Rozdzia l 6. Wstȩp do statystyki matematycznej. 6.1 Cecha populacji generalnej
|
|
- Katarzyna Brzozowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdzia l 6 Wstȩp do statystyki matematycznej 6.1 Cecha populacji generalnej W rozdziale tym zaprezentujemy metodȩ probabilistycznego opisu zaobserwowanego zjawiska. W takim razie (patrz rozdzia l 2.4)zjawiskotobȩdziemy nazywali zjawiskiem losowym. Bȩdziemy zak ladali, że mamy do czynienia z pewn a mnogości a charakteryzuj ac a siȩtym,że jej wszystkie elementy posiadaj a tȩsam a interesuj ac a nasw lasność, któr a chcemy poznać. Zbiorowość tȩ dalej bȩdziemy nazywali populacj a generaln a, a badan a w lasność tej populacji cech a populacji generalnej ibȩdziemy j a oznaczali przez X. U podstaw metodologii poznania w lasności cechy X danej populacji generalnej leży proces próbkowania. Chodzi o to, że na ogó l populacja generalna jest bardzo liczna i nie ma możliwości, aby w lasności cechy X tej populacji można by by lo poznać, obserwuj ac ca l a populacjȩ. Wybiera siȩ wtedy jej reprezentacjȩ. W wyniku obserwacji elementów tej reprezentacji pozyskujemy tzw. materia l statystyczny. Proces ten dalej krótko bȩdziemy nazywali próbkowaniem, arepre- zentacjȩ populacji generalnej, na której przeprowadzamy próbkowanie, jej prób a. Jeśli przyjmiemy, że próba jest n elementowym podzbiorem populacji generalnej, to uzyskany w wyniku obserwacji tej próby materia l statystyczny możemy opisać wpostacjici agu (x 1...x n ), gdzie kolejne wyrazy x j opisuj a tȩsam aw lasność, awiȩc w lasność cechy X. Wdalszymci agu bȩdziemy zak ladali, że wartości x j s a wielkościami wymiernymi, a wiȩc liczbami rzeczywistymi. Zatem materia l statystyczny bȩdzie mia l postaćci agu liczbowego skończonego. Bȩdziemy go nazywali prób a cechy X z populacji generalnej. Maj ac już pobrany materia l statystyczny skonstruujemy odpowiadaj acy mu model probabilistyczny, a wiȩc w lasności cechy X opiszemy na tej podstawie w kategoriach teorii prawdopodobieństwa. Na gruncie tej teorii zostanie on zbadany. Pokażemy jak otrzymane wyniki odnosz ace siȩ tylko do pewnej podzbio-
2 148 Wstȩp do statystyki matematycznej rowości ca lej populacji generalnej (jej próby) bȩdzie można przenieść na ca la populacjȩ i jak takie uogólnienie należy rozumieć. Prześledźmy wprowadzone wyżej pojȩcia na nastȩpuj acym przyk ladzie: Przyk lad Próbujemy określić preferencje wyborcze obywateli danego państwa. Przynależność do populacji wyborców określa wtedy obowi azuj aca ordynacja wyborcza. Przyk lad naszego państwa pokazuje, że liczebność tej populacji może być ca lkiem spora (przesz lo 20 mln.). Ale nie tylko to stanowi problem. Zbiorowość ta zawsze jest bardzo zróżnicowana, co zwi azane jest z miejscem zamieszkania (jaki region, miasto, wieś itp.), wiekiem, wykonywanym zawodem, p lci a itd. Aby materia l statystyczny by l wiarygodny, należy ten podzia l i liczebność populacji generalnej uwzglȩdnić, wybieraj ac jej reprezentacjȩ. Powiedzmy wyraźnie, że to nie bȩdzie przedmiotem tego opracowania, aczkolwiek ta faza analizy bywa kluczowa. Z technicznego punktu widzenia, po wybraniu reprezentacji, materia l statystyczny pozyskuje siȩ technik a ankietowania. Również sama konstrukcja takiej ankiety nie bȩdzie przedmiotem naszej analizy. Wspominamy o tym tylko dlatego, aby Czytelnik lepiej móg l sobie wyobrazić proces,który próbujemy tutaj opisać. W efekcie otrzymamy próbȩ (x 1...x n ). Okazuje siȩ, że w efekcie zamodelowaniategoprocesuidodatkowychza lożeń natȩpróbȩ, stosuj ac metody statystyki matematycznej, bȩdzie można odpowiedzieć np. na nastȩpuj ace pytania: 1. najprawdopodobnie na kogo zag losuj a mieszkańcy danego województwa; 2. najprawdopodobnie na kogo zag losuj a ludziezwyższym wykszta lceniem; 3. najprawdopodobnie na kogo zag losuj a ludziepowyżej 55 roku życia; i na wiele innych podobnych.
