Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa

Transkrypt

1 Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Rozdział 06: Zmienne losowe. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016

2 Wprowadzenie Przykład 6.1 Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili zagrać w ruletkę. Pamiętamy, że Adam postawił na czerwone ; Znamy już przestrzeń probabilistyczną, która odpowiada temu eksperymentowi..

3 Wprowadzenie Przykład 6.1 Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili zagrać w ruletkę. Pamiętamy, że Adam postawił na czerwone ; Ile wynosi prawdopodobieństwo, że Adam dostanie dodatkowo jeden żeton ( wygra 1 )?

4 Wprowadzenie Przykład 6.1 Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili zagrać w ruletkę. Pamiętamy, że Adam postawił na czerwone ; Ile wynosi prawdopodobieństwo, że Adam dostanie dodatkowo jeden żeton ( wygra 1 )? Ile wynosi prawdopodobieństwo, że Adam straci postawiony żeton ( wygra -1 )?

5 Wprowadzenie Przykład 6.1 Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili zagrać w ruletkę. Pamiętamy, że Adam postawił na czerwone ; Ile wynosi prawdopodobieństwo, że Adam dostanie dodatkowo jeden żeton ( wygra 1 )? Ile wynosi prawdopodobieństwo, że Adam straci postawiony żeton ( wygra -1 )? Czego potrzebujemy, aby formalnie określić, jaki ma rozkład wygrana Adama?

6 Wprowadzenie Przykład 6.2 Bolek strzela jeden raz do tarczy. Wiemy, że zawsze trafia do tarczy. Bolek nie jest jednak wytrawnym strzelcem, więc w dowolny punkt tarczy trafia z tym samym prawdopodobieństwem. Znamy już przestrzeń probabilistyczną, która odpowiada temu eksperymentowi.

7 Wprowadzenie Przykład 6.2 Bolek strzela jeden raz do tarczy. Wiemy, że zawsze trafia do tarczy. Bolek nie jest jednak wytrawnym strzelcem, więc w dowolny punkt tarczy trafia z tym samym prawdopodobieństwem. Znamy już przestrzeń probabilistyczną, która odpowiada temu eksperymentowi. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że Bolek trafił za 10, 9, 8,..., 1 punkt.

8 Wprowadzenie Przykład 6.2 Bolek strzela jeden raz do tarczy. Wiemy, że zawsze trafia do tarczy. Bolek nie jest jednak wytrawnym strzelcem, więc w dowolny punkt tarczy trafia z tym samym prawdopodobieństwem. Znamy już przestrzeń probabilistyczną, która odpowiada temu eksperymentowi. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że Bolek trafił za 10, 9, 8,..., 1 punkt. Czego potrzebujemy, aby formalnie określić, jaki ma rozkład liczba punktów zdobyta przez Bolka?

9 Zmienna losowa Uwagi dotyczące Przykładów 6.1. i 6.2. W obu powyższych przykładach wygrana (liczba zdobytych żetonów/punktów) jest funkcją, która każdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowuje pewną wartość z R.

10 Zmienna losowa Uwagi dotyczące Przykładów 6.1. i 6.2. W obu powyższych przykładach wygrana (liczba zdobytych żetonów/punktów) jest funkcją, która każdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowuje pewną wartość z R. Definicja Funkcję X : Ω R nazywamy zmienną losową. Formalnie X powinna spełnić pewien dodatkowy warunek, związany z rodziną zdarzeń w przestrzeni (Ω, F, P).

11 Przykład 6.1 c.d. Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili zagrać w ruletkę. Adam postawił na czerwone ; Niech X : Ω R będzie zmienną losową równą wygranej Adama. Wtedy {X = 1} = X 1 ( 1) Ω, {X = 1} = X 1 (1) Ω, {X 0} = X 1 ((, 0]) Ω są zdarzeniami.

12 Przykład 6.1 c.d. Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili zagrać w ruletkę. Adam postawił na czerwone ; Niech X : Ω R będzie zmienną losową równą wygranej Adama. Wtedy {X = 1} = X 1 ( 1) Ω, {X = 1} = X 1 (1) Ω, {X 0} = X 1 ((, 0]) Ω są zdarzeniami. Zatem możemy wyznaczyć ich prawdopodobieństwo P (X = 1) =?,P (X = 1) =?,P (X 0) =?

