Statystyka i eksploracja danych
|
|
- Grzegorz Wilczyński
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014
2 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach
3 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowo-laboratoryjnych.
4 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowo-laboratoryjnych. 2 Egzamin dwuczęściowy:
5 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowo-laboratoryjnych. 2 Egzamin dwuczęściowy: Egzamin w laboratorium (analiza przykładowych danych za pomocą pakietu SPSS).
6 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowo-laboratoryjnych. 2 Egzamin dwuczęściowy: Egzamin w laboratorium (analiza przykładowych danych za pomocą pakietu SPSS). Egzamin ustny z teorii.
7 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowo-laboratoryjnych. 2 Egzamin dwuczęściowy: Egzamin w laboratorium (analiza przykładowych danych za pomocą pakietu SPSS). Egzamin ustny z teorii. 3 Do wykładu są prowadzone kursy wyrównawcze, gdzie osoby mające trudności z rachunkami, będą mogły uzupełnić swoje umiejętności.
8 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowo-laboratoryjnych. 2 Egzamin dwuczęściowy: Egzamin w laboratorium (analiza przykładowych danych za pomocą pakietu SPSS). Egzamin ustny z teorii. 3 Do wykładu są prowadzone kursy wyrównawcze, gdzie osoby mające trudności z rachunkami, będą mogły uzupełnić swoje umiejętności. Podstawą zajęć wyrównawczych jest opracowanie. Repetytorium z teorii prawdopodobieństwa.
9 Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach
10 Literatura podstawowa Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach
11 Literatura podstawowa Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 W. Niemiro Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, Szkoła Nauk Ścisłych, Warszawa 1999.
12 Literatura podstawowa Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 W. Niemiro Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, Szkoła Nauk Ścisłych, Warszawa T. Morzy Eksploracja danych. Metody i algorytmy, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2013.
13 Literatura uzupełniająca Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach
14 Literatura uzupełniająca Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 J. Jakubowski i R. Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, Warszawa 2004,
15 Literatura uzupełniająca Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 J. Jakubowski i R. Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, Warszawa 2004, 2 D.T. Larose Odkrywanie wiedzy z danych. Wprowadzenie do eksploracji danych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa D.T. Larose Metody i modele eksploracji danych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2008.
16 Literatura uzupełniająca Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 J. Jakubowski i R. Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, Warszawa 2004, 2 D.T. Larose Odkrywanie wiedzy z danych. Wprowadzenie do eksploracji danych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa D.T. Larose Metody i modele eksploracji danych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa R. Zieliński Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej, PWN Warszawa 1990.
17 Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Zagadnienia omawiane na wykładach będą dostępne na wydziałowym serwerze Moodle a w kategorii Studia stacjonarne/statystyka i eksploracja danych
18 Co to jest... Informacje ogólne Co to jest... Prognozy wyborcze
19 Co to jest... Informacje ogólne Co to jest... Prognozy wyborcze Rachunek prawdopodobieństwa to sztuka (umiejętność) obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
20 Co to jest... Informacje ogólne Co to jest... Prognozy wyborcze Rachunek prawdopodobieństwa to sztuka (umiejętność) obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. Teoria prawdopodobieństwa to dział matematyki, na którym opierają się praktyczne obliczenia dokonywane w rachunku prawdopodobieństwa.
21 Co to jest... Informacje ogólne Co to jest... Prognozy wyborcze Rachunek prawdopodobieństwa to sztuka (umiejętność) obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. Teoria prawdopodobieństwa to dział matematyki, na którym opierają się praktyczne obliczenia dokonywane w rachunku prawdopodobieństwa. Statystyka to sztuka (umiejętność) wnioskowania na podstawie próby losowej.
22 Co to jest... Informacje ogólne Co to jest... Prognozy wyborcze Rachunek prawdopodobieństwa to sztuka (umiejętność) obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. Teoria prawdopodobieństwa to dział matematyki, na którym opierają się praktyczne obliczenia dokonywane w rachunku prawdopodobieństwa. Statystyka to sztuka (umiejętność) wnioskowania na podstawie próby losowej. Statystyka matematyczna to dział matematyki, który rozwija metody uzasadniające poprawność wnioskowania statystycznego.
