Metody probabilistyczne
|
|
- Tomasz Klimek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP / 42
2 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe interesują nas pewne wartości liczbowe z nimi związane: Rzucamy n razy monetą, ale interesuje nas tylko liczba wyrzuconych orłów Rzucamy kostką aż do wyrzucenia szóstki; interesuje nas liczba wykonanych rzutów Strzelamy do tarczy na strzelnicy; interesuje nas nie tyle dokładna pozycja lotki na tarczy, co liczba zdobytych punktów Ania i Bartek umawiają się na spotkanie; interesuje nas czas oczekiwana na siebie Interesuje więc nas nie tyle przestrzeń Ω, co pewne wartości z R przypisane zdarzeniom elementarnym 2 / 42
3 Zmienne losowe Zmienne losowe to funkcje z Ω do R, przyporządkowujące zdarzeniom elementarnym liczby. W probabilistyce zmienne losowe oznacza się dużymi literami, np. X, Y, Z. X : Ω R Ω ω ω 2 ω 3 X (ω 2 ) X (ω ) X (ω 3 ) x 3 / 42
4 Zmienne losowe Zmienne losowe to funkcje z Ω do R, przyporządkowujące zdarzeniom elementarnym liczby. W probabilistyce zmienne losowe oznacza się dużymi literami, np. X, Y, Z. X : Ω R Ω ω ω 2 ω 3 X (ω 2 ) X (ω ) X (ω 3 ) x Interesują nas tylko wartości przyjmowane przez X oraz ich prawdopodobieństwa 3 / 42
5 Przykład Rzucamy 3 monetami, ale interesuje nas tylko liczba orłów: Ω = {OOO, OOR, ORO, ORR, ROO, ROR, RRO, RRR} 4 / 42
6 Przykład Rzucamy 3 monetami, ale interesuje nas tylko liczba orłów: Ω = {OOO, OOR, ORO, ORR, ROO, ROR, RRO, RRR} X : Ω {0,, 2, 3} X (OOO) = 3, X (OOR) = 2, X (ORO) = 2, X (ORR) =, X (ROO) = 2, X (ROR) =, X (RRO) =, X (RRR) = 0 4 / 42
7 Przykład Rzucamy 3 monetami, ale interesuje nas tylko liczba orłów: Ω = {OOO, OOR, ORO, ORR, ROO, ROR, RRO, RRR} X : Ω {0,, 2, 3} X (OOO) = 3, X (OOR) = 2, X (ORO) = 2, X (ORR) =, X (ROO) = 2, X (ROR) =, X (RRO) =, X (RRR) = 0 Każdy wynik X = 0,, 2, 3 jest związany z pewnym zdarzeniem w Ω: {X = 3} = {ω : X (ω) = 3} = {OOO} {X = 2} = {ω : X (ω) = 2} = {OOR, ORO, ROO} {X = } = {ω : X (ω) = } = {ORR, ROR, RRO} {X = } = {ω : X (ω) = 0} = {RRR} 4 / 42
8 Przykład Rzucamy 3 monetami, ale interesuje nas tylko liczba orłów: Ω = {OOO, OOR, ORO, ORR, ROO, ROR, RRO, RRR} X : Ω {0,, 2, 3} X (OOO) = 3, X (OOR) = 2, X (ORO) = 2, X (ORR) =, X (ROO) = 2, X (ROR) =, X (RRO) =, X (RRR) = 0 Każdy wynik X = 0,, 2, 3 jest związany z pewnym zdarzeniem w Ω: {X = 3} = {ω : X (ω) = 3} = {OOO} {X = 2} = {ω : X (ω) = 2} = {OOR, ORO, ROO} {X = } = {ω : X (ω) = } = {ORR, ROR, RRO} {X = } = {ω : X (ω) = 0} = {RRR} Możemy zatem zapytać o prawdopodobieństwo uzyskania danego wyniku. np. P({X = 2}) = / 42
