a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);

Transkrypt

1 03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara probabilistyczna/prawdopodobieństwo Przestrzeń dyskretna Ω = {ω 1, ω, ω 3, } co najwyżej przeliczalny; F wszystkie podzbiory Ω; P zadana przez ciąg (p i ) i=1,, wzorem P ({ω i }) = p i (uwaga: i p i = 1) Przestrzeń z prawdopodobieństwem geometrycznym Ω zbiór borelowski w R n o dodatniej mierze; F podzbiory borelowskie w Ω (B(R n ) Ω); P dana wzorem P(A) = λ(a) λ(ω), gdzie λ oznacza miarę Lebesgue a w przestrzeni Rn A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne) dla rozdania kart w brydża, w którym przez rozdanie rozumiemy: a zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd); b zbiór wszystkich podziałów talii na 4 osoby (po 13 kart); c rodzina wszystkich zbiorów kart, które mógł dostać gracz S W każdym przypadku wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia A gracz S otrzymał 5 pików Zadanie A Rzucamy 3 razy kostką Jesteśmy zainteresowani liczbą wypadła dokładnie raz, które wypadły Niech A będzie zdarzeniem, że a Zbuduj model przestrzeni klasycznej dla tego doświadczenia, czyli takiej, w której wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A b Załóżmy, że budujemy uproszczony model przestrzeni dla tego doświadczenia, przy założeniu, że Ω = {(,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, )}, gdzie oznacza wynik inny niż Zdefiniuj prawdopodobieństwo P w tej przestrzeni tak, aby prawdopodobieństwo w tym modelu było zgodne z tym w modelu a) c Zbuduj uproszczony model dla Ω = {0, 1,, 3}, gdzie zdarzenia elementarne oznaczają liczbę wyrzuconych Opisz w kilku słowach, jakie modele przestrzeni probabilistycznej można zaproponować dla n rzutów kostką i tak samo opisanego zdarzenia A W kolejnych zadaniach podaj zawsze przestrzeń probabilistyczną Zadanie A3 Z przedziału [0; ] wybieramy jedną liczbę Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że a wybrana liczba jest liczbą wymierną b wybrana liczba jest liczbą niewymierną Zadanie A4 (Zadanie 5 17) Z przedziału [0, 1] wybrano losowo punkty, które podzieliły go na 3 odcinki Jaka jest szansa, że z tych odcinków da się skonstruować trójkąt Zadanie A5 Pociąg PKP Losowy Wicher ma przyjechać na stację Poznań Główny o godzinie 100 Gosia nie chce się spóźnić na pociąg, więc przychodzi na peron w losowym momencie między 1100 a 100 PKP działa jak działa, więc pociąg przyjeżdża w losowym momencie między 100 a 1300 Wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia, że a Gosia czekała na pociąg dokładnie 15 minut (przyszła dokładnie 15 minut przed przyjazdem pociągu) b Gosia czekała na pociąg co najmniej 15 minut? 1

