J. Szantyr - Wykład nr 30 Podstawy gazodynamiki II. Prostopadłe fale uderzeniowe

Transkrypt

1 Proagacja zaburzeń o skończonej (dużej) amlitudzie. W takim rzyadku nie jest możliwa linearyzacja równań zachowania. Rozwiązanie ich w ostaci nieliniowej jest skomlikowane i rowadzi do nastęujących zależności na rędkość roagacji odowiednich zaburzeń: J. Szantyr - Wykład nr 30 Podstawy gazodynamiki II Prostoadłe fale uderzeniowe t a x f κ ρ ρ κ κ ρ dla gęstości t a x f κ κ κ κ dla ciśnienia

2 u f 3 κ x a ut dla rędkości Z ostaci owyższych wzorów wynika, że najszybciej rzemieszcza się grzbiet fali odkształcenia, a najwolniej jej dolina. W wyniku tego rocesu rofil fali deformuje się aż do ostaci linii (owierzchni) skokowej zmiany arametrów rzeływu, czyli fali uderzeniowej.

3 Przykłady wizualizacji fal uderzeniowych. Po rawej oryginalna fotografia Macha z drugiej ołowy XIX wieku.

4 Mechanizm owstawania fali uderzeniowej Nagły ruch tłoka w cylindrze owoduje owstanie lokalnego zaburzenia (zgęszczenia) gazu roagującego się z rędkością U. Zaburzenie to można traktować jako ciąg fal rzebiegających kolejno rzez gaz o arametrach zmienionych rzez falę orzednią. Adiabatyczne zagęszczenie gazu owoduje wzrost temeratury i jednocześnie wzrost lokalnej rędkości dźwięku. Oznacza to, że każda kolejna fala roaguje się z większą rędkością, dogania orzednią i nakłada się na nią. Ostatecznie owstaje bardzo cienka owierzchnia nieciągłości, czyli skokowej zmiany arametrów gazu nazywana rostoadłą falą uderzeniową. (rostoadłą do kierunku rędkości)

5 Elementarna teoria rostoadłej fali uderzeniowej Równania zachowania dla rostoadłej fali uderzeniowej można naisać w ostaci: równanie zachowania masy: ρ v ρ v równanie zachowania ędu: równanie zachowania energii: równanie stanu: c + ρ + v ρv v + c T R ρ T T + ρ T Z rozwiązania owyższego układu równań uzyskujemy zależności: v

6 u u ( k ) Ma a Ma + k Ma k κ κ + ( Ma ) ρ ρ ρ ( Ma ) + κ Ma T T Z zależności tych wynika, że: - fala uderzeniowa owstaje, gdy Ma>,0 ( κ ) ( κ + ) ( Ma )( + κma ) T Ma - rzy rzejściu rostoadłej fali uderzeniowej mamy sadek rędkości oraz wzrost ciśnienia, gęstości, temeratury i entroii gazu - za rostoadłą falą uderzeniową jest zawsze Ma<,0 Fala uderzeniowa jest to wystęująca w naddźwiękowych rzeływach gazu bardzo cienka (o grubości rzędu kilkunastu mikronów) strefa (owierzchnia) nagłej zmiany arametrów rzeływu.

7 W rzeływach okołodźwiękowych zdarza się, że lokalnie na obiekcie rędkość jest naddźwiękowa i mogą owstać lokalne fale uderzeniowe omimo tego, że ogólna rędkość ruchu obiektu względem owietrza jest oddźwiękowa rzeanalizuj rzykłady odane oniżej.

8 Przykłady lokalnych fal uderzeniowych wskazujących na lokalne rzeływy naddźwiękowe na samolotach lecących z dużymi kątami natarcia, ale z rędkościami oddźwiękowymi.

