Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

2 Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona jest na co najwyżej przeliczalnej liczbie wartości nazywamy zmienną losową dyskretną

3 Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona jest na co najwyżej przeliczalnej liczbie wartości nazywamy zmienną losową dyskretną Przykład 1 Które wśród zmiennych: X wygrana Bolka w ruletkę (postawił na czerwone); Y liczba punktów Lolka przy strzale w tarczę; Z odległość strzału Lolka od środka tarczy; są zmiennymi losowymi dyskretnymi?

4 Definicja/Rozkład Definicja Dla zmiennej losowej X, dowolną liczbę rzeczywistą a R taką, że P X ({a}) = P (X = a) > 0 nazywamy atomem (rozkładu) zmiennej losowej X.

5 Definicja/Rozkład Przypomnienie Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy miarę funkcję prawdopodobieństwa (wyposażonej w σ-ciało zbiorów borelowskich B(R)) zadaną wzorem ( {ω } ) P X (A) := P Ω : X (ω) A = P(X A) = P ( X 1 (A) ) dla dowolnego borelowskiego zbioru A B(R) Rozkład zmiennej losowej dyskretnej Niech A = {a 1, a 2,...} będzie zbiorem wszystkich atomów dyskretnej zamiennej losowej X. Wtedy P X (A) = P (X A) = 1 i aby podać rozkład zmiennej X wystarczy podać wartości: P X ({a 1 }) = P (X = a 1 ), P X ({a 2 }) = P (X = a 2 ),. Dlaczego?

6 Definicja/Rozkład Własności rozkładu zmiennej losowej dyskretnej Niech A = {a 1, a 2,...} będzie zbiorem wszystkich atomów (rozkładu) zamiennej losowej dyskretnej X. Wtedy 1 P X ({x}) = P (X = x) > 0 dla x A; 2 x A P X ({x}) = x A P (X = x) = 1.

7 Definicja/Rozkład Przykład 2 Podaj rozkład zmiennej X równej wygranej Bolka w ruletkę. Przykład 3 Podaj rozkład zmiennej Y równej liczbie punktów zdobytych przez Lolka w rzucie do celu.

8 Definicja/Rozkład Histogram Przykład 2 c.d. Narysuj histogram zmiennej X równej wygranej Bolka w ruletkę.

9 Definicja/Rozkład Dystrybuanta Przypomnienie Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F : R R daną wzorem F (a) = P X ((, a]) = P (X a). Dystrybuanta zmiennej losowej dyskretnej Dystrybuanta zmiennej losowej F : R R dyskretnej X skupionej na zbiorze wartości (atomów) {x 1, x 2,...} jest dana wzorem: F (a) = P (X a) = P X ({x i }) = P (X = x i ). x i a x i a

10 Definicja/Rozkład Dystrybuanta F (a) = P (X a) = P X ({x i }) = P (X = x i ). x i a x i a Przykład 4 Spójrz na dystrybuantę zmiennej X równej wygranej Bolka w ruletkę odnieś to co widzisz do powyższego wzoru.

11 Definicja/Rozkład Własności dystrybuanty zmiennej dyskretnej Przypomnienie Dystrybuanta F zmiennej losowej ma następujące własności: 1 jest niemalejąca; 2 F ( ) = lim t F (t) = 0, 3 F ( ) = lim t F (t) = 1; 4 jest prawostronnie ciągła, tzn. F (t) = lim s t + F (s) Własności dystrybuanty zmiennej losowej dyskretnej W dodatku, jeśli zmienna losowa jest dyskretna i jest skupiona na zbiorze atomów {x 1, x 2,...}, to jej dystrybuanta F jest funkcją schodkową (przedziałami stałą); z punktami nieciągłości w x 1, x 2,....

12 Przykłady rozkładów dyskretnych

13 r. jednopunktowy Rozkład jednopunktowy... Przykład 5a W urnie jest n (n s) kul czarnych (i nie ma żadnych innych kul). Z urny losujemy s kul. Niech X będzie liczbą wyciągniętych kul czarnych. Podaj rozkład zmiennej losowej X. Przykład 5b Magik ma jedną monetę, która ma na obu stronach Orła. Rzuca tą monetą s razy. Niech X będzie liczbą Orłów, które wypadły w trakcie eksperymentu. Podaj rozkład zmiennej losowej X.

