WYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski

Transkrypt

1 WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE,

2 Wprowadzenie Gry hazardowe

3 Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

4 Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Interpretacja częstościowa.

5 Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Interpretacja częstościowa. Aksjomatyka Kołmogorowa 1933.

6 Przestrzeń Stanów Zbiór na którym będzie określone prawdopodobieństwo nazywamy przestrzenia stanów Ω.

7 Przestrzeń Stanów Zbiór na którym będzie określone prawdopodobieństwo nazywamy przestrzenia stanów Ω. Przestrzeń stanów Ω może zależeć od eksperymentu który chcemy opisać np. Ω = {O, R} dla rzutu moneta.

8 Przestrzeń Stanów Zbiór na którym będzie określone prawdopodobieństwo nazywamy przestrzenia stanów Ω. Przestrzeń stanów Ω może zależeć od eksperymentu który chcemy opisać np. Ω = {O, R} dla rzutu moneta. W klasycznej definicji prawdopodobieństwa chcielibyśmy, żeby Ω składała się z równie prawdopodobnych elementów ω.

9 Przestrzeń Stanów Zbiór na którym będzie określone prawdopodobieństwo nazywamy przestrzenia stanów Ω. Przestrzeń stanów Ω może zależeć od eksperymentu który chcemy opisać np. Ω = {O, R} dla rzutu moneta. W klasycznej definicji prawdopodobieństwa chcielibyśmy, żeby Ω składała się z równie prawdopodobnych elementów ω. Problem pojawia się przy opisie zjawisk ciagłych np. opis kata jaki tworzy rzucona igła z krawędzia stołu wymaga Ω = [0, 2π).

10 Sigma ciała Aby zdefiniować prawdopodobieństwo należy określić jakie podzbiory A zbioru Ω można będzie zmierzyć.

11 Sigma ciała Aby zdefiniować prawdopodobieństwo należy określić jakie podzbiory A zbioru Ω można będzie zmierzyć. W przestrzeni dyskretnej zwykle przyjmuje się, że mierzalne sa wszystkie podzbiory zbioru Ω

12 Sigma ciała Aby zdefiniować prawdopodobieństwo należy określić jakie podzbiory A zbioru Ω można będzie zmierzyć. W przestrzeni dyskretnej zwykle przyjmuje się, że mierzalne sa wszystkie podzbiory zbioru Ω W klasycznej definicji prawdopodobieństwa mówimy, że ω A dla A Ω sprzyja zdarzeniu A.

13 Sigma ciała Aby zdefiniować prawdopodobieństwo należy określić jakie podzbiory A zbioru Ω można będzie zmierzyć. W przestrzeni dyskretnej zwykle przyjmuje się, że mierzalne sa wszystkie podzbiory zbioru Ω W klasycznej definicji prawdopodobieństwa mówimy, że ω A dla A Ω sprzyja zdarzeniu A. Ogólnie ż adamy aby kiedykolwiek zdarzenia A 1, A 2,... można zmierzyć również mierzalne były pewne zdarzenia powstałe w wyniku operacji teoriomnogościowych.

14 Aksjomaty dla σ-ciała Mówimy, że F- rodzina podzbiorów zbioru Ω jest σ-ciałem jeśli:

15 Aksjomaty dla σ-ciała Mówimy, że F- rodzina podzbiorów zbioru Ω jest σ-ciałem jeśli: (F1), Ω należa do F;

16 Aksjomaty dla σ-ciała Mówimy, że F- rodzina podzbiorów zbioru Ω jest σ-ciałem jeśli: (F1), Ω należa do F; (F2) kiedykolwiek A F wtedy A c = Ω\A należy do F;

17 Aksjomaty dla σ-ciała Mówimy, że F- rodzina podzbiorów zbioru Ω jest σ-ciałem jeśli: (F1), Ω należa do F; (F2) kiedykolwiek A F wtedy A c = Ω\A należy do F; (F3) jeśli A 1, A 2,... należa do F wtedy k=1 A k F.

18 Interpretacje prawdopodobieństwa Klasyczna definicja: przyjmujemy, że poszczególne ω Ω sa równo prawdopodobne. Prawdopodobieństwo zbioru A jest równe A / Ω.