9 Przykład Rzucamy 3 monetami, ale interesuje nas tylko liczba orłów: Ω = {OOO, OOR, ORO, ORR, ROO, ROR, RRO, RRR} X : Ω {0,, 2, 3} X (OOO) = 3, X (OOR) = 2, X (ORO) = 2, X (ORR) =, X (ROO) = 2, X (ROR) =, X (RRO) =, X (RRR) = 0 Każdy wynik X = 0,, 2, 3 jest związany z pewnym zdarzeniem w Ω: {X = 3} = {ω : X (ω) = 3} = {OOO} {X = 2} = {ω : X (ω) = 2} = {OOR, ORO, ROO} {X = } = {ω : X (ω) = } = {ORR, ROR, RRO} {X = } = {ω : X (ω) = 0} = {RRR} Możemy zatem zapytać o prawdopodobieństwo uzyskania danego wyniku. np. P({X = 2}) = 3 8 Podobnie możemy spytać o dowolny podzbiór wyników, np: P({X }) = P({RRR, ORR, ROR, RRO}) = / 42
10 Przykład Rzucamy 3 monetami, ale interesuje nas tylko liczba orłów: Ω = {OOO, OOR, ORO, ORR, ROO, ROR, RRO, RRR} X : Ω {0,, 2, 3} X (OOO) = 3, X (OOR) = 2, X (ORO) = 2, X (ORR) =, X (ROO) = 2, X (ROR) =, X (RRO) =, X (RRR) = 0 Każdy wynik X = 0,, 2, 3 jest związany z pewnym zdarzeniem w Ω: {X = 3} = {ω : X (ω) = 3} = {OOO} {X = 2} = {ω : X (ω) = 2} = {OOR, ORO, ROO} {X = } = {ω : X (ω) = } = {ORR, ROR, RRO} często {X opuszczamy = } = {ω : klamry, X (ω) = zapisując: 0} = {RRR} Możemy P(X zatem = 2), zapytać P(X o ), prawdopodobieństwo itp. uzyskania danego wyniku. np. P({X = 2}) = 3 8 Podobnie możemy spytać o dowolny podzbiór wyników, np: P({X }) = P({RRR, ORR, ROR, RRO}) = / 42
11 Przykład Rzucamy 2 kostkami, interesuje nas suma oczek Ω = { (i, j): i, j {, 2, 3, 4, 5, } } = {(, ), (, 2),..., (, 5), (, )} 5 / 42
12 Przykład Rzucamy 2 kostkami, interesuje nas suma oczek Ω = { (i, j): i, j {, 2, 3, 4, 5, } } = {(, ), (, 2),..., (, 5), (, )} X : Ω {2, 3,..., 2} X (i, j) = i + j 5 / 42
13 Przykład Rzucamy 2 kostkami, interesuje nas suma oczek Ω = { (i, j): i, j {, 2, 3, 4, 5, } } = {(, ), (, 2),..., (, 5), (, )} X : Ω {2, 3,..., 2} X (i, j) = i + j P(X = 3) = P({ω : X (ω) = 3}) = P({(, 2), (2, )}) = / 42
14 Przykład Rzucamy 2 kostkami, interesuje nas suma oczek Ω = { (i, j): i, j {, 2, 3, 4, 5, } } = {(, ), (, 2),..., (, 5), (, )} X : Ω {2, 3,..., 2} X (i, j) = i + j P(X = 3) = P({ω : X (ω) = 3}) = P({(, 2), (2, )}) = 2 3 P(9 X ) = P(X = 9) + P(X = 0) + P(X = ) = }{{} 3 zdarzenia rozłączne 5 / 42
15 Przykład Rzucamy 2 kostkami, interesuje nas suma oczek Ω = { (i, j): i, j {, 2, 3, 4, 5, } } = {(, ), (, 2),..., (, 5), (, )} X : Ω {2, 3,..., 2} X (i, j) = i + j P(X = 3) = P({ω : X (ω) = 3}) = P({(, 2), (2, )}) = 2 3 P(9 X ) = P(X = 9) + P(X = 0) + P(X = ) = }{{} 3 zdarzenia rozłączne P(X < 5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = / 42
16 Przykład Rzucamy n nieuczciwymi monetami, w których orzeł wypada z prawd. p, a reszka z praw. p; interesuje nas tylko liczba orłów Dla uproszczenia kodujemy orły jako jedynki i reszki jako zera Ω = {ω = (b,..., b n ): b i {0, }} X : Ω {0,,..., n} / 42
