Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.4. Momenty zmiennych losowych Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

2 Wprowadzenie Przykład 1 Rzucamy raz kostką Ile wynosi średnia liczba oczek, jaka może się pojawić?

3 Wprowadzenie Przykład 1 Rzucamy raz kostką na której 6 wypada pięć razy częściej niż inne możliwe wartości. Ile wynosi średnia liczba oczek, jaka może się pojawić?

4 Definicja (wartość oczekiwana zmiennej losowej dyskretnej) Jeśli X jest dyskretną zmienną losową skupioną na zbiorze wartości (o zbiorze atomów) {x 1, x 2,...}. Mówimy, że wartość oczekiwana zmiennej losowej X istnieje, gdy EX = i x i P (X = x i ) <, wtedy wartością oczekiwaną zmiennej losowej X nazywamy liczbę EX = i x i P (X = x i ). W przeciwnym przypadku mówimy, że wartość oczekiwana zmiennej losowej X nie istnieje. średnia ważona z wartości, na których skupiona jest zmienna X.

5 Wartość oczekiwana zmiennej losowej dyskretnej Przykład 2 Bolek postawił na czerwone w ruletkę. Wiemy już jaki ma rozkład zmienna losowa X równa liczbie żetonów, które wygra Bolek w jednej grze. P (X = 1) = P (X = 1) = Ile średnio wygrywa Bolek?

6 Wartość oczekiwana zmiennej losowej ciągłej Przykład 3 Gosia wychodzi z domu w dowolnym momencie między 1.00 a 6.00 po południu. Ile wynosi średni moment wyjścia Gosi?

7 Wartość oczekiwana zmiennej losowej ciągłej Przykład 3 Gosia wychodzi z domu w dowolnym momencie między 1.00 a 6.00 po południu. Prawdopodobieństwo wyjścia zwiększa się liniowo im bliżej Ile wynosi średni moment wyjścia Gosi?

8 Wartość oczekiwana dla rozkładów ciągłych Przypomnienie (dla zmiennej losowej dyskretnej) EX = i x i P (X = x i ). definicja Załóżmy, że X jest zmienną losową ciągłą z gęstością f to wartość oczekiwana zmiennej losowej X, oznaczana przez EX, jest zdefiniowana jako EX = x f (x) dx o ile istnieje tzn. o ile R x f (x) dx < ;

9 Wartość oczekiwana - definicja ogólna Wartość oczekiwana EX = i x i P (X = x i ) (X dyskretna). EX = x f (x) dx (X ciągła) Szczypta teorii miary itp. Dla całkowalnej (w sensie Lebesgue a) zmiennej losowej X określonej na (Ω, F, P) wartością oczekiwaną nazywamy liczbę EX = X dp. Ω

10 Własności wartości oczekiwanej Szczypta teorii miary itp. Całka Lebesgue a ma podobne własności do całki Riemanna. Dla funkcji całkowalnych X, X 1, X 2 określonych na (Ω, F, P) z P (Ω) = 1 (i) Jeśli X 0, to X dp 0. Ω Twierdzenie Wartość oczekiwana ma następujące własności. Dla zmiennych losowych X, X 1, X 2, które mają wartości oczekiwane (i) Jeśli X 0, to EX 0.

11 Własności wartości oczekiwanej Szczypta teorii miary itp. Całka Lebesgue a ma podobne własności do całki Riemanna. Dla funkcji całkowalnych X, X 1, X 2 określonych na (Ω, F, P) z P (Ω) = 1 (i) Jeśli X 0, to X dp 0. Ω (ii) Jeśli X 1 X 2, to Ω X1dP Ω X2dP. Twierdzenie Wartość oczekiwana ma następujące własności. Dla zmiennych losowych X, X 1, X 2, które mają wartości oczekiwane (i) Jeśli X 0, to EX 0. (ii) Jeśli X 1 X 2, to EX 1 EX 2.

