POLOWY MODEL TRANSFORMATORA POWIETRZNEGO Z UZWOJENIAMI SPIRALNYMI W UKŁADZIE BEZPRZEWODOWEGO PRZESYŁU ENERGII

Transkrypt

1 POZNAN UNIVE RSIY OF E CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 85 Electrical Engineering 2016 Wiesła ŁYSKAWIŃSKI* Milena KURZAWA* Rafał WOJCIECHOWSKI* POLOWY MODEL RANSFORMAORA POWIERZNEGO Z UZWOJENIAMI SPIRALNYMI W UKŁADZIE BEZPRZEWODOWEGO PRZESYŁU ENERGII W artykule rzedstaiono oloy model transformatora oietrznego racującego układzie bezrzeodoego rzesyłu energii. Zarezentoano algorytm roziązyania rónań modelu metodą elementó skończonych (MES). Na odstaie zarezentoanego algorytmu oracoano rogram do yznaczania nieustalonego ola magnetycznego. Przedstaiono ybrane yniki symulacji. SŁOWA KLUCZOWE: transformator oietrzny, model oloy, bezrzeodoy rzesył energii 1. WSĘP Bezrzeodoy rzesył energii elektrycznej stosoany jest obecnie układach ładoania akumulatoró elektrycznych szczoteczek do zębó jak i nooczesnych telefonó komórkoych. Proadzone są także intensyne race zmierzające do ykorzystania tego sosobu rzesyłu energii systemach ładoania akumulatoró urządzeń rzenośnych i mobilnych (latoy, fotograficzne aaraty cyfroe, ojazdy elektryczne) czy zasilania urządzeń stacjonarnych (teleizory, głośniki, lamy) [3, 9]. W układach bezrzeodoego rzesyłu energii elektrycznej ykorzystuje się zjaisko rezonansu elektrycznego. Głónym elementem układu jest transformator oietrzny zasilany ze źródła rądu lub naięcia rzemiennego (inertera) o dużej częstotliości rzędu kilkuset khz lub naet kilku MHz. Uzojenie ierotne transformatora stanoiące nadajnik energii jest ołączone szeregoo lub rónolegle z kondensatorem o ojemności dobranej do rezonansu. Znajdujące się ytorzonym olu magnetycznym uzojenie tórne transformatora z dobranym do rezonansu kondensatorem stanoi źródło zasilania odbiornika. Przy czym oba obody ierotny i tórny muszą być dostrojone do tej samej częstotliości rezonansoej. * Politechnika Poznańska.

2 256 Wiesła Łyskaiński, Milena Kurzaa, Rafał Wojciechoski Ze zględu na sosób rzesyłu energii za ośrednictem ola magnetycznego celoym ydaje się zastosoanie do nikliej analizy zjaisk zachodzących racujących z dużymi częstotliościami transformatorach oietrznych metod oloych. W niniejszym artykule sformułoano model oloy transformatora, a do roziązania jego rónań ykorzystano metodę elementó skończonych (MES). 2. POLOWY MODEL ZJAWISK W oloym modelu transformatora oietrznego rozkład ola magnetycznego oisuje się rónaniami [5, 8] roth = J (1) divb = 0 (2) a rozkład ola elektrycznego rónaniami B rot E (3) t divj = 0 (4) rzy czym: H ektor natężenia ola magnetycznego, B ektor indukcji magnetycznej, E ektor natężenia ola elektrycznego, a ektor gęstości rądó J jest zykle sumą dóch składnikó: składnika oisującego gęstość rądó rzeodnicta J i rądó rzesunięcia dielektrycznego D/ t, który uidacznia się rzy ysokich częstotliościach. Poyższe zależności uzuełnia się rónaniami materiałoymi D E (5) J E (6) H = B (7) gdzie: D jest ektorem indukcji elektrycznej,,, odoiednio rzenikalnością magnetyczna, elektryczną oraz konduktynością. Wyznaczając rozkład ola magnetycznego metodą elementó skończonych, korzystnie jest osługiać się reluktynością magnetyczną ν 0 = 1/μ 0 [2, 10]. Ze zględu na brak elementó ferromagnetycznych obszarze transformatora oietrznego można rzyjąć, że całym rozatryanym obszarze ystęuje rzede szystkim rzenikalność oietrza μ 0. Wóczas rónanie (7) o rzekształceniu można zaisać, jako H = ν 0 B (8) Wykorzystując do roziązania rónań ola elektromagnetycznego ektoroy otencjał magnetyczny A, ektor indukcji oisuje się zależnością B = rota (9) Wyrażenie to sełnia jednocześnie rónanie bezźródłoości ola magnetycznego (2), gdyż dyergencja rotacji jest róna zeru. Po odstaieniu (9) do