14 r. jednopunktowy Rozkład jednopunktowy jest skupiony w jednym punkcie, powiedzmy s P X ({s}) = P(X = s) = 1 jeśli X ma taki rozkład, wówczas 1 s

15 r. dwupunktowy Rozkład dwupunktowy (Bernoulliego)... Przykład 6a W urnie jest N kul (N m), z tego m kul czarnych a pozostałe są białe (gdzie m/n = p). Z urny losujemy jedną kulę. Niech X będzie liczbą wyciągniętych kul czarnych. Podaj rozkład zmiennej losowej X. Przykład 6b Magik ma jedną monetę, na której Orzeł wypada z prawdopodobieństwem p. Magik rzuca monetą. Niech X będzie liczbą Orłów, które wypadły w trakcie eksperymentu. Podaj rozkład zmiennej losowej X.

16 r. dwupunktowy Rozkład dwupunktowy (Bernoulliego) jest skupiony na {0, 1}, jest opisywany przez parametr p, gdzie 0 p 1 X Be(p) gdy P X ({0}) = P (X = 0) = q = 1 p, P X ({1}) = P (X = 1) = p. p 1 p 0 1

17 r. dwumianowy Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) Przykład 7a W urnie jest N kul (N m), z tego m kul czarnych a pozostałe są białe (gdzie m/n = p). Z urny losujemy kolejno ze zwracaniem n razy jedną kulę. Niech X będzie liczbą wyciągniętych kul czarnych. Podaj rozkład zmiennej losowej X. Przykład 7b Magik ma jedną monetę, na której Orzeł wypada z prawdopodobieństwem p. Magik rzuca monetą n razy. Niech X będzie liczbą Orłów, które wypadły w trakcie eksperymentu. Podaj rozkład zmiennej losowej X.

18 r. dwumianowy rozkład dwumianowy (Bernoulliego) Uwagi W obu powyższych przykładach X oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego z n doświadczeniami i prawdopodobieństwem sukcesu p, gdzie 0 p 1 jaki jest rozkład zmiennej X?

19 r. dwumianowy rozkład dwumianowy (Bernoulliego) Uwagi W obu powyższych przykładach X oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego z n doświadczeniami i prawdopodobieństwem sukcesu p, gdzie 0 p 1 jaki jest rozkład zmiennej X? X ma rozkład dyskretny skupiony na zbiorze {0, 1,..., n} X ma rozkład dwumianowy, X Bin(n, p) P X ({k}) = P(X = k) = ( ) n p k (1 p) n k, k dla k = 0, 1,..., n

20 r. dwumianowy Rozkład dwumianowy Jeśli X Bin(n, p), wówczas najbardziej prawdopodobna wartość (przynajmniej jeśli (n + 1)p / {0, 1, 2,... }) to (n + 1)p

21 r. dwumianowy Rozkład dwumianowy, n = 7, p = 0, (7 + 1) 0, 5 = 4

24 r. Poissona Rozkład Poissona W urnie jest N kul (N m), z tego m kul czarnych a pozostałe są białe (gdzie m/n = p). Z urny losujemy kolejno ze zwracaniem n razy jedną kulę. Niech X będzie liczbą wyciągniętych kul czarnych. Podaj rozkład zmiennej losowej X. Magik ma jedną monetę, na której Orzeł wypada z prawdopodobieństwem p. Magik rzuca monetą n razy. Niech X będzie liczbą Orłów, które wypadły w trakcie eksperymentu. Podaj rozkład zmiennej losowej X. X ma rozkład dwumianowy Bin(n, p). Jak wygląda ten rozkład, gdy n jest bardzo duże a p bardzo małe, np. np λ, gdzie λ stała i n?

