Zbiór wszystkich punktów brzegowych D nazywamy brzegiem D (ozn. D). Mówimy, że zbiór D jest domknięty D D. Domknięciem zbioru D nazywamy D D (ozn. D).

Transkrypt

1 Defiicja: Metryką w biore licb espoloych aywamy fukcję d: C, w w R :. Kołem w C o środku w i promieiu r aywamy biór K, r = * C: < r + (otoceie puktu ). Mówimy, że biór D jest otwarty D r > : K(, r) D. Pukt D aywamy puktem wewętrym D r > : K(, r) D. Zbiór puktów wewętrych bioru D aywamy wętrem D (o. it D). Pukt aywamy puktem bregowym D r > : K, r D K, r D. Zbiór wsystkich puktów bregowych D aywamy bregiem D (o. D). Mówimy, że biór D jest domkięty D D. Domkięciem bioru D aywamy D D (o. D). Mówimy, że biór D jest spójy, w D K krywa: K = w K D. Mówimy, że biór D jest jedospójy D składa się jedej krywej kawałkami gładkiej. Obsarem w C aywamy biór D C, który jest otwarty i spójy. Mówimy, że biór D jest ograicoy C r> : D K, r. it D D

2 Defiicja: Fukcją espoloą aywamy każde pryporądkowaie, które elemetowi bioru C pryporądkowuje dokładie jede elemet bioru C (o. f: C C). D f = C: w C : f = w Niech f: D C i = x + iy D, f = w C. Cęścią recywistą fukcji f aywamy fukcję u(x,y) taką, że f = u x, y + iv x, y. Cęścią urojoą fukcji f aywamy fukcję v(x,y) taką, że f = u x, y + iv x, y. Prykłady:. f = = x + iy, f = x + iy = x y + ixy u x, y = x y, v x, y = xy. f = Re, ; = x + iy f = x x;;iy = x ;x;ixy x:iy; x;;iy x; :y u x, y = x ;x ;xy x; :y, v x, y = x; :y Postad wykładica licby C : = e iφ, φ arg e iφ = cosφ + isiφ

3 Defiicja: e = e x:iy = e x e iy = e x cosy + isiy, u x, y = e x cosy, v x, y = e x siy e iφ = cosφ isiφ = cos φ + isi φ = e ;iφ cosφ = eiφ :e iφ, siφ = eiφ ;e iφ i cos = ei :e i cos = e :e si = ei ;e i i si = e ;e Prykłady:. Rowiąż: e = :i 3 e x cosy + isiy = + i 3 e x cosy = e x siy = 3 tgy = 3 y = π + kπ : 3 Jeśli y = π + kπ 3 ex = ex = x = Jeśli y = π 3 + π + kπ ex = ex = x i π 3 + kπ : k Z Wiosek: Fukcja e ie jest różowartościowa.

4 . Rowiąż: e i; < e e i e ; < e =x+iy e i e ; < e, e i = e ;x;iy < e x ;y :ixy e ;x e ;iy < e x ;y e ixy, e ixy =, e ;iy = e ;x < e x ;y e ;x < e x ;y x < x y x + + y + < x + y > y < x + 3. Wykaż, że: si = i sih i Siusa ora siusa hiperbolicego apisujemy w postaci Eulera: e i ;e i = i ei ;e i / i i e i e ;i = e i e ;i - rówaie spełioe Wykaż, że: cos = cos x cosh y isi x sih(y) e i :e i = cos x ey :e y isi x ey ;e y / e i x:y + e ; x:iy = e y cos x isi x + e ;y cos x + isi x e ;y e ix + e y e ;ix = e y e ;ix + e ;y e ix - rówaie spełioe

5 Defiicja: l = l + i arg + kπ - fukcja wielokrota Recywiście: e l() = e l e i(arg :kπ) = e iarg e kπi = Niech f() będie fukcją wielokrotą. Gałęią jedoacą fukcji wielokrotej aywamy taką fukcję f k (), która jest fukcją jedokrotą i ciągłą. w = e l()w = e wl() Prykłady:. Rowiąż: si = 4 3 i e i e i i = 4 3 i e i e ;i = 8 3 w = e i w + 8 = / w w 3 w w =, = + 36 =, w = 3 w = 3 e i = 3 e i = 3 i = l( 3) i = l 3 i = l 3 + i(π + kπ) i = l 3 + i(kπ) = i l 3 + π + kπ = i l 3 + kπ

6 . Oblic: i ;i = e ;il(i) = e ;i(l :i π :kπ ) = e π :kπ, kεz arg i = π Defiicja: Mówimy, że lim = <=> lim Re = Re lim Im = Im( ) Prykłady: Oblic:. lim arctg :i :i. lim :i :i = ;i = = lim arctg :i ;i arctg : : + = + i = = < lim = lim :i arctg : : = lim :i (;arctg ) + lim : = Defiicja: lim f = w <=> ε> δ> : ( < < δ => f w < ε) def. Cauchy ego D f \, lim = => lim f = w - def. Heiego Prykłady: ;. lim ;

7 dla = + dla = + i ;(: => lim ) ;(: = lim ; ) ;(: i => lim ) = lim ;(: i ) Graica fukcji ie istieje. lim ; = lim = lim ; i ; i = = = = dla = => lim = Defiicja: Mówimy, że f jest fukcją ciągłą w lim f Prykłady: Zbadaj ciągłośd w. f = lim dla = dla =,, =, = graica ie istieje fukcja ie jest ciągła w lim = ; lim = = f, D f

