[ ] [ ] [ ] [ ] 1. Sygnały i systemy dyskretne (LTI, SLS) y[n] x[n] 1.1. Systemy LTI. liniowy system dyskretny

Transkrypt

1 Cyfrowe rzewarzanie sygnałów --. Sygnały i sysemy dyskrene (LTI, SLS).. Sysemy LTI Pojęcie sysemy LTI oznacza liniowe sysemy niezmienne w czasie (ang. Linear Time - Invarian ). W lieraurze olskiej częściej używa się erminu SLS ( sysemy liniowo sacjonarne). Rozumienie ojęcia liniowości i sacjonarności ozwala na idenyfikację klasy sysemu i rzyjęcie odowiednich meod analizy. Termin sysemy liniowe definiuje klasę sysemów, w kórych odowiedź (sygnał wyjściowy) jes suerozycją składowych sanowiących odowiedzi sysemu na ojedyncze składowe wymuszenia (sygnału wejściowego). x liniowy sysem dyskreny y Założymy, że jeżeli na wejście sysemu odamy sygnał x o na wyjściu orzymamy sygnał y oraz jeżeli na wejście sysemu odamy sygnał x o na wyjściu orzymamy sygnał y. sysem sysem x[ n] y[ n ] x [ n ] y[ n] Jeżeli sysem jes liniowy o sełniony jes warunek addyywności oraz jednorodności sysem [ ] [ ] [ ] [ ] a x n + b x n a y n + b y n Inaczej mówiąc sygnał wyjściowy y zależy wyłącznie od sygnału wejściowego x oraz charakerysyk sysemu, nie zależy naomias od żadnego innego sygnału wejściowego.

2 Cyfrowe rzewarzanie sygnałów -- Przykład dyskrenego sysemu liniowego [ ] yn= x[ n] x y Y [m] Sysem cyfrowy jes zdefiniowany w en sosób, że każda róbka odana na jego wejście zmieni znak i zmniejszy swoją warość dwukronie..5 f 3 4 Podamy na wejście układu dyskrene sygnały sinusoidalne [ ] x n = sin( ωnt ) o częsoliwości f=hz róbkowany z częsoliwością f =Hz [ ] x n = sin(3 ωnt ) o częsoliwości f=3hz róbkowany z częsoliwością f =Hz x y.5 Y [m] f 3 4 oraz sumę sygnałów x i x [ ] [ ] [ ] x3 n = x n + x n = sin( ωnt) + sin(3 ωnt) x 3 =x +x y 3 Y 3 [m].5 Z wykresu czasowego oraz widmowego widać, że sygnał y 3 sanowi sumę sygnałów y i y (sumowanie róbka o róbce, suma dwóch harmonicznych, ierwszej i rzeciej). f 3 4

3 Cyfrowe rzewarzanie sygnałów -3- Przykład sysemu nieliniowego [ ] = ( xn [ ]) yn Sysem cyfrowy jes zdefiniowany w en sosób, że każda róbka odana na jego wejście zosanie odniesiona do kwadrau. Podamy na wejście układu dyskrene sygnały sinusoidalne [ ] [ ] x n = sin( ωnt ) o częsoliwości f=hz róbkowany z częsoliwością f =Hz x n = sin(3 ωnt ) o częsoliwości f=3hz róbkowany z częsoliwością f =Hz x y.5 Y [m] f Obliczymy rzebiegi wyjściowe y i y [ ] ( [ ]) [ ] ( [ ]) y n = x n = sin( ωnt ) sin( ωnt ) y n = x n = sin(3 ωnt ) sin(3 ωnt ) Wykorzysując rzekszałcenia rygonomeryczne y[ n] = cos( ωnt ) [ ] y n = cos(6 ωnt ) Jeżeli sygnałem wejściowym będzie suma sygnałów x i x orzymamy: y3[ n] = cos( ωnt ) cos( ωnt ) cos(4 ωnt ) cos(6 ωnt ) + + x x 3 =x +x y.5 Y [m] f y Y 3 [m] 5 6 f Zauważmy, że w sygnale wyjściowym y 3 ojawiają się harmoniczne, kóre nie wysęują w żadnym sygnale wejściowym (,4). Równanie definiujące liniowość nie jes zaem sełnione. Sysem jes nieliniowy. W dalszym ciągu będziemy rozarywać ylko sysemy liniowe