2 B Zadania domowe Zadanie B1 Rzucamy 100 razy uczciwą monetą Zbuduj odpowiadający rzeczywistości model przestrzeni probabilistycznej a z prawdopodobieństwem klasycznym; b z Ω = {0, 1,,, 100} (gdzie zdarzenia elementarne odpowiadają liczbie wyrzuconych orłów) opisujący to doświadczenie W opisanej przestrzeni wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia A 40 razy wypadł orzeł Zadanie B Rzucamy 00 razy uczciwą kostką Zbuduj odpowiadający rzeczywistości klasyczny model przestrzeni probabilistycznej opisujący to doświadczenie W opisanej przestrzeni wyznacz prawdopodobieństwo zdarzeń A w ostatnim rzucie 6 wypadła po raz 50; B co najmniej raz wypadła 6; C dokładnie 35 razy wypadła 6; D dokładnie 35 razy wypadła 6 i 0 razy 5; E dokładnie 37 razy wypadła liczba podzielna przez 3 Zadanie B3 Losujemy kule z urny, w której jest 10 kul białych i 0 kul czarnych Zbuduj odpowiadający rzeczywistości model przestrzeni probabilistycznej a z prawdopodobieństwem klasycznym; b z Ω ={{, },{, },{, }} (gdzie zdarzenia elementarne odpowiadają zbiorom kolorów wylosowanych kul); c z Ω ={(, ),(, ),(, ),(, )} (gdzie zdarzenia elementarne odpowiadają kolorom kolejno wylosowanych kul); opisujący to doświadczenie W opisanej przestrzeni wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia A wylosowano kule różnego koloru Zadanie B4 Losujemy 10 losów z urny, w której jest 100 losów o wartości 1PLN i 00 losów o wartości 0PLN Zbuduj odpowiadający rzeczywistości model przestrzeni probabilistycznej a z prawdopodobieństwem klasycznym; b z Ω = {0, 1,,, 10} (gdzie zdarzenia elementarne odpowiadają wygranej kwocie) opisujący to doświadczenie W opisanej przestrzeni wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia A wygrano 3PLN Zadanie B5 Rzucamy obciążoną kostką do gry, dla której szóstka wypada razy częściej niż jedynka, a szansa wypadnięcia dla każdej z pozostałych liczb oczek wynosi 1/6 Zbuduj model przestrzeni probabilistycznej dla tego doświadczenia Jaka jest szansa wyrzucenia liczby parzystej? Zadanie B6 Zbuduj dwa różne modele przestrzeni probabilistycznej dla doświadczenia polegającego na rzucie dwiema dobrze wyważonymi kostkami sześciennymi, które mają następujące liczby oczek na ściankach: kostka A - 3,3,3,4,5,5; kostka B -,,,4,4,4 a Model klasyczny; b Model, w którym zdarzenia elementarne odpowiadają parom wyrzuconych liczb Następnie oblicz prawdopodobieństwo, że wyrzucona suma oczek na kostkach równa się 7 Zadanie B7 a Czy istnieje przestrzeń probabilistyczna, w której P ({ω}) = 0 dla wszystkich ω Ω? Jeśli nie, to udowodnij; jeśli tak podaj przykład takiej przestrzeni b Czy z faktu, że P (A) = 1 wynika, że A = Ω? Jeśli tak, to udowodnij; jeśli nie podaj kontrprzykład c Czy z faktu, że P (A) = 0 wynika, że A =? Jeśli tak, to udowodnij; jeśli nie podaj kontrprzykład d Czy z faktu, że P (A B) = P (A) + P (B) wynika, że A B =? Jeśli tak, to udowodnij; jeśli nie podaj kontrprzykład Zadanie B8 Drut metalowy o długości 0 cm zgięto w losowo wybranym punkcie Dłuższą z powstałych części zgięto jeszcze w dwóch miejscach w taki sposób, że powstała prostokątna ramka Oblicz prawdopodobieństwo, że pole otrzymanej ramki nie przekracza 1 cm

3 Zadanie B9 W kwadracie z brzegiem o boku 1 wybrano jeden punkt Ile wynosi prawdopodobieństwo, że znajduje się on a na pewnej przekątnej? b w wierzchołku kwadratu? c w odległości co najwyżej 1/ od środka kwadratu? Zadanie B10 Współczynniki a, b równania kwadratowego x +ax+b = 0 wybrano losowo z przedziału [ 1, 1] Wyznacz prawdopodobieństwo, że a) równanie ma jeden (podwójny) pierwiastek rzeczywisty; pierwiastki tego równania są rzeczywiste; c) iloczyn pierwiastków tego równania jest liczbą rzeczywistą dodatnią Zadanie B11 Na odcinku o długości 10 wybrano losowo dwa punkty Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległość między nimi jest większa niż 3? Zadanie B1 Ania i Basia umówiły się w restauracji między 16:00 a 17:00 Zakładamy, że każda z nich przychodzi w losowym momencie z podanego przedziału Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają, jeśli Ania na Basię czeka co najwyżej 10 minut (a potem wychodzi) a Basia na Anię czeka do 1700? Zadanie B13 Liczby rzeczywiste s i t wybieramy losowo z przedziału (0, ) Oblicz prawdopodobieństwo, że a ich iloczyn jest równy 1; b ich iloczyn nie przekracza 1 Zadanie B14 Z odcinka [0, 8] wybrano dwa punkty Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że środek odcinka, który tworzą te dwa punkty jest zawarty w odcinku [, 4] C Zadania dla chętnych Zadanie C1 (Zadanie 6 18) Wykazać, że jesli P(A n ) = 1 dla n = 1,,, to również P ( n=1 A n) = 1 (UWAGA: podaj przykład takiego ciągu zdarzeń A 1, A,, w którym A i Ω i P (A i ) = 1, dla każdego i = 1,, ) Zadanie C (Zadanie 3 17 ) Na odcinku AB umieszczono losowo dwa punkty L i M Oblicz prawdopodobieństwo, że z L jest bliżej do M niż do A Zadanie C3 Na okręgu umieszczono losowo trzy punkty A, B, C Jakie jest prawdopodobieństwo, że trójkąt ABC jest rozwartokątny? Zadanie C4 Liczbę rzeczywistą x wybrano losowo z odcinka [0, 1) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w jej rozwinięciu dziesiętnym a pierwsza cyfra po przecinku jest różna od 1? b ani pierwsza cyfra po przecinku, ani druga, nie jest równa 1? Zadanie C5 Rzucamy nieskończną liczbę razy kostką K4 (możliwe wyniki pojedynczego rzutu: 1,,3,4) Podaj przykład sensownej przestrzeni probabilistycznej, która dobrze opisuje ten eksperyment Potem policz w tej przestrzeni prawdopodobieństwo zdarzenia: nigdy nie wypadła 4 Zadanie C6 Niech b będzie ciągiem binarnym długości s Rzucamy nieskończenie wiele razy monetą i przypisujemy orłom 1, a reszkom 0 Obliczyć prawdopodobieństwo, że na jakichś s kolejnych miejscach pojawi się ciąg b (Uwaga: To zadanie jest łatwe, gdy użyje się Lematu Borela Cantelliego Prosimy o rozwiązanie wykorzystujące tylko podstawowe własności prawdopodobieństwa) Zadanie C7 Zadanie 4 17 Zadanie C8 Jesteśmy na pustyni i dysponujemy jedynie sprawiedliwą monetą Opisz algorytm, który korzystając tylko z niej, daje w losowy sposób jeden z dwóch wyników: TAK (z prawdopodobieństwem ) lub NIE (z prawdopodobieństwem 1 ) Twój opis może mieć postać schematu blokowego, pseudokodu lub opisu słownego Uzasadnij poprawność algorytmu Zadanie C9 Z kwadratu jednostkowego wybrano losowo punkt (x, y) Wyznaczyć funkcje: a f 1 (a) = P (min(x, 1/) a); b f (a) = P (max(x, 1/3) a); c f 3 (a) = P (min(x, y) a); d f 4 (a) = P (min(x, y) a); UWAGA: Spójrz na to zadanie jeszcze raz, gdy będziemy omawiać dystrybuanty zmiennych losowych 3