8 Re,. g =, =, = Re() lim = fukcja jest ciągła w Re Wioski: = Re = Re Jeżeli f i g są ciągłe w pukcie w C, to f±g, f g, α f (α C), f g (g( ) ) są ciągłe w. Jeżeli f jest ciągła w i g jest ciągła w f( ), to fg jest ciągła w. Jeżeli istieje fukcja odwrota f ; w otoceiu f( ) i f jest ciągła w, to f ; jest ciągła w f( ). Prykłady:. f = jest ciągła w C = e iφ = e iφ:kπi = e i(φ:kπ ) fukcja jest różowartościowa w biore arg kπ, kπ, a biorem wartości jest C\R : : ( be recywistej półosi dodatiej). Istieje fukcja odwrota f ; w = w, w C\R : w = w e iψ+kπ, ψ arg w, k,..., - fukcja wielokrota Pukt = jest puktem rogałęieia fukcji. Defiicja: Każdy pukt fukcji wielokrotej f() taki, że oblicając wartości fukcji f a okręgu otacającym pukt prechodimy jedej gałęi jedoacości fukcji f do drugiej gałęi jedoacości tej fukcji pry pełym obrocie, aywamy puktem rogałęieia fukcji wielokrotej.

9 . e, cos, si, cosh, sih, l() są ciągłe w swoich diediach. 3. f = - fukcja jest ciągła poa. Moża płascyę espoloą uupełid tak, żeby f = była ciągła także w wykorystując rut stereograficy. Niech obraem puktu N w rucie stereograficym będie pukt away ieskoocoośd. Leży o poa każdym kołem K(,r). Niech C = C - domkięcie (espoloa płascya roseroa) - licba espoloa roseroej płascyy espoloej Niech tera f =,, =, f: C C jest ciągła i różowartościowa w całej diediie, = f ; w = w Defiicja: (pochoda fukcji espoloej) Jeżeli istieje graica f :Δ ;f pry, to aywamy ją pochodą (espoloą) fukcji f Δ w pukcie. Pisemy f f = lim :Δ ;f Δ Δ

10 Mówimy, że fukcja f jest różickowala w istieje f ( ) Prykład: Zbadaj różickowalośd fukcji: f f (: ) = lim :i : ; ;i = + i : = lim :i : = lim + i = = = e iφ e = lim iφ : e iφ + i = lim e ;iφ + e ;3iφ + i = e iφ = lim e ;iφ + i graica ie istieje, bo jest ależa od kąta φ Fukcja ie jest różickowala. Wiosek: ( defiicji pochodej). Jeśli f, g są różickowale w, to: f±g, f g, f g, (g( ) ) są różickowale w i achodi (f±g) ( ) = f ( )±g ( ) (f g) ( ) = f ( ) g( )+f( ) g ( ) f g ( ) = f g ;f g g. Jeżeli f jest różickowala w i g jest różickowala w f( ), to g f jest różickowale w i (g f) ( )=g (f( ))f ( ) 3. Jeżeli istieje f ; w otoceiu f( ) i f jest różickowala w ora f ( ), to f ; jest różickowala w f( ) i (f ; ) (f( )) = f ( ) Prykład: i 3 + si 3 = 3 i 3 + si (i3 + si cos )

11 Tw: Cauchy ego Riemaa. Jeżeli f = u + iv jest różickowala w, to achodą rówaia Cauchy ego-riemaa u x x, y = v y x, y u y x, y = v x(x, y ) Dowód: f = lim Δ iech Δ = Δx f = lim Δx iech Δ = iδy f = lim Δy f :Δ ;f( ) Δ f :Δx ;f Δx u x,y :Δy ;u x,y iδy = lim Δx u x :Δx,y ;u x,y Δx = u x x, y + iv x x, y + i v x,y :Δy ;v x,y iδy + i v x :Δx,y ;v x,y Δx = = i u y x, y + v y x, y = = iu y x, y + v y x, y. Jeżeli u(x,y) i v(x,y) są różickowale w (x,y ) ora achodą rówaia C-R u x x, y = v x x, y u y x, y = v x(x, y ), to f() = u(x,y)+iv(x,y) jest różickowala w = x +iy Dowód: różickowalości fukcji u(x,y) i v(x,y) mamy u x + Δx, y + Δy u x, y = u x x, y Δx + u y x, y Δy + ζ(x, y) (Δx, Δy), gdie lim (Δx,Δy) (,) ζ x, y = v x + Δx, y + Δy v x, y = v x x, y Δx + v y x, y Δy + ξ(x, y) (Δx, Δy), gdie ξ x, y = lim (Δx,Δy) (,)

12 f + Δ f = u x + Δx, y + Δy u x, y + i v x + Δx, y + Δy v x, y = Δ Δx + iδy Δx + iδy = u x x, y Δx + u y x, y Δy Δx iδy v x x, y Δx + v y x, y Δy Δx iδy Δx, Δy + i Δx, Δy η x, y + Δx, Δy = gdie η x, y = lim ζ x, y Δx iδy + ξ x, y iδx + Δy = (Δx,Δy) (,) lim Δx,Δy, rówao C-R = v yδx v xδyδx iv yδxδy + iv xδy + iv xδx + iv yδyδx + v xδxδy + v yδy Δx, Δy + η x, y + Δx, Δy = v y + iv η x, y x + f Δx, Δy = v y(x, y ) + iv x(x, y ) Wiosek: Jeżeli f=u+iv jest różickowala, to f = v y + iv x = u x iu y = u x + iv x = v y iu y Defiicja: Jeżeli f jest różickowala w każdym pukcie bioru D, to mówimy, że f jest holomorfica w D. Prykłady: Zajdź biór, w którym fukcja jest holomorfica f = x; + i y, D x; :y x; :y f = C\

