EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

Transkrypt

1 EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 05

2 Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. Zadanie. (0 ) Wymagania ogólne Wymagania szczegółowe Poprawna odp. ( p.). Wykorzystanie. Liczby rzeczywiste. Zdający posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej (.8). Zadanie. (0 ). Wykorzystanie. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym (.6). Zadanie. (0 ). Modelowanie matematyczne.. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (.9). Zadanie 4. (0 ). Wykorzystanie. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa a± b wzorów skróconego mnożenia na ( ) oraz a b (.). Zadanie 5. (0 ). Wykorzystanie. Równania i nierówności. Zdający wykorzystuje interpretację geometryczną układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi (.). Zadanie 6. (0 ). Wykorzystanie i tworzenie informacji.. Równania i nierówności. Zdający korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu x x+ x 7 = 0 (.7). równań typu ( )( ) Strona z 7

3 Zadanie 7. (0 ). Wykorzystanie. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych lub x+ x kwadratowych, np. =, + = x (.8). x+ x Zadanie 8. (0 ). Wykorzystanie 4. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu własności funkcji (4.). Zadanie 9. (0 ). Wykorzystanie 4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie (4.6). Zadanie 0. (0 ). Wykorzystanie i tworzenie informacji. 4. Funkcje. Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej (4.7). Zadanie. (0 ). Wykorzystanie 4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie (4.9). Zadanie. (0 ). Wykorzystanie. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą (.). Zadanie. (0 ). Modelowanie matematyczne. 5. iągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (5.4). Strona z 7

4 Zadanie 4. (0 ). Wykorzystanie 6. Trygonometria. Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 do 80 (6.). Zadanie 5. (0 ) V. Użycie i tworzenie strategii. 6. Trygonometria. Zdający stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi: sin α + cos α =, sinα tgα cosα = oraz sin ( 90 α) = cosα (6.4). Zadanie 6. (0 ) V. Użycie i tworzenie strategii. 7. Planimetria. Zdający stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym (7.). Zadanie 7. (0 ). Modelowanie matematyczne. 7. Planimetria. Zdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi (7.4). Zadanie 8. (0 ). Wykorzystanie 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych (8.). Zadanie 9. (0 ). Wykorzystanie 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych (8.). Strona 4 z 7

5 Zadanie 0. (0 ). Wykorzystanie 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka i znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych w symetrii środkowej względem początku układu (8.5, 8.7). Zadanie. (0 ). Wykorzystanie i tworzenie informacji. 9. Stereometria. Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami i płaszczyznami (9.). Zadanie. (0 ). Wykorzystanie 9. Stereometria. Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości (9.6). Zadanie. (0 ). Wykorzystanie 9. Stereometria. Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości (9.6). Zadanie 4. (0 ). Wykorzystanie 0. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza średnią ważoną i odchylenie standardowe zestawu danych (0.). Zadanie 5. (0 ). Wykorzystanie 0. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa (0.). Strona 5 z 7

6 Zadanie 6. (0 ) Rozwiąż nierówność x 4x > ( x + )( x ).. Wykorzystanie. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą (.5). Rozwiązanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap, wyznaczenie pierwiastków trójmianu, może być realizowany na sposoby: sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu) Zapisujemy nierówność w postaci x 5x+ 6> 0 i znajdujemy pierwiastki trójmianu x 5x+ 6 obliczamy wyróżnik tego trójmianu: Δ = =, stąd x 5 = = oraz x 5 = + = stosujemy wzory Viète a: x x = 6 oraz x + x = 5, stąd x = oraz x = podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową trójmianu, lub zaznaczając je na wykresie (wystarczy szkic wykresu, oś liczbowa itp.): x =, x = lub ( x )[ x ( x + ) ] lub ( x )( x ) lub y x - sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu) Wyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego x 5x + 6 i zapisujemy nierówność w postaci, np. ( ) 5 4 x > 0, a następnie przekształcamy nierówność tak, aby jej lewa strona była zapisana w postaci iloczynowej ( x 5 5 ) ( x ) + > 0, ( x 6 4 )( x ) > 0, przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności wartości bezwzględnej ( ) 5 4 x >, Strona 6 z 7