17 Przykład Rzucamy n nieuczciwymi monetami, w których orzeł wypada z prawd. p, a reszka z praw. p; interesuje nas tylko liczba orłów Dla uproszczenia kodujemy orły jako jedynki i reszki jako zera Ω = {ω = (b,..., b n ): b i {0, }} X : Ω {0,,..., n} X ( (b,..., b n ) ) = / 42
18 Przykład Rzucamy n nieuczciwymi monetami, w których orzeł wypada z prawd. p, a reszka z praw. p; interesuje nas tylko liczba orłów Dla uproszczenia kodujemy orły jako jedynki i reszki jako zera Ω = {ω = (b,..., b n ): b i {0, }} X : Ω {0,,..., n} X ( (b,..., b n ) ) = b + b b n / 42
19 Przykład Rzucamy n nieuczciwymi monetami, w których orzeł wypada z prawd. p, a reszka z praw. p; interesuje nas tylko liczba orłów Dla uproszczenia kodujemy orły jako jedynki i reszki jako zera Ω = {ω = (b,..., b n ): b i {0, }} X : Ω {0,,..., n} X ( (b,..., b n ) ) = b + b b n P(X = k) = / 42
20 Przykład Rzucamy n nieuczciwymi monetami, w których orzeł wypada z prawd. p, a reszka z praw. p; interesuje nas tylko liczba orłów Dla uproszczenia kodujemy orły jako jedynki i reszki jako zera Ω = {ω = (b,..., b n ): b i {0, }} X : Ω {0,,..., n} X ( (b,..., b n ) ) = b + b b n P(X = k) = ( ) n p k ( p) n k k / 42
21 Przykład Rzucamy kostką aż do wyrzucenia szóstki, interesuje nas tylko liczba rzutów Zdarzenia elementarne: ciągi liczb z {,..., 5} zakończone : (, ), (4, 2, ), (5, 5, 2, 4, 3, ),... 7 / 42
22 Przykład Rzucamy kostką aż do wyrzucenia szóstki, interesuje nas tylko liczba rzutów Zdarzenia elementarne: ciągi liczb z {,..., 5} zakończone : (, ), (4, 2, ), (5, 5, 2, 4, 3, ),... Ω = {ω = (b,..., b k ): b i {,..., 5} dla i < k, b k =, k =, 2,...} 7 / 42
23 Przykład Rzucamy kostką aż do wyrzucenia szóstki, interesuje nas tylko liczba rzutów Zdarzenia elementarne: ciągi liczb z {,..., 5} zakończone : (, ), (4, 2, ), (5, 5, 2, 4, 3, ),... Ω = {ω = (b,..., b k ): b i {,..., 5} dla i < k, b k =, k =, 2,...} X : Ω {, 2,...} 7 / 42
24 Przykład Rzucamy kostką aż do wyrzucenia szóstki, interesuje nas tylko liczba rzutów Zdarzenia elementarne: ciągi liczb z {,..., 5} zakończone : (, ), (4, 2, ), (5, 5, 2, 4, 3, ),... Ω = {ω = (b,..., b k ): b i {,..., 5} dla i < k, b k =, k =, 2,...} X : Ω {, 2,...} X (b,..., b k ) = 7 / 42
25 Przykład Rzucamy kostką aż do wyrzucenia szóstki, interesuje nas tylko liczba rzutów Zdarzenia elementarne: ciągi liczb z {,..., 5} zakończone : (, ), (4, 2, ), (5, 5, 2, 4, 3, ),... Ω = {ω = (b,..., b k ): b i {,..., 5} dla i < k, b k =, k =, 2,...} X : Ω {, 2,...} X (b,..., b k ) = k 7 / 42
26 Przykład Rzucamy kostką aż do wyrzucenia szóstki, interesuje nas tylko liczba rzutów Zdarzenia elementarne: ciągi liczb z {,..., 5} zakończone : (, ), (4, 2, ), (5, 5, 2, 4, 3, ),... Ω = {ω = (b,..., b k ): b i {,..., 5} dla i < k, b k =, k =, 2,...} X : Ω {, 2,...} X (b,..., b k ) = k P(X = ) = 7 / 42