13 u x, y = x x + y v(x, y) = y x + y u x = x + y x u y = x x + y v y = x + y y x + y y x = x y y = x x + y y v x = y x y = y x y x = y = x = C-R y = x = = D f Fukcja f ie jest różickowala w żadym biore. Oblicf a + ia, a > dla f = x 3 + 3iy u x = 3x v y = 6y u y = v x = 3x = 6y y = x x + y (x ) a = a fukcja jest różickowala w pukcie a + ia f a + ia = 3 a = 6a

14 Wiosek: Jeżeli u(x,y) jest różickowala, to istieje ( dokładością do stałej) fukcja v(x,y) taka, że f()=u(x,y)+iv(x,y) jest różickowala (sukaie potecjału espoloego) Dowód: dv=v x dx+v y dy=-u y dx+u x dy Prykład: Zajdź potecjał espoloy, jeżeli u(x,y)=x -y u x =x=v y v=xy+c(x) u y =-v x -(y+c (x))=-y C (x)= C(x)=C f() = x -y +i(xy+c) ora f = + i x=re= : + i, y=im= ; i + i + + ic = + ic + ic = Twierdeie: Jeżeli fukcja f jest holomorfica w biore D, to ma pochodą dowolego rędu w biore D. t. fukcja, która posiada pierwsą pochodą espoloą, posiada także wsystkie wyżse pochode. Uwaga: Taką własośd mają tylko fukcje espoloe f: C C

15 Dowód: Niech f = u + iv będie holomorfica w D ( rówao C-R ) otrymujemy f = u x x, y + iv x (x, y) u x u x y x = u xx = v xy = v x = u xy = v xx = v x y u x = v y u y = v x Jeżeli są spełioe rówaia Cauchy ego-riemaa dla u x i v x f () jest holomorfica w D. Aalogicie dowodimy, że f () jest holomorfica w D itd. Defiicja: Fukcja f: D Δ wajemie jedoaca jest aywaa fukcją koforemą f jest holomorfica w D i f dla D. Wiosek: Fukcja koforema achowuje kąty, t. jeżeli styce do krywych, preciają się w pukcie pod kątem α, to styce do krywych f( ) i f( ) preciają się w pukcie f pod kątem α. Dowód: Założeia: D, krywe, preciają się w, a stycych do krywych, leżą wektory: Δ i Δ, φ, φ - kąty achyleia stycych do osi Re. x / x / x ora

16 α φ φ f f( ) α w w f( ) f( ) φ φ pre φ i φ oacmy kąty achyleia stycych do obraów krywych, : f( ), f( ) do osi Re f f + Δ f( ) f + Δ f( ) = lim = lim Δ Δ Δ Δ Δw = f + Δ f( ) miera do elemetu leżącego a stycej do f( ) Δw = f + Δ f( ) miera do elemetu leżącego a stycej do f( ) otrymujemy lim arg(δw ) = lim Δ Δ arg(δw ) Δ Δ lim arg Δw arg(δ ) = lim arg Δw arg(δ ) Δ Δ φ φ = φ φ φ φ = φ φ α = φ φ kąt precięcia się krywych jest achoway

17 . Odworowaie liiowe f = a + b Prykłady odworowao koforemych: jeżeli f = a, to odworowaie f jest koforeme wtedy: b odpowiada a traslację (presuięcie wartości) a odpowiada a: Rea -wydłużeie lub skróceie, Ima obrót Prekstałceie liiowe prekstałca figurę w figurę do iej podobą. Odworowaie homografice f = a:b c:d jeżeli pochoda f = a c:d ;c(a:b) c:d Fukcję f() moża predstawid astępująco: f wtedy: wektor, d, a - jest wektorem traslacji c c ad c = ad;cb c:d ad cb odpowiada a wydłużeie (skróceie), obrót prekstałceie to iwersja = a ad c = a ad c c:d c c : d c Prekstałceie homografice prekstałca elipsy w elipsy (pry cym prostą traktujemy jak okrąg o ieskoocoym promieiu)

18 Prykład:. Zajdź odworowaie koforeme prekstałcające koło jedostkowe : w półpłascyę *: Im + sukamy odworowaia homograficego (okrąg ma prejśd w prostą), a do tego wystarcy określid obray trech wybraych puktów Pukt o współrędych (,) moża prekstałcid w pukt (,), Pukt o współrędych (,) moża prekstałcid w pukt,, i Pukt będący środkiem koła jedostkowego (,) będie puktem w, a + b f = = b = a c + d f = d c = d = f i = ai:b ai;a =, cyli biorąc pod uwagę powyżse ależości = a = ci:d ci cyli f = c i c i ; c = ;i ;:i c ;i

19 Sprawdźmy jesce, cy odworowaie o adaym wore prekstałca koło w półpłascyę górą, cy dolą. Podstawiamy do woru dowolą wartośd *: + i sprawdamy ak cęści urojoej wartości w tym pukcie f i = ;:i = + i > Cyli wyacoa fukcja jest odworowaiem koforemym prekstałcającym koło jedostkowe : w półpłascyę *: Im +. Defiicja: Parametryacja krywej C to fukcja t : R α, β, taka że t α, β, t. ( α pocątek, β koiec krywej) Mówimy, że: Im t = x t + iy(t) to krywa gładka fukcja (t) jest różickowala i (t) jest ciągła w (α, β) to krywa amkięta α = (β) Re to krywa wycaja fukcja (t) jest wajemie jedoaca w (α, β) (co jest rówoważe tym, że krywa ie będie miała pętelek ) t to krywa regulara (Jordaa) jest kawałkami gładka i wycaja (może mied ostra, które rodielają poscególe kawałki)