7 x 5 >. rugi etap rozwiązania: Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: (, ) (, + ) lub (, ) (, + ) x. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... p. gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np. o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x =, x = i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f ( x) = x 5x + 6 i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, o rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. ( x )( x ) i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, o zapisze nierówność x 5 > i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np. o popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności, o błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète a, np.: x 5 + x = i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności, o błędnie zapisze nierówność, np. x + 5 < i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności. Zdający otrzymuje... p. gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: (, ) (, + ) lub x (, ) (, + ) lub ( x < lub x > ), sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x<, x>, poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. Uwagi. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x bez stosownego założenia, to otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x, rozważając dwa przypadki x > 0 oraz x < 0, rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków, ale nie rozważy przypadku x = 0, to otrzymuje punkt. Strona 7 z 7

8 Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki. kceptujemy zapis przedziału nieuwzględniający porządku liczb na osi liczbowej, np.: (, ).. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x =, x = i zapisze, np. (, ) (, + ), popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to otrzymuje punkty. Zadanie 7. (0 ) Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x i dla dowolnej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 4x 8xy+ 5y 0. V. Rozumowanie i argumentacja.. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na ( ) a± b oraz a b (.). sposób rozwiązania Nierówność 4x 8xy+ 5y 0 przekształcamy w sposób równoważny y + 4x 8xy+ 4y 0, ( ) y x y + 0. Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y, gdyż kwadrat każdej liczby jest nieujemny i suma kwadratów liczb nieujemnych również jest nieujemna. To kończy dowód. Schemat oceniania sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze nierówność w postaci równoważnej ( ) y + x y 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy przeprowadzi pełny dowód. sposób rozwiązania Nierówność 4x 8xy+ 5y 0 możemy potraktować jak nierówność kwadratową z niewiadomą x lub analogicznie z niewiadomą y. Wyróżnik trójmianu stojącego po lewej stronie nierówności jest równy ( ) ( ) Δ= 8y 4 4 5y = 6y 0. Stąd i z faktu, że współczynnik przy x trójmianu f ( x) = 4x 8xy+ 5y jest dodatni wynika, że trójmian ten przyjmuje tylko wartości nieujemne. To kończy dowód. Schemat oceniania sposobu Zdający otrzymuje... p. gdy wyznaczy wyróżnik trójmianu f ( x) = 4x 8xy+ 5y : Δ= 6y i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Strona 8 z 7

9 Zdający otrzymuje... p. gdy wyznaczy wyróżnik trójmianu f ( x) = 4x 8xy+ 5y, zapisze, że jest on niedodatni i wyciągnie wniosek, że trójmian przyjmuje tylko wartości nieujemne. sposób rozwiązania la dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność wynika, że prawdziwa jest nierówność 4x + 4y 8xy, czyli 4x 8xy+ 4y 0. Zatem, dla dowolnych liczb x, y mamy 4x 8xy+ 5y 4x 8xy+ 4y 0. To kończy dowód. x y xy +. Stąd Schemat oceniania sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwe są nierówności 4x 8xy + 5y 4x 8xy + 4y oraz 4x + 4y 8xy (lub x + y xy). Zdający otrzymuje... p. gdy przeprowadzi pełny dowód. V sposób rozwiązania Gdy co najmniej jedna z liczb x, y jest równa 0, to nierówność 4x 8xy+ 5y 0 jest prawdziwa, gdyż suma trzech liczb, z których co najmniej dwie są równe 0, a trzecia nieujemna, jest nieujemna. Gdy liczby x, y są przeciwnych znaków, to xy < 0, więc 8xy > 0. Zatem nierówność 4x 8xy+ 5y 0 jest prawdziwa, gdyż lewa jej strona jest sumą trzech liczb dodatnich. Pozostaje wykazać prawdziwość nierówności w przypadku, gdy liczby x, y są tego samego znaku. Zauważmy najpierw, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność ( x y) 5 0, czyli 4x 4 5xy+ 5y 0. Wykażemy teraz prawdziwość nierówności 4x 8xy + 5y 4x 4 5xy + 5y, równoważnie 8xy 4 5xy, 5 xy xy. Skoro x i y są tego samego znaku, to xy > 0, więc dzieląc obie strony nierówności przez xy, otrzymujemy nierówność równoważną 5, co jest prawdą. To kończy dowód. Schemat oceniania V sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy wykaże prawdziwość nierówności w przypadku, gdy co najmniej jedna z liczb x, y jest równa 0 oraz w przypadku, gdy liczby x, y są przeciwnych znaków, a w przypadku, gdy x, y są tego samego znaku zauważy, że prawdziwa jest nierówność ( ) x 5y 0. Strona 9 z 7