27 Przykład Rzucamy kostką aż do wyrzucenia szóstki, interesuje nas tylko liczba rzutów Zdarzenia elementarne: ciągi liczb z {,..., 5} zakończone : (, ), (4, 2, ), (5, 5, 2, 4, 3, ),... Ω = {ω = (b,..., b k ): b i {,..., 5} dla i < k, b k =, k =, 2,...} X : Ω {, 2,...} X (b,..., b k ) = k P(X = ) =, 7 / 42
28 Przykład Rzucamy kostką aż do wyrzucenia szóstki, interesuje nas tylko liczba rzutów Zdarzenia elementarne: ciągi liczb z {,..., 5} zakończone : (, ), (4, 2, ), (5, 5, 2, 4, 3, ),... Ω = {ω = (b,..., b k ): b i {,..., 5} dla i < k, b k =, k =, 2,...} X : Ω {, 2,...} X (b,..., b k ) = k P(X = ) =, P(X = 2) = 7 / 42
29 Przykład Rzucamy kostką aż do wyrzucenia szóstki, interesuje nas tylko liczba rzutów Zdarzenia elementarne: ciągi liczb z {,..., 5} zakończone : (, ), (4, 2, ), (5, 5, 2, 4, 3, ),... Ω = {ω = (b,..., b k ): b i {,..., 5} dla i < k, b k =, k =, 2,...} X : Ω {, 2,...} X (b,..., b k ) = k P(X = ) =, P(X = 2) = 5, 7 / 42
30 Przykład Rzucamy kostką aż do wyrzucenia szóstki, interesuje nas tylko liczba rzutów Zdarzenia elementarne: ciągi liczb z {,..., 5} zakończone : (, ), (4, 2, ), (5, 5, 2, 4, 3, ),... Ω = {ω = (b,..., b k ): b i {,..., 5} dla i < k, b k =, k =, 2,...} X : Ω {, 2,...} X (b,..., b k ) = k P(X = ) =, P(X = 2) = 5, P(X = 3) = 7 / 42
31 Przykład Rzucamy kostką aż do wyrzucenia szóstki, interesuje nas tylko liczba rzutów Zdarzenia elementarne: ciągi liczb z {,..., 5} zakończone : (, ), (4, 2, ), (5, 5, 2, 4, 3, ),... Ω = {ω = (b,..., b k ): b i {,..., 5} dla i < k, b k =, k =, 2,...} X : Ω {, 2,...} X (b,..., b k ) = k P(X = ) =, P(X = 2) = 5, P(X = 3) = / 42
32 Przykład Rzucamy kostką aż do wyrzucenia szóstki, interesuje nas tylko liczba rzutów Zdarzenia elementarne: ciągi liczb z {,..., 5} zakończone : (, ), (4, 2, ), (5, 5, 2, 4, 3, ),... Ω = {ω = (b,..., b k ): b i {,..., 5} dla i < k, b k =, k =, 2,...} X : Ω {, 2,...} X (b,..., b k ) = k P(X = ) =, P(X = 2) = 5, P(X = 3) = 5 5 ( ) 5 k P(X = k) = 7 / 42
33 Przykład Rzucamy lotką do tarczy, ale interesuje nas tylko liczba zdobytych punktów Zakładamy model prawdopodobieństwa geometrycznego Ω = K(0, 0) = {(x, y): x 2 + y 2 0} / 42
34 Przykład Rzucamy lotką do tarczy, ale interesuje nas tylko liczba zdobytych punktów Zakładamy model prawdopodobieństwa geometrycznego Ω = K(0, 0) = {(x, y): x 2 + y 2 0} X : Ω {, 2,..., 0} / 42
35 Przykład Rzucamy lotką do tarczy, ale interesuje nas tylko liczba zdobytych punktów Zakładamy model prawdopodobieństwa geometrycznego Ω = K(0, 0) = {(x, y): x 2 + y 2 0} X : Ω {, 2,..., 0} X (x, y) = jeśli 9 x 2 + y / 42