23 Co to jest... Informacje ogólne Co to jest... Prognozy wyborcze Rachunek prawdopodobieństwa to sztuka (umiejętność) obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. Teoria prawdopodobieństwa to dział matematyki, na którym opierają się praktyczne obliczenia dokonywane w rachunku prawdopodobieństwa. Statystyka to sztuka (umiejętność) wnioskowania na podstawie próby losowej. Statystyka matematyczna to dział matematyki, który rozwija metody uzasadniające poprawność wnioskowania statystycznego. Eksploracja danych (drążenie danych, ekstrakcja danych) to umiejętność wydobywania użytecznych informacji z dużych zbiorów danych.
24 Co to jest... Prognozy wyborcze Przykład. Wybory parlamentarne 9 października 2011 OBOP PKW wyniki PO 39,5% 39,18% PiS 29,1% 28,89% RP 10,3% 10,02% SLD 9,2% 8,24% PSL 8,7% 8,36% PJN 1,8% 2,19% Frekwencja 47,5% 48,87 %
25 Co to jest... Prognozy wyborcze Przykład. Wybory parlamentarne 9 października 2011 OBOP Exit pools PKW wyniki PO 39,6% 39,18% PiS 30,1% 28,89% RP 10,1% 10,02% SLD 7,7% 8,24% PSL 8,2% 8,36% PJN 2,2% 2,19% Frekwencja 47,7% 48,87 %
26 Co to jest... Prognozy wyborcze Przykład. Wybory parlamentarne 9 października 2011 Homo Homini Exit pools PKW wyniki PO 37,3% 39,18% PiS 29,1% 28,89% RP 8,6% 10,02% SLD 11,6% 8,24% PSL 9,5% 8,36% PJN 2,3% 2,19%
27 Słowniczek teorii prawdopodobieństwa
28 Słowniczek teorii prawdopodobieństwa Definicja przestrzeni probabilistycznej
29 Słowniczek teorii prawdopodobieństwa Definicja przestrzeni probabilistycznej Przestrzenią probabilistyczną nazywamy trójkę (Ω, F, P), gdzie
30 Słowniczek teorii prawdopodobieństwa Definicja przestrzeni probabilistycznej Przestrzenią probabilistyczną nazywamy trójkę (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem zdarzeń elementarnych (inaczej: elementy ω zbioru Ω nazywamy zdarzeniami elementarnymi).
31 Słowniczek teorii prawdopodobieństwa Definicja przestrzeni probabilistycznej Przestrzenią probabilistyczną nazywamy trójkę (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem zdarzeń elementarnych (inaczej: elementy ω zbioru Ω nazywamy zdarzeniami elementarnymi). F jest σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Elementy F nazywamy zdarzeniami.
32 Słowniczek teorii prawdopodobieństwa Definicja przestrzeni probabilistycznej Przestrzenią probabilistyczną nazywamy trójkę (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem zdarzeń elementarnych (inaczej: elementy ω zbioru Ω nazywamy zdarzeniami elementarnymi). F jest σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Elementy F nazywamy zdarzeniami. P : F [0, 1] jest prawdopodobieństwem na (Ω, F).
33 Interpretacja formalizmu
34 Interpretacja formalizmu Ω to zbiór wszystkich możliwych wyników eksperymentu losowego.
35 Interpretacja formalizmu Ω to zbiór wszystkich możliwych wyników eksperymentu losowego. Zdarzenia (elementy F) reprezentują fakty, których zajście możemy stwierdzić, tzn. dla A F zawsze możemy powiedzieć, czy wynik ω A, czy ω A. W ten sposób F reprezentuje całość wiedzy, którą możemy uzyskać w wyniku realizacji eksperymentu losowego.
36 Interpretacja formalizmu Ω to zbiór wszystkich możliwych wyników eksperymentu losowego. Zdarzenia (elementy F) reprezentują fakty, których zajście możemy stwierdzić, tzn. dla A F zawsze możemy powiedzieć, czy wynik ω A, czy ω A. W ten sposób F reprezentuje całość wiedzy, którą możemy uzyskać w wyniku realizacji eksperymentu losowego. F nigdy nie może zajść (jest zdarzeniem niemożliwym ), więc P( ) = 0. Ale idziemy dalej: P(A) = 0 oznacza, że zdarzenie A jest niemożliwe, choć może być A.
