Teoria Sygnałów. III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 9

Transkrypt

1 Teoria Sygałów III rok Iformatyki Stosowaej Wykład 9

2

3

4 Dla sygału skońoego, dyskretego fukję widmowej gęstośi moy wyaa się a podstawie fukji autokorelaji: ϕ Φ m [ m] [ ] [ m] M [ k] w[ m] m ( M ) ϕ π m,,, K, M i mk K [ m] e K + ( M ) k,,, K, K Proedurę moża realiować w formie sybkiej tj wykorystaiem proedury FFT. Okauje się bowiem, iż dla długiego iągu dayh kost oblieia fukji korelaji ϕ [m] w sposób bepośredi jest więksy iż oblieie tej fukji w diediie ęstotliwośiowej. Proedura dla sygału [],,,,- wygląda astępująo:. Uupełiamy iąg [] erami do długośi K+(M-). Obliamy K-puktową DTF 3. Liymy kwadrat widma amplitudowego X[k] 4. Obliamy K-puktową, odwrotą DTF - M pierwsyh wartośi twory fukję korelaji 5. Z pomoą wybraego oka w[] tworymy sygał: [ ] 6. Obliamy DTF dla sygału s[] s ϕ ϕ [ ] w[ ] [ K ] w[ K ] M M K M K M + K Widmową gęstość moy aproksymuje się asem a pomoą periodogramu -kwadratu widma amplitudowego X[k] sygału. Jest to estymator obiążoy aby otrymać poprawę estymaji ależy dokoać jego uśredieia w ruhomym okie. Wyik będie wówas bieży do metody wykorystująej fukję korelaji.

5 Trasformaja Z Trasformaja Z staowi iewykle waże arędie do aaliy dayh yfrowyh ( w tym a prykład dayh geofiyyh). W trakie tyh pomiarów mamy do yieia rejestrają określoej wielkośi fiyej (p. w geofiye -atężeia pola magetyego Ziemi, prędkośi drgań grutu, atężeia aturalego promieiowaia gamma w odwierie) w określoyh puktah w prestrei lub w wybrayh mometah asu. Tym samym ostaje określoy biór dyskretyh wartośi fukji dla wybrayh wartośi argumetu t, to ay [t ],,,.... Trasformaja Z powala w aalityy sposób predstawiać własośi sygałów yfrowyh a także kostruować harakterystyki filtrów powalająyh a redukję sumów i wmoieie sygału użyteego. Dla defiiowaia trasformaji Zpryjmijmy, że day jest biór lib reywistyh lub espoloyh { }day jako {, -, -,,,.... }. Każdemu iągowi tego typu moża pryporądkować fukję mieej espoloej F()określoą worem i waą dwustroą trasformatą Z,a operaję pryporądkowaia iągowi { }fukji X() trasformają (prekstałeiem) Z. Defiiuje się rówież trasformatę jedostroą: X ( ) Dla sygałów pryyowyh trasformaty jedo-i dwustroa są sobie rówoważe. iω Predstawiają mieą espoloą w postai bieguowej re otrymujemy : r e iω Jeśli moduł liby to trasformata Z sprowada się do dyskretej trasformaji Fouriera. Prykład: Dla iągu {...3.4} trasformata Z ma postać (pierwsa próbka występuje w hwili t): sygał pryyowy Dla pierwsej próbki w hwili t-3 otrymamy: sygał iepryyowy Warto auważyć, że pierwsa trasformata ie jest określoa dla aś druga dla. Sposób odtworeia sygału a podstawie jego trasformaty Z jest trywialy ale tylko dla sygałów skońoyh. Dwustroa trasformata Z jest bieża tylko w pewym obsare bieżośi określoym popre day iąg. Aby ahodiła bieżość musi być spełioy waruek:

6 < r e iω < r e iω r < Poieważ trasformoway iąg jest możoy pre yik r - sereg jest bewględie sumowalyawet wtedy gdy ie ma o trasformaty Fouriera (p. trasformata Z iągu u() istieje mimo iż iąg ie ma trasformaty Fouriera). Jedyym warukiem jest by r > yli trasformata dla takiego iągu istieje dla < <. Im Obsar bieżośi r e Obsar braku bieżośi Ogólie obsar bieżośi jest pierśieiem o promieiah rówyh limsup limsup Możemy bowiem apisać dla iągu dwustroego: X ( ) + Pierwsy sereg jest bieży wewątr koła o promieiu drugi a ewątr koła o promieiu. Jeśli > to sereg dwustroy jest bieży wewątr pierśieia P(, ). Im e