13 Przykład 6.1 c.d. Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili zagrać w ruletkę. Adam postawił na czerwone ; Niech X : Ω R będzie zmienną losową równą wygranej Adama. Wtedy {X = 1} = X 1 ( 1) Ω, {X = 1} = X 1 (1) Ω, {X 0} = X 1 ((, 0]) Ω są zdarzeniami. Zatem możemy wyznaczyć ich prawdopodobieństwo P (X = 1) = ,P (X = 1) = P (X 0) = 37

14 Dystrybuanta Dla dowolnej zmiennej losowej można określić dystrybuantę.

15 Dystrybuanta Dla dowolnej zmiennej losowej można określić dystrybuantę. Definicja Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F : R R daną wzorem F (a) = P (X a). Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby a R zbiór {X a} = X 1 ((, a])) Ω jest zdarzeniem w (Ω, F, P).

16 Przykład 6.1 c.d. Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili zagrać w ruletkę. Adam postawił na czerwone ; Niech X : Ω R będzie zmienną losową równą wygranej Adama. Podaj dystrybuantę zmiennej losowej X.

17 Własności dystrybuanty Twierdzenie Dystrybuanta F zmiennej losowej ma następujące własności: 1 jest niemalejąca; 2 F ( ) = lim t F (t) = 0, 3 F ( ) = lim t F (t) = 1; 4 jest prawostronnie ciągła, tzn. F (t) = lim s t + F (s)

18 Przykład 6.1. cd Czy nie można opisać sytuacji Adama bardziej bezpośrednio: Ω = R, P({ 1}) = 19 37, P({1}) = 18 37,

19 Przykład 6.1. cd Czy nie można opisać sytuacji Adama bardziej bezpośrednio: Ω = R, trochę oszukana definicja P({ 1}) = 19 37, P({1}) = 18 37, rozkład zmiennej losowej to informacja o tym, jakie wartości ta zmienna losowa może przyjmować i jakie są prawdopodobieństwa tych wartości rozkład zmiennej losowej jest miarą probabilistyczną na R

20 No to w końcu czy można opisać sytuację Adama bardziej bezpośrednio czy nie można? Odp: można, i czasem warto. a w pewnych sytuacjach można, ale nie warto Z punktu widzenia praktycznego: rozkład zmiennej losowej niesie mniej informacji niż zmienna losowa, i czasem dobrze jest pozbyć się nadmiaru informacji, a czasem pozbywanie się informacji nie jest mądre.

21 Definicja Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy miarę probabilistyczną (funkcję prawdopodobieństwa) na prostej R zadaną wzorem P X (A) := P( {ω Ω : X (ω) A } ) = P(X A) dla dowolnego borelowskiego zbioru A R

22 Definicja Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy miarę probabilistyczną (funkcję prawdopodobieństwa) na prostej R zadaną wzorem P X (A) := P( {ω Ω : X (ω) A } ) = P(X A) dla dowolnego borelowskiego zbioru A R W konkretnych przypadkach (a tylko takie będziemy rozpatrywać) podanie rozkładu zmiennej losowej X jest o wiele prostsze niż podawanie miary dla każdego zbioru borelowskego.

23 Definicja Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy miarę probabilistyczną (funkcję prawdopodobieństwa) na prostej R zadaną wzorem P X (A) := P( {ω Ω : X (ω) A } ) = P(X A) dla dowolnego borelowskiego zbioru A R W konkretnych przypadkach (a tylko takie będziemy rozpatrywać) podanie rozkładu zmiennej losowej X jest o wiele prostsze niż podawanie miary dla każdego zbioru borelowskego. Przykład 6.1. cd W przypadku wygranej Adama X wystarczy podać P(X = 1) = , P(X = 1) = 37. Dlaczego?

24 Zmienne losowe dyskretne Trochę nazewnictwa Mówimy, że zmienna losowa X jest skupiona na zbiorze A, gdy P (X A) = 1 (wybieramy zwykle jak najmniejszy lub jak najładniejszy taki zbiór).

