Rozdzia l 7. Liczby naturalne
|
|
- Sabina Domagała
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdzia l 7. Liczby naturalne 1. Arytmetyka elementarna Arytmetyka elementarna jest najprostsz a z teorii liczb naturalnych. Ujmuje ona liczby naturalne bez uwzglȩdnienia dzia lań dodawania i mnożenia. Arytmetyka elementarna jest teori a I rzȩdu zdefiniowan a aksjomatycznie w jȩzyku z jedn a pierwotn a sta l a indywidualn a 0 reprezentuj ac a liczbȩ zero oraz jednym pierwotnym 1-argumentowym symbolem funkcyjnym s, reprezentuj acym tzw. operacjȩ nastȩpnika (której wartości a na danej liczbie naturalnej jest liczba nastȩpna po niej tzn. o jeden wiȩksza, zwana w laśnie nastȩpnikiem danej liczby). Aksjomaty: (AN1) x(s(x) 0), Liczba zero nie jest nastȩpnikiem żadnej liczby naturalnej. (AN2) x y(s(x) = s(y) x = y), Dowolne dwie liczby naturalne s a identyczne, jeśli ich nastȩpniki s a identyczne. (Aksjomat indukcji) [ψ(0) x(ψ(x) ψ(s(x)))] x(ψ(x)), gdzie ψ(x) jest formu l a jȩzyka, w której x jest przynajmniej jedn a zmienn a woln a, zaś ψ(0) oraz ψ(s(x)) s a formu lami uzyskanymi z ψ(x) przez zast apienie każdego wolnego wystȩpowania zmiennej x w ψ(x) odpowiednio termami: 0 oraz s(x). Każda liczba naturalna x spe lnia formu lȩ ψ(x), o ile liczba 0 j a spe lnia oraz jest tak, że nastȩpnik dowolnej liczby spe lnia ψ(x) ilekroć ta liczba j a spe lnia. Aksjomat indukcji, podobnie jak niektóre aksjomaty teorii ZFC czy też pewnik Cantora, jest schematem dla aksjomatów, z którego uzyskujemy w laści wy aksjomat (formu lȩ jȩzyka) wstawiaj ac w miejsce ψ(x) konkretn a formu lȩ jȩzyka teorii. Praktycznie wyprowadzamy przy użyciu aksjomatu indukcji wszystkie twierdzenia arytmetyki elementarnej o postaci: x(ψ(x)), a wiȩc stwierdzaj ace przys- luḡiwanie pewnych w lasności wszystkim liczbom naturalnym. Mówimy wówczas, że dowody takich twierdzeń s a indukcyjne. Aby dowieść indukcyjnie twierdzenie postaci x(ψ(x)), wykazujemy prawdzi wość poprzednika w aksjomacie indukcji dla tej konkretnej postaci formu ly ψ(x). Twierdzenie x(ψ(x)) otrzymujemy jako nastȩpnik w tym aksjomacie. Ponieważ ów poprzednik jest koniunkcj a, pokazujemy wiȩc każdy z jej cz lonów: (1) ψ(0) (tzw. zerowy krok indukcyjny), (2) x(ψ(x) ψ(s(x)).
2 1. Arytmetyka elementarna 76 Aby dowieść (2) wybieramy dowolne x oraz zak ladamy, że ψ(x) (tzw. za lożenie indukcyjne). Nastȩpnie d ażymy do wykazania: ψ(s(x)) (tzw. teza indukcyjna). Wyprowadzimy, przy użyciu aksjomatu indukcji, dwa twierdzenia. Pierwsze mówi, że nastȩpnik dowolnej liczby naturalnej jest od niej różny. Drugie, że jakakolwiek liczba naturalna różna od zera jest nastȩpnikiem jakiejś liczby. tw. 1: x(s(x) x). Dowód: Jako ψ(x) k ladziemy w aksjomacie indukcji formu lȩ: s(x) x. Zastosowanie tego aksjomatu w tym dowodzie bȩdzie możliwe po wykazaniu prawdziwości dwóch wyrażeń, których koniunkcja jest poprzednikiem aksjomatu indukcji zapisanego dla owej konkretnej formu ly ψ(x). Dowodzimy zatem: (1) s(0) 0 (zerowy krok indukcyjny) oraz (2) x(s(x) x s(s(x)) s(x)). Naturalnie (1) jest bezpośrednim wnioskiem z (AN1). Aby wykazać (2), za lóżmy, że s(x) x (za lożenie indukcyjne) dla dowolnie wybranego x. Musimy wykazać tezȩ indukcyjn a postaci s(s(x)) s(x). Za lóżmy nie wprost, że s(s(x)) = s(x). Wówczas na mocy (AN2), s(x) = x. Sprzeczność z za lożeniem indukcyjnym. tw. 2: x(x = 0 y(x = s(y))). Dowód: Krok zerowy: 0 = 0 y(0 = s(y)), jest oczywiście spe lniony. Za lożenie indukcyjne: x = 0 y(x = s(y)), dla dowolnie wybranego, ustalonego x. Dowodzimy tezy indukcyjnej postaci: s(x) = 0 y(s(x) = s(y)). Niech za lożenie indukcyjne bȩdzie prawdziwe w ten sposób, że x = 0. Wówczas s(x) = s(0), wiȩc y(s(x) = s(y)). Zatem s(x) = 0 y(s(x) = s(y)). Niech za lożenie indukcyjne bȩdzie prawdziwe w ten sposób, że y(x = s(y)). Wówczas dla pewnego a, x = s(a) i konsekwentnie s(x) = s(s(a)), st ad y(s(x) = s(y)), a wiȩc s(x) = 0 y(s(x) = s(y)). W ogólności dla dowolnego zbioru formu l domkniȩtych A danego jȩzyka I rzȩdu L, każd a interpretacjȩ dla tego jȩzyka, w której wszystkie formu ly z A s a prawdziwe, nazywamy modelem dla zbioru formu l A. Latwo stwierdzić (porównaj dalej tw.5, 3), że dowolny model dla zbioru aksjomatów danej teorii jest modelem dla tej teorii. Teoria, której zbiorem aksjomatów jest A, jest bowiem zbiorem wszystkich zdań (formu l domkniȩtych) jȩzyka, które wynikaj a ze zbioru A, tzn. s a prawdziwe w każdej interpretacji, w której prawdziwe s a wszystkie zdania ze zbioru A. Nietrudno zauważyć, że wszystkie obiekty nazywane termami: 0, s(0), s(s(0)), s(s(s(0))),... (traktowane jako różne od siebie) i tylko one s a elementami dziedziny modelu dla arytmetyki elementarnej. W dziedzinie tej wystȩpuje obiekt 0, który nie jest wartości a operacji s na żadnym innym obiekcie prawdzi-
