Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

Transkrypt

1 Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,, elementów, wtedy: = K-wyrazową wariacją z powtórzeniami zbioru Y nazywamy każdą funkcję f:{1,2,,k} Y. Liczbę k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego będziemy oznaczać symbolem. =, 1, 0 K-wyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru Y złożonego z n elementów, gdzie 0, nazywamy każdą funkcję różnowartościową f:{1,2,,k} Y. Liczbę k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego będziemy oznaczać symbolem.! =!, 0 Permutacją n-elementową zbioru Y nazywamy każdą funkcję f, odwzorowującą zbiór {1,2,,n} na zbiór Y. Liczbę permutacji zbioru n-elementowego będziemy oznaczać symbolem. =!, 0 Każda funkcja f określona na zbiorze {1,2,,k} wyznacza jednoznacznie ciąg o wyrazach f(i), 1. Odwrotnie: każdy k-wyrazowy ciąg elementów zbioru Y wyznacza funkcję f:{1,2,,k} Y. Zamiast o funkcjach można więc w powyższych trzech definicjach mówić o ciągach. K-elementową kombinacją zbioru Y, złożonego z n elementów, gdzie 0, nazywamy każdy k-wyrazowy podzbiór zbioru Y. Liczbę k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego będziemy oznaczać symbolem. = =!!!, 0

2 Co to jest przestrzeń probabilistyczna? Jak brzmi klasyczna definicja prawdopodobieństwa? Podać przykłady zastosowania. przestrzeni probabilistycznej: Niech Ω =!"," #,," $, F = 2 Ω i ponadto niech dane będą nieujemne liczby ',' #,,', takie, że ' +' # + +' = 1. Dla każdego zbioru =!" *," *#,," * $ definiujemy =,.' *,. Wtedy (Ω,F,Ρ jest przestrzenią probabilistyczną, w której P({" * })=' *, i=1,2,, n. prawdopodobieństwa klasycznego: Niech Ω będzie zbiorem skończonym oraz F = 2 Ω. Jeżeli wszystkie zdarzenia elementarne (jednoelementowe) są tak samo prawdopodobne oraz Ω / =, to dla każdego 02 Ω : = 1 Ω / oraz!" * $ = Rzucamy dwa razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia w sumie 4 oczek? Ω =!1,1,1,2,1,3,,5,,,,$ Ω / = # = 3 F = 2 Ω A wyrzucenie w sumie 4 oczek A = {(1,3), (2,2), (3,1)} = 3 = 3 3 Prawdopodobieństwo geometryczne prawdopodobieństwa geometrycznego Niech Ω R oraz Ω BR i 0 < ; Ω <. Wtedy dla F = BΩ definiujemy prawdopodobieństwo geometryczne wzorem: dla każdego A BΩ PA = λ F G (PA = λ F G 0) λ F Ω λ F Ω Losujemy z przedziału [0,2] dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma ich współrzędnych jest mniejsza od 1?

3 Ω =!,H: J0,2K, H J0,2K$, F = BΩ ; # Ω = 4 =!,H : +H < 1$ = ; #A ; # Ω = 0,5 4 = 1 8 Co nazywamy zmienną losową? Przykłady. Zmienną losową działającą na przestrzeni Ω,F, nazywamy funkcję N:Ω R spełniającą jeden z poniższych równoważnych warunków: 1) Dla każdego a R N P,Q F 2) Dla każdego a R N P,QK F 3) Dla każdego a R N P Q,+ F 4) Dla każdego a R N P JQ,+ F 5) Dla każdego A B(R) N P F Zauważmy więc, że zmienna losowa jest funkcją mierzalną względem ciała F. Rzucamy 3 razy monetą Ω =!R,R,R,R,S,R,R,R,S,S,R,R,R,S,S,S,R,S,S,S,R,S,S,S$ F = 2 Ω X- liczba orłów, NΩ =!0,1,2,3$. Rozkładem zmiennej losowej X działającej na przestrzeni Ω,F, nazywamy funkcję T BR J0,1K określoną wzorem UVQ QżW BR T =!" Ω: X" $ = N P Kontynuujemy poprzedni przykład: T!0$ = Y N P!0$Z =!S,S,S$ = 1 8 T!1$ = Y N P!1$Z =!R,S,S,S,R,S,S,S,R$ = 3 8 T!2$ = Y N P!2$Z =!R,R,S,S,R,R,R,S,R$ = 3 8 T!3$ = Y N P!3$Z =!R,R,R$ = T