3 6.2 Model probabilistyczny próby prostej Model probabilistyczny próby prostej Zaczniemy od nastȩpuj acego przyk ladu: Przyk lad Wyobraźmy sobie, że pewien zak lad produkuje w określonym cyklu czasowym (np. dziennym) pewn a partiȩtegosamegoproduktu.ca latapartia z za lożenia ma trafić do dystrybucji. Aby ustrzec siȩ przed wpadk a, firma zmuszona jest do przeprowadzania kontroli bież acej produkcji. Z powodu liczebności wyprodukowanej partii i braku czasu nie można t a kontrol a obj ać ca lej produkcji. W tym przypadku stosuje siȩ również metody probabilistyczne. Z ca lej partii, kieruj ac siȩ wielomawzglȩdami (np. zmianowym trybem pracy, godzinami pracy itd.), po skontrolowaniu tylko wybranych produktów, a wiȩc elementów próby, pozyskuje siȩ materia l statystyczny. Jego analiza na przyk ladzie skonstruowanego modelu probabilistycznego pozwala na uzyskanie np. odpowiedzi na nastȩpuj ace pytanie: jak czȩsto w ca lej populacji pojawiaj a siȩ detale wadliwe, o ile ocena przydatności produktu odbywa la siȩ wed lug najprostszego kryterium polegaj acego na ocenie w kategoriach dobry z ly. W przyk ladzie wspomnieliśmy, że materia l statystyczny musi spe lniać jeszcze jeden bardzo ważny wymóg, aby analiza statystyczna takiej próby mog la spe lnić swoje zadanie. Poniżej zajmiemy siȩ miȩdzy innymi i tym zagadnieniem. W pierwszej kolejności pokażemy, jak można zbudować model probabilistyczny pozwalaj acy na podstawie materia lu statystycznego opisać badan a cechȩ danej populacji generalnej. Zrobimy to w dwóch etapach. W etapie pierwszym przyjmiemy, że: 1. cecha X populacji generalnej jest zmienn a losow a o rozk ladzie F, który jest nieznany i próbujemy go poznać, 2. zmienna ta określona jest na przestrzeni zdarzeń Ω o,która reprezentuje populacjȩ generaln a zwi azan a z t a cech a, 3. σ-cia lo zdarzeń Σ o jest generowane przez rodzinȩ {ω Ω o : X(ω) <t, t R}, 4. funkcja prawdopodobieństwa P o jest taka, że F (x) =P o ({ω Ω o : X(ω) <x}), dla każdego x R.