3 2. Arytmetyka liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem 77 wy jest wiȩc w tejże dziedzinie aksjomat AN1 oraz każdy z obiektów różnych od 0 jest wartości a iluśkrotnego z lożenia operacji s na obiekcie 0, przy czym różnokrotne z lożenia operacji s na 0 daj a różne obiekty. St ad wynika prawdziwość aksjomatu AN2. Aby lepiej zdać sobie z tego sprawȩ, rozpatrzmy obiekty dziedziny w kolejności, w jakiej zosta ly wyżej zapisane, tzn. w kolejności wzrastania krotności z lożenia operacji s (obiekt s(x) wystȩpuje bezpośrednio za obiektem x). Gdy dwa obiekty x, y s a różne od siebie, to jeden z nich, powiedzmy x, wystȩpuje w owej sekwencji na prawo od drugiego y (tzn. jest on wartości a z lożenia s o wiȩkszej krotności, niż krotność z lożenia, której wartości a jest obiekt y, w szczególności y może w ogóle nie być wartości a owego z lożenia, tzn. może być 0). Ponieważ s(x), s(y) wystȩpuj a w sekwencji bezpośrednio na prawo od odpowiednio x oraz y, wiȩc obiekt s(x) jest równie odleg ly na prawo od s(y), jak x jest odleg ly od y. W konsekwencji s(x) s(y). Pozostaje wykazanie prawdziwości aksjomatu indukcji. Niech wiȩc ψ(x) bȩdzie formu l a jȩzyka arytmetyki elementarnej. Za lóżmy, że w rozważanej dziedzinie prawdziwy jest poprzednik aksjomatu indukcji dla tejże ψ(x). Oznacza to, że obiekt 0 spe lnia formu lȩ ψ(x) oraz prawd a jest, że jakikolwiek obiekt dziedziny spe lnia ψ(x), o ile obiekt bezpośrednio go poprzedzaj acy w powyższej sekwencji spe lnia tȩ formu lȩ. Zastosujmy ostatni a obserwacjȩ kolejno do każdego obiektu z sekwencji. Skoro 0 spe lnia ψ(x), a bezpośrednio poprzedza obiekt s(0), wiȩc s(0) spe lnia ψ(x); skoro s(0) spe lnia ψ(x), a bezpośrednio poprzedza s(s(0)), wiȩc s(s(0)) spe lnia ψ(x), skoro... itd. Wniosek: każdy z obiektów z sekwencji spe lnia ψ(x). Opisany model arytmetyki elementarnej liczb naturalnych nosi nazwȩ standardowego (w kwestii niestandardowych modeli zob. np. [9]). Stosowane zwyczajowo nazewnictwo obiektów z dziedziny standardowego modelu ma oczywiście postać: 1 = def s(0), 2 = def s(s(0)), 3 = def s(s(s(0))), itd. 2. Arytmetyka liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem Arytmetyka liczb naturalnych z dodawaniem jest teori a I rzȩdu określon a aksjomatycznie na jȩzyku arytmetyki elementarnej rozszerzonym o 2-argumentowy symbol funkcyjny +, interpretowany w modelu standardowym arytmetyki elementarnej jako operacja zwyk lego dodawania. Oprócz aksjomatów arytmetyki elementarnej (AN1), (AN2), (Aksjomat indukcji) wystȩpuj a tu dwa aksjomaty, nadaj ace znaczenie symbolowi + : (AN3) y(0 + y = y), (AN4) x y(s(x) + y = s(x + y)). Aksjomaty te określaj a wartość operacji dodawania na dowolnych liczbach naturalnych (tzn. obiektach modelu standardowego) w sposób nastȩpuj acy: w myśl tw.2, 1, każda liczba naturalna jest b adź liczb a 0, b adź nastȩpnikiem jakiejś liczby naturalnej; (AN3) ustala wartość operacji dodawania dla ci agu
4 2. Arytmetyka liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem 78 (0, y), gdzie y jest dowoln a liczb a naturaln a, zaś (AN4) określa wartość tej operacji w pozosta lych przypadkach, a wiȩc wówczas, gdy pierwszym argumentem operacji dodawania jest jakakolwiek liczna naturalna różna od 0 (liczba s(x)) oraz drugim dowolna liczba naturalna y. Aby w myśl (AN4) obliczyć wartość operacji dodawania na ci agu (s(x), y), trzeba wcześniej znać wartość tej operacji na ci agu (x, y). Aby j a z kolei obliczyć, bierzemy pod uwagȩ (AN3), gdy x = 0, co zakończy obliczenie, albo znowu (AN4), gdy x 0, a wiȩc x = s(z) dla pewnej liczby naturalnej