12 Własności wartości oczekiwanej Szczypta teorii miary itp. Całka Lebesgue a ma podobne własności do całki Riemanna. Dla funkcji całkowalnych X, X 1, X 2 określonych na (Ω, F, P) z P (Ω) = 1 (i) Jeśli X 0, to X dp 0. Ω (ii) Jeśli X 1 X 2, to Ω X1dP Ω X2dP. (iii) X dp X dp Ω Ω Twierdzenie Wartość oczekiwana ma następujące własności. Dla zmiennych losowych X, X 1, X 2, które mają wartości oczekiwane (i) Jeśli X 0, to EX 0. (ii) Jeśli X 1 X 2, to EX 1 EX 2. (iii) EX E X

13 Własności wartości oczekiwanej Szczypta teorii miary itp. Całka Lebesgue a ma podobne własności do całki Riemanna. Dla funkcji całkowalnych X, X 1, X 2 określonych na (Ω, F, P) z P (Ω) = 1 (i) Jeśli X 0, to X dp 0. Ω (ii) Jeśli X 1 X 2, to Ω X1dP Ω X2dP. (iii) X dp X dp Ω Ω (iv) (addytywność) X 1 + X 2 jest całkowalna i Ω (X1 + X2)dP = X1dP + X2dP Ω Ω Twierdzenie Wartość oczekiwana ma następujące własności. Dla zmiennych losowych X, X 1, X 2, które mają wartości oczekiwane (i) Jeśli X 0, to EX 0. (ii) Jeśli X 1 X 2, to EX 1 EX 2. (iii) EX E X (iv) (addytywność) E(X 1 + X 2) istnieje i E(X 1 + X 2) = EX 1 + EX 2

14 Własności wartości oczekiwanej Szczypta teorii miary itp. Całka Lebesgue a ma podobne własności do całki Riemanna. Dla funkcji całkowalnych X, X 1, X 2 określonych na (Ω, F, P) z P (Ω) = 1 (i) Jeśli X 0, to X dp 0. Ω (ii) Jeśli X 1 X 2, to Ω X1dP Ω X2dP. (iii) X dp X dp Ω Ω (iv) (addytywność) X 1 + X 2 jest całkowalna i Ω (X1 + X2)dP = X1dP + X2dP Ω Ω (v) (liniowość) ax + b (dla a, b R) jest całkowalna i (ax + b)dp = a X dp + b Ω Ω Twierdzenie Wartość oczekiwana ma następujące własności. Dla zmiennych losowych X, X 1, X 2, które mają wartości oczekiwane (i) Jeśli X 0, to EX 0. (ii) Jeśli X 1 X 2, to EX 1 EX 2. (iii) EX E X (iv) (addytywność) E(X 1 + X 2) istnieje i E(X 1 + X 2) = EX 1 + EX 2 (v) (liniowość) E(aX + b) (dla a, b R) istnieje i E(aX + b) = aex + b

15 Własności wartości oczekiwanej Szczypta teorii miary itp. Całka Lebesgue a ma podobne własności do całki Riemanna. Dla funkcji całkowalnych X, X 1, X 2 określonych na (Ω, F, P) z P (Ω) = 1 (i) Jeśli X 0, to X dp 0. Ω (ii) Jeśli X 1 X 2, to Ω X1dP Ω X2dP. (iii) X dp X dp Ω Ω (iv) (addytywność) X 1 + X 2 jest całkowalna i Ω (X1 + X2)dP = X1dP + X2dP Ω Ω (v) (liniowość) ax + b (dla a, b R) jest całkowalna i (ax + b)dp = a X dp + b Ω Ω (vi) Jeśli X = I A (A F), to Ω I AdP = P (A). Twierdzenie Wartość oczekiwana ma następujące własności. Dla zmiennych losowych X, X 1, X 2, które mają wartości oczekiwane (i) Jeśli X 0, to EX 0. (ii) Jeśli X 1 X 2, to EX 1 EX 2. (iii) EX E X (iv) (addytywność) E(X 1 + X 2) istnieje i E(X 1 + X 2) = EX 1 + EX 2 (v) (liniowość) E(aX + b) (dla a, b R) istnieje i E(aX + b) = aex + b (vi) Jeśli X = I A (A F), to EI A = P (A).