4 150 Wstȩp do statystyki matematycznej Wtedy Ω o jako zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych przedstawia populacjȩ generaln a, a przyporz adkowanie Ω o ω X(ω) R opisuje proces obserwacji w lasności cechy X dla danego elementu ω wybranego z tej populacji. Natomiast n elementow a reprezentacjȩ tej populacji-jej próbȩ możemy traktować jako n elementowy podzbiór ca lej populacji Ω n = {ω o 1...ωo n }. Materia l statystyczny-próba z populacji generalnej, bȩdzie mia l postać (X(ω o1 )...X(ωon ) ). W fazie drugiej konstrukcji modelu probabilistycznego odpowiadajȩcego zjawisku obserwacji populacji generalnej na podstawie wyboru próby skorzystamy z wyników podrozdzia lu 2.3, gdzie by la mowa o prawdopodobieństwie produktowym. Powtarzaj ac tamt a konstrukcjȩ n 2 razy otrzymamy: Ω = Ω o...ω }{{} o, n razy zσcia lem produktowym Σ i z prawdopodobieństwem produktowym P. Na tak skonstruowanej przestrzeni probabilistycznej zdefiniujemy nastȩpuj acy ci ag zmiennych losowych: X j (ω) =X j (ω 1,...ω j,...ω n )=X(ω j ) dla każdego j {1...n}. Zachodzi nastȩpuj ace twierdzenie (patrz też Dodatek) Twierdzenie Niech zmienne X j bȩd a określone na przestrzeni probabilistycznej (Ω,Σ,P) jak wyżej. Wtedy: zmienne losowe X j maj a jednakowe rozk lady jak rozklad cechy X, zmienne te s a niezależne,
5 6.2 Model probabilistyczny próby prostej gdzie ω o =(ω o 1,...ωo n ). (X 1,...X n )(ω o )=(X(ω o 1 ),...X(ωo n )) = (x 1,...x n ), Możemy wreszcie doprecyzować pojȩcie próby, wcześniej. o czym wspominaliśmy Definicja Niech dany bȩdzie ci ag liczb (x 1...x n ) bȩd acy efektem obserwacji cechy X na przyk ladzie wybranej próby populacji generalnej. Powiemy, że ci ag ten jest prób a prost a, jeśli istnieje przestrzeń probabilistyczna i n zmiennych losowych niezależnych o tym samym rozk ladzie co badana cecha X, że zachodzi wzór (3) powyższego twierdzenia. Spróbujmy przybliżyć lepiej znaczenie tej definicji. Do tej pory w lasności tej samej cechy obserwowaliśmy na różnych elementach populacji generalnej wybieraj ac zniejpróbȩ. Tak naprawdȩ chodzi lo nam o coś wiȩcej, aby ta obserwacja poszczególnych elementów próby przebiega la w sposób niezależny. Na etapie pierwszym opisu tego modelu przet lumaczenie empirycznie rozumianej niezależności sprawia problemy. St ad w kroku drugim, bior ac za wzór model produktowy, tȩ niezależność dostaliśmy niejako za darmo. Zmieni la siȩ jednak interpretacja ca lego procesu pozyskiwania materia lu statystycznego. Bowiem fakt, że zaczȩliśmy operować ci agiem zmiennych losowych niezależnych o rozk ladzie tym samym co cecha X oznacza, że n krotnie powtarzaliśmy w sposób niezależny od siebie to samo doświadczenie (patrz też przyk lad 2.4.2). A zatem zwrot: z populacji generalnej w wyniku obserwacji jej cechy X pobrano materia l statystyczny w postaci próby prostej (x 1...x n ), w myśl powyższych ustaleń oznacza, że każda liczba x j jest zaobserwowan a wartości a zmiennej losowej X j, dla pewnego zdarzenia elementarnego ω o,gdzie zmienne te maj a tensamrozk lad co cecha X is a parami niezależne. Z drugiej strony możemy mówić o odwzorowaniu, które by lo przedmiotem naszych rozważań w rozdziale 4, czyli wektora losowego Ω ω (X 1,...X n )(ω), które w statystyce odgrywa kluczow a rolȩ. W takim razie przy tej interpretacji próba prosta jest wartości a wektora losowego o sk ladowych bȩd acych niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozk ladzie co cecha X.