37 Interpretacja formalizmu Ω to zbiór wszystkich możliwych wyników eksperymentu losowego. Zdarzenia (elementy F) reprezentują fakty, których zajście możemy stwierdzić, tzn. dla A F zawsze możemy powiedzieć, czy wynik ω A, czy ω A. W ten sposób F reprezentuje całość wiedzy, którą możemy uzyskać w wyniku realizacji eksperymentu losowego. F nigdy nie może zajść (jest zdarzeniem niemożliwym ), więc P( ) = 0. Ale idziemy dalej: P(A) = 0 oznacza, że zdarzenie A jest niemożliwe, choć może być A. Ω F zachodzi zawsze (jest zdarzeniem pewnym ), więc P(Ω) = 1. Podobnie: P(A) = 1 oznacza, że zdarzenie A jest pewne, choć może być A Ω.
38 Definicje matematyczne Stwierdzenie F jest σ-algebrą oznacza, że:
39 Definicje matematyczne Stwierdzenie F jest σ-algebrą oznacza, że: 1 F, Ω F.
40 Definicje matematyczne Stwierdzenie F jest σ-algebrą oznacza, że: 1 F, Ω F. 2 Jeżeli A F, to również A c F.
41 Definicje matematyczne Stwierdzenie F jest σ-algebrą oznacza, że: 1 F, Ω F. 2 Jeżeli A F, to również A c F. 3 Jeżeli A 1, A 2,... F, to j=1 A j F.
42 Definicje matematyczne Stwierdzenie F jest σ-algebrą oznacza, że: 1 F, Ω F. 2 Jeżeli A F, to również A c F. 3 Jeżeli A 1, A 2,... F, to j=1 A j F. Zauważmy związki działań na zbiorach i działań logicznych na faktach.
43 Definicje matematyczne Stwierdzenie F jest σ-algebrą oznacza, że: 1 F, Ω F. 2 Jeżeli A F, to również A c F. 3 Jeżeli A 1, A 2,... F, to j=1 A j F. Zauważmy związki działań na zbiorach i działań logicznych na faktach. Może być F = 2 Ω, ale w ogólności F 2 Ω (interpretacja!).
44 Definicje matematyczne - cd. Stwierdzenie P : F [0, 1] jest prawdopodobieństwem oznacza, że:
45 Definicje matematyczne - cd. Stwierdzenie P : F [0, 1] jest prawdopodobieństwem oznacza, że: 1 P( ) = 0, P(Ω) = 1.
46 Definicje matematyczne - cd. Stwierdzenie P : F [0, 1] jest prawdopodobieństwem oznacza, że: 1 P( ) = 0, P(Ω) = 1. 2 Jeżeli zdarzenia A 1, A 2,..., A n są parami rozłączne (tzn. A i A j = dla i, j = 1, 2,...., n, i j), to P( n A j ) = j=1 n P(A j ). j=1
47 Definicje matematyczne - cd. Stwierdzenie P : F [0, 1] jest prawdopodobieństwem oznacza, że: 1 P( ) = 0, P(Ω) = 1. 2 Jeżeli zdarzenia A 1, A 2,..., A n są parami rozłączne (tzn. A i A j = dla i, j = 1, 2,...., n, i j), to P( n A j ) = j=1 n P(A j ). 3 Jeżeli zdarzenia A 1, A 2,... F tworzą ciąg wstępujący (tzn. A i A i+1 dla i = 1, 2,....), to P( j=1 j=1 A j ) = lim P(A j ). j
48 Definicje matematyczne - cd.
49 Definicje matematyczne - cd. Własność P( n j=1 A j ) = n j=1 P(A j ) dla ciągów parami rozłącznych nazywamy addytywnością prawdopodobieństwa.
50 Definicje matematyczne - cd. Własność P( n j=1 A j ) = n j=1 P(A j ) dla ciągów parami rozłącznych nazywamy addytywnością prawdopodobieństwa. Własność P( j=1 A j) = lim j P(A j ) dla ciągów rosnących nazywamy ciągłością z dołu prawdopodobieństwa.
51 Definicje matematyczne - cd. Własność P( n j=1 A j ) = n j=1 P(A j ) dla ciągów parami rozłącznych nazywamy addytywnością prawdopodobieństwa. Własność P( j=1 A j) = lim j P(A j ) dla ciągów rosnących nazywamy ciągłością z dołu prawdopodobieństwa. Warunki 1-3 w powyższej definicji nie są minimalne. Minimalny zbiór warunków określający prawdopodobieństwo możemy zapisać np. tak:
52 Definicje matematyczne - cd. Własność P( n j=1 A j ) = n j=1 P(A j ) dla ciągów parami rozłącznych nazywamy addytywnością prawdopodobieństwa. Własność P( j=1 A j) = lim j P(A j ) dla ciągów rosnących nazywamy ciągłością z dołu prawdopodobieństwa. Warunki 1-3 w powyższej definicji nie są minimalne. Minimalny zbiór warunków określający prawdopodobieństwo możemy zapisać np. tak: P(Ω) = 1.