10 Zdający otrzymuje... p. gdy przeprowadzi pełny dowód. Uwaga Gdy zdający sprawdza jedynie prawdziwość nierówności dla konkretnych liczb x i y, to otrzymuje 0 punktów. Zadanie 8. (0 ) any jest kwadrat. Przekątne i przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków odpowiednio E i E. Punkty L i N leżą na przekątnej tak, że L = E i N = E (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu jest równy :. N M E K L V. Rozumowanie i argumentacja. G0. Figury płaskie. Zdający oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów. (G0.9). sposób rozwiązania N 6 d M 4 d E K L Przekątne w kwadracie są równe, więc = = d = a. Pole kwadratu jest równe P = a. zworokąt KLMN składa się z czterech trójkątów prostokątnych przystających do trójkąta KEN. Pole każdego z nich jest równe ( ) P= d d = d = a = a = a Zatem pole czworokąta KLMN jest równe a Strona 0 z 7

11 PKLMN 4 a a = =. Stąd P P KLMN a = =. a sposób rozwiązania N 4 d 4 6 d E M K L a Przekątne w kwadracie są równe, więc = = d = a. Pole kwadratu jest równe P = a. zworokąt KLMN składa się z dwóch trójkątów przystających do trójkąta KLN. Pole każdego z nich jest równe ( ) 4 P= d d = d = a = a = a Zatem pole czworokąta KLMN jest równe PKLMN = a = a. 6 Stąd P a KLMN = =. P a sposób rozwiązania N 6 d E d M K L a Przekątne w kwadracie są równe, więc = = d = a. Strona z 7

12 Pole kwadratu jest równe P = a. zworokąt KLMN składa się z dwóch trójkątów przystających do trójkąta KMN. Pole każdego z nich jest równe ( ) P= d d = d = a = a = a. 6 6 Zatem pole czworokąta KLMN jest równe PKLMN = a = a. 6 Stąd P a KLMN = =. P a V sposób rozwiązania Ponieważ przekątne w kwadracie są równe, więc E Wtedy = E. Niech E = E = 6x. K = KE = EM = M = x, N = L = x oraz NE = EL = 4x. Stąd KM = KE + EM = 6x oraz NL = NE + EL = 8x. Pole kwadratu jest równe P = Pole czworokąta KLMN jest równe PKLMN = KM NL = x x= x. Stąd PKLMN 4x = =. P 7x = = x x 7x. x N K x 4x E x M L Strona z 7

13 Schemat oceniania Zdający otrzymuje... p. gdy wyznaczy pole jednego z trójkątów: KLE, LME, MNE, NKE ( P= a ) gdy wyznaczy pole jednego z trójkątów: NLM, LNK ( P= 6 a ) gdy wyznaczy pole jednego z trójkątów: KMN, KLM ( P= 6 a ) gdy wyznaczy pole czworokąta KLMN w zależności od jego przekątnych, np. P KLMN = KM LN = 6x 8x = 4x i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy wykaże, że Uwagi P P KLMN =.. Jeżeli zdający przy wyznaczaniu pola kwadratu i pola czworokąta KLMN przyjmuje konkretne wartości liczbowe bez stosownego komentarza i rozwiązuje zadanie do końca, to otrzymuje punkt.. Jeżeli zdający przy wyznaczaniu pól trójkątów lub pól czworokątów o prostopadłych przekątnych pomija współczynnik, otrzymując poprawny stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu, to otrzymuje punkt.. Jeżeli zdający w swoim rozumowaniu wykorzystuje tezę, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów. Strona z 7