20 Defiicja: Całką krywoliiową fukcji f po krywej Jordaa opisaą parametryacją (t) aywamy f d β = f( t ) t dt Wiosek: amiaa całki krywoliiowej espoloej a całki krywoliiowe recywiste jeżeli f = u x, y + iv x, y, = x + iy ora jest krywą Jordaa, to α Dowód: f d f d = u x, y dx v x, y dy + i v x, y dx + u x, y dy β = u x t, y t + iv x t, y t x t + iy t dt = α β = u x t, y t x t v x t, y t y t dt + α β +i,v x t, y t x t + u x t, y t y t - α dt = = u x, y dx v x, y dy + i v x, y dx + u x, y dy

21 Twierdeie: własości całki krywoliiowej espoloej. f + g d. α f d 3. f d AB 4. f d AB 5. f()d = f d = α f d = f d BA = f d AC f ds + g d, dla A = α, B = (β) + f d CB, dla C = t, t,α, β-, gdie d to miara espoloa, a ds to miara recywista Dowody powyżsych własości są takie same jak dowody aalogicych własości dla całek recywistych Prykład: Oblic całkę d ; <r ;. Jest to całka po dodatio orietowaym okręgu o środku w i promieiu r. Parametryacja okręgu a płascyźie espoloej: = re it, t,, π- d = rie it dt d ; <r = π rie it dt re it π = i dt = πi Twierdeie: Jeśli istieje fukcja holomorfica F w obsare D i D jest krywą Jordaa ora F to f d = F B F(A), gdie B = β A = (α). = f(),

22 Dowód: f d β = f( t ) t dt = F t α α β β t dt = x = t = F x dx = F B F(A) Wiosek: Jeżeli fukcja f () ma pierwotą, to całka espoloa ależy jedyie od pocątku i kooca krywej, a ie ależy od drogi całkowaia. Twierdeie: Cauchy ego Jeśli f jest holomorfica w obsare jedospójym D i to krywą amkięta Jordaa D, to α = Dowód: f d = f d = udx vdy + i vdx udx vdy = v x u y dxdy = G u y u y dxdy G gdie G jest obsarem ograicoym krywą amkiętą vdx + udy = u x v y dxdy G = (u x u x dxdy) G + udy = worów C-R, = worów C-R

23 Wioski:. Jeśli f jest holomorfica w jedospójym D i ciągła w D, to f d = D. Jeśli f jest holomorfica w jedospójym D i krywe amkięte Jordaa, D wra obsarem międy imi, to f d = f d Dowód:. ocywiste. f d =, gdie jest krywą składającą się obydwu krywych Γ, ora odcika je łącącego prebiegaego ra w jedą, a ra w drugą stroę A Całkujemy po krywej, astępie po odciku łącącym krywe, po krywej B preciwie do orietacji i owu po odciku, ale preciwie iż popredio f d = f d + f d f d + Γ AB + f d BA

24 Twierdeie: wór Cauchy ego Jeżeli f jest holomorfica w jedospójym D i to krywa amkięta Jordaa D ora it (it jest obsarem ograicoym krywą ), to f d = πi f( ) Dowód: weźmy dowoly okrąg o środku w i promieiu r, który w całości awiera się w it f() d = auważamy, że cyli f() = d = re it ; <r d = ire it dt π π f( + re it ) ire it dt = i f + re it dt re it lim i f + re it dt = i f π r f d = lim r f() d = πi f Wiosek: Jeżeli f jest holomorfica w obsare ograicoym amkiętą krywą Jordaa to: f d = πi f, it, it π

25 Twierdeie: o wartości średiej Jeżeli f jest holomorfica w obsare awierającym koło K, r to π π f + re it dt = f( ) Dowód: Ze woru Cauchy ego f ; <r d = πi f = π f( + re it ) ire it dt re it Twierdeie: asada maksimum Jeśli fukcja f jest holomorfica w jedospójym obsare D, to f = cost w D lub max εd f jest pryjmowae a D (bregu D). Dowód: prypuśdmy, że max εd = f, gdie εd i wybiermy okrąg = r awarty w D wtedy f() d = πif( D ; ) f = π π πi D f d = π f + re it dt < π π ; <r f d = = re it π f dt = f( ) prypusceie doprowadiło do sprecości, co koocy dowód. π f + re it idt

26 Twierdeie: Jeżeli fukcja f jest holomorfica w D i jest amkiętą krywą Jordaa awartą w D ora it, to: ( )! f ( ) f ( ) d Dowód: i ( ) Idukcja: f( ) I. dla = f ( ) d (wór Cauchy ego) i ( ) II. Tea: Zał: Dowód: Prykład: Oblic ( )! f ( ) f ( ) d i ( ) ( ) ( )! f ( ) f ( ) d i ( ) ( ) d! f ( )! f ( ) ( f ( ))' ( d) [ ( )]( ) d d i ( ) i ( ) e ( ) d ( 3i) Fukcja podcałkowa g() jest holomorfica w kole poa puktem = f ( ) e e ( 3 i) e g( ) gdie f ( ) i f '( ) ( ) ( 3 i) ( 3 i) e d i e3i f '() i ( ) ( 3 i)! ( 3 i)

27 Defiicja: Sereg <, C aywamy seregiem espoloym. k Mówimy, że sereg < jest bieży ciąg S k = < jest bieży. Waruek koiecy bieżości: Jeżeli < jest bieży, to lim =. Kryterium d'alemberta: Jeżeli lim + <, to sereg < jest bieży. Jeżeli lim + >, to sereg < jest robieży. Kryterium Cauchy'ego: Jeżeli lim <, to sereg < jest bieży. Jeżeli lim >, to sereg < jest robieży. Kryterium Dirichleta: Jeżeli ciąg a jest recywisty, ma wyray dodatie i maleje do era ora ciąg sum cęściowych seregu < jest ograicoy, to sereg < a jest bieży Dowody powyżsych twierdeo są idetyce jak dla licb recywistych.