6 152 Wstȩp do statystyki matematycznej Przyk lad Należy ocenić partie produktu finalnego pod k atem jego wadliwości. Z teoretycznego punktu widzenia cecha X ma rozk lad dwupunktowy. Zak ladaj ac, że obserwacja dobrego produktu zwraca wartość 1,awadliwego0, dostaniemy P ({ω Ω : X(ω) =1}) =p, P ({ω Ω : X(ω) =0}) =1 p. Zatem ocenȩ można sprowadzić doprostegopytania: jakajestwartość liczbowa parametru p? Przypuśćmy, że dysponujemy n elementow a prób a prost a (x 1...x n ), gdzie x j {0, 1}. Istnieje wiȩc wektor losowy (X 1...X n ), taki że d(x j )=d(x), X j s a niezależne, ωo Ω (x 1...x n )=(X 1,...X n )(ω o ). Z drugiej strony, z Mocnego Prawa Wielkich Liczb wiadomo, że jeśli weźmiemy ci ag zmiennych losowych Y k = 1 k (Y Y k ), gdzie Y k maj a jednakowe rozk lady, s a niezależne i maj a drugie momenty, to Y k (ω) p, dla ω Ω 1 i P(Ω 1 )=1. W naszym przypadku, gdybyśmy wiedzieli, czy: 1. zdarzenie elementarne ω o określaj ace nasz a próbȩ prost a jest elementem zdarzenia Ω 1, 2. liczebność próby prostej jest dostatecznie duża, to moglibyśmy ustalić na tej podstawie nastȩpuj ace przybliżenie p 1 n (x x n ). Dalej spróbujemy udzielić odpowiedzi na postawione wyżej pytania.
7 6.3 Pojȩcie statystyki Pojȩcie statystyki Zmienne losowe Y k użyte w przyk ladzie stanowi a przyk lad tzw. statystyki. Definicja Każd a zmienn a losow a Z, która powstaje poprzez z lożenie wektora losowego (X 1...X k ), gdzie X j s a o tym samym rozk ladzie co cecha X zrzeczywist a funkcj a ci ag l a k zmiennych f statystyk a. (patrz Dodatek), bȩdziemy nazywali Mamy wiȩc Z(ω) =f((x 1 (ω)...x k (ω)) dla ω Ω. W przyk ladzie funkcja f określona jest wzorem f(u) = 1 k (u u k ), gdzie u =(u 1,...u k ). Przyjmijmy nastȩpuj ace oznaczenia: dla próby prostej (x 1...x n )=(X 1...X n )(ω o ) symbolem X n = 1 n (X X n ) oznaczymy statystykȩ zwan a średni a zpróby. Natomiast jej wartość dla zdarzenia elementarnego ω o x n = X n (ω o ) bȩdziemy nazywali średni a empiryczn azpróby. Wśród ważniejszych statystyk należy wymienić nastȩpuj ace: Definicja Niech (x 1...x n )=(X 1...X n )(ω o ) bȩdzie prób a prost a. 1. Momentem rzȩdu k 1 zpróby bȩdziemy nazywali statystykȩ M k = 1 n (Xk Xk n ). Zmomentemtymzwi azany jest moment empiryczny rzȩdu k m k = 1 n (xk x k n).