53 Definicje matematyczne - cd. Własność P( n j=1 A j ) = n j=1 P(A j ) dla ciągów parami rozłącznych nazywamy addytywnością prawdopodobieństwa. Własność P( j=1 A j) = lim j P(A j ) dla ciągów rosnących nazywamy ciągłością z dołu prawdopodobieństwa. Warunki 1-3 w powyższej definicji nie są minimalne. Minimalny zbiór warunków określający prawdopodobieństwo możemy zapisać np. tak: P(Ω) = 1. Jeżeli A 1, A 2,..., są parami rozłączne, to P( A j ) = P(A j ). j=1 j=1 (prawdopodobieństwo jest σ- addytywne).
54 Definicje matematyczne - cd. Własność P( n j=1 A j ) = n j=1 P(A j ) dla ciągów parami rozłącznych nazywamy addytywnością prawdopodobieństwa. Własność P( j=1 A j) = lim j P(A j ) dla ciągów rosnących nazywamy ciągłością z dołu prawdopodobieństwa. Warunki 1-3 w powyższej definicji nie są minimalne. Minimalny zbiór warunków określający prawdopodobieństwo możemy zapisać np. tak: P(Ω) = 1. Jeżeli A 1, A 2,..., są parami rozłączne, to P( A j ) = P(A j ). j=1 (prawdopodobieństwo jest σ- addytywne). Zauważmy, że P( A j ) na sens w obu przypadkach, bo F jest σ-algebrą. j=1
55 Własności prawdopodobieństwa Twierdzenie (Własności prawdopodobieństwa)
56 Własności prawdopodobieństwa Twierdzenie (Własności prawdopodobieństwa) 1 Jeżeli A, B F, A B, to P(A) P(B).
57 Własności prawdopodobieństwa Twierdzenie (Własności prawdopodobieństwa) 1 Jeżeli A, B F, A B, to P(A) P(B). 2 Jeżeli A, B F, A B, to P(B \ A) = P(B) P(A).
58 Własności prawdopodobieństwa Twierdzenie (Własności prawdopodobieństwa) 1 Jeżeli A, B F, A B, to P(A) P(B). 2 Jeżeli A, B F, A B, to P(B \ A) = P(B) P(A). 3 W szczególności, jeżeli A F, to P(A c ) = 1 P(A).
59 Własności prawdopodobieństwa Twierdzenie (Własności prawdopodobieństwa) 1 Jeżeli A, B F, A B, to P(A) P(B). 2 Jeżeli A, B F, A B, to P(B \ A) = P(B) P(A). 3 W szczególności, jeżeli A F, to P(A c ) = 1 P(A). 4 (Własność subaddytywności) Dla dowolnych A 1, A 2,... F P( j A j ) j P(A j ).
60 Własności prawdopodobieństwa Twierdzenie (Własności prawdopodobieństwa) 1 Jeżeli A, B F, A B, to P(A) P(B). 2 Jeżeli A, B F, A B, to P(B \ A) = P(B) P(A). 3 W szczególności, jeżeli A F, to P(A c ) = 1 P(A). 4 (Własność subaddytywności) Dla dowolnych A 1, A 2,... F P( j A j ) j P(A j ). 5 (Ciągłość z góry). Jeżeli zbiory A 1, A 2,... F są zstępujące, tzn. A 1 A 2..., to P( j=1 A j ) = lim P(A j ). j
61 Zasada włączen i wyłączeń
62 Zasada włączen i wyłączeń Twierdzenie (Zasada włączeń i wyłączeń) Dla dowolnych A 1, A 2,..., A n F n n P( A j ) = P(A j ) j=1 + j=1 1 i<j n 1 i<j<k n P(A i A j ) P(A i A j A k )... + ( 1) n+1 P(A 1 A 2... A n ).
63 Informacje ogólne
64 Informacje ogólne Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Niech Ω będzie zbiorem skończonym i niech F = 2 Ω. Określamy P(A) = #A #Ω.
65 Informacje ogólne Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Niech Ω będzie zbiorem skończonym i niech F = 2 Ω. Określamy P(A) = #A #Ω. ( Zasada racji dostatecznej Laplace a.)