4 a a Twierdzenie Niech X będzie zmienną losową na Ω,F, wtedy funkcja T określona wzorem VQ QżW BR T = N P zwana rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej X, jest miarą probabilistyczną. Jeżeli X jest zmienną losową określoną na Ω,F, to dystrybuantą rozkładu zmiennej losowej X nazywamy funkcję F T : R J0,1K określoną wzorem: F T [ = T Y,[KZ = N P,[K Przykłady: a) Ω=[-1, 2], F = BJ 1,2K, \:Ω R, \(x)=x 0, VQ [, 1 [ +1 ]^[ = \ [ = _'J 1,[K `HV, VQ [ J 1,2 3 1, VQ [ J2,+ Jest zachowana ciągłość. Zatem b[ = c 1 3 avq [ J 1,2K 0, VQ [ J 1,2K b) Ω=[-1, 2], F = BJ 1,2K, \:Ω R, \(x)=[x] 0, VQ [, 1 h f, VQ [ J 1,0 i ]^[ = \ [ = #, VQ [ J0,1 g i f 1, VQ [ J1,2 e 1, VQ [ J2, + Dystrybuanta schodkowa więc z tego wykresu możemy odczytać rozkład zmiennej losowej. * *

5 Co to jest prawdopodobieństwo warunkowe? Jaki jest wzór na prawdopodobieństwo całkowite? Podać przykład zastosowania. Niech Ω,F, będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech B F będzie takie, że P(B) > 0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A, pod warunkiem zajścia zdarzenia B, nazywamy prawdopodobieństwo: k = k k Rodzina ma dwoje dzieci. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród dzieci są same dziewczynki, jeśli wiemy, że przynajmniej jedno dziecko jest dziewczynką? Otóż: Ω = {(d,d) ; (c,c) ; (d,c) ; (c,d)} A = {(d,d)} B = {(d,d) ; (c,d) ; (d,c)} k = k k = k m k m = k k = 1 3 Istotne jest również następujące Twierdzenie: Niech Ω,F, będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech A 1 A n F będą takie, że P(A 1 A n-1 ) > 0. Zachodzi wówczas wzór : A n = # i # P Jest to tzw. wzór łańcuchowy. Aby przejść do kolejnego ważnego twierdzenia wraz ze wzorem, należy najpierw wprowadzić pewne pojęcie. Układem zupełnym zdarzeń B 1,, B n nazywamy n-tkę zdarzeń, spełniającą warunki: 1) zdarzenia B 1,, B n są parami rozłączne 2) k * = Ω *.

6 Twierdzenie: Niech B 1,, B n stanowią układ zupełny zdarzeń o niezerowych prawdopodobieństwach. Dla dow. A F zachodzi wzór: s k * k * Będący wzorem na prawdopodobieństwo całkowite. Zdarzenia B i nazywamy często hipotezami. *. Uczelnia ma 3 akademiki. W pierwszym z nich 30% to kobiety, w drugim : 0%, a w trzecim: 50%. W akademikach mieszka odpowiednio: 100, 200, 300 osób. Jakie jest p-stwo, że losowo wybrany student z akademika jest kobietą? B 1 wybrany został student z akademika nr 1 B 2 wybrany został student z akademika nr 2 B 3 wybrany został student z akademika nr 3 A wybrany student jest kobietą k k # k i = m B i są parami rozłączne k = 100 r 00 1r k # 200 r 00 2r k i 300 r 00 3r P(A B 1 ) = 0,3 Prawdopodobieństwo całkowite: P(A B 2 ) = 0, P(A B 3 ) = 0,5 PA 0,3 1r Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym można zilustrowaćć za pomocą tzw. drzewa stochastycznego: Wzór na prawdopodobieństwoo całkowite to suma iloczynów po wszystkich drogach, które kończą się w A. Drzewo stochastyczne zaczyna się początkiem, w węzłach drzewa umieszczamy wyniki kolejnych etapów doświadczenia. Węzły łączymy krawędziami. Obok każdej krawędzi dopisujemy prawdopodobieństwo otrzymania wyniku danego etapu. Suma prawdopodobieństw przyporządkowanych krawędziom wychodzącym z jednego węzła jest równa 1.