28 Niech N : f () będie fukcją espoloą Defiicja: Ciąg (f ()) aywamy espoloym ciągiem fukcyjym, a sereg espoloym seregiem fukcyjym. < f () aywamy Jeżeli dla każdego D ciąg f () jest bieży do f(), to mówimy, że ciąg f () jest bieży puktowo do fukcji f() D ε> N (,ε) N f () f() < ε Jeżeli dla każdego D sereg < f jest bieży do f(), to mówimy, że sereg < f () jest bieży puktowo do fukcji f() ciąg sum cęściowych jest bieży puktowo do fukcji f() Mówimy, że ciąg f () jest jedostajie bieży do fukcji f() w obsare D ε> N (ε) N D f () f() < ε Mówimy, że sereg < f jest bieży jedostajie do fukcji f() w obsare D k ciąg sum cęściowych S k = < f jest bieży jedostajie do fukcji f() w obsare D Waruek Cauchy ego: Ciąg f () jest jedostajie bieży do f() w D ε >, m D: f f m < ε Kryterium Cauchy ego: Sereg < f () jest jedostajie bieży w D :m ε >, m D: f i < ε i<

29 Kryterium Weierstrassa: Jeżeli istieje sereg bieży < a taki, że N D: f a, to < f jest jedostajie bieży w D. Twierdeie: Weierstrassa Jeżeli f () jest ciągła w obsare D, dla każdego N i jest krywą Jordaa awartą w D, to. Jeżeli ciąg f () jest jedostajie bieży w D, to f() = lim f () jest ciągła w D ora f d = lim f d. Jeżeli < f jest jedostajie bieży w D, to f() = < f f d = lim < f d jest ciągła w D ora Jeżeli N: f () jest holomorfica w D, to. Jeżeli f () jest jedostajie bieży w D, to f = lim f () jest holomorfica w D i f k () = lim f (k) (). Jeżeli < f () jest jedostajie bieży w D, to f() = < f () jest holomorfica w D i f (k) = f (k) < Dowody powyżsych twierdeo są takie same jak w wersji recywistej.

30 Defiicja: Zespoloym seregiem potęgowym aywamy sereg postaci < c ( ), gdie c,, C Promieiem bieżości seregu potęgowego < c ( ) aywamy licbę R = c lim Twierdeie: Sereg potęgowy dowolym kole K(, r), dla r < R i robieży dla > R. Uwaga: Promieo bieżości seregu < c ( ) jest bieży w kole K(, R), jedostajie bieży w < c ( ) moża licyd rówież e woru R = Wiosek: Jeżeli R jest promieiem bieżości seregu potęgowego jest sumą tego seregu, to dla każdego N c = f ( )! Dowód: ( ) ( ) f c, '( ) ( ) f c,, po podstawieiu = ( k ) ( k ) f ( ) k! c k lim c + c < c ( ) i f, < R f ( ) ( )... ( k ) c ( ) k k

31 Twierdeie: Taylora Jeżeli fukcja f jest holomorfica w < c ( ) dla c = f() πi (; ) awartą w < R ora it. + d < R, to f jest sumą seregu potęgowego, gdie jest dowolą krywą amkiętą Jordaa Dowód: f jest holomorfica w < R, jest krywą amkiętą Jordaa, it dobieramy okrąg < r, który awiera się w it ora < r, wtedy f ( ) f ( ) f ( ) d d i i r stąd, dla r f i ( ) f ( ) f ( ) d d c i r r f ( ) f ( ) c d d ( ) ( ) i i r

32 Np. Rowio w sereg Taylora. f = l, < Logarytm jest fukcją wielokrotą, ale jeżeli roetiemy płascyę półprostą (-,], to otrymamy fukcję holomorficą w - < iech w=- =w+ f w = l w +, w <. f = f w = w + = l = < ( ) w, w < w ζ + dζ = ( ) ζ dζ w < l + w = ( ) w: + <, i < < ( ) ; ( ) w = i = w + i, < : w f w = w + i = i i wi =, < : i f = ( i), i < w <

33 Uwaga: e = <! recywiście (e ) () = e (e ) () < = cos + isi = e i = < i! = k<, < R, R > ( ) k k! k + i k< ( ) k k +! k:, < R, R > Defiicja: Mówimy, że fukcja f jest aalityca w biore D f jest rowijala w sereg Taylora w każdym pukcie bioru D Wiosek: f jest aalityca w obsare D f jest holomorfica w obsare D Defiicja: Mówimy, że jest puktem regularym fukcji f f jest aalityca w otoceiu, t. istieje koło < R, w którym f jest rowijala w sereg f = < c ( ). Mówimy, że pukt jest puktem osobliwym fukcji f ie jest puktem regularym f. Niech f będie aalityca w otoceiu i f = < c ( ) Defiicja: Mówimy, że jest erem k-krotym fukcji f c = c = = c k; = i c k.