4 Cyfrowe rzewarzanie sygnałów -4- W sysemie niezmiennym w czasie rzesunięcie w czasie w ciągu wejściowym owoduje równoważne rzesunięcie w ciągu wyjściowym. x y Jeżeli reakcją układu na wymuszenie x będzie odowiedź y sysem [ ] y[ n] x n.5 o na wymuszenie x rzesunięe w czasie (o k róbek) układ odowie sygnałem y ak samo oóźnionym [ ] sysem [ ] x n k y n k x' y' Przykład sysemu niezmiennego w czasie.5 [ ] yn= x[ n] sysem ' [ ] = [ n+ 4 ] [ ] = [ n+ 4] ' x n x y n y Przykładem rocesu cyfrowego rzewarzania nie sełniającego warunku niezmienności w czasie jes odróbkowywanie (wybieranie niekórych róbek rzebiegu). Dalej będziemy rozarywać ylko sysemy niezmienne w czasie Czasami można sokać definicję sacjonarności jako brak zmian aramerów układu w czasie. Jednak aka definicja nie jes komlena.

5 Cyfrowe rzewarzanie sygnałów -5- Analiza sysemów LTI Dzięki właściwościom sysemów LTI, można w rosy sosób rzewidywać ich funkcjonowanie. Pełną informację o sysemie gwaranuje znajomość odowiedzi imulsowej. Odowiedź imulsowa sysemu jes o sygnał (ciąg ) wyjściowy w dziedzinie czasu, gdy sygnałem wejściowym jes imuls jednoskowy, zn. sygnałem wejściowym jes ojedyncza róbka o warości jeden, naomias wszyskie róbki rzed i o niej mają warość równą zero. x y x liniowy sysem dyskreny y Znając odowiedź imulsową sysemu LTI, można określić odowiedź dla dowolnego sygnału wejściowego jako slo ego sygnału z odowiedzią imulsową. Odowiedź imulsowa umożliwia wyznaczenie ransmiancji widmowej sysemu LTI, oraz analizę sysemu w dziedzinie częsoliwości.

6 Cyfrowe rzewarzanie sygnałów Sygnały Termin rzewarzanie sygnałów należy rozumieć jako analizowanie zmiennych w czasie rocesów fizycznych. Ze względu na y rerezenacji sygnałów w dziedzinie czasu rzewarzanie dzieli się na: analogowe rzewarzanie sygnałów (sygnały o czasie ciągłym, syg. analogowe) Zmienna niezależna czasu jes ciągła. cyfrowe rzewarzanie sygnałów (sygnały o czasie dyskrenym, syg. dyskrene) W ym rzyadku zmienna niezależna czasu jes kwanowana, ak że orzymuje się warości sygnału w dyskrenych unkach. Sygnał jes rerezenowany jako ciąg warości. Orócz kwanowania osi czasu, sygnał dyskreny może mieć kwanowane warości, aki sygnał nazywany jes sygnałem cyfrowym. Sygnały analogowe Sygnałem analogowym określamy sygnał ciągły w czasie, kóry może rzyjmować ciągły zakres warości chwilowej. Przykładem jes naięcie odawane na wejście oscyloskou, dając na jego ekranie obraz rzebiegu jako ciągłą w czasie funkcję. Elekryczne sygnały analogowe rzewarza się w układach analogowych akich jak n. rezysory, kondensaory, filry analogowe, wzmacniacze oeracyjne id., lub rzewarza się je do osaci dyskrenej (róbkuje). f( ) f() Rys. Sygnał analogowy Termin analogowy wywodzi się od elekronicznych komuerów analogowych, kóre rozwiązywały złożone układy równań różniczkowych. Wykorzysywano analogie badanych modeli maemaycznych do modeli elekrycznych.