25 Zmienne losowe dyskretne Trochę nazewnictwa Mówimy, że zmienna losowa X jest skupiona na zbiorze A, gdy P (X A) = 1 (wybieramy zwykle jak najmniejszy lub jak najładniejszy taki zbiór). Przykład 6.1 c.d. Na jakich wartościach skupiona jest zmienna X równa wygranej Adama w ruletkę. Przykład 6.2 c.d. Na jakich wartościach skupiona jest zmienna Y równa liczbie punktów zdobytych przez Bolka.

26 Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona jest na co najwyżej przeliczalnej liczbie wartości nazywamy zmienną losową dyskretną

27 Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona jest na co najwyżej przeliczalnej liczbie wartości nazywamy zmienną losową dyskretną Przykład 6.1 i 6.2 c.d. Zmienne losowe z tych przykładów są dyskretne.

28 Definicja Dla zmiennej losowej dyskretnej X definiujemy funkcję masy prawdopodobieństwa f : R [0, 1] jako f (x) = P (X = x).

29 Definicja Dla zmiennej losowej dyskretnej X definiujemy funkcję masy prawdopodobieństwa f : R [0, 1] jako f (x) = P (X = x). Funkcja masy prawdopodobieństwa f zmiennej losowej dyskretnej X jest dodatnia (f (x) > 0) dla co najwyżej przeliczalnej liczby wartości: x 1, x 2, x 3,.... Są to wartości, na których skupiona jest zmienna losowa dyskretna X, oraz f (x i ) = P (X = x i ) = P (X {x 1, x 2, x 3,...}) = 1 i=1 i=1

30 Przykład 6.1 c.d. Podaj funkcję masy prawdopodobieństwa zmiennej X równej wygranej Adama w ruletkę. Przykład 6.2 c.d. Podaj funkcję masy prawdopodobieństwa zmiennej Y równej liczbie punktów zdobytych przez Bolka w rzucie do celu.

31 Przypomnienie Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy miarę funkcję prawdopodobieństwa zadaną wzorem P X (A) := P( {ω Ω : X (ω) A } ) = P(X A) dla dowolnego borelowskiego zbioru A R Rozkład zmiennej losowej dyskretnej Aby podać rozkład zmiennej losowej dyskretnej X, która jest skupiona na zbiorze wartości {x 1, x 2, x 3,...} wystarczy podać jej funkcję masy prawdopodobieństwa dla tych wartości. f (x 1 ) = P (X = x 1 ) f (x 2 ) = P (X = x 2 ). Dlaczego?

32 Histogram Przykład 6.1 c.d. Narysuj histogram zmiennej X równej wygranej Adama w ruletkę.

33 Dystrybuanta Przypomnienie Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F : R R daną wzorem F (a) = P (X a). Dystrybuanta zmiennej losowej dyskretnej Dystrybuantą zmiennej loswej dyskretnej X skupionej na zbiorze wartości {x 1, x 2,...} i o funkcji masy prawdopodobieństwa f nazywamy funkcję F : R R daną wzorem: F (a) = P (X a) = P (X = x i ) = f (x i ). x i a x i a

34 Dystrybuanta F (a) = P (X a) = P (X = x i ) = f (x i ). x i a x i a Przykład 6.1 c.d. Spójrz na dystrybuantę zmiennej X równej wygranej Adama w ruletkę odnieś to co widzisz do powyższego wzoru.

35 Własności dystrybuanty zmiennej dyskretnej Przypomnienie Dystrybuanta F zmiennej losowej ma następujące własności: 1 jest niemalejąca; 2 F ( ) = lim t F (t) = 0, 3 F ( ) = lim t F (t) = 1; 4 jest prawostronnie ciągła, tzn. F (t) = lim s t + F (s) Własności dystrybuanty zmiennej losowej dyskretnej W dodatku, jeśli zmienna jest dyskretna i jest skupiona na zbiorze wartości {x 1, x 2,...}, to dystrybuanta F jest funkcją schodkową; z punktami nieciągłości w x 1, x 2,....

36 Co powinnam/powinienem wiedzieć/umieć? znać definicję zmiennej losowej; znać definicję i własności dystrybuanty; znać definicję zmiennej losowej dyskretnej; znać definicję funkcji masy prawdopodobieństwa i jej własności; umieć podać rozkład zmiennej losowej dyskretnej; umieć narysować histogram dyskretnej zmiennej losowej o danym rozkładzie; umieć wyznaczyć dystrybuantę zmiennej loswej dyskretnej i podać jej własności.