7 Prykład. ieh day będie iąg ieskońoy: u[t ]u[] {,,,....} Trasformata Z tego iągu daa jest jako u[ ], > Fukję, która posiada pohodą w każdym pukie pewego obsaru D aywamy holomorfią w tym obsare. Fukja występująa po prawej stroie powyżsego woru jest holomorfia dla wsystkih K. Prykład 3. α Wyayć trasformatę iągu: e,,,, e e α α [ ] e ( e ) α α [ ] { } K pod warukiem, że α e < > e α Prykład 4. a Obliyć trasformatę Z iągu: a < b b < a a ( a ) < a a b b b < b b b ( ) ( a b) X + a < < b a b a b ( )( ) ( ) Odwrota trasformaja Z. Odwrota trasformaja Z (sególie użytea w rowiąywaiu rówań różiowyh) daa jest worem: πi ξ X ( ξ ) dξ gdie krywa jest bregiem (orietowaym dodatio) obsaru awierająego koło O. W prypadkah pre as aaliowayh trasformaja Z będie miała ajęśiej postać fukji wymierej: M ( ) ( ) i X ( ) D i pi gdie wartośi p i ora i są kolejo aywae bieguami i residuami (w tyhże bieguah). esidua, dla pojedyyh bieguów, mogą być oblioe e woru: ( p ) i i p i Po rołożeiu trasformaji Z a ułamki proste korystamy trasformaji Z seregu geometryego (prykład a astępej stroie) Ią metodą oblieia trasformaji odwrotej jest wydieleie liika fukji wymierej argumetu Z pre miaowik. Współyiki pry kolejyh potęgah będą sukaymi wartośiami iągu.

8 X Prykład 5 Trasformaja Z sygału dyskretego ma postać: Bieguy jedokrote są w puktah p i p /. okładamy X() a ułamki proste: ( ) + ( ) (.5 ).5 ( ) X ( ) (.5) / ( ).5 X ( ) (.5 ) u[ ] M [ ] [ ] [ ] > ( )(.5 ) (.5 ). 5 [ ] u[ ].5 Własośi trasformaji Z. Więksość prytooyh własośi trasformaji Z jest oywista. Dla wybrayh ostaie predstawioy dowód. Własość. Trasformaja Zjest operają liiową to ay dla dowolyh lib αi βora dowolyh iągów { }i y{y } któryh trasformaty są rówe odpowiedio X() i Y() ahodi: Z ( α + β y) α + βy ( ) Własość. ieh iąg {,,.... }.ostaie presuięty o jedą próbkę w prawo (w diediie asu odpowiada to opóźieiu sygału), to ay astąpioy iągiem {,,,.... }.Oamy symboliie tę operaję jako σ to ay * σ{,,,...} Wtedy Z trasformata tego iągu jest rówa: m * * m Z( σ ) m m -krotełożeie operaji opóźiaia powoduje presuięie iągu { }o miejs w prawo: * σ {,,...,,,,... Trasformata Z jest w tym wypadku rówa: { } Z σ f F( )

9 Własość 3. ieh będie operają tworeia różi pierwsego rędu tj. {, -, -, 3 -,...} Poieważ operaja ta może być apisaa jako I-σ (Ijest operają tożsamośiową) otrymujemy własośi i Z { } Z ( I σ ) { } ( ) aalogiie dla różi rędu otrymujemy: Z { } Z{ ( I σ ) } ( ) Własość 4. ieh będie libą reywistą lub espoloą i g{ }., }, -<< Wtedy: G( ) ( ) X Własość 5 (o różikowaiu trasformaty) ieh g{ }, -<<Wtedy: G( ) ( ) ( + ) d d Własość 6 (o ałkowaiu trasformaty) Zgodie powyżsym worem (amieiają jedyie miejsami G() i X()) otrymujemy: G( ) gdie droga ałkowaia leży w obsare aalityośi fukji podałkowej, a stała jest traktowaa jako g G ; wię i otrymujemy: Własość 7 (o sploie iągów) Jeśli Dowód (w trakie ćwień) Własość 8 (o iloyie iągów) Jeśli X (ξ ) dξ ξ ( ) G( ) F( ξ) dξ ξ [ ] [ ] y[ ] [ k] y[ k] w [ ] [ ] [ ] πi to W()X()Y() w y to W ( ) X Y ( ξ ) Krywa jest krywą amkiętą i leży w ęśi wspólej obsarów bieżośi X i Y. ξ ξ dξ Własość 9 (ależość Parsevala) * [ ] y [ ] X ( ξ ) Y ( ξ ) πi a kole jedostkowym, gdy ξ e ξ dξ iω otrymamy π * [ ] y [ ] X ( iω) Y ( iω) dω