z. Wówczas jednak należy znać wartość operacji dodawania na ci agu (z, y), a wiȩc znowu korzystamy z (AN3), gdy z = 0 (obliczenie skończone), b adź z (AN4), gdy z 0 itd. aż do chwili, gdy pierwszy argument operacji bȩdzie liczb a 0, zatem do obliczeń zastosujemy (AN3). Przyk ladowo: = wg def s(s(0)) + s(s(s(0))) = wg (AN4) s(s(0) + s(s(s(0)))) = wg (AN4) s(s(0 + s(s(s(0))))) = wg (AN3) s(s(s(s(s(0))))) = wg def 5. Naturalnie wszystkie twierdzenia arytmetyki elementarnej s a twierdzeniami arytmetyki z dodawaniem, choć nie na odwrót. Arytmetyka z dodawaniem jest bogatsz a teori a, zaś dowodzenie jej twierdzeń opisuj acych operacjȩ dodawania jest trudniejsze niż dowodzenie twierdzeń w arytmetyce elementarnej. Przyk ladowo wykażemy, że dodawanie jest operacj a przemienn a: tw. 3: x y(x + y = y + x). Dowód: Po lóżmy φ(x) := y(x+y = y +x). Wówczas dowodzone twierdzenie jest nastȩpnikiem aksjomatu indukcji, którego poprzednik ma postać: (1) y(0 + y = y + 0) x[ y(x + y = y + x) y(s(x) + y = y + s(x))]. Aby wykazać (1) najpierw indukcyjnie dowodzimy (2) y(0 + y = y + 0), tzn. φ(0). Po lóżmy wiȩc ψ(y) := 0 + y = y + 0. Wówczas (2) jest nastȩpnikiem aksjomatu indukcji, którego poprzednikiem jest (3) = y(0 + y = y s(y) = s(y) + 0). Naturalnie pierwszy cz lon koniunkcji (3) (formu la ψ(0)) jest spe lniony. Aby wykazać prawdziwość drugiego cz lonu, tzn. formu ly: y(ψ(y) ψ(s(y))), weźmy dowoln a liczbȩ y i za lóżmy, że 0 + y = y + 0. Na mocy (AN3) mamy wówczas: y = y+0, zatem s(y) = s(y+0). St ad na mocy (AN4), s(y) = s(y)+0. Lecz z drugiej strony, na podstawie (AN3), 0 + s(y) = s(y), zatem 0 + s(y) = s(y) + 0. W ten sposób wykazaliśmy (3), a wiȩc w konsekwencji również (2), czyli wykonaliśmy zerowy krok indukcyjny w dowodzie twierdzenia. Aby dowieść drugiego cz lonu koniunkcji (1), tzn. formu ly: x(φ(x) φ(s(x))), rozważmy dowoln a ustalon a liczbȩ x oraz za lóżmy (4) y(x + y = y + x). Aby wykazać (5) y(s(x) + y = y + s(x)), po lóżmy χ(y) := s(x)+y = y+s(x). Dowód (5) bȩdzie wiȩc indukcyjny. Musimy wykazać (6) s(x) + 0 = 0 + s(x) (tzn. χ(0)) oraz
5 2. Arytmetyka liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem 79 (7) y(s(x) + y = y + s(x) s(x) + s(y) = s(y) + s(x)) (tzn. y(χ(y) χ(s(y)))). Formu la (6) jest oczywistym wnioskiem z (2). Dowodzimy wiȩc formu ly (7). Weźmy dowoln a liczbȩ y i za lóżmy, że (8) s(x) + y = y + s(x). Wówczas s(x)+s(y) = na mocy (AN4) s(x+s(y)) = na mocy (4) s(s(y)+x) = na mocy (AN4) s(s(y + x)) = na mocy (4) s(s(x + y)) = na mocy (AN4) s(s(x) + y) = na mocy (8) s(y + s(x)) = na mocy (AN4) s(y) + s(x). W ten sposób wykazano prawdziwość formu ly (5), wobec czego również formu ly (1), zatem na mocy aksjomatu indukcji dowód twierdzenia jest zakończony. Aksjomat indukcji zazwyczaj wykorzystywany jest dla dowodów indukcyjnych w bardziej popularnej postaci, możliwej do napisania dopiero w jȩzyku arytmetyki z dodawaniem: (ψ(0) x(ψ(x) ψ(x + 1))) x(ψ(x)). Traktujemy powyższe wyrażenie jako twierdzenie, bȩd ace oczywistym wnioskiem z formu ly (Aksjomat indukcji) oraz twierdzenia: tw. 4: x(s(x) = x + s(0)). Dowód: Rozważmy dowoln a liczbȩ x. Wówczas na mocy tw.3 oraz (AN4), (AN3) mamy: x + s(0) = s(0) + x = s(0 + x) = s(x). Arytmetyka liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem jest teori a I rzȩdu określon a aksjomatycznie na jȩzyku arytmetyki z dodawaniem rozszerzonym o 2-argumentowy symbol funkcyjny, interpretowany w modelu standardowym jako operacja mnożenia. Aksjomatyka tej teorii z lożona jest z aksjomatów arytmetyki z dodawaniem oraz dwóch kolejnych aksjomatów opisuj acych operacjȩ mnożenia, analogicznie jak aksjomaty (AN3), (AN4) opisuj a dodawanie: (AN5) y(0 y = 0), (AN6) x y(s(x) y = (x y) + y). Przez standardowy model dla arytmetyki z dodawaniem i mnożeniem rozumiemy standardowy model dla arytmetyki elementarnej (opisany w 1), wyposażony w zwyk le operacje dodawania i mnożenia. Istniej a niestandardowe (nieizomorficzne ze standardowym) modele arytmetyki z dodawaniem i mnożeniem (zob. np. [9]), jednakże ich opis wymaga aparatu pojȩciowego teorii modeli, w szczególności tzw. konstrukcji ultraproduktu, co wykracza poza ramy tych elementarnych wyk ladów.