3 Poloy model transformatora oietrznego z uzojeniami siralnymi (8) i uzględnieniu (1) zagadnienie oszukiania rozkładu ola magnetycznego sroadza się do roziązania rónania rot(ν 0 rota) = J (10) Do oisu rozkład ola elektrycznego najczęściej ykorzystuje się skalarny otencjał elektryczny V e. Wóczas ektor natężenia ola elektrycznego E zaisuje się jako sumę dóch składnikó: (a) składnika oisującego ektor natężenia ola E s = gradv e ziązanego ze źródłami zenętrznymi oraz (b) składnika rerezentującego ektor natężenia E i A/ t ynikający ze zmian ola magnetycznego. Wóczas ektor gęstości rądu J = J + D/ t o uzględnieniu zależności (5) i (6) rzyjmuje ostać: A J grad V e (11) t gdzie: jest oeratorem konduktyności. t Po odstaieniu yrażenia (11) oisującego ektor gęstości rądu do rónania (10) otrzymuje się A rot 0 rota gradv e (12) t W yniku odstaienia yrażenia (11) do arunku ciągłości rądu (4) uzyskano zależność oisującą rozkład skalarnego otencjału elektrycznego A div gradv e div (13) t Przy rozatryaniu układó z olem elektromagnetycznym zazyczaj można ograniczyć się do analizy zjaisk obszarze skończonym, o oierzchni brzegoej, na której są znane składoe styczne lub składoe normalne ektoró ola [5]. Przy rozatryaniu ola o ymuszeniu naięcioym układach z rądami iroymi oraz rądami rzesunięcia dielektrycznego, onieaż nie jest znany rzebieg i rozkład rądó uzojeniach [8], nie jest zatem znana gęstość rądu J oisana rónaniem (11). Z tego zględu rozażaniach należy uzględnić rónania naięcioe dla uzojeń transformatora oraz rónania naięcioe obodó zenętrznych. W racy rónania te zaisano nastęującej ostaci t d d u Ri L i Y i dt Ψ (14) dt dt gdzie: u ektor naięć zasilających, i ektor rądó uzojeniach, R macierz rezystancji uzojeń i elementó układu zasilającego oraz obodu obciążenia, L, Y odoiednio macierz indukcyjności oraz macierz elastancji, ektor strumieni skojarzonych z uzojeniami. 0

4 258 Wiesła Łyskaiński, Milena Kurzaa, Rafał Wojciechoski Przy yznaczaniu yrazó ektora odnoszącego się do q-tego uzojenia korzysta się z zależności Ψ A dl (15) q gdzie: A sq średnia artość ektoroego otencjału magnetycznego obszarze rzekroju orzecznego rzeodu q-tego uzojenia, L q całkoita długość rzeodu q-tego uzojenia. Często można rzyjąć, że yrazy strumienia skojarzonego oblicza się za omocą sumy strumieni skojarzonych z ętlą L qi i-tego zoju Lq sq L q z q sq A dl Adl (16) i1 Lqi rzy czym z q liczba zojó q-tego uzojenia. Uzględnia się, że elementy ektora rądu i rónaniu (14) oblicza się na odstaie ektora gęstości rądu J uzojeniach z zależności i J d S (17) q S q której S q jest olem oierzchni rzeodu q-tego uzojenia. Zakłada się rónież, że oierzchnia ta jest ekiotencjalna. Biorąc od uagę rónanie (11), uzyskuje się A J d S gradve ds ds (18) t S q S q Z rónania (18) ynika, że rądy iroe indukoane obszarze rzeodó sełniają arunek A grad Ve ds ds (19) t stąd S q S q S q 1 A grad Ve ds (20) ds t S q Jeżeli konduktyność nie zmienia się na odcinku rzeodu uzojenia omiędzy unktami Q 1 i Q 2, to indukoane na tym odcinku naięcie można yznaczyć z zależności gdzie U g d S, Adl. S q Q 2 Q 1 Q1Q 2 Q2 Q1 S q 1 gradve dl ds (21) g t S q