7 Wzór Bayesa. Przykład zastosowania. Twierdzenie: Niech B 1,, B n stanowią układ zupełny zdarzeń o niezerowych prawdopodobieństwach. Dla dow. A F takiego, że P(A)>0, zachodzi wzór: k * k * k * = k * k * k, k, (dla dowolnego i). Powyższy wzór nazywamy wzorem Bayesa. Twierdzenie Bayesa stosujemy głównie wtedy, gdy znamy wynik doświadczenia, a pytamy o jego przebieg, np. parafrazując nasz poprzedni przypadek o studentach: Załóżmy, że wylosowany student jest kobietą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z akademika nr 1? P(A B 1 )=3/10 P(A) = 1/2 P(B 1 ) = 1/ k = k k =,. 3r 10 1r = 1 1 r r 10 2 Zdarzenia niezależne Mówimy, że zdarzenia A i B są niezależne w przestrzeni probabilistycznej (Ω,F. wtedy i tylko wtedy, gdy k = k Dla trzech zdarzeń A<B<C mówimy, że są niezależne jeżeli: k = k = k = k k = k Niech, #,, 0F. Mówimy, że są one niezależne jeżeli: u*v u* w u u* x u, u Y *v *x Z = Y *v Z Y *x Z Niech, #, 0F. Mówimy, że są one niezależne jeżeli yz, #,, są niezależne. Twierdzenie Niech A,B,C będą zdarzeniami niezależnymi, wtedy 1) A i B, A i B, A i B są też niezależne 2) A i B C są niezależne 3) A i B C są niezależne

8 Schemat Bernoulliego Schematem Bernoulliego nazywamy ciąg n-powtórzeń w sposób niezależny tego samego doświadczenia losowego, którego wynikiem może być jeden ze stanów: sukces lub porażka. Ω{YQ,Q #,,Q Z; Q * = 0,1}, F = 2 Ω Prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym doświadczeniu, '00,1 Prawdopodobieństwo porażki ~ = 1 ' po pojedynczym doświadczeniu =!1,0,0,,0$, = ' ~ P =!1,1,,1,0,0,,0$, = ' ~ P Zauważmy, że każde zdarzenie elementarne złożone z k-sukcesów i (n-k)-porażek ma prawdopodobieństwo równe ' ~ P. Ponieważ ciągów n-elementowych złożonych z n- jedynek i (k-n)-zer jest tyle, na ile sposobów można wybrać k liczb ze zbioru n- elementowego, wiec jest ich Y Z Własność (wzór Bernoulliego) Niech oznacza prawdopodobieństwo k-sukcesów w n-póbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem suksesów w 1 próbie p i porażki q, wtedy = ' ~ P Rzucamy 7 razy dwiema monetami. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej razy wyrzucimy dwie reszki. Pojedyncza próba to rzut dwoma monetami. Prawdopodobieństwo sukcesu w takiej próbie (czyli prawdopodobieństwo wyrzucenia 2 reszek) wynosi : ' = 1 2 # = 1 4 (bo sprzyjające zdarzenie to (r,r)). Zatem prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej sukcesów w 7 próbach to : = 7 ' 1 '+ 7 7 ' = ƒ ƒ = 22 4