (63) Przy stałych artościach asoego natężenia rzełyu na jednostkę ola oierzchni otrzyujey rónanie Rayleigha. Linia Rayleigha określa stany rzełyu rzez kanał o stały olu rzekroju bez ykonyania racy. 7

18 . Zężki oiaroe Zjaisko rozrężania rzy ały sadku ciśnień jest ykorzystyane raktyce do oiaru natężenia rzełyu urządzeniach zanych zężkai oiaroyi. Podstaoe tyy stosoanych zężek oiaroych zostały okazane na rys. 9. a) b) c) a) dysza oiaroa b) kryza c) dysza Venturiego Rys. 9. Podstaoe tyy zężek oiaroych W yniku całkoania rónania Bernoulliego rzy założeniu, że const otrzyujey yrażenie: - (64) gdzie: - Jeżeli sadek ciśnienia został yołany zężenie rzekroju rzełyu z artości do, to oże ono być scharakteryzoane ielkością zaną rzeężenie: d (65) d gdzie: d i d oznaczają średnice rzekrojó i. 8

19 Z rónania ciągłości rzy const ynika, że: (66) skąd: Podstaiając tę artość do rónania (64) otrzyujey: skąd: - Δ Δ ( - ) Natężenie rzełyu jest róne: (67) - (68) Wzór (68) jest ykorzystyany zężkach oiaroych, które ogą być ykonyane jako dysze, kryzy lub zężki Venturiego Najtańsza i najrostsza jest kryza, ale daje najiększe straty ciśnienia. Pozostałe roziązania nie dają dużych strat, są jednak droższe i trudniejsze ykonaniu. Najiększą dokładność ynikó osiąga się rzy zastosoaniu zężki Venturiego. Ze zględu na różnego rodzaju straty i oraki zór (66) usi być skorygoany. Zgodnie z norai PN-M/5395 a on ostać: α β ε (69) gdzie: α - sółczynnik rzełyu uzględniający rzeężenie rzekroju oraz zężenie struienia, którego rzekrój oże być niejszy od rzekroju kryzy, β - sółczynnik uzględniający teeraturę oiaru, eentualną nieostrość kraędzi oraz chrooatość rzeodu, ε - sółczynnik uzględniający ściśliość rzełyającego czynnika 9