25 r. Poissona Rozkład Poissona X ma rozkład dwumianowy Bin(n, p) oraz np λ, gdzie λ stała dodatnia i n bardzo duuuuże? Dla ustalonego k oraz p = p n takiego, że np n λ, gdy n ( ) n P (X = k) = p k k n(1 p n ) n k

26 r. Poissona Rozkład Poissona X ma rozkład dwumianowy Bin(n, p) oraz np λ, gdzie λ stała dodatnia i n bardzo duuuuże? Dla ustalonego k oraz p = p n takiego, że np n λ, gdy n P (X = k) = = ( ) n p k k n(1 p n ) n k n! k!(n k)! ( ) k ( npn n 1 np n n ) n k

27 r. Poissona Rozkład Poissona X ma rozkład dwumianowy Bin(n, p) oraz np λ, gdzie λ stała dodatnia i n bardzo duuuuże? Dla ustalonego k oraz p = p n takiego, że np n λ, gdy n P (X = k) = = = ( ) n p k k n(1 p n ) n k n! k!(n k)! ( ) k ( npn n 1 np n n ( n... (n k + 1) (np n ) k n k k! ) n k 1 np n n ) n ( 1 np n n ) k

28 r. Poissona Rozkład Poissona X ma rozkład dwumianowy Bin(n, p) oraz np λ, gdzie λ stała dodatnia i n bardzo duuuuże? Dla ustalonego k oraz p = p n takiego, że np n λ, gdy n P (X = k) = = = ( ) n p k k n(1 p n ) n k n! k!(n k)! ( ) k ( npn n 1 np n n ( n... (n k + 1) (np n ) k n k k! 1 λk k! e λ 1 = λk k! e λ. ) n k 1 np n n ) n ( 1 np n n ) k

29 r. Poissona Rozkład Poissona - przykłady c.d. Przykład 8a W urnie jest kul, z tego 1 kula czarna a pozostałe są białe (tzn. p = m/n = 1/10000). Z urny losujemy kolejno ze zwracaniem 5000 razy jedną kulę. Niech X będzie liczbą wyciągniętych kul czarnych. Podaj rozkład zmiennej losowej X. Jakim rozkładem możemy przybliżyć rozkład zmiennej losowej X? Przykład 8b Magik ma jedną monetę, na której Orzeł wypada z prawdopodobieństwem p = 1/ Magik rzuca monetą 5000 razy. Niech X będzie liczbą Orłów, które wypadły w trakcie eksperymentu. Podaj rozkład zmiennej losowej X. Jakim rozkładem możemy przybliżyć rozkład zmiennej losowej X?

30 r. Poissona Rozkład Poissona Zmienna X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0 ozn. X Po(λ), gdy jest skupiona na zbiorze {0, 1, 2,... } i P X ({k}) = P(X = k) = e λ λk k!

31 r. Poissona Rozkład Poissona - inne przykłady Przykład 8c Do dużego ciasta wrzucamy ogromną liczbę rodzynków, po upieczeniu ciasto kroimy na równe części (skoro ciasto było ogromne to części jest niezmiernie dużo), jaki rozkład ma liczba rodzynków w kawałku ciasta?

32 r. Poissona Rozkład Poissona - inne przykłady Przykład 8c Do dużego ciasta wrzucamy ogromną liczbę rodzynków, po upieczeniu ciasto kroimy na równe części (skoro ciasto było ogromne to części jest niezmiernie dużo), jaki rozkład ma liczba rodzynków w kawałku ciasta? Przykład 8d Mierzymy liczbę zdenerwowanych klientów, którzy przyszli w ciągu dnia do banku; jaki rozkład ma ta liczba?

33 r. Poissona Rozkład Poissona - inne przykłady Przykład 8c Do dużego ciasta wrzucamy ogromną liczbę rodzynków, po upieczeniu ciasto kroimy na równe części (skoro ciasto było ogromne to części jest niezmiernie dużo), jaki rozkład ma liczba rodzynków w kawałku ciasta? Przykład 8d Mierzymy liczbę zdenerwowanych klientów, którzy przyszli w ciągu dnia do banku; jaki rozkład ma ta liczba? ogólnie: mamy dużą liczbę obiektów, każdy z nich ma małą szansę, że coś ciekawego się z nim stanie, każdy obiekt jest niezależny, pytamy: z iloma obiektami coś ciekawego się stało?