36 Przykład Rzucamy lotką do tarczy, ale interesuje nas tylko liczba zdobytych punktów Zakładamy model prawdopodobieństwa geometrycznego Ω = K(0, 0) = {(x, y): x 2 + y 2 0} X : Ω {, 2,..., 0} X (x, y) = jeśli 9 x 2 + y 2 0 X (x, y) = 2 jeśli 8 x 2 + y / 42
37 Przykład Rzucamy lotką do tarczy, ale interesuje nas tylko liczba zdobytych punktów Zakładamy model prawdopodobieństwa geometrycznego Ω = K(0, 0) = {(x, y): x 2 + y 2 0} X : Ω {, 2,..., 0} X (x, y) = jeśli 9 x 2 + y 2 0 X (x, y) = 2 jeśli 8 x 2 + y 2 9 X (x, y) = k jeśli 0 k x 2 + y 2 k / 42
38 Przykład Rzucamy lotką do tarczy, ale interesuje nas tylko liczba zdobytych punktów Zakładamy model prawdopodobieństwa geometrycznego Ω = K(0, 0) = {(x, y): x 2 + y 2 0} X : Ω {, 2,..., 0} X (x, y) = jeśli 9 x 2 + y 2 0 X (x, y) = 2 jeśli 8 x 2 + y 2 9 X (x, y) = k jeśli 0 k x 2 + y 2 k P(X = k) = K(0, k) K(0, 0 k) K(0, 0) 8 / 42
39 Przykład Rzucamy lotką do tarczy, ale interesuje nas tylko liczba zdobytych punktów Zakładamy model prawdopodobieństwa geometrycznego Ω = K(0, 0) = {(x, y): x 2 + y 2 0} X : Ω {, 2,..., 0} X (x, y) = jeśli 9 x 2 + y 2 0 X (x, y) = 2 jeśli 8 x 2 + y 2 9 X (x, y) = k jeśli 0 k x 2 + y 2 k P(X = k) = K(0, k) K(0, 0 k) K(0, 0) = π( k)2 π(0 k) 2 00π = 2 2k 00 8 / 42
40 Przykład Ania i Bartek przychodzą na spotkanie w losowym czasie między 0:00 a :00. Interesuje nas tylko czas oczekiwania na siebie. Zdarzenia elementarne: pary (a, b) określające czas przybycia Ani i Bartka licząc od 0:00; Ω = [0, 0] [0, 0] 9 / 42
41 Przykład Ania i Bartek przychodzą na spotkanie w losowym czasie między 0:00 a :00. Interesuje nas tylko czas oczekiwania na siebie. Zdarzenia elementarne: pary (a, b) określające czas przybycia Ani i Bartka licząc od 0:00; Ω = [0, 0] [0, 0] X (a, b) = a b 9 / 42
42 Przykład Ania i Bartek przychodzą na spotkanie w losowym czasie między 0:00 a :00. Interesuje nas tylko czas oczekiwania na siebie. Zdarzenia elementarne: pary (a, b) określające czas przybycia Ani i Bartka licząc od 0:00; Ω = [0, 0] [0, 0] X (a, b) = a b Wyznaczmy P(X < c) dla dowolnego c [0, 0] 0 Zdarzenie {X < c} = {(a, b) Ω: a b < c} oznaczone kolorem czerwonym Bartek c 0 0 c Ania 0 P(X < c) = P(X c) (0 c) (0 c) = 0 0 = c 30 ( c 0 ) 2 9 / 42
43 Prawdopodobieństwo a przeciwobraz P(X A) = P ( {ω : X (ω) A} ) 0 / 42
44 Prawdopodobieństwo a przeciwobraz Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w Ω, składającego się ze zdarzeń elementarnych ω Ω, dla których X (ω) A, A R P(X A) = P ( {ω : X (ω) A} ) 0 / 42
45 Prawdopodobieństwo a przeciwobraz Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w Ω, składającego się ze zdarzeń elementarnych ω Ω, dla których X (ω) A, A R przeciwobraz P(X A) = P ( {ω : X (ω) A} ) = P ( X (A) ) 0 / 42
