Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rozdział 2.3: Przykłady przestrzeni probabilistycznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

2 Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna Definicja Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie: Ω jest dowolnym zbiorem (przestrzeń zdarzeń elementarnych), F jest σ ciałem podzbiorów zbioru Ω (rodzina zdarzeń losowych), P : F [0, 1] jest funkcją prawdopodobieństwa (miarą probabilistyczną) (prawdopodobieństwo)

3 Przykład 1 Rzucamy dwiema monetami. Podaj przykład zgodnej z rzeczywistością przestrzeni probabilistycznej, która odpowiada temu eksperymentowi, jeśli: 1 Ω = {(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)} to zbiór par uporządkowanych; 2 Ω = {0, 1, 2} to zbiór możliwych liczb wyrzuconych orłów;

4 Przykład 2 Grzesiu wybiera w sposób losowy liczbę ze zbioru liczb naturalnych N = {1, 2, 3, 4,...} w ten sposób, że liczba n wybrana jest z prawdopodobieństwem 1/2 n (np. rzuca uczciwą monetą, aż uzyska orła, a wylosowana liczba to liczba rzutów ale o tym później). Podaj przykład zgodnej z rzeczywistością przestrzeni probabilistycznej, która odpowiada temu eksperymentowi.

5 Co mają wspólnego powyższe przykłady? Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Ω = {ω 1, ω 2,... } jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym F = 2 Ω to zbiór wszystkich podzbiorów Ω P ({ω i }) = p i, gdzie p 1, p 2,... to ciąg liczb nieujemnych, taki że p 1 + p = 1 a prawdopodobieństwo zadajemy wzorem (patrz A3 definicji prawdopodobieństwa i własność prawdopodobieństwa W2) P({ω k1, ω k2,... }) := p k1 + p k2 + ;

6 Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Przykład 3 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa: Ω = {ω 1,..., ω n } jest zbiorem skończonym; F = 2 Ω to zbiór wszystkich podzbiorów Ω; prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych p 1 = = p n = 1 n są równe Dla A = {ω i1, ω i2,..., ω ik } (tzn. A = k) P(A) = p i1 + p i p ik = 1 n + 1 n = k }{{ n} n = A Ω k

7 Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Przykład 1bis Rzucamy 100 razy jedną monetą. Podaj przykład zgodnej z rzeczywistością przestrzeni probabilistycznej, która odpowiada temu eksperymentowi, jeśli 1 Ω zbiór ciągów długości 100 o wyrazach ze zbioru {O, R}; 2 Ω = {0, 1,..., 100} - to zbiór możliwych liczb wyrzuconych orłów.

8 Intuicja Przykład 4 Tola przychodzi na przystanek rano w dowolnym momencie między 7.00 a 8.00 (każdy moment równo prawdopodobny). Pasują jej dwa autobusy: 74 i 91. Oba jeżdżą punktualnie według rozkładu: 74: 7.00, 7.15, 7.30, 7.45, 8.00,... ; 91: 7.05, 7.20, 7.35, 7.50, 8.05,... ; Tola wsiada do pierwszego z nich, który przyjedzie. Jaka jest szansa, że Tola pojedzie autobusem 74? Rozwiązanie intuicyjne:... Jaką przestrzeń probabilistyczną wykorzystaliśmy?

9 Prawdopodobieństwo geometryczne Przestrzeń probabilistyczna z prawdopodobieństwem geometrycznym Definiujemy przestrzeń probabilistyczną (Ω, F, P), gdzie: Ω jest pewnym podzbiorem R n o dodatniej skończonej mierze (zwykle w naszych przykładach n = 1, 2, 3) F jest rodziną zbiorów borelowskich w Ω P : F [0, 1] jest funkcją prawdopodobieństwa określoną wzorem P (A) := λ(a) λ(ω), gdzie λ( ) jest miarą Lebesgue a zbioru w R n. W rozważanych przykładach: n = 1: długość, n = 2: pole, n = 3: objętość.

10 Porównanie Definicja klasyczna Ω niepusty zbiór skończony; F = 2 Ω wszystkie podzbiory Ω; Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A jest równe P(A) = A Ω jest miarą zbioru, tzn. liczbą elementów.. Prawdopodobieństwo geometryczne Ω podzbiór R n o dodatniej skończonej mierze. F jest rodziną borelowskich podzbiorów Ω; Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A jest równe P (A) := λ(a) λ(ω), gdzie λ( ) jest miarą zbioru w R n. n = 1: długość, n = 2: pole, n = 3: objętość.

11 Przykład 5 Wybrano losowo dwie liczby (a, b): a z przedziału [0, 1/2] i b z przedziału [0, 1]. Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, że pierwsza z liczb jest mniejsza?

12 Przykład 5 Wybrano losowo dwie liczby (a, b): a z przedziału [0, 1/2] i b z przedziału [0, 1]. Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, że pierwsza z liczb jest mniejsza? Przykład 5 bis Asia i Basia umówiły się w restauracji między 18:00 a 19:00. Asia przychodzi w losowym momencie między 18:00 a 18:30 a Basia między 18:00 a 19:00. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Asia przyjdzie pierwsza?

13 Przykład 6 Asia i Basia umówiły się w restauracji między 18:00 a 19:00. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie będą na siebie czekać dłużej niż kwadrans? Zakładamy, że każda z nich przychodzi w losowym momencie z podanego przedziału.

14 Przykład 7 Z przedziału [0; 1] wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: 1 wylosowana liczba jest równa 1/2. 2 wylosowana liczba jest postaci 1/n dla pewnego n N.

15 Przykład 8 1 Czy istnieje przestrzeń probabilistyczna, w której P ({ω}) = 0 dla wszystkich ω Ω? 2 Czy z faktu, że P (A) = 0 wynika, że A =? 3 Czy z faktu, że P (A) = 1 wynika, że A = Ω? 4 Czy z faktu, że P (A B) = P (A) + P (B) wynika, że A B =.

16 Przykład 10 [Paradoks Bertranda] dla chętnych w podręczniku Na okręgu o promieniu 1 skonstruowano losowo cięciwę AB. Jaka jest szansa, że zajdzie zdarzenie C wylosowana cięciwa jest dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg? Wyznacz P (C) przyjmując za zdarzenia elementarne: 1 wybór kąta środkowego α, opartego na cięciwie AB. 2 odległość środka skonstruowanej cięciwy od środka okręgu. 3 wybór dowolnego punktu wewnątrz koła (wybór środka cięciwy).

17 Przykład 11 Rzucamy nieskończoną liczbę razy monetą. Podaj sensowną przestrzeń probabilistyczną odpowiadającą temu eksperymentowi, w której każdy możliwy wynik jest równo prawdopodobny.

18 Po co nam zbiory Borelowskie? Szczypta teorii miary itp. Z odcinka [0, 1] wybieramy losowo punkt zgodnie z prawdopodobieństwem geometrycznym. Wtedy prawdopodobieństwo trafienia punktu z odcinka [a, b] (jego miara) jest równa długości odcinka i P (A + t) = P (A) (o ile A [0, 1] i t + A [0, 1]). Można pokazać, że dla tak zdefiniowanego prawdopodobieństwa (miary) jeśli założylibyśmy, że F = 2 [0,1], to znalazłby się zbiór w F dla którego nie można znaleźć prawdopodobieństwa (zbiór niemierzalny). Zainteresowanych konstrukcją odsyłamy do zadań dla chętnych.