Zmienne losowe. Statystyka w 3

Transkrypt

1 Zmienne losowe Statystyka w

2 Zmienna losowa Zmienna losowa jest funkcją, w której każdej wartości R odpowiada pewien podzbiór zbioru będący zdarzeniem losowym. Zmienna losowa powstaje poprzez przyporządkowanie każdemu zdarzeniu elementarnemu liczby rzeczywistej. Wtedy wartość zmiennej losowej ma swoje prawdopodobieństwo. Czyli zmienna losowa ma wartości oraz prawdopodobieństwo

3 Typy zmiennej losowej Ze względu na rodzaj zbioru zdarzeń elementarnych skończony, nieskończony, przeliczalny, nie przeliczalny wyróżniamy typy zmiennych losowych: zmienna losowa skokowa - gdy skończony lub nieskończony ale przeliczalny zmienna losowa ciągła - gdy nie przeliczalny i jest przedziałem lub sumą przedziałów

4 Funkcja rozkładu Funkcję przyporządkowującą każdej wartości zmiennej losowej odpowiednie prawdopodobieństwo nazywamy funkcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej - funkcją rozkładu prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej skokowej - funkcją gęstości dla zmiennej losowej ciągłej

5 Zmienna losowa skokowa funkcja rozkładu prawdopodobieństwa f i P X i p i f i oraz i f i p i i

6 Zm.losowa ciągła funkcja gęstości f P X lim f dla R oraz f d

7 Zmienna losowa skokowa i f i =p i,,6, suma

8 Zmienna losowa ciągła f dla, dla,,5,5,,,6,8,

9 Podstawy rachunku całkowego C F d f f F R ' F jest funkcją pierwotną dla f f d F F b F a a b a b

10 Podstawowe wzory d C d C a d a C, a a d ln C a d a C, a, a lna

11 Przykład f dla, dla, f d d dla dla dla f d d

12 Zm. ciągła - przykład f,5 f=, f,5,5,,,5 dla dla dla dla dla ,,5 f=,5+,5, f=,-,5,

13 ,,,,} {,6 {,},5} {,75,},6,6 {,,6} {,8,5},5,5 {,5 },5, 8,5 8 {, }, {, },5,5,5 {,5,5,,,5 [,5,5,,,5,5 8 8 d d d d f Zm. ciągła - przykład

14 Zm. ciągła - przykład f,5,,5,,5,,,

15 Dystrybuanta zmiennej losowej - F Możemy utworzyć funkcję taka, która określi prawdopodobieństwo, że zmienna losowa nie przekroczy wartości tej funkcji: F F X P X funkcję tę nazywamy dystrybuantą zmiennej losowej F P X P p o i i i i F f d o dla zmiennej losowej skokowej dla zmiennej losowej ciągłej

16 Dystrybuanta F i p i F i,, kumulacja prawdopodobieństwa,6,68, razem

17 ,6 Dystrybuanta,,,,9,6,

18 Dystrybuanta,,,8,,9,6, F dla dla dla,,,6,8,

19 Własności dystrybuanty o Ograniczona wynika z własności prawdopodobieństwa o Co najmniej prawostronnie ciągła o Niemalejąca o Określona dla liczb rzeczywistych

20 Przykład Dla jakiej wartości parametru A dana funkcja może być funkcją gęstości zmiennej losowej X. A dla f dla pozostalych f d A A A d A A A

21 Zastosowanie dystrybuanty,5,,5,,5-6 8 f F==, F==,6 8 dla 8 dla dla - dla - dla F,6,5,,,,5,5,5,,,6 X F X F X P

22 i F i,5 Przykład,66 Które zdanie jest prawdą P X F X F X,66 P X F X F X,66 P X F X F X,66 P X F X F X,66,,,,

23 Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle, mediana, wartość modalna itd.

24 Wartość oczekiwana EX i i f p i dla zm.losowej skokowej d dla zm.losowej ciaglej Wartość oczekiwana EX wyznacza położenie najbardziej prawdopodobnej wartości zmiennej losowej

25 Wartość oczekiwana,,6,6,,6, i i i p EX,6,, d d f EX,,8,,,,6

26 ,5 7,5,95,5,95 }, {9,6 {,7} },5 {,65 },, 5,6 {,8,9} {,6 },5,5,5 {,5 },5, 8,5 8 {, }, {, },5,5,5 {,5,5,,,5 [,5,5,,,5,5 8 8 d d d d f EX Wartość oczekiwana,5,,5,,5-6 8 f

27 Wariancja D X i EX pi i i EX f d i p i - EX f d EX dla skokowej dla ciaglej Wariancja jest miarą rozrzutu wartości zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej

28 Wariancja,5,,8,6,,,6, EX p X D i i i,,6,,6,,6 6 5, d EX d f EX,,8,,,,6

29 ,67 6,6 6,67 6,6 9,5,5 8} 79, {,8} {.8 },5 {,5,5,} 5,6 5,,8 {,8},8 {,5},5 8,5 {,5,5 },5, 8,5 8 {, }, {, },5,5,5 {,5,5,5,,,5 [,5,5,5,,,5,5 8 8 d d d EX d f X D Wariancja,5,,5,,5-6 8 f

30 Odchylenie standardowe DX D X Wskaźnik zmienności,6,6,,5 f,,5,,5-6 8 VX DX EX EX,,6,5 D X,5,,67 DX,78,,88 VX,668,,58

31 Kwantyle Kwantylem rzędu q zmiennej losowej X jest taka liczba q, że P X q czyli F q q Kwantyl rzędu / nazywamy medianą Me, lub inaczej wartością środkową ED 5 - dosis effectiva - mediana dawek efektywnych, LD 5 - dosis lethal - mediana dawek śmiertelnych - w medycynie czy przy truciznach. Kwantyle k / dla k=,, to kwartyle Kwantyle k / dla k=,...9 to decyle Kwantyle k / dla k=,...99 to centyle q

32 Kwantyle,5,,5,,5-6 8 f F=,5 =,5 8 dla 8 dla dla - dla - dla F,6,5,,,,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,5,5 /,5,5,5,5,5,5,5,5

33 Wartość środkowa - mediana Mediana Me to kwantyl rzędu,5 P X czyli F,5,5,5,5 Jeżeli EX = Me symetryczny to rozkład zmiennej losowej jest

34 Wartość modalna Wartość modalna Mo to taka wartość zmiennej losowej X dla której funkcja gęstości przyjmuje maksimum lokalne. Rozkład może być jedno i wielomodalny

35 Współczynnik asymetrii Współczynnik asymetrii skośności rozkładu zmiennej losowej X : i EX pi / D X dla skokowej i EX f d / D X dla ciaglej Dla rozkładów jednomodalnych: EX Mo DX Gdy = to rozkład symetryczny

36 Przykład W klatce znajdują się cztery białe myszy i dwie szare. Myszy przechodzą tunelem do innej klatki, przy czym zakładamy, że wchodzą do tunelu niezależnie. Wartością zmiennej losowej jest numer pierwszej szarej myszy przechodzącej tunelem. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej. Obliczyć EX, DX zmiennej losowej 5 5 /5 /5 /5 /5 /5 D 5 EX X

37 Przykład Dla jakiej wartości parametru A dana funkcja może być funkcją gęstości zmiennej losowej X. Obliczyć EX, DX f A dla dla pozostalych A d d d f EX d d X E d f X D

38 Ovis musimon