16 Własności wartości oczekiwanej - cd. Dla dociekliwych - udowodnić powyższe twierdzenie dla zmiennych losowych dyskretnych i ciągłych lub sięgnąć po dowody z teorii miary.

17 Własności wartości oczekiwanej - cd. Dla dociekliwych - udowodnić powyższe twierdzenie dla zmiennych losowych dyskretnych i ciągłych lub sięgnąć po dowody z teorii miary. Dodatkowo z addytywności mamy, że dla dowolnej rodziny n zmiennych losowych mamy E(X 1 + X X n ) = EX 1 + EX EX n. Zastosowania podamy przy określaniu wartości oczekiwanej zmiennych o niektórych słynnych rozkładach.

18 Wartość oczekiwana funkcji zmiennych losowych Przykład 4 Zmienna losowa X ma rozkład: P (X = 2) = 1 7 P (X = 1) = 1 7 P (X = 0) = 1 7 P (X = 1) = 2 7 P (X = 2) = 2 7 Niech Y = X. Podaj rozkład zmiennej losowej Y i wyznacz EY. Rozwiązanie:

19 Wartość oczekiwana funkcji zmiennych losowych Przykład 4 Zmienna losowa X ma rozkład: P (X = 2) = 1 7 P (X = 1) = 1 7 P (X = 0) = 1 7 P (X = 1) = 2 7 P (X = 2) = 2 7 Niech Y = X. Podaj rozkład zmiennej losowej Y i wyznacz EY. Czy można to zrobić sprytniej? Rozwiązanie może trochę sprytniejsze :

20 Twierdzenie (i) Jeżeli X jest zmienną losową dyskretną skupioną na zbiorze wartości {x 1, x 2,...}, wtedy dla dowolnej funkcji h : R R Eh(X ) = i h(x i )P (X = x i ), o ile i h(x i) P (X = x i ) < (ii) Jeżeli X jest zmienną losową ciągłą o gęstości f, wtedy dla dowolnej funkcji h : R R takiej, że h 1 (A) B(R) dla dowolnego A B(R) Eh(X ) = o ile h(x)f (x) dx < h(x)f (x)dx,

21 Przykład 5 Zmienna losowa X ma rozkład P (X = i) = 1, dla i = 1, 2, i Wyznacz wartość oczekiwaną zmiennych losowych Y = ( 1 3 )X i Z = 2 X.

22 Przykład 6 Przypomnijmy, że Tola regularnie przychodzi na przystanek rano w dowolnym momencie między 7.00 a Czas przyjścia Toli na przystanek ma gęstość: 0 dla x < 0 f (x) = x dla 0 x 60 0 dla x > 60 i dzisiaj Toli pasuje tylko autobus 74 o rozkładzie: , 7.30, 8.00,... ; Oznaczmy: X czas przyjścia Toli na przystanek; Y czas odjechania Toli z przystanku (w minutach po 7.00). Przypomnijmy, że Y = 30 X 30. Wyznacz EY bez wyznaczania rozkładu zmiennej losowej Y.

23 Zmienne o dodatnich wartościach Twierdzenia dla zmiennych losowych o dodatnich wartościach Twierdzenie Niech X będzie zmienną losową dyskretną skupioną na zbiorze liczb całkowitych nieujemnych {0, 1, 2,...}. Wtedy Dowód: EX = P (X i). i=1

24 Zmienne o dodatnich wartościach Twierdzenia dla zmiennych losowych o dodatnich wartościach Twierdzenie Niech X będzie zmienną losową dyskretną skupioną na zbiorze liczb całkowitych nieujemnych {0, 1, 2,...}. Wtedy EX = P (X i). i=1 Twierdzienie Niech X będzie zmienną losową ciągłą skupioną na zbiorze liczb nieujemnych. Wtedy EX = 0 P (X > x) dx = 0 1 F (x)dx. Powyższe twierdzenia wykorzystamy do wyznaczenia wartości

25 Zmienne o dodatnich wartościach Twierdzenia dla zmiennych losowych o dodatnich wartościach Ogólniej Twierdzenie Jeżeli X 0 oraz p > 0, to + EX p = p y p 1 P(X > y)dy, 0 przy czym istnienie jednej strony implikuje istnienie drugiej i ich równość. Powyższe twierdzenie wykorzystamy do wyznaczenia wartości oczekiwanej niektórych słynnych rozkładów.