14 Zadanie 9. (0 ) Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej ( ) w przedziale 0, 4. f x = x 6x+. Wykorzystanie 4. Funkcje. Zdający wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym (4.). Rozwiązanie Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli o równaniu y = x 6x+ : x = 6 =. rgument x = należy do przedziału 0, 4, więc najmniejszą wartością w funkcji f w przedziale 0, 4 jest f ( ) przedziału 0, 4 : f ( 0) = oraz ( ) w f 4 = 5. = 6. Obliczamy wartości funkcji f na końcach Największą wartością jaką przyjmuje funkcja f w przedziale 0, 4 jest f ( 0) =. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli x w = i stwierdzi, że xw 0, 4, 0 f 4 = 5. obliczy wartości funkcji f na końcach przedziału 0, 4 : f ( ) = oraz ( ) Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze odpowiedź: najmniejsza wartość funkcji f w przedziale 0, 4 jest równa f ( ) = 6, a największa wartość funkcji w tym przedziale jest równa ( ) f 0 =. Uwagi. Jeżeli zdający obliczy jedynie trzy wartości funkcji: f ( 0) =, f ( ) = 6 i f ( 4) = 5 oraz sformułuje odpowiedź: największa wartość funkcji w przedziale 0, 4 jest równa, a najmniejsza wartość funkcji jest równa 6, to otrzymuje punkty.. Jeżeli zdający obliczy tylko współrzędne wierzchołka paraboli x w =, f ( ) = 6, ale nie zapisze, że xw 0, 4, to otrzymuje 0 punktów. Strona 4 z 7

15 Zadanie 0. (0 ) W układzie współrzędnych są dane punkty = ( 4, ), = ( 50,9) oś Ox w punkcie P. Oblicz pierwszą współrzędną punktu P.. Prosta przecina. Wykorzystanie. Równania i nierówności. Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. (8.). sposób rozwiązania Wyznaczamy równanie prostej 7 y = x+ lub x y+ 7= 0. Pierwsza współrzędna punktu P jest miejscem zerowym funkcji liniowej określonej wzorem 7 y = x+. Rozwiązujemy zatem równanie 7 x + = 0. Stąd x = 7. Schemat oceniania sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. 7 gdy wyznaczy równanie prostej, np. w postaci y = x+ i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy pierwszą współrzędną punktu P: x = 7. Uwagi. Jeżeli zdający przy wyznaczaniu równania prostej, popełni błąd rzeczowy, to otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający wyznaczy równanie prostej, popełniając błędy rachunkowe (np. zapisze ( 9 )( x 50) ( 50 4)( y 9) = 0 ) i konsekwentnie obliczy pierwszą współrzędną punktu P, to otrzymuje punkt. Strona 5 z 7

16 sposób rozwiązania Niech P = ( p,0) będzie punktem przecięcia prostej z osią Ox układu współrzędnych, a punkty i będą rzutami prostokątnymi punktów odpowiednio i na tę oś. y 9-4 P p 0 50 x -. Trójkąty P i P są podobne (oba są prostokątne, a ich kąty ostre przy wierzchołku P są równe). Zatem P P 50 p p ( 4) =, czyli =. 9 Stąd ( 50 p) = 9( p+ 4), 600 p= 9 p+ 87, p = 7, p = 7. Wtedy = ( 4,0) i = ( 50,0) Schemat oceniania sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze równanie, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna punktu P, np.: 50 p p ( 4) = i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. 9 Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy pierwszą współrzędną punktu P: p = 7. Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeżeli zdający obliczy pierwszą współrzędną punktu P, zapisując np. x = 7, ale popełni błąd 7,0 P = 0, 7, to otrzymuje punkty. formułując odpowiedź, np. P = ( ), ( ) Strona 6 z 7