5 Poloy model transformatora oietrznego z uzojeniami siralnymi RÓWNANIA DYSKRENEGO MODELU ZJAWISK Na odstaie rzedstaionych oyżej rozażań, do analizy racy transformatora oietrznego zaroonoano oloy model nieustalonych zjaisk srzężonych składający się z rónań oisujących: rozkład magnetycznego otencjału ektoroego A (10) i ektora J gęstości rądó (11), rozkład skalarnego otencjału elektrycznego V e (13), rądy i oczkach obodu elektrycznego (14). W środoiskach z rądami iroymi i rądami rzesunięcia dielektrycznego ole elektromagnetyczne należy rozatryać jako trójymiaroe. Ze zględu na uniersalność i możliość odzoroania ymuszeń naięcioych do analizy ola elektromagnetycznego zastosoano metodę A V e. W celu uzyskania rónań oisujących rozkład magnetycznego otencjału ektoroego A rozatryany obszar V dzieli się na elementy skończone. Nastęnie oszukuje się roziązania ostaci zbioru artości kraędzioych, które są całkami z ektora A zdłuż kraędzi elementó [5]. W rozatryanym układzie transformatora oietrznego (rys. 1) ole elektromagnetyczne charakteryzuje się symetrią osioą. Przy oisie tego ola dogodnie jest osługiać się cylindrycznym układem sółrzędnych r, z,. Wóczas magnetyczny otencjał ektoroy A i ektor gęstości rądó J osiadają tylko składoe obodoe A = A (r, z), J = J (r, z) zależne od sółrzędnych r, z. Do dyskretyzacji rozatryanego transformatora ykorzystano ierścienioe elementy trójścienne (rys. 2). Kraędziom tych ierścieni odoiadają na łaszczyźnie r, z ierzchołki trójkątó. W rozatryanym układzie funkcja interolująca elementu kraędzioego odoiada funkcji interolującej elementu ęzłoego. Wyrazy ektora funkcji interolujących obszarze ojedynczego elementu trójkątnego dla układu sółrzędnych cylindrycznych oisano szczegółoo racach [8, 10]. Po dyskretyzacji rozatryanego obszaru na elementy skończone formułuje się funkcjonał dla ojedynczego elementu. Sumuje się składniki funkcjonałó od szystkich elementó dyskretyzujących rozatryany obszar, a nastęnie yznacza się ich ochodne zględem ielkości kraędzioych [7]. Po rzyrónaniu uzyskanych ochodnych do zera otrzymuje się układ rónań różniczkoych zyczajnych oisujący rozkład nieustalonego ola magnetycznego R 0 c (22)

6 260 Wiesła Łyskaiński, Milena Kurzaa, Rafał Wojciechoski którym R 0 macierz reluktancji oczkoych, φ ektor otencjałó kraędzioych, c ektor rzełyó zależny od rądó rzeodnicta i iroych zaisyany ostaci c G N U G (23) Rys. 1. Widok transformatora Rys. 2. Pierścienioy element trójścienny siatki dyskretyzującej Wektor c określa rzeły rzyorządkoany odobszarom S i ziązanych z kraędziami siatki dyskretyzującej (rys. 2) znajdującymi się odoiednio obszarze ceek o uzojeniach ykonanych z rzeodó miedzianych. Przez U oznaczono ektor naięć na oszczególnych zojach ceek uzojenia (rys. 3), a G jest macierzą kondunktancji łókien rzeodzących ydzielonych rzeodach rzez odobszary S i (rys. 2). Przyjęto, że na oierzchni rzekroju zojó (rzeodó) S otencjał ma artość stałą. Wystęująca rónaniu (23) macierz N jest macierzą rzejścia od rzełyó rzyorządkoanych łóknom rzeodzącym do ektora i rądó rzeodach i N. (24) Macierz N realizuje sumoanie rądó łókien obszarze rzeodó. ransformatory oietrzne racują najczęściej układach bezrzeodoego rzesyłu energii i mogą być zasilane z różnych tyó inerteró [1, 4]. Przy analizie stanó racy tych transformatoró rónania ola elektromagnetycznego należy roziązyać łącznie z rónaniami oisującymi rozły rądu uzojeniach i obodach zenętrznych. Formułując rónania (23) zadaje się arunki Dirichleta na oierzchni brzegoej omijając rónania kraędzi znajdujących się na tej oierzchni, rzy czym rónaniach dla kraędzi leżących bezośrednim jej otoczeniu uzględnia się ich zajemne oiązania. Wóczas roziązuje się tylko rónania dla kraędzi, których oszukiany jest otencjał [7]. c