34 Dowód: iech ależy do pierścieia r < < R, wybieramy dwa koła o środku w i promieiach r i R takich, że r < r < R < R ora ależy do pierścieia r < < R i krywa awiera się we wętru pierścieia r < < R Defiicja: Seregiem Laureta o środku w pukcie aywamy sereg postaci <; c ( ) Wiosek: Obsarem bieżości seregu Laureta <; c ( ) jest pierścieo r < < R Dowód: k c ( ) c ( ) ck ( ) k sereg < c ( ) jest bieży do fukcji f w kole < R sereg k< c ;k ( ) ;k jest bieży do fukcji f () w kole ; < ρ > ρ cyli sereg <; c ( ) jest bieży do fukcji f + f () w pierścieiu ρ = r < < R Twierdeie: Jeżeli f() jest holomorfica w pierścieiu r < < R, to f = <; c ( ), gdie c = f(), =,-,-,,,, i jest krywą amkiętą Jordaa awartą πi (; ) + d w obsare aalitycości r < < R ora it.

35 tworymy krywą okręgu o promieiu R, okręgu o promieiu r prebiegaego w preciwym kieruku i dwóch odcików łącących te okręgi f( ) d f i R f ( ) f ( ) d d f i i r r a okręgu o promieiu R mamy a okręgu o promieiu r mamy gdie R r c f( ) f( ) d i ( ) R f( ) i d i wtedy, gdie f( ) ( ) ( ) d c i R ( ) f( ) c f( ) d f ( )( ) d i ( ) i ( ) ( ) c R f( ) i ( ) r r d

36 Defiicja: Mówimy, że pukt osobliwy fukcji f jest puktem osobliwym iolowaym istieje pierścieo P( ;,r) = {: < - < r}, w którym fukcja f jest aalityca. Niech fukcja f będie aalityca w P( ;,r) t. f = <; c ( ), < < r. Defiicja: Jeżeli w seregu <; c ( ) ie występują wyray o ujemych potęgach wyrażeia (- ), to pukt aywamy osobliwością usuwalą fukcji f. Jeżeli w seregu <; c ( ) występuje tylko skoocoa licba wyraów o ujemych potęgach wyrażeia (- ), to aywamy bieguem fukcji f i jeżeli f = <;m c ( ), to jest m-krotym bieguem (bieguem m-tego rędu) fukcji f. Jeżeli w seregu <; c ( ) występuje ieskooceie wiele wyraów o ujemych potęgach wyrażeia (- ), to aywamy puktem istotie osobliwym fukcji f. Niech f będie aalityca w P(;,r)={: < } t. f = c r <;, > r Defiicja: Jeżeli w <; c ie występują wyray o dodatich potęgach, to jest osobliwością usuwalą fukcji f. Jeżeli w seregu <; c występuje m wyraów o dodatich potęgach, t. f = m <; c, to jest m-krotym bieguem fukcji f. Jeżeli w <; c występuje ieskooceie wiele wyraów o dodatich potęgach, to jest puktem istotie osobliwym fukcji f. Uwaga: Aby określid typ osobliwości fukcji f w wystarcy dokoad podstawieia w = i badad typ osobliwości fukcji f(w) w pukcie w =.

37 Np.. Określ osobliwości fukcji f = e ; =, = f = <! = =! < < ;! = k = = k<; k (k + )! Sereg jest bieży w pierścieiu P(;,) = jest bieguem jedokrotym. k k<; jest bieży w pierścieiu (;,) (k:)! dokoujemy podstawieia w = w ;k : (k + )! = w ( )! k<; <; = jest puktem istotie osobliwym.. Rowio w sereg Laureta f = ( :) w pierścieiach P(i;,) ora w P(;,). I. P(i;,) < -i < A + B C + D f = ( + i) ( i) = ( + i) + ( i) = A 3 Ai A + B Bi B + C 3 + Ci C + +D + Di D

38 A + C = A = C Bi + Di = D = B A B C D = Ai + B + Ci + D = f = 4 B = = D A = ; = i = C 4i 4 + i i i ( + i) ( + i) i + i i 4 ( i) ( i) f = i ; 4 i i ; + 4 i ; + 4 i + i i + i f = 4 i ; 4 i i ; + 4 i i + i 4 + i f = 4 i ; ; i i 4 + i + 8 < i 4 ( + i) = = i + i i i k = k: (k + )( i)k k<; f = 4 ( i); + 4 i( i); + 8 obsar bieżości: ;i i < i < <; < < i : + ( i) i i = i i ( + )i + : < ( i) i ( i); =

39 II. P(;,) < w = f w = w + = w3 w = < < : f = k (k ) ; k< = : ( + ) <; = w 4 ( + w ) = w3 + w = w : = k (k ) k k< = w k = k (k ) ;k = k< obsar bieżości: w < < > > ; f = : ( + ) <;, P(;,)

40 Defiicja: Jeśli jest iolowaym puktem osobliwym fukcji f, to residuum fukcji f w pukcie aywamy Res f = f d, gdie jest krywą amkiętą Jordaa leżącą w obsare aalitycości πi fukcji f i it. Wiosek: Jeżeli f rowija się w sereg Laureta w pierścieiu < t. f = <; c ( ), to Res f = c ;. < r Dowód: = π Res f = πi <; c ρ : f d π ei : t + π = πi < dt <; ; = π Twierdeie: Jeżeli jest m-krotym bieguem fukcji f, to Res f = m! lim c ( ; <ρ <; c ρ : i( + ),eπi : - ) c ρ : i( + ),eπi : - = c ; d (m;) d (m;) ( ) m f() d = = ρe it + π c ; π +