17 Zadanie. (0 ) Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy 7 4, a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy, to otrzymamy. Wyznacz ten ułamek.. Modelowanie matematyczne. G7. Równania. Zdający za pomocą równań lub układów równań opisuje i rozwiązuje zadania osadzone w kontekście praktycznym, a także rozwiązuje układy równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi (G7.7, G7.6). sposób rozwiązania Niech x i y oznaczają odpowiednio licznik i mianownik szukanego ułamka nieskracalnego. Z treści zadania otrzymujemy układ równań x+ x 4 x + = oraz =, y+ x 7 y + 7 x = 4 y+ x oraz ( x + ) = y +, 4 x = y+ x oraz x + = y. Stąd 7 4( ) x= x+, 7x = 6x + 8, x = 8, więc y = 8 + = 7. Zatem szukany ułamek to 8. Jest to ułamek nieskracalny. 7 Schemat oceniania sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy x+ x 4 zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi, np.: x + = i = y+ x 7 y + 7 zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.: 4 ( ) x= x+. Zdający otrzymuje... p. gdy wyznaczy szukany ułamek: 8 7. sposób rozwiązania Niech x i y oznaczają odpowiednio licznik i mianownik szukanego ułamka nieskracalnego. Z treści zadania otrzymujemy równanie Strona 7 z 7

18 x y + + x x = x 4 7 y x =, x = y+ x, 7 4 x = y. Stąd x 8 y = 7., Otrzymany ułamek jest nieskracalny oraz Stąd wynika, że 8 7 to jedyny szukany ułamek. x + 9 = =. y + 8 Schemat oceniania sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze równanie z dwiema niewiadomymi: i na tym zakończy x+ y+ x = x 4 7 i doprowadzi je postaci x 8 y = 7 Zdający otrzymuje... p. x+ gdy zapisze równanie z dwiema niewiadomymi: x 4 x 8 =, doprowadzi je postaci y+ x 7 y = 7 x + 9 i sprawdzi, że ułamek ten spełnia drugi z warunków podanych w treści zadania: = =. y + 8 Uwagi:. Jeżeli zdający od razu poda ułamek 8 7 i nie sprawdzi, że =, to otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający od razu poda ułamek 8 7 i sprawdzi, że spełnia on drugi z warunków podanych w treści zadania =, to otrzymuje punkt. Strona 8 z 7

19 Zadanie. (0 4) Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. 5 V. Użycie i tworzenie strategii. 9. Stereometria. Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości (9.6). sposób rozwiązania Niech a oznacza długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa i niech α będzie kątem nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy (zobacz rysunek). 6 a a 4 4 Ponieważ cosα =, więc kąt α jest ostry oraz sinα =. Stąd wynika, że tgα = Z drugiej strony tgα =. Obliczamy długość krawędzi podstawy graniastosłupa. a Rozwiązujemy równanie: 6 4 =, skąd a = 6. a Szukane pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe: ( ) ( ) P = = = c α sposób rozwiązania Niech a oznacza długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa, α kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy oraz niech przekątna podstawy graniastosłupa ma długość x, a przekątna graniastosłupa 5x (zobacz rysunek). Strona 9 z 7

20 5x 6 α x a a Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie ( x) 6 ( 5x) + =, 9x + 56 = 5x, 56 = 6x, 6 = x. Stąd x = 4. Zatem przekątna podstawy graniastosłupa ma długość x = 4=. Obliczamy długość krawędzi podstawy graniastosłupa: a =, skąd a = 6. Szukane pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe: ( ) ( ) P = = = c Uwaga Możemy również zauważyć, że trójkąt prostokątny o kącie ostrym α takim, że cosα = jest 5 podobny do trójkąta pitagorejskiego o bokach długości, 4 i 5. Skala tego podobieństwa jest równa x = 6 4 = 4. W rezultacie szukane pole P c powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe x P m, gdzie P m to pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, którego przekątna ma długość 5, a przekątna podstawy długość. ługość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa =, więc P ( ) m = + 4 4= Zatem Pc 4 Pm 6( 9 4 ) 48( 8 ) = = + = +. Schemat oceniania i sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. Zdający: 4 zapisze, że tgα = zapisze równanie, z którego można obliczyć skalę x podobieństwa trójkąta o bokach długości, 4 i 5 do trójkąta o przyprostokątnej długości 6 leżącej naprzeciw kąta α, np. ( x) + 6 = ( 5x) Strona 0 z 7