6 3. Pewne metalogiczne w lasności arytmetyk liczb naturalnych Pewne metalogiczne w lasności arytmetyk liczb naturalnych Arytmetyka elementarna oraz arytmetyka z dodawaniem różni a siȩ od arytmetyki liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem bardzo ważn a w lasności a metalogiczn a: te dwie pierwsze teorie s a zupe lne, podczas gdy arytmetyka z dodawaniem i mnożeniem jest teori a niezupe ln a. Aby wyjaśnić pojȩcie zupe lności teorii I rzȩdu, wprowadzimy teraz kilka prostych pojȩć z teorii modeli oraz podamy pewne elementarne fakty z tej teorii. Niech bȩdzie dany jakiś jȩzyk L pierwszego rzȩdu, w postaci ustalonej listy predykatów, symboli funkcyjnych oraz sta lych indywidualnych. Dla dowolnego zbioru zdań A (formu l domkniȩtych) jȩzyka L oznaczmy symbolem Th(A) teoriȩ I rzȩdu aksjomatyzowan a przez zbiór A, tzn. Th(A) jest zbiorem wszystkich zdań α jȩzyka L, które wynikaj a ze zbioru A, czyli α Th(A) wtw dla dowolnej interpretacji M jȩzyka L, α jest prawdziwe w M, o ile każde zdanie β ze zbioru A jest prawdziwe w M. Ponadto, dla dowolnej interpretacji M jȩzyka L, niech Ver(M) oznacza zbiór wszystkich zdań jȩzyka L, które s a prawdziwe w M. Wed lug powyższej notacji mamy oczywisty zwi azek: dla dowolnego zdania α, α Th(A) wtw dla dowolnej interpretacji M, jeśli A Ver(M), to α Ver(M). St ad uzasadnione jest twierdzenie: tw. 5: Dla dowolnej interpretacji M oraz zbioru zdań A jȩzyka L, jeżeli A Ver(M), to Th(A) Ver(M). (Jeżeli aksjomaty teorii s a prawdziwe w danej interpretacji, to każde twierdzenie tej teorii jest prawdziwe w tejże interpretacji; innymi s lowy, dowolny model dla aksjomatów teorii jest modelem dla tej teorii.) Rozważmy przypadek: A = Ver(M) dla ustalonej interpretacji M jȩzyka L. Na mocy tw.5 mamy natychmiast: Th(Ver(M)) Ver(M). Z drugiej strony, z definicji teorii Th(B) aksjomatyzowanej przez zbiór zdań B, B Th(B), zatem można sformu lować twierdzenie: tw. 6: Dla dowolnej interpretacji M jȩzyka L, Th(Ver(M)) = Ver(M). Zbiór wszystkich zdań prawdziwych w danej interpretacji jest wiȩc teori a (opisuj aca strukturȩ relacyjno-algebraiczn a tej interpretacji). Można rozważać teorie nie tylko pojedynczych struktur relacyjno-algebraicznych, lecz ich klas. Niech K bȩdzie dowoln a klas a (mnogości a) interpretacji dla jȩzyka L. Oznaczmy symbolem Ver(K) zbiór wszystkich zdań jȩzyka L prawdziwych w każdej interpretacji M K, tzn. Ver(K) = {Ver(M) : M K}. Wówczas mamy: tw. 7: Dla dowolnej klasy interpretacji K dla jȩzyka L, Th(Ver(K)) = Ver(K).
7 3. Pewne metalogiczne w lasności arytmetyk liczb naturalnych 81 Dowód: Wystarczy wykazać inkluzjȩ Th(Ver(K)) Ver(K). Niech wiȩc α Th(Ver(K)), czyli (1) M(Ver(K) Ver(M) α Ver(M)). Aby wykazać, że α Ver(K) rozważmy dowoln a interpretacjȩ M K. Wówczas oczywiście Ver(K) Ver(M), zatem na mocy (1), α Ver(M) i ostatecznie, wobec dowolności wyboru interpretacji M z klasy K, otrzymujemy: α Ver(K). Definicja: Teoriȩ Th(A) nazywamy zupe ln a, gdy dla dowolnego zdania α jȩzyka L, α Th(A) lub α Th(A). tw. 8: Dla dowolnej interpretacji M jȩzyka L, teoria Ver(M) jest zupe lna. Dowód: Za lóżmy nie wprost, że dla pewnej interpretacji M, Ver(M) nie jest zupe lna. Wówczas dla pewnego zdania α, α Ver(M) oraz α Ver(M). Na podstawie warunku prawdziwości dla spójnika negacji : α Ver(M) wtw α Ver(M), otrzymujemy sprzeczność. W ogólności teoria klasy struktur Ver(K) nie musi być zupe lna. Argument zastosowany w dowodzie tw.8 oczywiście nie pracuje dla teorii Ver(K). Banalnym przyk ladem jest tu teoria Ver(K 0 ), gdzie K 0 jest klas a wszystkich interpretacji dla jȩzyka L. Oczywiście Ver(K 0 ) jest zbiorem wszystkich zdań tautologicznych w jȩzyku L, zaś w jakimkolwiek jȩzyku I rzȩdu wystȩpuj a takie zdania, że ani one, ani ich negacje nie s a tautologiami w tym jȩzyku, zatem Ver(K 0 ) nie jest teori a zupe ln a. Przyk ladem teorii niezupe lnej (tzn. nie bȩd acej zupe ln a) jest teoria ZFC. Oto na przyk lad tzw. hipoteza continuum (zob. 4, Rozdzia l 11) jest takim zdaniem w jȩzyku ZFC, że ani ono ani jego negacja nie należ a ZFC. Dowodzi siȩ bowiem po pierwsze, że hipoteza continuum jest niezależna wzglȩdem aksjomatów ZFC (tzn. z nich nie wynika) oraz po drugie, że dodanie jej do aksjomatów ZFC daje teoriȩ niesprzeczn a, tzn. Th(Ax), gdzie Ax jest zbiorem aksjomatów ZFC wraz z hipotez a continuum, jest teori a niesprzeczn a. St ad hipoteza continuum nie należy do ZFC, skoro nie wynika z aksjomatów ZFC, oraz negacja hipotezy continuum nie jest twierdzeniem teorii ZFC, gdyby bowiem by la, to by laby również twierdzeniem teorii Th(Ax), skoro ZFC Th(Ax); wówczas jednak Th(Ax) by laby sprzeczna. tw. 9: Dla dowolnego zbioru zdań A jȩzyka L oraz interpretacji M dla L takich, że A Ver(M), teoria Th(A) jest zupe lna wtw Th(A) = Ver(M). (Jeżeli M jest modelem dla aksjomatów jakiejś teorii, to teoria ta jest zupe lna dok ladnie wtedy, gdy jest teori a struktury z M.) Dowód: Za lóżmy, że (1) A Ver(M). ( ): Niech (2) Th(A) jest zupe lna,