19 Interpretacje prawdopodobieństwa Klasyczna definicja: przyjmujemy, że poszczególne ω Ω sa równo prawdopodobne. Prawdopodobieństwo zbioru A jest równe A / Ω. Interpretacja częstościowa: powtarzamy ten sam eksperyment n razy w sposób niezależny, niech n(a) oznacza liczbę wystapień zdarzenia A. Jako p-stwo zdarzenia A przyjmujemy lim n n(a)/n.

20 Interpretacje prawdopodobieństwa Klasyczna definicja: przyjmujemy, że poszczególne ω Ω sa równo prawdopodobne. Prawdopodobieństwo zbioru A jest równe A / Ω. Interpretacja częstościowa: powtarzamy ten sam eksperyment n razy w sposób niezależny, niech n(a) oznacza liczbę wystapień zdarzenia A. Jako p-stwo zdarzenia A przyjmujemy lim n n(a)/n. Interpretacja częstościowa ma częściowe potwierdzenie w postaci MPWL, wymaga jednak wprowadzenia modelu probabilistycznego.

21 Funkcja prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwem P nazywamy funkcję określon a na przestrzeni F o wartościach w odcinku [0, 1].

22 Funkcja prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwem P nazywamy funkcję określona na przestrzeni F o wartościach w odcinku [0, 1]. W wypadku definicji klasycznej przyjmujemy, że Ω < oraz F = 2 Ω oraz P(ω) = 1/ Ω. Stad P(A) = A / Ω.

23 Funkcja prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwem P nazywamy funkcję określona na przestrzeni F o wartościach w odcinku [0, 1]. W wypadku definicji klasycznej przyjmujemy, że Ω < oraz F = 2 Ω oraz P(ω) = 1/ Ω. Stad P(A) = A / Ω. Ogólnie potrzeba aby funkcja prawdopodobieństwa była miara.

24 Aksjomaty dla funkcji prawdopodobieństwa Mówimy, że P : F [0, 1] jest prawdopodobieństwem (miara probabilistyczna), jeśli:

25 Aksjomaty dla funkcji prawdopodobieństwa Mówimy, że P : F [0, 1] jest prawdopodobieństwem (miara probabilistyczna), jeśli: (P1) 0 P(A) 1 dla każdego A F;

26 Aksjomaty dla funkcji prawdopodobieństwa Mówimy, że P : F [0, 1] jest prawdopodobieństwem (miara probabilistyczna), jeśli: (P1) 0 P(A) 1 dla każdego A F; (P2) P(Ω) = 1;

27 Aksjomaty dla funkcji prawdopodobieństwa Mówimy, że P : F [0, 1] jest prawdopodobieństwem (miara probabilistyczna), jeśli: (P1) 0 P(A) 1 dla każdego A F; (P2) P(Ω) = 1; (P3) A 1, A 2,... F oraz A i A j = dla i j, to P( k=1 A k) = k=1 P(A k).

28 Aksjomatyka Kołmogorowa Przestrzenia probabilistyczna nazywamy trójkę: (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem, F - σ-ciałem, a P funkcja prawdopodobieństwa.

29 Aksjomatyka Kołmogorowa Przestrzenia probabilistyczna nazywamy trójkę: (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem, F - σ-ciałem, a P funkcja prawdopodobieństwa. Dowolny podzbiór A F nazywamy zdarzeniem mierzalnym, a P(A) prawdopodobieństwem tego zdarzenia.

30 Aksjomatyka Kołmogorowa Przestrzenia probabilistyczna nazywamy trójkę: (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem, F - σ-ciałem, a P funkcja prawdopodobieństwa. Dowolny podzbiór A F nazywamy zdarzeniem mierzalnym, a P(A) prawdopodobieństwem tego zdarzenia. W przypadku Ω < zwykle F = 2 Ω, natomiast P jest całkowicie wyznaczona przez podanie wartości P(ω) dla wszystkich ω Ω.

31 Przykłady Prawdopodobieństwo na zbiorze przeliczalnym. Niech Ω = ω 1, ω 2... będzie zbiorem przeliczalnym, F = 2 Ω, definiujemy P(ω k ) = p k, k = 1, 2,...