41 Dowód: f = c w P( ;, r) <;m f m = c ;m + c ;m: ( ) + + c ; ( ) m; + c :m d (m;) d (m;) f ( ) m = m! c ; + c ( m + ) : lim d (m;) < d (m;) f()( ) m = m! c ; < Defiicja: Jeżeli f jest aalityca w P(;,r), to Res f = Jordaa leżącą w obsare aalitycości f i it. πi f d, gdie jest krywą amkiętą Np. Oblic Res i (: ) 3 w pukcie = i fukcja ma biegu 3-kroty Res i (: ) 3 =! lim i d d ( i)3 ( :) 3 = lim i d d (:i) 3 = lim i = 6 (:i) 5 (i) 5 Wiosek: Jeżeli jest puktem regularym lub jest osobliwością usuwalą fukcji f, to Res f =

42 Twierdeie: (o residuach) Jeżeli fukcja f ma wewątr krywej amkiętej Jordaa skoocoą licbę osobliwości iolowaych, to f d = πi Res j f gdie,..., są osobliwościami iolowaymi fukcji f leżącymi wewątr krywej. j< Dowód: Γ Γ f d = f d f d j< j f d = πires j f = j< Wiosek : Jeżeli fukcja f jest aalityca w poa skoocoą licbą iolowaych osobliwości,...,, to: j< Res j f + Res f =

43 Wiosek : Jeżeli fukcja f jest aalityca w poa skoocoą licbą iolowaych osobliwości ora jest krywą amkiętą Jordaa, to f d = πi Res j f πires f j< gdie,, są osobliwościami f leżącymi a ewątr Niech f(): D C będie aalityca. Defiicja: Aalitycym predłużeiem fukcji f do bioru DΔ aywamy fukcję F gdie φ(): C jest aalityca ora () = f() dla ϵ D = f, dla ε D φ, dla ε Twierdeie: Jeżeli f(x) jest określoa dla x R i ma aalityce predłużeie f() do półpłascyy Im(), które ma skoocoą licbę iolowaych puktów osobliwych,,, leżących w tej półpłascyźie ora R,δ,M > : R : f() całka ; f x dx jest bieża i ; f x dx M δ+, to k< = πi Res k f() Uwaga: Twierdeie jest rówież prawdiwe dla półpłascyy Im().

44 Dowód: dobieramy promieo R półokręgu tak, aby wsystkie pukty osobliwe leżały wewątr półokręgu ora R R : R max R, k : k =,, krywa składa się półokręgu = R dla Im wtedy f d = πi k< Res k f() f d = ; R ;R f x dx + R f x dx <R Im f d R f d <R Im() π R f(re it ) = Re it dt R R M +δ π dla R Np. Oblic ; f = + 4 dx :x 4 pukty osobliwe: = e iπ+kπ 4 ε e iπ 4, e i3π 4, e i5π 4, e i7π 4 Im =e iπ 4, =e i3π 4

45 f() = < 4 pry ałożeiu, że 4 > dx + x 4 = πires e iπ πires = πi lim e i3π ; e iπ 4 e i3π 4 e i5π 4 e i7 4 +πi lim = πi e i3π 4 e iπ 4 e i5π 4 e i7π 4 e iπ 4 e i3π 4 e iπ 4 e i5π 4 e iπ 4 e i7π 4 + = e i3π 4 e iπ 4 e i3π 4 e i5π 4 e i3π 4 e i7π 4 = πi + i i + + i + + i ( + i + i) + i i i + + i (i + i) = πi i i 4 i (i ) = πi ( + i) + ( + i) = πi ( + i + i) 8 + i ( + i) = πi 4 i 6 = π

46 Lemat: Jordaa Jeżeli f() jest aalityca w półpłascyźie Im() poa skoocoą licbą puktów,,, ora f = jedostajie wględem arg, to lim Dowód: <R Im e ia f d = <Re it tε,,π- a > : e ia f d R π e iareit <R Im() R f Re it Rie it dt e iareit wiemy, że istieje μ R, takie, że lim μ R = ora f(re it ) μ R R Rμ R = Rμ R π e ;arsit π e ;arsi(t) dt = Rμ R π e ;arsit dt + π e ;arsit dt π e ;arsit dt π dt sit t π π = t = π s Rμ R Uwaga: Lemat Jordaa jest prawdiwy dla Im, gdy a <. π = e ;arsi(π;s) ds π e ;art π dt = Rμ R ar π f Re it Rie it dt e ;ar π t π = πμ R a e;ar R

47 Twierdeie: Jeżeli f(x) jest określoa w ora ma aalityce predłużeie f() do półpłascyy Im(), które spełia ałożeia lematu Jordaa, to a > : e iax f x dx jest bieża i ; e iax f x dx ; = πi Res k (f e ia ) k< Dowód: roważamy krywą taką, jak w dowodie lematu Jordaa f e ia d = R ;R ; e iax f x dx + R e iax f x dx Uwaga: Sposoby modyfikacji koturu całkowaia. f x dx i predłueie f() ma ; osobliwości a osi recywistej f e ia d = πi Res k,f e ia - <R Im() k< e ia f d R R, r r r

48 . f x dx i predłużeie f() jest fukcją wielokrotą puktem rogałęieia = stosujemy kotur typu diurka od kluca W środku koturu ie mogą aleźd się pukty rogałęieia t. = i licymy graice R ora r Np. Oblic auważamy, że roważamy kotur składający się dwóch półokręgów =R i =r dla Im ora łącących je odcików 3i e fukcja będąca predłużeiem fukcji podcałkowej jest aalityca wewątr koturu cyli r lematu Jordaa mamy oblicamy lim lim R r si3x dx x si3x dx x 3ix e Im{ dx } x f( ) 3ix 3i 3i 3i e R x e e e dx dx d d x x R r R r Im Im 3i r 3i e lim d R R Im it 3ire 3ire e it lim d lim i e dt i lim e dt i r r it re r r Im 3ix R 3ix 3ix e e e dx dx dx x x x si3x dx x