8 4. Operacja nastȩpnika w teorii ZFC 82 oraz za lóżmy nie wprost, że (3) Th(A) Ver(M). Wówczas z (1) na mocy tw.5 mamy: (4) Th(A) Ver(M), zatem na podstawie (3) stwierdzamy, iż nie jest tak, że Ver(M) Th(A). Niech wiȩc α bȩdzie takim zdaniem, że (5) α Ver(M) oraz (6) α Th(A). Wtedy z (2) i (6) otrzymujemy: α Th(A), co wraz z (4) implikuje: α Ver(M), a to z kolei oznacza, iż α Ver(M). Sprzeczność z (5). ( ): na mocy tw.8. Dowodzi siȩ (stosuj ac metodȩ tzw. skolemizacji zdań, zob np. [9]), że arytmetyka z dodawaniem i mnożeniem nie jest teori a zupe ln a. Na mocy tw.9 oznacza to, iż arytmetyka ta jest zbiorem twierdzeń różnym od zbioru wszystkich zdań prawdziwych w jej standardowym modelu. Zatem, skoro na mocy tw.5, wszystkie jej twierdzenia s a prawdziwe w standardowym modelu, istnieć wiȩc musz a takie zdania, które prawdziwe s a w standardowym modelu i które twierdzeniami arytmetyki nie s a, tzn. nie wynikaj a z jej aksjomatów. Innymi s lowy, istnieć musi taki model (niestandardowy) arytmetyki z dodawaniem i mnożeniem, w którym pewne, w standardowym modelu prawdziwe zdanie, jest fa lszywe. Tymczasem okazuje siȩ, że arytmetyka elementarna, jak również arytmetyka z dodawaniem, s a teoriami zupe lnymi. Na mocy tw.9, obie te teorie s a wiȩc odpowiednio zbiorami wszystkich zdań prawdziwych w swoich modelach standardowych. 4. Operacja nastȩpnika w teorii ZFC G lównym celem niniejszego rozdzia lu jest interpretacja arytmetyki elementarnej w teorii ZFC. Polega ona na wykazaniu, że każde twierdzenie arytmetyki elementarnej jest twierdzeniem teorii mnogości ZFC, o ile wcześniej, po pierwsze, ustalono do jakich zbiorów (opisywanych w ZFC) odnosz a siȩ kwantyfikatory w jȩzyku arytmetyki, czyli jakie zbiory maj a być postrzegane jako liczby naturalne, oraz po drugie, zinterpretowano w ZFC pierwotne pojȩcia arytmetyki elementarnej: liczbȩ zero oraz nastȩpnik, tzn. określono jaki wyróżniony zbiór (wśród zbiorów określonych jako liczby naturalne) odpowiada sta lej 0 oraz jaka operacja na zbiorach (określonych jako liczby naturalne) odpowiada symbolowi funkcyjnemu s. Naturalnie, aby wykazać, że każde twierdzenie arytmetyki elementarnej jest twierdzeniem teorii ZFC, wystarczy wykazać, że każdy aksjomat arytmetyki (po zinterpretowaniu) jest twierdzeniem ZFC. Na pocz atek zdefiniujmy jednoargumentow a operacjȩ S zwan a operacj a nastȩpnika, określon a dla wszystkich zbiorów:
9 4. Operacja nastȩpnika w teorii ZFC 83 Definicja. Dla dowolnego zbioru x, S(x) = x {x}. To znaczy, y(y S(x) (y x y = x)). Nastȩpnik S(x) zbioru x jest wiȩc takim zbiorem, że jednocześnie x S(x) oraz x S(x). Twierdzenie 1: Dla dowolnego zbioru x, S(x) jest najmniejszym zbiorem (wzglȩdem inkluzji) wśród wszystkich zbiorów y takich, że x y oraz x y. Dowód: Za lóżmy, że x y oraz x y. Wówczas {x} y, zatem x {x} y, czyli S(x) y. Zauważmy ponadto, że dla dowolnego zbioru x nie istnieje taki zbiór y, że x y oraz y S(x). Gdyby bowiem taki y istnia l, to by loby: y x lub y = x, lecz oba cz lony tej alternatywy s a zabronione, na mocy Wniosków z odpowiednio Tw.10, Rozdzia l 2 i Tw.9, Rozdzia l 2. Kolejne dwa twierdzenia charakteryzuj ace operacjȩ S, wskazuj a na możliwość jej wykorzystania jako interpretacji symbolu funkcyjnego s z jȩzyka arytmetyki: Twierdzenie 2: x(s(x) ). Dowód: Oczywisty na mocy definicji operacji nastȩpnika. Twierdzenie 3: x y(s(x) = S(y) x = y). Dowód: Za lóżmy, że S(x) = S(y). Ponieważ wed lug Wniosku z Tw.10, Rozdzia l 2, wykluczona jest koniunkcja x y y x, wiȩc prawdziwa jest alternatywa x y y x. Za lóżmy, że x y. Ponieważ x S(x), wiȩc z za lożenia dowodu uzyskujemy: x S(y), zatem x y x = y, sk ad x = y. Analogicznie postȩpujemy przy za lożeniu, że y x. Jak widać, Tw.2 jest interpretacj a aksjomatu (AN1), o ile zbiór pusty uznamy za interpretacjȩ sta lej 0. Naturalnie Tw.3 jest interpretacj a aksjomatu (AN2) arytmetyki elementarnej. Na uwagȩ zas luguje fakt, że kwantyfikatory pojawiaj ace siȩ w tych dwóch twierdzeniach odnosz a siȩ do wszelkich zbiorów, zatem również do tych, które później określimy jako liczby naturalne. Ograniczenie