21 poda skalę x podobieństwa trójkąta o bokach długości, 4 i 5 do trójkąta o przyprostokątnej długości 6 leżącej naprzeciw kąta α, x = 4 zaznaczy na rysunku kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy zapisze, że długość d przekątnej graniastosłupa jest równa 0 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający: obliczy długość e przekątnej podstawy tego graniastosłupa e = zapisze równanie, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy tego 5a graniastosłupa, np. 6 + ( a ) = ( ) a = 0 lub = a zapisze układ równań, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa, np. a d = 5 ( ) a + 6 = d gdzie d oznacza długość przekątnej tego graniastosłupa i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający obliczy długość krawędzi podstawy graniastosłupa: a = 6 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne... 4 p. Zdający obliczy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa: c 48( 8 ) P = +. Uwagi. kceptujemy sytuację, w której zdający wprowadza do rozwiązania poprawne przybliżenia dziesiętne liczb rzeczywistych.. Jeżeli zdający przyjmie miarę kąta nachylenia, która nie wynika z treści zadania (np. α = 0 ), i w rozwiązaniu z tego korzysta, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający błędnie zaznaczy na rysunku podany kąt i korzysta z tego kąta, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów. 4. Jeżeli zdający zapisze, że 5 sinα = i korzysta z tej równości, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej punkt. Strona z 7

22 5. Jeżeli zdający zapisze błędnie, że e= a, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej punkty. Zadanie. (0 4) Wśród 5 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne. Rodzaj kupionych Liczba osób biletów ulgowe 76 normalne 4 Uwaga! 7 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.. Modelowanie matematyczne. 0. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa (0.). sposób rozwiązania Oznaczmy: zdarzenie polegające na wylosowaniu osoby, która kupiła bilet ulgowy, zdarzenie polegające na wylosowaniu osoby, która kupiła bilet normalny, zdarzenie polegające na wylosowaniu osoby, która nie kupiła żadnego z wymienionych biletów. nkietę przeprowadzono wśród 5 osób, zatem Ω = 5. Ponieważ wśród badanych występują osoby, które kupiły bilety obu rodzajów, więc = +. Stąd = = 90. Zatem = Ω = 5, więc 5 5 P ( ) = = 5 Odp. Prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że losowo wybrana spośród 5 badanych osoba nie zakupiła żadnego z wymienionych biletów jest równe. Strona z 7

23 sposób rozwiązania Oznaczmy: zdarzenie polegające na wylosowaniu osoby, która nie kupiła żadnego biletu Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Ω = 5. Liczba wszystkich osób, które kupiły co najmniej jeden bilet jest równa = 90. Zatem = 5 90 = 5. Stąd 5 5 P ( ) = =. 5 Odp. Prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że losowo wybrana spośród 5 badanych osoba nie zakupiła żadnego z wymienionych biletów jest równe. Schemat oceniania i sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. Zdający: zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω = 5 obliczy, ile jest wszystkich osób, które kupiły tylko bilety ulgowe: 49 obliczy, ile jest wszystkich osób, które kupiły tylko bilety normalne: 4 obliczy, ile jest wszystkich osób, które kupiły co najmniej jeden bilet: 90. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający: zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz obliczy, ile jest wszystkich osób, które kupiły tylko bilety ulgowe: Ω = 5, 49 zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz obliczy, ile jest wszystkich osób, które kupiły tylko bilety normalne: Ω = 5, 4 zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz obliczy, ile jest wszystkich osób, które kupiły co najmniej jeden bilet: Ω = 5, 90 obliczy, ile jest wszystkich osób, które nie kupiły żadnego biletu: 5. Strona z 7

24 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz obliczy, ile jest wszystkich osób, które nie kupiły żadnego biletu: Ω = 5, 5. Rozwiązanie pełne... 4 p. Zdający obliczy prawdopodobieństwo wylosowania osoby, która nie kupiła żadnego biletu i zapisze je w postaci ułamka nieskracalnego: 5. Uwagi. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P ( ) > lub P ( ) < 0 rozwiązanie otrzymuje 0 punktów. 5. Jeżeli zdający poda tylko wynik końcowy P( ) = lub ( ), to za całe 5 P =, to otrzymuje punkt Jeżeli zdający obliczy P ( ) = i nie przedstawi wyniku w postaci ułamka 5 nieskracalnego, to otrzymuje punkty. 4. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu lub, i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje co najwyżej punkty. 5. Jeżeli zdający sporządził diagram, na którym zapisał liczby 49, 7, 4 i 5, i na tym zakończył, to otrzymuje punkty. Strona 4 z 7