34 r. Poissona Rozkład Poissona λ = 0,

35 r. Poissona Rozkład Poissona λ =

36 r. Poissona Rozkład Poissona λ =

37 r. geometryczny Rozkład geometryczny z parametrem 0 < p 1... Przykład 9a W urnie jest N kul (N m), z tego m kul czarnych a pozostałe są białe (gdzie m/n = p). Z urny losujemy kolejno ze zwracaniem jedną kulę, tak długo aż wyciągniemy kulę czarną. Niech X będzie liczbą wyciągniętych kul. Podaj rozkład zmiennej losowej X. Przykład 9b Magik ma jedną monetę, na której Orzeł wypada z prawdopodobieństwem p. Magik rzuca monetą tak długo aż uzyska Orła. Niech X będzie liczbą rzutów, które Magik wykonał w trakcie eksperymentu. Podaj rozkład zmiennej losowej X.

38 r. geometryczny Rozkład geometryczny z parametrem 0 < p 1... Uwagi W obu powyższych przykładach X oznacza liczbę prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p, gdzie 0 p 1, wykonanych do uzyskania pierwszego sukcesu. jaki jest rozkład zmiennej X? Rozkład geometryczny z parametrem 0 < p 1, (ozn. geom(p)) jest skupiony na zbiorze {1, 2, 3,... } P X ({k}) = P(X = k) = (1 p) k 1 p, dla k = 1, 2, 3...

39 r. geometryczny Rozkład geometryczny p = 0,

42 r. dwum. ujemny Rozkład ujemny dwumianowy Przykład 10a W urnie jest N kul (N m), z tego m kul czarnych a pozostałe są białe (gdzie m/n = p). Z urny losujemy kolejno ze zwracaniem jedną kulę, tak długo aż po raz r ty wyciągniemy kulę czarną. Niech X będzie liczbą wyciągniętych kul. Podaj rozkład zmiennej losowej X. Przykład 10b Magik ma jedną monetę, na której Orzeł wypada z prawdopodobieństwem p. Magik rzuca monetą tak długo aż po raz r ty uzyska Orła. Niech X będzie liczbą rzutów, które Magik wykonał trakcie eksperymentu. Podaj rozkład zmiennej losowej X.

43 r. dwum. ujemny Rozkład ujemny dwumianowy Rozważamy schemat Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p, gdzie 0 p < 1; czekamy na r-ty sukces. Ile wykonaliśmy prób? Zmienna o rozkładzie ujemnym dwumianowym z parametrami r {1, 2,... } oraz 0 p < 1 jest skupiona na zbiorze {r, r + 1, r + 2,... }, P X ({k}) = P(X = k) = ( ) k 1 (1 p) k r p r, dla k = r, r +1,... r 1

44 r. dwum. ujemny Rozkład ujemny dwumianowy Rozważamy schemat Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p, gdzie 0 p < 1; czekamy na r-ty sukces. Ile wykonaliśmy prób? Uwaga W klasycznych opracowaniach i podręcznikach rozkład ujemny dwumianowy definiuje się jako rozkład zmiennej losowej równej liczbie sukcesów w eksperymencie polegającym na oczekiwaniu na r tą porażkę. Istnieje prosta zależność między tym rozkładem a tym zdefiniowanym powyżej. My definiujemy tak, aby łatwiej było Państwu zauważyć związek między rozkładem geometrycznym a ujemnym dwumianowym.

45 r. hipergeom. Rozkład hipergeometryczny Przykład 11a W urnie jest N kul (N m), z tego m kul czarnych a pozostałe są białe. Z urny losujemy jednocześnie (kolejno bez zwracana) n kul (n m, n N m). Niech X będzie liczbą wyciągniętych kul czarnych. Podaj rozkład zmiennej losowej X.

46 r. hipergeom. Rozkład hipergeometryczny Mamy N elementów, spośród których m elementów jest specjalnych; losujemy n (n m, N m) różnych elementów tzn. losowanie jest bez zwracania / jednocześnie; jaki rozkład ma liczba wylosowanych specjalnych elementów? Zmienna losowa o rozkładzie hipergeometrycznym z parametrami: N, m, n jest skupiona na zbiorze {0, 1,..., n} ( m )( N m ) k n k P X ({k}) = P(X = k) = ( N dla k = 0, 1,..., n n)