zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno. Matematyczny model ciała zdarzeń losowych to rodzina wszystkich podzbiorów pewnego zbioru, gdzie - nazywamy zdarzeniem pewnym, czyli zbiorem wszystkich możliwych wyników - Przykład: dla rzutów monetą ł,, dla losowania punktu na odcinku to cały odcinek. nazywamy zdarzeniem niemożliwym zdarzenia elementarne takie zdarzenie którego nie da się nietrywialnie rozłożyć tzn. jedyne rozkłady typu są postaci,,, Każde zdarzenie można przedstawić jako sumę zdarzeń elementarnych. Ciało zdarzeń oznaczamy jako.

2 Prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia A to określenie procentowo szans zajścia tego Matematyczny model rozkładu prawdopodobieństwa to funkcja Spełniająca warunki: zdarzenia. Prawdopodobieństwo określa się w skali 0-100% zatem 0-1. :, dla każdej pary zdarzeń, takiej, że. Z tak postawionej definicji wynika ponadto, że: \ - prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.. UWAGA: Zgodnie z ostatnim warunkiem prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0. Nie zachodzi związek przeciwny tzn. zdarzenie o prawdopodobieństwie 0 nie koniecznie jest zdarzeniem niemożliwym.

3 Rozkład prawdopodobieństwa Zauważmy najpierw: Każde zdarzenie można przedstawić jako sumę zdarzeń elementarnych. Na mocy punktu 3. definicji prawdopodobieństwa i poprzedniej uwagi nie ma potrzeby określać prawdopodobieństwa na całym ciele zdarzeń losowych, a jedynie na zdarzeniach elementarnych. Wystarczy więc podać prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych. Jak określić prawdopodobieństwo: dla skończonego zbioru zawsze można wypisać prawdopodobieństwa np. za pomocą tabeli, dla zbioru nieskończonego nie jesteśmy tego w stanie zrobić. Rozwiązaniem jest określenie prawdopodobieństwa za pomocą wzoru. Problem w tym, że zdarzenie elementarne nie jest z reguły liczbą.

4 Wprowadzamy tzw. zmienną losową która zdarzeniom losowym przypisuje wartości liczbowe. Zmienne losowe są na tyle wygodnym narzędziem, że wprowadzamy je dla skończonych i nieskończonych zbiorów zdarzeń. Przykłady: 1. rzucając kostką do gry losujemy tak naprawdę jedną ze ścian, taka ściana ma nadany numer poprzez określenie liczby oczek, 2. losując punkt na odcinku, możemy mu przypisać liczbę równą odległości od ustalonego końca odcinka, 3. rzucając monetą przypisujemy reszce wartość 0, orzełkowi wartość 1. Następnie wartościom zmiennej losowej, które są liczbami, przypisujemy prawdopodobieństwa. ZDARZENIA ELEMENTARNE WARTOŚCI ZMIENNEJ LOSOWEJ PRAWDOPODOBIEŃSTWA

5 Wyróżniamy dwa typy zmiennych losowych: 1. Skokowe wartości zmiennej losowej są z reguły podzbiorem liczb całkowitych, taka zmienna losowa skacze od jednej wartości do następnej, nie przyjmując wartości pośrednich. Przykłady - kostka, moneta. 2. Ciągłe wartości zmiennej losowej są gęste, tzn. pomiędzy dwoma dowolnymi wartościami zawsze znajdziemy kolejne które zmienna również przyjmie, taka zmienna losowa przechodzi płynnie poprzez swoje wartości. Przykład: Losowanie punktu na odcinku pomiędzy każdymi dwoma punktami na odcinku (czyli liczbami rzeczywistymi) istnieją punkty (liczby rzeczywiste) które mogą zostać wylosowane.

6 Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu skokowego. Rozkład prawdopodobieństwa określamy na kolejnych wartościach zmiennej losowej, z reguły przy użyciu tabeli Skończona liczba wartości x 1 x 2 x K x N p 1 p 2 p K p N Lub niekończona liczba wartości x 1 x 2 x K p 1 p 2 p K

7 Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu ciągłego. Jakie jest prawdopodobieństwo zakończenia tych zajęć dokładnie o ustalonej godzinie? Zero dlaczego? - Zanim zdążymy powiedzieć która jest godzina będzie już inna. Mówiąc, że jest 15:00 mamy tak naprawdę na myśli około 15:00 z dokładnością do np. jednej minuty czyli przedział 14:59:30-15:00:29. Zmienna losowa typu ciągłego przechodząc przez zbiór wartości przyjmuje ich na tyle dużo, że prawdopodobieństwo przyjęcia każdej pojedynczej wartości wynosi zero. Interesuje nas określenie prawdopodobieństwa na większych podzbiorach zbioru wartości. Tak jak w powyższym przykładzie dla przedziału jednominutowego. Dla zmiennej losowej typu ciągłego określamy funkcję gęstości, a prawdopodobieństwo osiągnięcia wartości ze zbioru jako całkę po zbiorze z funkcji gęstości prawdopodobieństwa.

8 Przykład Funkcja gęstości tzw. rozkładu normalnego,. Na wykresie zaznaczono prawdopodobieństwo 0,4 1 tzn. prawdopodobieństwo osiągnięcia przez zmienną losową wartości z przedziału (0,4;1) jest równe zaznaczonemu polu co jest równe 1,2, dx 1 0,8 0,6 0,4 0,2 P(0,4<X<1)

9 Własności funkcji gęstości: D 0 f x dx 1 Funkcja dystrybuanty jest określona jako. Własności: Dziedziną dystrybuanty są liczby rzeczywiste Dystrybuanta Wartości dystrybuanty to prawdopodobieństwa, więc liczby z przedziału [0,1] Jest to funkcja niemalejąca Jest prawostronnie ciągła UWAGA: Istnieje alternatywna definicja dystrybuanty nawet bardziej popularna. Przy takiej definicji ostatnia własność zmienia się na lewostronną ciągłość. My przyjmujemy definicję zgodną z EXCELEM.