7 Cyfrowe rzewarzanie sygnałów -7- Sygnały dyskrene f f[k] k n T Rys. Sygnał dyskreny Wykorzysując rzeworniki analogowo-cyfrowe 3 sygnały analogowe róbkuje się w równych odsęach czasu. Przedział czasu T omiędzy kolejnymi róbkami nazywa się okresem róbkowania. Orzymuje się sygnał dyskreny jako ciąg warości, kóre są indeksowane za omocą liczb całkowiych: f [ n] = f( nt ) Częsoliwość róbkowania f jes równa odwroności okresu róbkowania: f = T Wybór warości częsoliwości róbkowania zależy od własności widmowych rzewarzanego sygnału analogowego oraz secyfiki rocesu róbkowania. 3 Parz ema doyczący budowy i działania rzeworników A/C

8 Cyfrowe rzewarzanie sygnałów -8- Wybrane aramery sygnału: Paramer Sygnał ciągły x() Sygnał ciągły x Warość średnia sygnału w rzedziale x = xd () x = xn [ ] n n n = n n Energia sygnału Ex x () d + = E x [ n] x = n= Moc średnia sygnału w rzedziale P x x d x (, ) = = () Px ( n, n) = x = x [ n] n n n = n n Warość skueczna sygnału X sk = Px Xsk = Px w_.m, w_.m ( rzykłady w Malabie)

9 Cyfrowe rzewarzanie sygnałów -9- Maemayczna rerezenacja sygnału dyskrenego Maemaycznie roces róbkowania olega omnożeniu sygnału analogowego f() z nieskończonym szeregiem imulsów (del) Diraca d(). Imulsy w akim szeregu owarzają się z okresem T. Szereg imulsów Diraca oisuje zależność: () = δ ( ) d nt Na wykresie rzedsawia się aki szereg w osaci srzałek o jednoskowej długości ( jes o miara ola owierzchni dely), oddalonych od siebie o sały rzedział czasu równy T (okres róbkowania). d() δ ( nt ) = nt T Zaem sygnał dyskreny (ozn. f*() ) oisuje zależność: Rys.3 Szereg imulsów Diraca

10 Cyfrowe rzewarzanie sygnałów -- f *( ) = f ( ) d( ) () = () δ ( ) f f nt * Wykorzysując własność filracyjną dely Diraca orzymujemy wyrażenie oisujące sygnał dyskreny: () = ( ) δ ( ) f f nt nt * Zais en należy inerreować jako szereg imulsów Diraca o olach równych warościom róbkowanej funkcji analogowej w unkach, w kórych znajdują się dely szeregu d(). f*() f ( nt ) δ ( ) nt = nt { } Widmo sygnału dyskrenego. F f *( ) Rys.4 Sygnał dyskreny

11 Cyfrowe rzewarzanie sygnałów -- Analiza sygnałów w dziedzinie częsoliwości ozwala na leiej rozumieć zagadnienia rzewarzania sygnałów. Przewarzaniu sygnałów dyskrenych, echnikami Fouriera będą oświęcone osobne wykłady wyjaśniające zagadnienia dyskrenej ransformay Fouriera (DFT oraz FFT). Tu wykorzysamy znane już ciągłe rzekszałcenie Fouriera. Widmo dely Diraca zgodnie z definicją rzekszałcenia Fouriera wynosi: F jω { δ() } = δ() e d = δ ( ) F Pary ransforma wynikające z właściwości rzekszałcenia Fouriera: δ j T ( T) F e ω F ( ) πδ ω F ( ) j e ω πδ ω ω Widmo rzebiegu okresowego, ozwala zauważyć charakerysyczną właściwość widma sygnału dyskrenego. Wykorzysamy zesolony szereg Fouriera. Przebieg okresowy f() w osaci zesolonego szeregu Fouriera ma osać Jego ransformaa Fouriera jk () cke ω f = k =