7 Poloy model transformatora oietrznego z uzojeniami siralnymi Rys. 3. Pojedynczy zój Dla ola rzełyoego rądu oisanego zależnością (13) zakłada się, że rozatryanym obszarze =. Formułuje się funkcjonał dla ojedynczego ierścienioego elementu o rzekroju trójkątnym. Po zsumoaniu, rzyczynkó noszonych do funkcjonału rzez szystkie elementy dyskretyzujące oraz obliczeniu ochodnych z uzyskanego yrażenia zględem otencjału kraędzi otrzymuje się ostać dyskretną rónania (13) oisującego rozkład nieustalonego ola elektrycznego obszarze nie zaierającym ymuszeń zenętrznych N G N U N G (25) Wystęujący rónaniach (23) i (25) ektor naięcia U na rzeodach (zojach) nie jest z góry znany. Zatem zależności te należy rozatryać łącznie z rónaniami Kirchhoffa iążącymi rądy i naięcia obodach elektrycznych transformatora. Przeody (zoje) transformatora składają się ze zbioru rónolegle ołączonych łókien. Wektor i całkoitych rądó rzeodach, o uzględnieniu rónaniu (24) zależności (23), można zaisać i N G N U N G (26) Po rzekształceniu (26) uzyskuje się yrażenie oisujące ektor naięć oszczególnych zojó (rzeodó) U N G N i N G (27) Połączone szeregoo rzeody (zoje) torzą ceki uzojenia transformatora. Odzoroując ołączenia rzeodó ceki i sumoanie naięć na szystkich zojach torzących cekę oraz strukturę ołączenia uzojeń transformatora z obodami zenętrznymi otrzymuje się 1 u R L Y i Nc N s U Ζi Nc Ns U (28)

8 262 Wiesła Łyskaiński, Milena Kurzaa, Rafał Wojciechoski gdzie: macierz N s odzorouje sosób ołączenia rzeodó ceki, a macierz N c oisuje strukturę ołączeń uzojeń transformatora. Wyrażenie (28) oisujące rądy obodach elektrycznych roziązuje się łącznie z rónaniami (22) i (23) określającymi rozkład otencjałó kraędzi siatki oraz z zależnością (25) oisującą rozkład ola elektrycznego. Zaisując te rónania łącznie uzyskuje się M N 0 (29) N Z i u gdzie M R G 1 N K (30) o N 1 G N N G K (31) a N jest macierzą rzejścia od ektora otencjałó kraędzioych do strumieni skojarzonych z uzojeniami. W celu roziązania oyższego układu rónań należy dokonać dyskretyzacji czasu. W racy zastosoano do tego celu metodę kolejnych krokó czasoych [8]. Pochodne czasoe rzybliża się za omocą schematu różnicoego. Przyjmując, że długość kroku czasoego t = t n t n 1, ochodną zastęczego otencjału magnetycznego φ można oisać yrażeniem n n1 (32) tn t Δt gdzie n numer kroku czasoego, a n = (t n ), n 1 = (t n 1 ). Podobnie aroksymuje się ochodną rądu. W yniku uzyskuje się dyskretnym model zjaisk srzężonych ostaci 1 M n N φn t G( 1 K) φn1 ~ (33) N tz i n n tun ψn 1 gdzie: 1 M n R t G 1 K 0n, K N K, Z R Y 1 n t t L, ~ 1 ψ n1 Nφn 1 t L in 1 t ucn 1, u cn 1 ektor naięć na ojemności układu zasilającego chili t n 1. Poyższe rónania oisują rozkład ola elektromagnetycznego i rądy uzojeniach transformatora rzy ymuszeniu naięcioym z uzględnieniem rądó iroych indukoanych uzojeniach. Do roziązania tych rónań ykorzystano iteracyjną metodę Netona-Rahsona. W yniku obliczeń otrzymuje się rozkład otencjałó ęzłoych oraz rozkład gęstości rądu uzojeniach. t n

9 Poloy model transformatora oietrznego z uzojeniami siralnymi WYNIKI SYMULACJI Na odstaie rzedstaionego algorytmu roziązyania rónań oloego modelu transformatora oietrznego oracoano rogram komuteroy do symulacji nieustalonego ola magnetycznego. Rozatryano transformator siralny (rys. 1) o liczbie zojó z 1 = z 2 = 10. W celu ograniczenia rądó iroych, uzojenia ykonano z iązki cienkich rzeodó, których całkoity rzykrój ynosi 0,385 mm 2. Założono, że transformator racuje układzie szeregoo-szeregoym (rys. 4) zasilanym ze źródła naięcia sinusoidalnego o częstotliości 100 khz i artości skutecznej naięcia rónej 12 V. Jako obciążenie zastosoano odbiornik rezystancyjny o artości 10 Ω. Ze zględu na symetrię obodu magnetycznego obliczenia rzeroadzono dla 1/2 rzekroju transformatora. Rys. 4. Schemat zastęczy transformatora z szeregoym odłączeniem do źródła zasilania i obciążenia; R 1, R 2, L 1, L 2 rezystancje i indukcyjności łasne uzojenia ierotnego oraz tórnego, C 1 i C 2 ojemności komensujące moc bierną uzojeń, M indukcyjność zajemna uzojeń Rys. 5. Rozkład ola magnetycznego transformatora oietrznego z uzojeniem siralnym rzy odległości między uzojeniami a) = 15 mm, b) = 1 mm