46 Prawdopodobieństwo a przeciwobraz Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w Ω, składającego się ze zdarzeń elementarnych ω Ω, dla których X (ω) A, A R przeciwobraz P(X A) = P ( {ω : X (ω) A} ) = P ( X (A) ) X X (A) A 0 / 42
47 Mierzalność zmiennej losowej P(X A) = P ( X (A) ) Aby uniknąć zbiorów niemierzalnych, wyznaczamy P(X A) tylko dla podzbiorów A B, gdzie B jest σ-ciałem zbiorów borelowskich na R / 42
48 Mierzalność zmiennej losowej P(X A) = P ( X (A) ) Aby uniknąć zbiorów niemierzalnych, wyznaczamy P(X A) tylko dla podzbiorów A B, gdzie B jest σ-ciałem zbiorów borelowskich na R Nadal może się jednak zdarzyć, że przeciwobraz X (A) Ω nie jest zdarzeniem, tzn. X (A) / F, gdzie F to σ-ciało zdarzeń w Ω / 42
49 Mierzalność zmiennej losowej P(X A) = P ( X (A) ) Aby uniknąć zbiorów niemierzalnych, wyznaczamy P(X A) tylko dla podzbiorów A B, gdzie B jest σ-ciałem zbiorów borelowskich na R Nadal może się jednak zdarzyć, że przeciwobraz X (A) Ω nie jest zdarzeniem, tzn. X (A) / F, gdzie F to σ-ciało zdarzeń w Ω Aby temu zapobiec, zakładamy, że jeśli A B (A jest zbiorem borelowskim), to X (A) F. / 42
50 Mierzalność zmiennej losowej P(X A) = P ( X (A) ) Aby uniknąć zbiorów niemierzalnych, wyznaczamy P(X A) tylko dla podzbiorów A B, gdzie B jest σ-ciałem zbiorów borelowskich na R Nadal może się jednak zdarzyć, że przeciwobraz X (A) Ω nie jest zdarzeniem, tzn. X (A) / F, gdzie F to σ-ciało zdarzeń w Ω Aby temu zapobiec, zakładamy, że jeśli A B (A jest zbiorem borelowskim), to X (A) F. Funkcje spełniające ten warunek nazywamy mierzalnymi. / 42
51 Mierzalność zmiennej losowej P(X A) = P ( X (A) ) Aby uniknąć zbiorów niemierzalnych, wyznaczamy P(X A) tylko dla podzbiorów A B, gdzie B jest σ-ciałem zbiorów borelowskich na R Nadal może się jednak zdarzyć, że przeciwobraz X (A) Ω nie jest zdarzeniem, tzn. X (A) / F, gdzie F to σ-ciało zdarzeń w Ω Aby temu zapobiec, zakładamy, że jeśli A B (A jest zbiorem borelowskim), to X (A) F. Funkcje spełniające ten warunek nazywamy mierzalnymi. Z własności σ-ciała wynika, że wystarczającym warunkiem mierzalności jest, aby dla dowolnego przedziału (, a] zachodziło X ((, a]) F. / 42
52 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienną losową nazywamy dowolną mierzalną funkcję X : Ω R Rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nazywamy miarę prawdopodobieństwa P X zdefiniowaną jako: P X (A) = P(X A) = P ( X (A) ) dla dowolnego zbioru borelowskiego A B Uwaga: będziemy używali zapisu X P X aby oznaczyć, że zmienna X ma rozkład P X 2 / 42
53 Zmienne losowe a odwzorowanie przestrzeni probabilistycznej X : Ω R Ω ω ω 2 ω 3 X (ω 2 ) X (ω ) X (ω 3 ) x (Ω, F, P) X (R, B, P X ) 3 / 42