25 Zadanie 4. (0 5) W nieskończonym ciągu arytmetycznym ( a n ), określonym dla n, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 87. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa. Wyrazy a, a, a k ciągu ( a ), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg trzywyrazowy ciąg geometryczny ( b n ). Oblicz k. n V. Użycie i tworzenie strategii. 5. iągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (5., 5.4). Rozwiązanie Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy równanie: a + 0r = 87, ( a + 5r) = 87, a + 5r = 7. Korzystamy z informacji o średniej arytmetycznej trzech wyrazów i zapisujemy równanie: a+ a+ r+ a+ 8r =, a + 0r =, 0 a + r =. Zapisujemy układ równań: a + 5r = 7 0 a + r =. Z pierwszego równania otrzymujemy a = 7 5r. Otrzymaną wartość a podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy równanie z niewiadomą r: 0 7 5r+ r =, r =. Obliczamy pierwszy wyraz: a =. Uwaga 7 W rozwiązaniu układu równań zdający może najpierw wyznaczyć niewiadomą r = a. 5 5 Otrzymaną wartość r podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy równanie z niewiadomą a : 0 7 a+ a =, 5 5 Strona 5 z 7

26 70 0 a+ a =, 5 5 a =, a =. la a = mamy r =. Wyznaczamy pozostałe wyrazy tworzące ciąg geometryczny: a = a + r = 8, ak = a + ( k ) r = + ( k ). Kolejne wyrazy a, a, a k ciągu geometrycznego spełniają warunek: a = a ak, stąd ( k ) 8 = +, = k, k =. la k = wyrazy a, a, a k w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp... p. Zdający wykorzysta wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisze równanie a + 0r z dwiema niewiadomymi a i r, np.: = 87 lub a + 5r = 7 średnią arytmetyczną pierwszego, trzeciego oraz dziewiątego wyrazu ciągu ( a n ) i zapisze równanie z dwiema niewiadomymi a i r, np.: a+ a+ r+ a+ 8r 0 = lub a + r = zależność między pierwszym, trzecim i k-tym wyrazem ciągu ( n ) z faktu, że ciąg ( ) a a a wynikającą a, a, a k jest geometryczny i zapisze np.: = ak. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. a + 5r = 7 Zdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi a i r, np.: 0. a + r = Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający rozwiąże układ równań a i r = oraz zapisze zależność między pierwszym, = trzecim i k-tym wyrazem ciągu ( ) n geometryczny, np.: = a ak. a a wynikającą z faktu, że ciąg ( ) a, a, a k jest Strona 6 z 7

27 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 p. Zdający zapisze równanie z niewiadomą k wynikające z faktu, że ciąg ( a, a, a k ) jest geometryczny oraz a k jest k-tym wyrazem ciągu arytmetycznego, np.: ( ( k ) ) 8 = + rozwiąże układ równań z błędem rachunkowym i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy k, o ile otrzymana wartość k jest całkowita dodatnia. Rozwiązanie pełne... 5 p. Zdający obliczy k =. Uwagi. Jeżeli zdający od razu poda a = i r = lub wypisze kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:, 5, 8,,, ale nie uzasadni, że jest to jedyny ciąg spełniający warunki zadania i na tym zakończy, to otrzymuje punkt.. Jeżeli zdający od razu poda a = i r = lub wypisze kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:, 5, 8,,, ale nie uzasadni, że jest to jedyny ciąg spełniający warunki zadania i wskaże lub obliczy k =, to otrzymuje punkty.. Jeżeli zdający od razu poda a = i r = lub wypisze kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:, 5, 8,,, ale nie uzasadni, że jest to jedyny ciąg spełniający warunki zadania i zapisze równanie z niewiadomą k i popełni błąd rachunkowy w trakcie jego rozwiązywania, to otrzymuje punkty. 4. Jeżeli zdający od razu przyjmie ciąg arytmetyczny nie spełniający warunków zadania (suma początkowych jego wyrazów jest różna od 87 lub średnia pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu jest różna od ), to za całe zadanie otrzymuje 0 punktów. Strona 7 z 7