66 Informacje ogólne Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Niech Ω będzie zbiorem skończonym i niech F = 2 Ω. Określamy P(A) = #A #Ω. ( Zasada racji dostatecznej Laplace a.) Prawdopodobieństwo dyskretne. Niech Ω 0 = {ω 1, ω 2,...} będzie podzbiorem przeliczalnym zbioru Ω. Niech p 1, p 2,... 0, j p j = 1. Przyjmując z definicji 0, określamy P(A) = p j. {j : ω j A}
67 Informacje ogólne Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Niech Ω będzie zbiorem skończonym i niech F = 2 Ω. Określamy P(A) = #A #Ω. ( Zasada racji dostatecznej Laplace a.) Prawdopodobieństwo dyskretne. Niech Ω 0 = {ω 1, ω 2,...} będzie podzbiorem przeliczalnym zbioru Ω. Niech p 1, p 2,... 0, j p j = 1. Przyjmując z definicji 0, określamy P(A) = p j. (F = 2 Ω!) {j : ω j A}
68 cd. Informacje ogólne
69 cd. Informacje ogólne Niech Ω = R 1 i p(x) 0 będzie funkcją na R 1 taką, że p(x) dx = 1. +
70 cd. Informacje ogólne Niech Ω = R 1 i p(x) 0 będzie funkcją na R 1 taką, że p(x) dx = 1. Określamy: + P((a, b]) = b a p(x) dx, a < b, a, b R 1.
71 cd. Informacje ogólne Niech Ω = R 1 i p(x) 0 będzie funkcją na R 1 taką, że p(x) dx = 1. Określamy: + P((a, b]) = b a p(x) dx, a < b, a, b R 1. Jak wygląda F?
72 cd. Informacje ogólne Niech Ω = R 1 i p(x) 0 będzie funkcją na R 1 taką, że p(x) dx = 1. Określamy: + P((a, b]) = b a p(x) dx, a < b, a, b R 1. Jak wygląda F? To problem badany przez teorię miary i całki Lebesgue a.
73 cd. Informacje ogólne Niech Ω = R 1 i p(x) 0 będzie funkcją na R 1 taką, że p(x) dx = 1. Określamy: + P((a, b]) = b a p(x) dx, a < b, a, b R 1. Jak wygląda F? To problem badany przez teorię miary i całki Lebesgue a. Można pokazać, żenie istnieje prawdopodobieństwo Q : 2 R1 [0, 1] pokrywające się z P na odcinkach.
74 cd. Informacje ogólne Niech Ω = R 1 i p(x) 0 będzie funkcją na R 1 taką, że p(x) dx = 1. Określamy: + P((a, b]) = b a p(x) dx, a < b, a, b R 1. Jak wygląda F? To problem badany przez teorię miary i całki Lebesgue a. Można pokazać, żenie istnieje prawdopodobieństwo Q : 2 R1 [0, 1] pokrywające się z P na odcinkach. Z drugiej strony istnieje σ-algebra B 1 (tzw. zbiorów borelowskich) na którą można rozszerzyć funkcję P, tak aby spełnione były własności prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Przestrzeń probabilistyczna
9 października 2018 Zasady zaliczenia przedmiotu: Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. Zdanie egzaminu ustnego z treści wykładu. Literatura J. Jakubowski i R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Nieco historii
Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Nieco historii 6 października 2015 Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Nieco historii Zasady zaliczenia przedmiotu: Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. Zdanie
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski
WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoWstęp. Kurs w skrócie
Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie
Bardziej szczegółowo1.1 Rachunek prawdopodobieństwa
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Rachunek prawdopodobieństwa.................. 1 1.2 Literatura.............................. 1 1.3 Podstawy.............................. 2 2 Miara prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoZmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA
Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoMNRP r. 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Grzegorz Kowalczyk
MNRP 18.03.2019r. Grzegorz Kowalczyk 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Definicja (σ - ciało) Niech Ω - dowolny zbiór. Rodzinę F P (Ω), gdzie P (Ω) jest rodziną wszystkich podzbiorów
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 26 lutego 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 26 lutego 2018 1 / 16 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) zaliczenie wykładu
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. Forma prowadzenia zajęć. Odniesienie do efektów dla kierunku studiów K1A_W02
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2. Kod przedmiotu: RPr 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 20182019 4. Forma
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 12. Przynależność do grupy przedmiotów: Prawdopodobieństwo i statystyka
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2. Kod przedmiotu: RPr 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 20152016 4. Forma
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Bardziej szczegółowoWykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowo1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład I, 3.10.2017 PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: wtorki, godz. 9:15 s.?? strona z materiałami
Bardziej szczegółowoWykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 25 lutego 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 1 / 18 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoKARTA KURSU. Probability theory
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Rachunek prawdopodobieństwa Probability theory Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Ireneusz Krech Zespół dydaktyczny Dr Ireneusz Krech Dr Robert Pluta Opis kursu (cele
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowo12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Kod przedmiotu: RPiS 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rozdział 2.3: Przykłady przestrzeni probabilistycznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoStatystyka Astronomiczna
Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład I, 2.10.2018 PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: wtorki, godz. 9:15 s. B006 strona z materiałami
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoStatystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) 1 Przestrzeń probabilistyczna Zadanie 1 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Opisać przestrzeń zdarzeń
Bardziej szczegółowoKARTA KURSU. Elementy statystyki matematycznej. Mathematical statistics
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Elementy statystyki matematycznej Mathematical statistics Kod Punktacja ECTS* 5 Koordynator Dr Ireneusz Krech Zespół dydaktyczny: Dr Ireneusz Krech Dr Grażyna Krech Opis
Bardziej szczegółowoStatystyka z elementami rachunku prawdopodobieństwa
Statystyka z elementami rachunku prawdopodobieństwa dr hab. Tomasz Górecki tomasz.gorecki@amu.edu.pl Zakład Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki Matematycznej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowo12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Kod przedmiotu: RPiS 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:
Bardziej szczegółowostudia stacjonarne w/ćw zajęcia zorganizowane: 30/15 3,0 praca własna studenta: 55 Godziny kontaktowe z nauczycielem akademickim: udział w wykładach
Nazwa jednostki prowadzącej kierunek: Nazwa kierunku: Poziom kształcenia: Profil kształcenia: Moduły wprowadzające / wymagania wstępne: Nazwa modułu (przedmiot lub grupa przedmiotów) Osoby prowadzące:
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych
Statystyka i opracowanie danych Podstawowe definicje i twierdzenia Rachunku Prawdopodobieństwa Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl Konsultacje pół godziny przed zajęciami Plan Sprawy organizacyjne:
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoWykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estym. estymatorów
Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estymatorów Wrocław, 30 listopada 2016r Powtórzenie z rachunku prawdopodobieństwa Zbieżność Definicja 6.1 Niech ciąg {X } n ma rozkład o dystrybuancie
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne Krzysztof Jasiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń V Lieceum Ogólnokształące im. Jana Pawała II w Toruniu 13.03.2014 Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 10. WYMAGANIA WSTĘPNE: wiadomości i umiejętności z zakresu matematyki z semestru 1
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Matematyka 2. KIERUNEK: Mechanika i budowa maszyn 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/2 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 4 6. LICZBA GODZIN: 30 WY + 30
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak
Bardziej szczegółowoRachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe,
Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Semestr letni
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoSYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)
Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2015-2017 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Rachunek prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne
Bardziej szczegółowoWstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna 1 Plan:
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ MATEMATYKI KARTA PRZEDMIOTU
WYDZIAŁ MATEMATYKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Eksploracja Danych Nazwa w języku angielskim: Data Mining Kierunek studiów (jeśli dotyczy): MATEMATYKA I STATYSTYKA Stopień studiów i forma:
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki
Bardziej szczegółowoKARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 1
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Wprowadzenie do statystyki Introduction to statistics Kod Punktacja ECTS* 1 Koordynator Prof. dr hab. Jerzy Wołek Zespół dydaktyczny Prof. dr hab. Jerzy Wołek doktoranci
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Statystyka matematyczna (STA230) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Statystyka matematyczna (STA230) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/5 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 6 6. LICZBA GODZIN: 30
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne Prawdopodobieństwo warunkowe Jędrzej Potoniec Część I Podstawy interpretacji wyników badań medycznych Badanie raka Grupa kobiet w wieku 40 lat bierze udział w przesiewowej mammografi,
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowo02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoPoziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 3W E, 3C PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Teoria miary i całki Measure and Integration Theory Kod przedmiotu: Poziom
Bardziej szczegółowoSYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)
Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2015-2017 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Analiza rzeczywista Kod
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Podstawowe definicje i twierdzenia Rachunku Prawdopodobieństwa
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Podstawowe definicje i twierdzenia Rachunku Prawdopodobieństwa Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl Konsultacje wtorki godz.14.00-15.30 Plan Sprawy organizacyjne:
Bardziej szczegółowo