9 Skośne fale uderzeniowe a) Przeływ oddźwiękowy fala dźwiękowa wyrzedza obiekt ją generujący b) Przeływ okołodźwiękowy w miarę wzrostu rędkości fale zgęszczają się i rzy va tworzą falę uderzeniową c) Przeływ naddźwiękowy obiekt wyrzedza generowane fale dźwiękowe front fali uderzeniowej tworzy tzw. stożek Macha o kącie rozwarcia: µ arcsin Ma

10 Skośne fale uderzeniowe w rzeływach wewnętrznych są często generowane rzez załamania ścian kanałów: W takim rzyadku mamy dwa rzeływy o różnych kierunkach: rzed i za falą uderzeniową można by więc wyznaczyć dwa kąty Macha Ponieważ jest to fizyczne niemożliwe, mamy tylko jedną falę uderzeniową A-C nachyloną od kątem β wyrażonym wzorem: tgθ Ma sin β κ + + Ma sin β ctgβ atrz rysunek

11 Rozkład rędkości w skośnej fali uderzeniowej można rzedstawić w ostaci składowych normalnych i stycznych do fali. Wtedy można naisać równania: ρ v ρ v równanie zachowania masy n n równanie zachowania ędu w + ρ v n + ρ v kierunku rostoadłym do OC: równanie zachowania ędu w kierunku stycznym do OC: równanie zachowania energii: n ρ c vnv t ρvnvt T ρv n c T ρv Równania te są identyczne jak dla rostoadłej fali uderzeniowej, jeżeli tylko użyjemy w nich składowych rędkości normalnych do fali. + + n

12 W skośnej fali uderzeniowej tylko rędkość normalna do fali sada oniżej rędkości dźwięku rzy rzejściu rzez falę całkowita rędkość rzeływu za falą może ozostać naddźwiękowa. Zależności omiędzy kątem załamania ściany, kątem nachylenia fali uderzeniowej, oraz liczbami Macha rzed falą () i za falą () okazuje wykres. Na rzykład dla θ stoni oraz Ma, 8 otrzymujemy: Ma, 0 β 3.

13 Przy dużym kącie rozwarcia wierzchołka obiektu generującego falę uderzeniową nie może owstać fala rozoczynająca się na wierzchołku. W takim rzyadku owstaje tzw. fala odsunięta. W takiej fali w strefie mamy rzeływ oddźwiękowy, a rzed falą i w strefie za falą rzeływ naddźwiękowy. Graniczna wartość kąta rozwarcia zależy od liczby Macha dla rzeływu rzed falą i wynosi około 70 stoni.

14 Przykład Powietrze łynące z rędkością Ma,0 rzy ciśnieniu Pa jest zmuszone o zmiany kierunku o kąt θ0 stoni rzez załamanie ściany. Powoduje to owstanie słabej skośnej fali uderzeniowej.wyznaczyć kąt β, oraz rędkość i ciśnienie za falą uderzeniową. Z wykresu na stronie nastęnej można odczytać: 0 β 39 Alternatywnie można użyć odanej wyżej zależności, obliczając: dla β39 mamy θ9,70, a dla β40 mamy θ0,69. Interolacja liniowa daje wynik β39,3 stonia.

15 Zależność omiędzy kątami β i θ a liczbą Macha dla skośnej fali uderzeniowej

16 Liczba Macha rzed falą liczona w kierunku normalnym do fali wynosi: Ma n Ma sin β,67 Teraz można wykorzystać relacje dla rostoadłej fali uderzeniowej: Ma ( k ) Ma + k n n k Man 0,803 Liczba Macha za falą w kierunku linii rądu wynosi: Ma Ma sin 0,803 ( β θ ) sin( 39,3 0),64 Ciśnienie za falą można wyznaczyć z zależności dla fali rostoadłej: + k Man k Ma n [ Pa]

17 Przykład Obserwator usłyszał dźwięk samolotu lecącego na wysokości 5000 metrów z rędkością naddźwiękową w momencie gdy samolot oddalił się o 9000 metrów. Z jaką liczbą Macha leci samolot? kąt Macha wynosi: 5000 tgµ µ ,05 liczba Macha wynosi: Ma, 06 sin µ sin 9,05 Uwaga! Powyższe obliczenie jest rzybliżone. W rzeczywistości fala zbliżając się do owierzchni Ziemi będzie się zakrzywiać w kierunku ruchu samolotu. Dlaczego?