26 Wariancja skoncentrowanie wokół wartości oczekiwanej Przykład 7 P (X = 0) = 1 P (Y = 1) = P (Y = 1) = 1/2 P (Z = 100) = P (Z = 100) = 1/2 Oblicz EX, EY, EZ. Która z tych zmiennych losowych jest najbardziej skoncentrowana wokół wartości oczekiwanej?

27 Wariancja Wariancja Interesuje nas zatem średnie odchylenie zmiennej losowej X od wartości oczekiwanej, czyli wartość oczekiwana zmiennej losowej X EX.

28 Wariancja Wariancja Interesuje nas zatem średnie odchylenie zmiennej losowej X od wartości oczekiwanej, czyli wartość oczekiwana zmiennej losowej X EX. Z pewnych względów rozpatrujemy wartość oczekiwaną zmiennej losowej (X EX ) 2. UWAGA: EX to LICZBA nie zmienna losowa, czyli E(EX ) = EX Definicja Wariancją zmiennej losowej X nazywamy wartość ( VarX = E (X EX ) 2).

29 Wariancja Wariancja Interesuje nas zatem średnie odchylenie zmiennej losowej X od wartości oczekiwanej, czyli wartość oczekiwana zmiennej losowej X EX. Z pewnych względów rozpatrujemy wartość oczekiwaną zmiennej losowej (X EX ) 2. UWAGA: EX to LICZBA nie zmienna losowa, czyli E(EX ) = EX Definicja Wariancją zmiennej losowej X nazywamy wartość ( VarX = E (X EX ) 2). Definicja Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy wartość σ(x ) = VarX.

30 Wariancja Wygodny wzór Fakt Dowód: Przypomnienie VarX = E(X 2 ) (EX ) 2 addytywność i liniowość wartości oczekiwanej E(X 1 + X 2 + X 3 ) = EX 1 + EX 2 + EX 3, EaX + b = aex + b.

31 Wariancja Wygodny wzór Fakt Dowód: Przykład 7 c.d. VarX = E(X 2 ) (EX ) 2 P (X = 0) P (Y = 1) = P (Y = 1) = 1/2 P (Z = 100) = P (Z = 100) = 1/2 Oblicz VarX, VarY, VarZ σ(x ), σ(y ), σ(z).

32 Wariancja Przypomnienie E(aX + b) = aex + b. Fakt Dla a, b R i dowolnej zmiennej losowej X (o ile VarX istnieje) Var(aX + b) = a 2 VarX. Dowód:

33 Wariancja Przypomnienie E(aX + b) = aex + b. Fakt Dla a, b R i dowolnej zmiennej losowej X (o ile VarX istnieje) Dowód: Przykład 8 Var(aX + b) = a 2 VarX. Damian poszedł do kasyna i zagrał w pewną grę. Zmienna losowa X równa liczbie wygranych żetonów w grze ma wartość oczekiwaną 1 i wariancję 5. Za wejście do kasyna Damian zapłacił 100 złotych a każdy żeton ma wartość 10 złotych. Ile wynosi wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Y równej wygranej Damiana w złotówkach?

34 Wariancja Wariancja - podsumowanie definicja: VarX = E(X EX ) 2 ; wzór: VarX = EX 2 (EX ) 2 ; własność 1: Var(aX + b) = a 2 VarX. własność 2: VarX 0. własność 3: VarX = 0 w.t.w. P (X = c) = 1 dla pewnego c R. Uzasadnienie własności 2:... Uzasadnienie własności 3 pozostawiamy jako zadanie domowe w części C zadań.

35 Momenty wyższych rzędów Definicja Dla naturalnego r EX r nazywamy momentem zwykłym rzędu r; E X r nazywamy momentem absolutnym rzędu r; E(X EX ) r nazywamy momentem centralnym rzędu r; Uwaga: Wartość oczekiwana jest pierwszym momentem zwykłym. Wariancja jest drugim momentem centralnym. Znaczenie momentów wyższych rzędów poznamy później.