kwantyfikacji przy interpretacji aksjomatów arytmetyki w ZFC do specjalnej klasy zbiorów, okazuje siȩ konieczne. Nie oczekujmy bowiem, że interpretacja aksjomatu indukcji, w której kwantyfikatory odnosz a siȩ do wszelkich zbiorów oraz interpretacjami 0 i s s a odpowiednio, S nawet przy jakimś rozs adnym ograniczeniu klasy formu l ψ(x), teraz bȩd acych formu lami jȩzyka ZFC okaże siȩ twierdzeniem teorii ZFC. Gdyby tak by lo, to każde twierdzenie arytmetyki elementarnej, wed lug tejże interpretacji (której dziedzin a jest klasa wszystkich zbiorów), by loby twierdzeniem ZFC. Tak jednakże nie jest. Rozważmy na przyk lad tw.2 ( 1), po zinterpretowaniu w postaci: x(x = y(x = S(y))). Bynajmniej nie jest to twierdzenie teorii mnogości. Weźmy
10 4. Operacja nastȩpnika w teorii ZFC 84 bowiem pod uwagȩ zbiór {{ }}. Wówczas prawd a jest, że {{ }} y({{ }} = S(y)). Gdyby bowiem dla pewnego zbioru y : {{ }} = S(y), to mielibyśmy: y {{ }}, zatem y = { }; lecz wówczas S(y) = y {y} = { } {{ }} = {, { }} i ostatecznie {{ }} = {, { }}, co jest absurdalne. To, że kluczow a rolȩ w interpretacji arytmetyki elementarnej odgrywa aksjomat indukcji jest widoczne na podstawie faktu, iż same Twierdzenia 2 oraz 3 nie s a wystarczaj ace do uznania, że jedyn a możliw a interpretacj a symbolu s z jȩzyka arytmetyki jest operacja nastȩpnika S. Gdyby na przyk lad interpretować ów symbol jako operacjȩ zbioru potȩgowego P (oraz 0 jako zbiór ), z aksjomatów (AN1), (AN2) otrzymujemy twierdzenia teorii ZFC: x(p (x) ) (Wniosek z Tw.7, Rozdzia l 1), x y(p (x) = P (y) x = y) (na mocy Twierdzeń 1, 8, 2 z Rozdzia lu 1). W nastȩpnym paragrafie dokonamy interpretacji aksjomatu indukcji, w której symbol s reprezentuje operacjȩ S, uzyskuj ac z tego aksjomatu twierdzenie ZFC. Obecnie skupimy uwagȩ na innych w lasnościach operacji nastȩpnika, choć nie wykorzystywanych przy interpretowaniu arytmetyki elementarnej w ZFC, to jednak użytecznych później, w teorii liczb porz adkowych von Neumanna (Rozdzia ly 8 i 9). Okazuje siȩ, że w tej teorii operacja sumy pe lni równie ważn a funkcjȩ, w szczególności zachowuje siȩ dla niektórych zbiorów w pewnym sensie dualnie do operacji nastȩpnika. Podamy wiȩc obecnie pewne zwi azki miȩdzy tymi dwiema operacjami. Twierdzenie 4: S(x) = x x. Dowód: ( ): Niech y S(x). Zatem y z dla pewnego z x {x}. Niech z x. Wówczas y x. Gdy zaś z = x, to y x. W obu przypadkach y x x. ( ): Za lóżmy, że y x x. Niech y x. Ponieważ x S(x), wiȩc y S(x). Niech y x. Wówczas y z dla pewnego z x. St ad z S(x), zatem y S(x). Twierdzenie 5: x = x wtw x S( x). Dowód: ( ): Za lóżmy, że x = x. Wówczas natychmiast x S( x), bo x S(x). ( ): Za lóżmy, że x S( x). Wówczas x x { x}. Gdyby x x, to x y dla pewnego y x, co jest niemożliwe (Wniosek z Tw.10, Rozdzia l 2). Zatem x { x}, tzn. x = x. Twierdzenie 6: x x wtw S(x) S( x). Dowód: ( ): Za lóżmy, że x x. Wówczas x x = x (Tw.13(3), Rozdzia l 1). Zatem na mocy Tw.4, S(x) = x, a ponieważ x S( x), wiȩc S(x) S( x).
11 5. Interpretacja arytmetyki elementarnej w teorii ZFC 85 ( ): Za lóżmy, że S(x) S( x). Zatem wed lug Tw.4, x x S( x), tzn. x x x lub x x = x. Gdyby x x x, to skoro x x x, wiȩc by loby: x x x x, co jest niemożliwe (Wniosek z Tw.9, Rozdzia l 2). Zatem x x = x, co implikuje: x x. Twierdzenie 7: x x wtw S( x) S(x). Dowód: ( ): Za lóżmy, że x x. Wówczas { x} x, zaś x x x, zatem { x} x x. Oczywiście x x x. Ostatecznie, x { x} x x. St ad, na mocy Tw.4 oraz definicji nastȩpnika, S( x) S(x). ( ): Za lóżmy, że S( x) S(x). Wówczas, ponieważ x S( x), wiȩc x S(x), tzn. (Tw.4) x x x. Zatem x x lub x x. Lecz drugi z cz lonów tej alternatywy jest fa lszywy (Wniosek z Tw.9, Rozdzia l 2). Dlatego x x. Twierdzenie 8: Dla dowolnego zbioru x, jeżeli x = x, to x nie jest nastȩpnikiem żadnego zbioru, tzn. y(x S(y)). Dowód: Za lóżmy, że x = x oraz nie wprost, niech x = S(y) dla pewnego zbioru y. Wówczas x = S(y) = y y na mocy Tw.4. Zatem z za lożenia, x = y y. Lecz z za lożenia nie wprost, x = y {y}, sk ad y x. Wówczas y y y, co jest niemożliwe. Odwrotne twierdzenie w ogólności nie jest prawdziwe. Rozważmy na przyk lad x = {, { }, {{ }}}. Gdyby x = S(y) dla jakiegoś y, to y musia lby być elementem zbioru x. Lecz S( ) = { } = x, S({ }) = {, { }} = x, wreszcie S({{ }}) = {{ }, {{ }}} x. Zatem x nie jest nastȩpnikiem żadnego zbioru y. Natomiast x = {, { }} x. 5. Interpretacja arytmetyki elementarnej w teorii ZFC Dysponuj ac operacj a nastȩpnika jesteśmy w stanie zapisać aksjomat nieskończoności w krótszej postaci: (Ax ) x( x y(y x S(y) x)).
