RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA

Transkrypt

1 Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym, abstrakcyjnym) realnego doswiadczenia losowego (eksperymentu losowego) jest tzw. przestrzeń probabilistyczna (skrót p.p.). P.p. eksperymentu losowego stanowi układ 3 pojęć oznaczany przez (Ω, S, P ), gdzie 1* Ω - przestrzeń zdarzeń elementarnych, 2* S - ciało zdarzeń (pewna rodzina podzbiorów przestrzeni Ω ), 3* P - rozkład p-stwa (miara probabilistyczna). Ad 1* W rachunku p-stwa zdarzenie elementarne jest pojęciem pierwotnym (zatem nie definiuje się go). Dla każdego doświadczenia losowego oddzielnie ustala się zbiór (przestrzeń) zdarzeń elementarnych Ω. Ω - przestrzeń zdarzeń elementarnych może być: zbiorem skończonym: Ω = { ω 1, ω 2,..., ω n } ; zbiorem przeliczalnym: Ω = { ω 1, ω 2,..., ω n,... } ; zbiorem nieprzeliczalnym: np. Ω = [0, 1]. Ad 2* Niech Ω R n tj. Ω jest n-wymiarową przestrzenią kartezjańską lub jej podzbiorem. Niech S oznacza dowolną rodzinę podzbiorów przestrzeni Ω, spełniającą warunki: (S1) Ω S, (S2) jeżeli A S, to A def = Ω A S, (S3) jeżeli A 1, A 2, S, to A 1 A 2... ozn. = Klasę zbiorów S A i S. nazywamy σ-ciałem lub przeliczalnie addytywnym ciałem zdarzeń. Najmniejsze takie ciało zawierające wszystkie zbiory otwarte z R n nazywamy ciałem zbiorów borelowskich i oznaczamy przez S. Zatem realnym zdarzeniom losowym w modelu abstrakcyjnym odpowiadają elementy rodziny S, czyli zdarzeniom losowym odpowiadają pewne podzbiory przestrzeni Ω. Z aksjomatów (S1)-(S3) wynika między innymi, że operacje na zdarzeniach prowadzą także do zdarzeń: np. A, B S = A B S, A B S, (A B) S, itp. Jeżeli Ω jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, to za zdarzenie losowe można uważać dowolny podzbiór przestrzeni Ω. 1

2 Przypomnienie Zdarzenie Ω S nazywamy zdarzeniem pewnym. Zdarzenie S nazywamy zdarzeniem niemożliwym. Mówimy, że zachodzi zdarzenie A, jeżeli zachodzi jedno ze zdarzeń elementarnych ω należących do A. Zawieranie się zdarzeń: A B A B. Suma zdarzeń: A B A lub B. Ogólniej: n A i,2,...,n A i, A i i N A i. Iloczyn zdarzeń: A B A i B. Ogólniej: n A i,2,...,n A i, A i i N A i. Mówimy, że zdarzenia A i B są rozłączne jeżeli ich łączna realizacja jest niemożliwa, tj. A B =. Różnica zdarzeń: A B A i ω / B. Zdarzenie przeciwne A: A Ω A. Prawa d Morgana: ( A B ) = A B ( A B ) = A B Ad 3* (Aksjomatyczna definicja miary probabilistycznej) Rozkładem p-stwa lub miarą prbabilistyczną nazywamy każdą funkcję P : S [0, 1], która zdarzeniom losowym A S przyporządowuje liczbę rzeczywistą P (A) tak, że spełnione są postulaty: (P1) P (Ω) = 1 (P2) Jeżeli A 1, A 2,... jest dowolnym ciągiem (skończonym lub nieskończonym) elementów rodziny S parami rozłącznych: A i A j = dla każdych i j, to P (A 1 A 2... ) = n=1 P (A n ). 2

3 Uwagi Dla A S liczba P (A) nazywa się prawdopodobieństwem zdarzenia A. P-stwo zdarzenia niemożliwego P ( ) = 0. P-stwo zdarzenia przeciwnego: P (A) = 1 P (A). P-stwo sumy zdarzeń (niekoniecznie rozłącznych): P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). A B to P (A) P (B). Gdy A 1, A 2,... jest nieskończonym ciągiem zdarzeń, to liczbowego o wyrazach nieujemnych. n=1 P (A n ) oznacza sumę zbieżnego szeregu Załóżmy, że dla eksperymentu losowego została zbudowana p.p. (Ω, S, P ). Interpretując P (Ω) jako masę jednostkową, można powiedzieć, że zadanie funkcji P : S [0, 1] określa sposób rozkładu masy jednostkowej na wszystkie zdarzenia losowe. Zauważmy, że aksjomaty p-stwa nie okreslają jednoznacznie funkcji P, lecz stanowią konieczne warunki, które funkcja P musi spełniać. Z drugiej strony przy konstrukcji P należy uwzględnić następujący postulat empiryczny: dla długiego ciągu powtórzeń danego doświadczenia losowego: P (A) = częstość zdarzenia A = ilość realizacji zdarzenia A ilość powtórzeń doświadczenia. Przykład 1 (klasyczna definicja prawdopodobieństwa) Jeżeli p.p. Ω składa się n zdarzeń elementarnych, tj. Ω = { ω 1, ω 2,..., ω n } oraz wszystkie zdarzenia jednoelementowe { ω i } gdzie i = 1, 2,..., n są jednakowo prawdopodobne, a więc P ( { ω 1 } ) = P ( { ω 2 } ) =... = P ( { ω n } ) = 1 n, to p-stwo dowolnego zdarzenia A składającego się z k zdarzeń elementarnych wyraża się wzorem P (A) = k n = liczba zd.elem. sprzyjajacych zd. A liczba wszystkich zd.elem. przestrzeni Ω. Przykład 2 (konstrukcji p.p. o przeliczalnej ilości zdarzeń elementarnych - rozkład dyskretny) Ω = { ω 1, ω 2,..., ω n } lub Ω = { ω 1, ω 2,..., ω n,... }, S - rodzina wszystkich podzbiorów przestrzeni Ω. Warto zauażyć, że jeżeli Ω = { ω 1, ω 2,..., ω n } jest skończona, to S = {, {ω 1 },..., {ω n }, {ω 1, ω 2 },..., Ω }. Mamy wówczas 2 n zdarzeń losowych. Rozkład p-stwa P : S [0, 1] okreslamy wzorami: P ( {ω 1 } ) = p i 0, i = 1, 2,..., gdzie p i = 1. i Tak wprowadzona funkcja p-stwa spełnia wszystkie aksjomaty p-stwa. Przykład 3 Esperyment losowy: poród, w którym obserwujemy płeć dziecka. Model matematyczny (Ω, S, P ) : Ω = { ω 1, ω 2 }, gdzie ω 1 - urodzenie dziewczynki, ω 2 - urodzenie chłopca. S = {, {ω 1 }, {ω 2 }, {ω 1, ω 2 } } (mamy 2 2 = 4 podzbiory 2-elementowej przetrzeni zdarzeń losowych). 3