32 Przykłady Prawdopodobieństwo na zbiorze przeliczalnym. Niech Ω = ω 1, ω 2... będzie zbiorem przeliczalnym, F = 2 Ω, definiujemy P(ω k ) = p k, k = 1, 2,... Prawdopodobieństwo geometryczne. Niech A oznacza miara zbioru A będacego podzbiorem zbioru Ω. Definiujemy F = B(Ω) oraz P(A) = A / Ω.

33 Własności funkcji prawdopodobieństwa P( ) = 0;

34 Własności funkcji prawdopodobieństwa P( ) = 0; A 1, A 2,..., A n parami rozłaczne, to P( n k=1 A k) = n k=1 P(A k);

35 Własności funkcji prawdopodobieństwa P( ) = 0; A 1, A 2,..., A n parami rozłaczne, to P( n k=1 A k) = n k=1 P(A k); A B to P(A) P(B) oraz P(B\A) = P(B) P(A);

36 Własności funkcji prawdopodobieństwa P( ) = 0; A 1, A 2,..., A n parami rozłaczne, to P( n k=1 A k) = n k=1 P(A k); A B to P(A) P(B) oraz P(B\A) = P(B) P(A); P(A B) = P(A) + P(B) P(A B);

37 Własności funkcji prawdopodobieństwa P( ) = 0; A 1, A 2,..., A n parami rozłaczne, to P( n k=1 A k) = n k=1 P(A k); A B to P(A) P(B) oraz P(B\A) = P(B) P(A); P(A B) = P(A) + P(B) P(A B); P( k=1 A k) k=1 P(A k).

38 Wzór właczeń i wyłaczeń Niech A 1, A 2,..., A n będa zdarzeniami losowymi.

39 Wzór właczeń i wyłaczeń Niech A 1, A 2,..., A n będa zdarzeniami losowymi. Zachodzi wzór n P(A 1 A 2... A n ) = P(A i ) i=1 i<j + ( 1) n+1 P(A 1 A 2... A n ). P(A i A j ) +...+

40 Reguła ciagłości Ciag A 1 A 2 A 3... nazywamy wstępujacym.

41 Reguła ciagłości Ci ag A 1 A 2 A 3... nazywamy wstępujacym. Wtedy lim n P(A n ) = P( k=1 A k).

42 Reguła ciagłości Ciag A 1 A 2 A 3... nazywamy wstępujacym. Wtedy lim n P(A n ) = P( k=1 A k). Ciag A 1 A 2 A 3... nazywamy zstępujacym.

43 Reguła ciagłości Ciag A 1 A 2 A 3... nazywamy wstępujacym. Wtedy lim n P(A n ) = P( k=1 A k). Ciag A 1 A 2 A 3... nazywamy zstępujacym. Wtedy lim n P(A n ) = P( k=1 A k)

44 Kombinatoryka Wariacje z powtórzeniami: liczba k-elementowych ci agów o wyrazach w zbiorze n-elementowym wynosi n k.

45 Kombinatoryka Wariacje z powtórzeniami: liczba k-elementowych ciagów o wyrazach w zbiorze n-elementowym wynosi n k. Wariacje bez powtórzeń: liczba różnowartościowych ciagów k-elementowych o wyrazach w zbiorze n-elementowym wynosi n!/(n k)! jeśli n k i 0 wpp.

46 Kombinatoryka Wariacje z powtórzeniami: liczba k-elementowych ciagów o wyrazach w zbiorze n-elementowym wynosi n k. Wariacje bez powtórzeń: liczba różnowartościowych ciagów k-elementowych o wyrazach w zbiorze n-elementowym wynosi n!/(n k)! jeśli n k i 0 wpp. Permutacje: liczba różnowartościowych ci agów n-elementowych w zbiorze n-elementowym wynosi n!.

47 Kombinatoryka Wariacje z powtórzeniami: liczba k-elementowych ciagów o wyrazach w zbiorze n-elementowym wynosi n k. Wariacje bez powtórzeń: liczba różnowartościowych ciagów k-elementowych o wyrazach w zbiorze n-elementowym wynosi n!/(n k)! jeśli n k i 0 wpp. Permutacje: liczba różnowartościowych ciagów n-elementowych w zbiorze n-elementowym wynosi n!. Kombinacje: liczba podzbiorów k-elementowych w zbiorze n-elementowym (k-elementowych ciagów rosnacych) wynosi ( ) n k = n!, n k i 0 wpp. k!(n k)!