12 5. Interpretacja arytmetyki elementarnej w teorii ZFC 86 Zbiór, którego istnienie ów aksjomat stwierdza, nosi nazwȩ zbioru indukcyjnego: Definicja. Dla dowolnego zbioru x, x jest indukcyjny, gdy x oraz y(y x S(y) x). Zbiór jest wiȩc indukcyjny, gdy jego elementem jest zbiór oraz gdy jest on zamkniȩty na operacjȩ nastȩpnika. W ten sposób uzyskujemy najprostsz a postać aksjomatu nieskończoności: (Ax ) x(x jest indukcyjny). Pojȩcie zbioru indukcyjnego umożliwia wyodrȩbnienie spośród zbiorów tych, których mnogość stanowić bȩdzie dziedzinȩ modelu dla aksjomatów arytmetyki elementarnej. Zbiory te nazwiemy wiȩc liczbami naturalnymi. W laśnie do tych zbiorów ograniczymy kwantyfikacjȩ interpretuj ac aksjomaty arytmetyki elementarnej. Definicja. Dla dowolnego zbioru x, x jest liczb a naturaln a, gdy y(y jest indukcyjny x y) (zbiór jest liczb a naturaln a, gdy jest elementem każdego zbioru indukcyjnego). Bezpośrednio z definicji liczby naturalnej oraz zbioru indukcyjnego otrzymujemy: Twierdzenie 9: Zbiór jest liczb a naturaln a. Mnogość liczb naturalnych jest zamkniȩta na operacjȩ nastȩpnika: Twierdzenie 10: x(x jest liczb a naturaln a S(x) jest liczb a naturaln a). Dowód: Za lóżmy, że zbiór x jest liczb a naturaln a, tzn. y(y jest indukcyjny x y). Aby wykazać, że S(x) jest liczb a naturaln a rozważmy dowolny zbiór indukcyjny y. Wówczas z za lożenia, x y. Zatem z definicji zbioru indukcyjnego mamy: S(x) y, co wobec dowolności wyboru zbioru y dowodzi, że S(x) jest liczb a naturaln a. Wykażemy teraz, że owa mnogość liczb naturalnych jest po prostu zbiorem (tzn. obiektem, którego istnienie jest dowodliwe w ZFC). W tym celu rozważmy w aksjomacie podzbiorów formu lȩ φ(x) postaci: x jest liczb a naturaln a. Oznaczmy symbolem A jakikolwiek ze zbiorów, których istnienie stwierdza aksjomat nieskończoności, uzyskuj ac prawdziwe zdanie: A jest indukcyjny. Wówczas natychmiast z definicji liczby naturalnej otrzymujemy prawdziwy poprzednik implikacji (AxZ) φ, x(x jest liczb a naturaln a x A), zatem również prawdziwy nastȩpnik w aksjomacie podzbiorów,
13 5. Interpretacja arytmetyki elementarnej w teorii ZFC 87 y x(x y x jest liczb a naturaln a), co w konsekwencji prowadzi do definicji zbioru liczb naturalnych N: Definicja. naturaln a}. x(x N x jest liczb a naturaln a) lub N = {x : x jest liczb a Jako bezpośredni wniosek z Tw.9 oraz Tw.10 uzyskujemy: Twierdzenie 11: N jest indukcyjny. Dziȩki Tw.11, symbole funkcyjne 0, s wystȩpuj ace w aksjomatach arytmetyki elementarnej możemy interpretować jako odpowiednio, zbiór oraz operacja nastȩpnika S (skoro N oraz zbiór N jest zamkniȩty na tȩ operacjȩ). Jest oczywiste, że na podstawie Tw.2 oraz Tw.3 mamy: x N (S(x) ), oraz x, y N (S(x) = S(y) x = y), czyli dwa pierwsze aksjomaty arytmetyki elementarnej s a prawdziwe w dziedzinie N (s a one przecież prawdziwe w dziedzinie wszystkich zbiorów). Aby wykazać, że aksjomat indukcji jest również prawdziwy w dziedzinie N dowiedźmy najpierw, że zbiór liczb naturalnych jest najmniejszym (wzglȩdem inkluzji) zbiorem indukcyjnym. Twierdzenie 12: x(x jest indukcyjny N x). Dowód: Za lóżmy, że x jest indukcyjny. Niech y N. Skoro wiȩc y jest liczb a naturaln a, to y x, co dowodzi inkluzji: N x. Interpretacja aksjomatu indukcji ma postać: Twierdzenie 13: Dla dowolnej formu ly ψ(x) jȩzyka teorii ZFC, [ψ( ) x N(ψ(x) ψ(s(x)))] x N(ψ(x)). Dowód: Za lóżmy, że (1) ψ( ) oraz (2) x N(ψ(x) ψ(s(x))). Wstawmy w aksjomacie podzbiorów (AxZ) φ jako φ(x) formu lȩ x N ψ(x) uzyskuj ac poprzednik tego aksjomatu w postaci: x((x N ψ(x)) x N). Oderwijmy wiȩc nastȩpnik: y x(x y (x N ψ(x))). St ad dla pewnego zbioru B, (3) x(x B (x N ψ(x))). Wykażmy, że B jest zbiorem indukcyjnym. Ponieważ N, wiȩc na mocy (1) i (3), B. Za lóżmy, że y B. Wówczas z (3), y N oraz ψ(y). Zatem
14 5. Interpretacja arytmetyki elementarnej w teorii ZFC 88 z za lożenia (2), ψ(s(y)). Ponadto, skoro y N, wiȩc S(y) N (Tw.10). Ostatecznie z (3), S(y) B, czyli B jest indukcyjny. Zatem na podstawie Tw.12 otrzymujemy: (4) N B. Aby wiȩc dowieść, że x N(ψ(x)) rozważmy dowolny x N. Wówczas x B na mocy (4) czyli, bior ac pod uwagȩ (3), zachodzi ψ(x). Warto podkreślić, że w interpretacji aksjomatu indukcji jak a jest Tw.13, nie ma żadnych ograniczeń dla formu l ψ(x). Zastosujmy Tw.13 w przypadku, gdy formu la ψ(x) nie ma swojego odpowiednika w jȩzyku arytmetyki elementarnej: Twierdzenie 14: Każdy element dowolnej liczby naturalnej jest liczb a naturaln a, tzn. x N y(y x y N). Dowód: Po lóżmy ψ(x) := y(y x y N). Wówczas dowodzone twierdzenie jest nastȩpnikiem implikacji Tw.13 (aksjomatu indukcji). Udowodnijmy wiȩc poprzednik. Formu la ψ( ), a wiȩc formu la postaci: y(y y N) jest naturalnie prawdziwa. Weźmy dowolne x N oraz przyjmijmy za lożenie indukcyjne, że ψ(x), tzn. y(y x y N). W celu wykazania, że prawd a jest ψ(s(x)), tzn. formu la postaci: y(y S(x) y N), weźmy dowolny y i za lóżmy, że y S(x). Wówczas y x lub y = x. Gdy y x, to z za lożenia indukcyjnego mamy: y N, gdy zaś y = x, to oczywiście y N (bo x N).