4 Odpowiedzi do niektórych zadań B1 P (A) = ( ) 100 a) (przestrzeń klasyczna) Ω zbiór ciągów długości 100 o wyrazach ze zbioru {O, R}, 100 Ω = {0, 1,,, 100} zdarzenia elementarne odpowiadają liczbie wyrzuconych orłów, 0 k 100 P ({k}) = (100 k ) 100 B P (A) = ( ) , P (B) = , P (C) = (00 35 ) Ω zbiór ciągów długości 00 o wyrazach ze zbioru {1,, 6}, 6 00 B3 P (A) = 10 0 = a) SPOSÓB I Ω zbiór dwuelementowych podzbiorów zbioru 30 kul, SPOSÓB : 6 00, P (D) = (00 35 )( ) Ω zbiór uporządkowanych par różnych kul (ciągów długości bez powtórzeń), Ω ={{, },{, },{, }}, P ({, }) = (10 c), P ({, }) = 10 0 Ω ={(, ),(, ),(, ),(, )},, P ({, }) = (0 P ((, )) = (10), P ((, )) = 0 30, P ((, )) = 30 0, P ((, )) = (0), B4 P (A) = (100 3 )( 00 a) SPOSÓB 1: 7 ) 0 10 ) = (10 3 )(100) 3(00) 7 (300) 10 Ω zbiór dziesięcioelementowych podzbiorów zbioru 300 losów, 0 10 ) SPOSÓB : 6 00, P (E) = (00 37 ) Ω zbiór dziesięcioelementowych ciągów o wyrazach ze zbioru 300 losów (losy nie mogą się powtarzać), (300) 10 4

5 Ω = {0, 1,, 10} 10 k) 0 10 ) 0 k 10 P ({k}) = (100 k )( 00 B5 Zbiór zdarzeń elementarnych: Ω = {1,, 3, 4, 5, 6} B6 a) F = {1,,3,4,5,6} wszystkie podzbiory Ω Prawdopodobieństwo: P ({1}) = 1/9, P ({}) = 1/6, P ({3}) = 1/6, P ({4}) = 1/6, P ({5}) = 1/6, P ({6}) = /9 UWAGA: Trzeba skorzystać z tego, że P ({1,, 3, 4, 5, 6}) = 1 Zbiór zdarzeń elementarnych: Ω = {(x, y) : x {3 1, 3, 3 3, 4, 5 1, 5 }, y { 1,, 3, 4 1, 4, 4 3 }} (3 1 oznacza, że jest pierwsza trójka - rozróżniamy boki kostki i liczby) F = Ω wszystkie podzbiory Ω Prawdopodobieństwo: /36 Zbiór zdarzeń elementarnych: Ω = {(3, ), (3, 4), (4, ), (4, 4), (5, ), (5, 4)} F = Ω wszystkie podzbiory Ω Prawdopodobieństwo: P ({(3, )}) = 1/4 P ({(3, 4)}) = 1/4 P ({(4, )}) = 1/1 P ({(4, 4)}) = 1/1 P ({(5, )}) = 1/6 P ({(5, 4)}) = 1/6 A suma oczek jest równa 7 P (A) = 5/1 B7 a) TAK NIE c) NIE d) NIE B8 3 5 B9 a) 0 0 c) π/4 B10 (a) 0 ( 3 (c) 1 B11 49/100 B1 47/7 B13 a) 0 (1 + ln )/4 B14 3/8 5