8 154 Wstȩp do statystyki matematycznej 2. Momentem centralnym rzȩdu k 1 zpróby bȩdziemy nazywali statystykȩ C k = 1 n n (X j M 1 ) k. j=1 Podobnie jak wyżej, dla momentu empirycznego mamy c k = 1 n n (x j m 1 ) k, j=1 aliczbȩ c k nazywamy empirycznym momentem centralnym rzȩdu k. Uwaga Zauważmy, że M 1 = X n. W dalszym ci agu moment centralny rzȩdu 2 bȩdziemy nazywali wariancj a zpróby ibȩdziemy j a oznaczali przez S 2. Z pewnego wzglȩdu bȩdziemy teżużywali modyfikacji wariancji, a mianowicie statystyki Ŝ 2 = n n 1 S2. Zauważmy, że: Fakt Niech cecha X ma wartość oczekiwan a m i wariancjȩ σ 2.Wtedy EX n = m, EŜ2 = σ 2. Na zakończenie tego podrozdzia lu wprowadzimy jeszcze dwie statystyki. Statystyki te zwi azane s a z dwoma bardzo ważnymi rozk ladami w teorii prawdopodobieństwa, o których do tej pory nie wspominaliśmy. Sta lo siȩ tak dlatego, że z lożoność definicji tych rozk ladów wykracza poza przewidziany zakres tego opracowania. Z drugiej strony, ponieważ rozk lady te s a stablicowane, możemy pozwolić sobie na te uproszczenia bez uszczerbku dla zrozumienia roli, jak a odgrywaj a. Zachodzi nastȩpuj ace twierdzenie Twierdzenie Niech cecha X ma rozk lad N (m, σ 2 ), (X 1...X n ) bȩdzie wektorem losowym z lożonym z niezależnych zmiennych losowych o rozk ladzie równym X. Wtedy:
9 6.3 Pojȩcie statystyki statystyka χ 2 n 1 = ns2 σ, 2 zwana statystyk a chi-kwadrat Pearsona ma rozk lad chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody, 2. statystyka t n 1 = X n n 1 S nazywana jest statystyk a Goseta i ma rozk lad t-studenta o n-1 stopniach swobody, 3. statystyka N = X n m n σ ma rozk lad typu N (0, 1) (patrz Twierdzenie 3.4.8). Uwaga Dowoln a zmienn a losow a o rozk ladzie chi-kwadrat o k stopniach swobody bȩdziemy oznaczali przez χ 2 k. Podobnie bȩdzie ze zmienn a losow a o rozk ladzie t-studenta, któr a oznaczymy przez t k. Oba powyższe rozk lady s a stablicowane. W tablicach rozk ladów mamy podane tzw. ich wartości krytyczne: 1. dla zmiennej χ 2 k P ({ω Ω : χ 2 k >χ2 α })=α, 2. dla zmiennej t k P ({ω Ω : t k >t α })=α, w obu przypadkach dla 1 k 30. Uwaga Dla k>30, z CTG wynika, że rozk lady obu statystyk: Pearsona i t-studenda dobrze przybliża standardowy rozk lad normalny. Zatem P ({ω Ω : χ 2 k <χ2 α }) Φ(χ2 α ) P ({ω Ω : t k <t}) Φ(t), t > 0.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowo166 Wstęp do statystyki matematycznej
166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA. Spis pojȩċ teoretycznych
1 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA Spis pojȩċ teoretycznych 1. Podstawowe pojȩcia: doświadczenie losowe, zdarzenie elementarne, zdarzenie losowe, przestrzeń zdarzeń elementarnych, zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowo166 Wstȩp do statystyki matematycznej
166 Wstȩp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwi azać nasz zasadniczy problem zwi azany z identyfikacj a cechy populacji generalnej
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
22 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowo6.4 Podstawowe metody statystyczne
156 Wstęp do statystyki matematycznej 6.4 Podstawowe metody statystyczne Spóbujemy teraz w dopuszczalnym uproszczeniu przedstawić istotę analizy statystycznej. W szczególności udzielimy odpowiedzi na postawione
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowo), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0
Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych
Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoBłędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby. Statystyka
Rozkłady statystyk z próby tatystyka Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających ten
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej
Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowo176 Wstȩp do statystyki matematycznej = 0, 346. uczelni zdaje wszystkie egzaminy w pierwszym terminie.
176 Wtȩp do tatytyki matematycznej trści wynika że H o : p 1 przeciwko hipotezie H 3 1: p< 1. Aby zweryfikować tȩ 3 hipotezȩ zatujemy tet dla frekwencji. Wtedy z ob 45 1 150 3 1 3 2 3 150 0 346. Tymczaem
Bardziej szczegółowo3.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady
Rozdzia l 3 Model probabilistyczny Ko lmogorowa 3.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady Przez model probabilistyczny Ko lmogorowa, zwany też przestrzeni a probabilistyczn a, bȩdziemy rozumieli nastȩpuj
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów rozkładu cechy
Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział
Bardziej szczegółowoESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW
ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI Szkic wykładu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 2 3 4 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przedziałem ufności nazywamy przedział losowy, o którym przypuszczamy
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoZmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Bardziej szczegółowoLOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Bardziej szczegółowoGdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).
PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem
Bardziej szczegółowo1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Bardziej szczegółowoNa A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoNa podstawie dokonanych obserwacji:
PODSTAWOWE PROBLEMY STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ Niech mamy próbkę X 1,..., X n oraz przestrzeń prób X n, i niech {X i } to niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie P θ P. Na podstawie obserwacji chcemy
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA wykład 5-6
TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy
Bardziej szczegółowoWykład 3 Hipotezy statystyczne
Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.
LABORATORIUM 4 1. Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz. I) WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE (STATISTICAL INFERENCE) Populacja
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 8 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 29 listopada 2015 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoWIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoTESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa.
TESTY NIEPARAMETRYCZNE 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. Standardowe testy równości średnich wymagają aby badane zmienne losowe
Bardziej szczegółowo3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z Populacja i próba
3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z 12.03.2007 Populacja i próba Populacja- zbiorowość skończona lub nieskończona, w stosunku do której mają być formułowane
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas
TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
19 kwietnia 2011 Testy dla dwóch grup 1 Analiza danych dla dwóch grup: test t-studenta dla dwóch grup sparowanych; test t-studenta dla dwóch grup niezależnych (jednakowe wariancje) test Z dla dwóch grup
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Bardziej szczegółowoEstymacja punktowa i przedziałowa
Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.
Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ
Bardziej szczegółowoWykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war
Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną wariancją Wrocław, 25 października 2017r Statystyki próbkowe - Przypomnienie Niech X = (X 1, X 2,... X n ) będzie n elementowym wektorem losowym.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VIII: Przestrzenie statystyczne. Estymatory 1 grudnia 2014 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji r(x, Z) = 0, 986 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji
Bardziej szczegółowoDokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby
Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych
Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
Bardziej szczegółowoRozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio
Bardziej szczegółowoProcesy Stochastyczne - Zestaw 1
Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.
TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry
Bardziej szczegółowoPROBABILISTYKA - test numery zestawów 1,3,5,7,9,...,41
1 numery zestawów 1,3,5,7,9,...,41 (a) Jeśli P (A) = 0.5 oraz P (B) = 0.3 oraz B A, to P (B \ A) = 0.2. (b) Przy jednokrotnym rzucie kostk a prawdopodobieństwo, że wypadnie szóstka pod warunkiem, że wypad
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Temat Testowanie hipotez statystycznych Kody znaków: Ŝółte wyróŝnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Idea i pojęcia teorii testowania hipotez
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 13. Elementy statystki matematycznej I Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 17.01.2019 1 / 30 Zagadnienia statystki Przeprowadzamy
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Bardziej szczegółowoNiesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II
WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności
Statystyka matematyczna. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich w dwóch populacjach 2 3 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Oznaczenia
Matematyka dyskretna Oznaczenia Andrzej Szepietowski W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia. oznacza kwantyfikator ogólny dla każdego. oznacza kwantyfikator szczegó lowy istnieje. 1 Sumy i iloczyny
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA
Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
Bardziej szczegółowoWydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03
Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, 18 września 2013 Biomatematyka
Biomatematyka Liczebność populacji pewnego gatunku jest modelowana przez równanie różnicowe w którym N k stałymi. rn 2 n N n+1 =, A+Nn 2 oznacza liczebność populacji w k tej generacji, a r i A są dodatnimi
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoStatystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28
Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych
Bardziej szczegółowozbieranie porządkowanie i prezentacja (tabele, wykresy) analiza interpretacja (wnioskowanie statystyczne)
STATYSTYKA zbieranie porządkowanie i prezentacja (tabele, wykresy) analiza interpretacja (wnioskowanie statystyczne) DANYCH STATYSTYKA MATEMATYCZNA analiza i interpretacja danych przy wykorzystaniu metod
Bardziej szczegółowo