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoRozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej
Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej 1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe Oto cztery pierwsze liczby naturalne zapisane wed lug różnych czterech notacji w porz adku od najmniejszej do najwiȩkszej:,
Bardziej szczegółowoRozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne
Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Relacje binarne
Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla
Bardziej szczegółowoLOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Liczby kardynalne
Rozdzia l 11. Liczby kardynalne 1. Równoliczność zbiorów Definicja. Dla dowolnych zbiorów x, y : x jest równoliczny z y, gdy istnieje funkcja f : x y, która jest bijekcj a. Zauważmy, że funkcja f : y,
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoRozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat
Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat 1. Zbiory czȩściowo uporz adkowane Definicja. Relacjȩ binarn a określon a na zbiorze A nazywamy relacj a czȩściowo porz adkuj ac a, gdy jest zwrotna, antysymetryczna
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?
Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące
Bardziej szczegółowoLogika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas
Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Ćwiczenie 1. (Zad. L. Newelskiego) Niech p oznacza zdanie Ala je, zaś q zdanie As wyje. Zapisz jako formu ly rachunku zdań nastȩpuj ace zdania: 1.1.
Bardziej szczegółowo25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1. P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Logika Hoare a
25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Logika Hoare a Rozważamy najprostszy model imperatywnego jezyka programowania z jednym typem danych. Wartości tego
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowoRachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoP. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF
29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoPrzykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoRezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoSzymon G l ab. Struktury losowe II Graf losowy. Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka
Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka Graf losowy jako granica Fraisse Przez K graf oznaczmy rodzinȩ wszystkich skończonych grafów (np. na N). Niech G bȩdzie granic a Fraisse rodziny K graf. Strukturȩ
Bardziej szczegółowoOSOBNO ANALITYCZNYCH
Uniwersytet Jagielloński Instytut Matematyki Zbigniew B locki ZBIORY OSOBLIWOŚCI FUNKCJI OSOBNO ANALITYCZNYCH Praca magisterska Promotor: Prof. dr hab. Józef Siciak Kraków 99 .Wstȩp. Jeśli Ω jest zbiorem
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoT O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.
T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoNp. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Bardziej szczegółowoWyk lad 5. Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu. 1. Granice niew laściwe
Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Granice niew laściwe Definicja 1 Ci ag (x n ) d aży do (jest rozbieżny do) + jeśli c R N n > N x n > c a do
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowoLiczby naturalne i ca lkowite
Chapter 1 Liczby naturalne i ca lkowite Koncepcja liczb naturalnych i proste operacje arytmetyczne by ly znane już od oko lo 50000 tysiȩcy lat temu. To wiemy na podstawie archeologicznych i historycznych
Bardziej szczegółowoLiczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza. Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 Liczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza 2 1 0 1 2 3 x Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza MATEMATYKA
Bardziej szczegółowoTomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011
Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska 50-370 Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. Wyk lady 4 i 5: Przestrzenie unitarne i Hilberta (rzeczywiste
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 1 0 1 3 Oś liczbowa. Liczby ca lkowite x MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 018 1
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Łosia o ultraprodukcie
Twierdzenie Łosia o ultraprodukcie Stanisław Dercz 2010.03.22 Streszczenie Prezentujemy ciekawe twierdzenie teorii modeli, umożliwiające budowanie modeli teorii pierwszego rzędu. Wprowadzamy jedynie konieczny
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017
Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu
Bardziej szczegółowoWykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (4)
Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA REPREZENTACJA LICZB W KOMPUTERZE
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 B l ad bezwzglȩdny zaokr aglenia liczby ɛ = fl() B l ad wzglȩdny zaokr aglenia liczby 0 δ = fl() B l ad procentowy zaokr aglenia liczby 0
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowo0.1 Sposȯb rozk ladu liczb na czynniki pierwsze
1 Temat 5: Liczby pierwsze Zacznijmy od definicji liczb pierwszych Definition 0.1 Liczbȩ naturaln a p > 1 nazywamy liczb a pierwsz a, jeżeli ma dok ladnie dwa dzielniki, to jest liczbȩ 1 i sam a siebie
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoPierwiastki arytmetyczne n a
Chapter 1 Pierwiastki arytmetyczne n a Operacja wyci aganie pierwiastka stopnia n z liczby a jest odwrotn a operacj a do potȩgowania, jeżeli operacja odwrotna jest wykonalna w liczbach rzeczywistych. Zacznijmy
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowow = w i ξ i. (1) i=1 w 1 w 2 :
S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 11.III.2005 1 I. MACIERZ LINIOWEGO ODWZOROWANIA PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Wyobraźmy sobie, że przestrzeń wektorowa W jest zbudowana z kombinacji liniowych n liniowo
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoSYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:
SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],
Bardziej szczegółowoLogika i teoria mnogości Wykład 14
Teoria rekursji Teoria rekursji to dział logiki matematycznej zapoczątkowany w latach trzydziestych XX w. Inicjatorzy tej dziedziny to: Alan Turing i Stephen Kleene. Teoria rekursji bada obiekty (np. funkcje,
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoProstota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem.
Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem. 1 2 0. Twierdzenie Schura Zassenhausa W tym rozdziale zajmiemy sie bardzo użytecznym twierdzeniem,
Bardziej szczegółowovf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R
Bardziej szczegółowoLOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoPochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie.
Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj 2013 1 / 18 Zanim przejdziemy do omawiania pochodnych funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Bardziej szczegółowoci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x
ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1 Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji f n : [, [ x nx + x nx + 1, Rozwi azanie: Mówi siȩ, że ci ag funkcji f n zd aży punktowo
Bardziej szczegółowo