4 P ( {ω 1 } ) = p 1 = 0, 5 i P ( {ω 2 } ) = p 2 = 0, 5 ( p 1 + p 2 = 1 ). Powyższy model matematyczny jest poprawny, jednak jest mało adekwatny do sytuacji demograficznej, np. w roku 1966 częstość urodzeń dziewczynek wynosiła 0,484. Zatem dokładniejszy model otrzymamy określając funkcję p-stwa w sposób następujący: P ( {ω 1 } ) = p 1 = 0, 484 i P ( {ω 2 } ) = p 2 = 0, 516. Niezależność zdarzeń losowych Zdarzenia A, B w p.p. (Ω, S, P ) nazywamy niezależnymi, jeżeli P (A B) = P (A) P (B). W przeciwnym przypadku zdarzenia A, B nazywamy zależnymi. Zdarzenia A 1, A 2,..., A n (n 2) lub zdarzenia A 1, A 2,..., A n,... nazywamy wzajemnie niezależnymi w p.p. (Ω, S, P ), gdy dla dowolnego skończonego podzbioru A i1, A i2,..., A ik zachodzi: P (A i1 A i2 A ik ) = P (A i1 ) P (A i2 ) P (A ik ). Przykład 4 Eksperyment losowy: losowanie jednej liczby z { 1, 2, 3, 4 }. Model matematyczny: Ω = { ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 }, ω i - wylosowanie liczby i S - rodzina wszystkich podzbiorów Ω P ( {ω i } ) = p i = 1 4, i = 1, 2, 3, 4. Rozważmy zdarzenia: A = {ω 1, ω 2 }, B = {ω 1, ω 3 }, C = {ω 1, ω 4 }. Wówczas P (A) = P (B) = P (C) = 1 2. Ponieważ A B = A C = B C = {ω 1 }, to P (A B) = P (A C) = P (B C) = 1 4. Zatem zdarzenia: A i B są niezależne, A i C są niezależne, B i C są niezależne. Jednocześnie A B C = {ω 1 }, zatem P (A B C) = 1 4. Czyli P (A B C) P (A) P (B) P (C) = 1 8, tzn. zdarzenia A, B i C są zależne. Przykład 5 Zbadać, który z następujących układów ma większą niezawodność, przy założeniu, że przekaźniki działają niezależnie i niezawodność każdego z nich jest równa p (0 < p < 1). 4

5 Niezawodność elementu rozumiemy jako p-stwo tego, że działa poprawnie w ciągu określonego czasu. Określamy zdarzenia losowe: A i - i-ty przekaźnik będzie pracował niezawodnie w czasie T, i = 1, 2, 3, 4, P (A i ) = p, A - układ 1 będzie pracował niezawodnie w czasie T, B - układ 2 będzie pracował niezawodnie w czasie T. Z treści zadania wynika, że zdarzenia A 1, A 2, A 3, A 4 są niezależne. Ponieważ A = (A 1 A 2 A 3 ) A 4 i B = (A 1 A 2 ) (A 3 A 4 ), to P (A) = P ( (A 1 A 2 A 3 ) A 4 ) = P ( A 1 A 2 A 3 ) + P (A 4 ) P ( A 1 A 2 A 3 A 4 ) = p 3 + p p 4 P (B) = P ( (A 1 A 2 ) (A 3 A 4 ) ) = P ( A 1 A 2 ) + P ( A 3 A 4 ) P ( A 1 A 2 A 3 A 4 ) = 2p 2 p 4. Ażeby stwierdzić, który z układów jest bardziej niezawodny ustalamy znak różnicy: P (A) P (B) = p 3 + p p 4 (2p 2 p 4 ) = p 3 2p 2 + p = p(p 1) 2 > 0. Zatem P (A) > P (B), a to oznacza, że większą niezawodność posiada układ pierwszy. Uwaga Materiały te należy traktować jako wstep do wykładów z Rachunku Prawdopodobieństwa. Polecam również pozycje literatury: W. Kordecki, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Definicje, twierdzenia, wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2003 H. Jasiulewicz, W. Kordecki, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2003 A. Plucińska, E. Pluciński, Elementy probabilistyki, PWN Warszawa 1981 A. Plucińska, E. Pluciński, Zadania z probabilistyki, PWN Warszawa 1983 W. Krysicki..., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, PWN Warszawa 2005 R. Leitner, J. Zacharski, Zarys matematki wyższej, część III, WNT Warszawa