12 Cyfrowe rzewarzanie sygnałów -- jk ( ω ) = F { k } F j c e ω k = jk ( ω ) = kf { } F j c e ω k = gdzie F jω π c δ ω kω ( ) = k ( + ) k = ck T jkω () = f e d wsółczynniki szeregu T ω π ω = odsęy między imulsami widma T Wynika z ego, że widmo dowolnego sygnału okresowego, oisuje szereg imulsów Diraca oddalonych od siebie o sałą warość ω i o olach równych odowiednio π ck. ω Wykorzysując właściwość symerii rzekszałcenia Fouriera można swierdzić, że sygnał złożony z imulsów Diraca odległych od siebie o sałą warość (sygnał dyskreny) osiada okresowe widmo. Ta właściwość charakerysyki widmowej sygnału dyskrenego, ma swoje ważne konsekwencje w eorii róbkowania.

13 Cyfrowe rzewarzanie sygnałów -3- Szereg imulsów Diraca rozarzymy jako szczególny rzyadek rzebiegu okresowego () = δ ( ) d kt k = Po rzedsawieniu d() w osaci zesolonego szeregu Fouriera jk () cke ω d = k = wsółczynniki ego szeregu wynoszą T / jω k T / () ck δ e d = = T T Sąd charakerysyka widmowa szeregu imulsów Diraca rzyjmuje osać ( ω) D j π π = δ ω + k T k = T Transformaa Fouriera szeregu imulsów Diraca owarzających się z okresem T (w dziedzinie czasu) jes również szeregiem imulsów Diraca owarzających się z okresem π /T (w dziedzinie częsoliwości). Ważne sosrzeżenie, że zmniejszając odsęy między imulsami w dziedzinie czasu ( większa częsoliwość róbkowania ) zwiększają się odsęy miedzy delami w dziedzinie częsoliwości (i odwronie). Ta rosa zależność ma fundamenalne znaczenie odczas realizacji zadania róbkowania rzebiegów analogowych.

14 Cyfrowe rzewarzanie sygnałów -4- { } Do obliczenia ransformay Fouriera sygnału dyskrenego f *( ) F wykorzysamy wcześniejsze zależności. Transformaa Fouriera iloczynu dwóch rzebiegów ( wierdzenie o slocie z dziedzinie częsoliwości ): F{ f () d() } = F f () F d π { } { ()} F{ f *() } = F f () F d π { } { ()} W uroszczonej osaci zaiszemy ransformaę Fouriera sygnału dyskrenego jako F * j π F j D j ( ω ) = ( ω) ( ω) oraz znając ransformaę szeregu imulsów Diraca orzymamy: π F* ( jω) = F( jω) δ ω + k T k = T Pamięamy, że slo funkcji z imulsem Diraca owoduje rzesunięcie ej funkcji do unku, w kórym znajduje się dela. Dodakowo jeżeli funkcja slaana jes z szeregiem imulsów, o nasęuje owielanie ej funkcji i rzesuwanie owieleń do miejsc, w kórych znajdują się imulsy Diraca. Wnioskujemy zaem, że widmo sygnału dyskrenego owsaje w wyniku owielania widma sygnału analogowego nieskończoną ilość razy i rzesuwania ych owieleń o wielokroności ω.

15 Cyfrowe rzewarzanie sygnałów -5- ω = π T Transformaa Fouriera sygnału dyskrenego ma zaem nasęującą osać: f() f() π F* ( jω) = F jω + jk T k = T ω Oerację róbkowania sygnału analogowego f() można rzedsawić graficznie w osaci wykresów w dziedzinie czasu i częsoliwości. d() π D(ω) ω T ω Jak wynika z wyrowadzeń osać widma sygnału dyskrenego zależy od częsoliwości róbkowania. W niekórych wyadkach w wyniku owieleń i rzesunięć widma sygnału analogowego, może wysęować nakładanie się owieleń. Ten nieożądany efek nazywany aliasingiem wymusza sosowanie dodakowej filracji analogowej (filry anyaliasingowe) oraz odowiednich echnik róbkowania. f*() F*(ω) ω ω Rys 5. Graficzne rzedsawienie oeracji róbkowania