49 Defiicja: Mówimy, że fukcja f() jest meromorfica w obsare D f jest aalityca w D poa pewym biorem puktów osobliwych iolowaych, w których f ma bieguy Dowód: wybieramy okręgi i otacające po jedym ere lub bieguie fukcji f() tak, aby wewątr tych okręgów poa środkiem fukcja f() była aalityca Twierdeie: Każda fukcja meromorfica a płascyźie espoloej domkiętej C jest wymiera. Dowód: iech,,, będą bieguami fukcji f() różymi od o krotościach k, k,, k j c j k j dla j=,, weźmy fukcje pomocice g j = c k j c (; j ) k j (; j ) k j ; j wtedy f j< g j () ie ma puktów osobliwych poa, w której jest co ajwyżej biegu cyli f j< g j = w(), gdie w() jest wielomiaem mamy więc f = g j + w() f() jest fukcją wymierą j< Twierdeie: Jeżeli fukcja f() jest meromorfica w obsare D i ie ma er ai bieguów a D, to f () πi f() d = Z B, D gdie Z jest sumą krotości wsystkich er, a B sumą krotości wsystkich bieguów fukcji f w D j

50 auważmy, że jedyymi puktami osobliwymi fukcji podcałkowej F = f () f() πi f () D d f() są era i bieguy fukcji f(), cyli N f = Res i, gdie,,, N są erami i < bieguami fukcji f() f iech i będie k i krotym erem fukcji f(), wtedy wewątr okręgu i k f = i i φ, gdie φ() jest fukcją aalitycą różą od era w i F = f () f() = k i( i ) ki; φ + ( i ) kiφ () = k i + φ () k i iφ i φ() cyli Res i F = k i D N N iech i będie k i krotym bieguem fukcji f(), wtedy wewątr okręgu i f = ;k i i ψ, gdie ψ() jest fukcją aalitycą różą od era w i F = f () f() = k i( i ) ;ki; ψ + ( i ) ;kiψ () ;k = k i + ψ () i iψ i ψ() cyli Res i F = k i Np. Oblic < 3 ctgπd wewątr okręgu = 3 fukcja si ma jedikrote era w puktach -,, i żadych bieguów ctgπd = πcosπ π siπ d = 3 π < 3 < 3

51 Twierdeie: Jeżeli fukcja f() jest meromorfica w i istieją licby M >, δ > takie, że f < M ;δ dla > R, to dla dowolego puktu regularego fukcji f f ( ) f () Re s k f ( ) ( ), k k k gdie,, są różymi od era bieguami fukcji f Dowód: akładamy, że bieguy fukcji f są uporądkowae astępująco < < i wybieramy ciąg promiei okręgów o środku w = tak, aby wewątr okręgu = R leżało dokładie bieguów i wybieramy R takie, że max*, R + < R, wtedy dla = powyżsa rówośd prybiera postad tak więc wiemy jedak, że f ( ) f ( ) Re s f ( ) k d Re s [ ] f ( ) k i R k k k f( ) Re s f ( ) k d f () i R k f ( ) Re s f ( ) ( ) ( ) Re ( ) k f f s f k f ( ) d d d i i i ( ) R k k R R k Re s f ( ) Re s ( ) ( ) k f f k f () d i ( ) k k k k R it f ( ) f ( Re ) it R d it ire dt M Re it it R Re ( Re ) R ( ) R k k

52 Np. predstaw fukcję f = ctg w postaci seregu poieważ fukcja f() ie jest określoa dla =, roważmy pomocicą fukcję φ = ctg, która ma bieguy -go rędu w puktach = ±kπ, k =,, ora osobliwośd usuwalą w = lim ctg = lim cos si cos si cos = lim = si si + cos możemy więc pryjąd φ = i otrymujemy dla < R i odpowiedio dużych k mamy ograiceie ( k ) k k k k ( ) k cyli sereg we wore jest bieży jedostajie i bewględie w < R, co powala a miaę kolejości sumowaia wyraów ( k) ( k) ctg k ( k ) k k k Wiosek: Jeżeli g() jest aalityca w i ma jedokrote era w puktach,,, to Dowód: ctg ( ) ( ) k k k k ( k ) k k k k k R R R astosujmy popredie twierdeie do fukcji f R k g '() g () g( ) g() e ( ) e k k = g () g() k

53 w otoceiu każdego er k możemy fukcję g() predstawid w postaci g = k φ, gdie fukcja jest aalityca i φ( k ) wtedy g ' ( ) ( k ) '( ) Re s [ ] lim k g k ( ) i godie popredim twierdeiem g '( ) g '() ( ) g( ) g() k k k scałkujmy powyżsą rówośd stroami po odciku *,+ g'() k l g( ) l g() (l ) g() k k k i pobywamy się logarytmu g '() g () k g( ) g() e ( ) e Niech g() będie aalityca w i ma jedokrote era w puktach,, Defiicja: g '() Ilocyem Weierstrassa dla fukcji g() aywamy wyrażeie g () Np. Zajdź ilocy Weierstrassa dla fukcji g = si g() ma jedokrote era w puktach = ±kπ, k =,, ora osobliwośd usuwalą w =, bo lim si =. Pryjmujemy g()= ora g ()=, bo lim cyli ilocy Weierstrassa wyosi k k g() e ( ) e k si cos;si = lim k k k k k = lim k k ;si si ( ) e ( ) e ( ) k k k =