10 264 Wiesła Łyskaiński, Milena Kurzaa, Rafał Wojciechoski Na rysunku 5 rzedstaiono ybrane rozkłady linii sił ola magnetycznego dla dóch zadanych odległości między uzojeniami ierotnym i tórnym dla maksymalnej artości chiloej rądu uzojeniu ierotnym. W celu uzyskania najiększej soraości układu ojemności kondensatoró C 1 i C 2 (rys. 4) dobierano zgodnie z zaleceniami oisanymi racy [6]. 4. PODSUMOWANIE Oracoany rzez autoró model zjaisk obejmuje rónania oisujące rozkład ymuszanego naięcioo ola elektromagnetycznego oraz rónania Kirchhoffa obodó elektrycznych. Wystęujący rónaniach obodoych strumień skojarzony z uzojeniami yrażono za omocą ielkości oloych. W modelu uzględniono także rónania gałęzi układu zasilającego i obciążenia. Do formułoania rónań dyskretnego modelu oloego zjaisk nieustalonych ykorzystano metodę elementó kraędzioych i ęzłoych. W rozażaniach uzględniono rądy iroe. Uzyskany układ rónań modelu dyskretnego roziązyano metodą Netona-Rahsona. Na odstaie algorytmu roziązyania tych rónań oracoano rogram komuteroy do yznaczania nieustalonego ola magnetycznego. Oracoane orogramoanie rzetestoano na układzie bezrzeodoej transmisji energii z transformatorem oietrzny o uzojeniach siralnych. Na odstaie ynikó obliczeń symulacyjnych stierdzono duży ły odległości i kształtu linii brzegoej na rozkład linii sił ola magnetycznego. W celu znieloania tego łyu należałoby oiększyć rozatryany obszar okół uzojeń. Proadzi to niestety do znacznego ydłużenia czasu obliczeń. Z tego zględu dalszych racach autoró rzeiduje się zastosoanie tz. otartych arunkó brzegoych. LIERAURA [1] Arumugam S., Rama Reddy S., A noval coarison of class D and class E inverter based high frequency alication, he annals of Dunarea de jos University of Galati, Vol. 34, No. 2, 2011, [2] Bastos J., Sadoski N., Electromagnetic modelling by finite element methods, Marcel Dekker Inc. Ne York [3] Choi W., Ho W., Liu X., Hui S., Cidirectional communication techniques for ireless battery charging system & ortable consumer electronics, Alied Poer Electronics Conference and Exosition, 2010, [4] Citko., unia H., Winiarski B., Układy rezonansoe energoelektronice, Wydanicto Politechniki Białostockiej, [5] Demenko A., Obodoe modele układó z olem elektromagnetycznym, Wydanicto Politechniki Poznańskiej, Poznań 2004.

11 Poloy model transformatora oietrznego z uzojeniami siralnymi [6] Krzaa M., Wojciechoski R. Analiza układu bezrzeodoego rzesyłu energii z szeregoo-szeregoym obodem rezonansoym, Poznań University of echnology Academic Journals, Electrical Engineering, 2016 ( druku). [7] Łyskaiński W., Analiza stanó racy i synteza transformatora imulsoego ujęciu oloym, Wydanicto Politechniki Poznańskiej, [8] Noak L., Modele oloe rzetornikó elektromechanicznych stanach nieustalonych, Wydanicto Politechniki Poznańskiej, Poznań [9] Rahman S., Ahmed O., Islam S., Aal R., Design and construction of ireless oer transfer system using magnetic resonant couling, AJEA Journal, 2014, vol. 2, no. 2, [10] Szeląg W., Analiza stanó racy i synteza silnikó synchronicznych magnetoelektrycznych. Wydanicta Politechniki Poznańskiej, Poznań FIELD MODEL OF AIR -CORE RANSFORMER WIH SPIRAL WINDINGS IN WIRELESS RESONAN ENERGY LINK In the aer the field model of air-core transformer oerating in a ireless resonant energy link has been resented and discussed. he roosed algorithm for solving the model equations using finite element method has been given. On the basis of the roosed algorithm the in-house softare has been develoed for determining the transient magnetic field. he selected results have been resented. (Received: , revised: )