54 Zmienne losowe a odwzorowanie przestrzeni probabilistycznej X : Ω R Ω ω ω 2 ω 3 X (ω 2 ) X (ω ) X (ω 3 ) x (Ω, F, P) X (R, B, P X ) Mierzalność X gwarantuje, że każde zdarzenie w przestrzeni probabilistycznej (R, B, P X ) jest przeciwobrazem pewnego zdarzenia w przestrzeni (Ω, F, P). 3 / 42
55 Dwie równoważne notacje P X (A) P(X A) P X ({a}) P(X = a) P X ( (, a] ) P(X a) P X ( [a, b) ) P(a X < b)... Notacja niebieska dotyczy przestrzeni probabilistycznej (R, B, P X ) indukowanej przez zmienną losową X Skrótowa notacja czerwona odwołuje się do bazowej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P); jest dużo wygodniejsza, stąd prawie zawsze będziemy jej używać 4 / 42
56 P X spełnia aksjomaty Kołmogorowa Zadanie Niech P będzie miarą prawdopodobieństwa na Ω, a X : Ω R zmienną losową. Pokaż, że miara P X przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A R liczbę: P X (A) = P(X (A)) spełnia aksjomaty Kołmogorowa na przestrzeni R. Wskazówka: trzeba wykorzystać fakt, że P spełnia aksjomaty Kołmogorowa 5 / 42
57 Dystrybuanta zmiennej losowej Definicja Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F : R R zdefiniowaną jako: F (x) = P X ( (, x] ) = P(X x) / 42
58 Dystrybuanta zmiennej losowej Definicja Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F : R R zdefiniowaną jako: F (x) = P X ( (, x] ) = P(X x) Dystrybuanta jest funkcją niemalejącą Mamy P(X (a, b]) = F (b) F (a) F ( ) = lim x F (x) = 0 F ( ) = lim x F (x) = F (x) jest prawostronnie ciągła / 42
59 Przykład: rzut kostką ω ω 2 ω 3 ω 4 ω 5 ω X (ω) P(X = x) 7 / 42
60 Przykład: rzut kostką ω ω 2 ω 3 ω 4 ω 5 ω X (ω) P(X = x) F (x) F (x) = P(X x) x 7 / 42
61 Przykład: rzut kostką ω ω 2 ω 3 ω 4 ω 5 ω X (ω) P(X = x) F (x) F (x) = P(X x) x 7 / 42
62 Przykład: rzut kostką ω ω 2 ω 3 ω 4 ω 5 ω X (ω) P(X = x) F (x) F (x) = P(X x) x 7 / 42
63 Przykład: rzut kostką ω ω 2 ω 3 ω 4 ω 5 ω X (ω) P(X = x) F (x) F (x) = P(X x) x 7 / 42
64 Przykład: rzut kostką ω ω 2 ω 3 ω 4 ω 5 ω X (ω) P(X = x) F (x) F (x) = P(X x) x 7 / 42
65 Przykład: rzut kostką ω ω 2 ω 3 ω 4 ω 5 ω X (ω) P(X = x) F (x) F (x) = P(X x) x 7 / 42
66 Przykład: rzut kostką ω ω 2 ω 3 ω 4 ω 5 ω X (ω) P(X = x) F (x) F (x) = P(X x) x 7 / 42
67 Przykład: rzut kostką ω ω 2 ω 3 ω 4 ω 5 ω X (ω) P(X = x) F (x) F (x) = P(X x) x 7 / 42
68 Przykład: losowanie punktu z odcinka Zmienna losowa X [0, ] jest zadana rozkładem prawdopodobieństwa: P(X A) = A, dla A [0, ] gdzie A jest długością A (np. P(X [a, b]) = b a) 8 / 42
69 Przykład: losowanie punktu z odcinka Zmienna losowa X [0, ] jest zadana rozkładem prawdopodobieństwa: P(X A) = A, dla A [0, ] gdzie A jest długością A (np. P(X [a, b]) = b a) Jeśli x < 0 to F (x) = P(X x) = 0 8 / 42
70 Przykład: losowanie punktu z odcinka Zmienna losowa X [0, ] jest zadana rozkładem prawdopodobieństwa: P(X A) = A, dla A [0, ] gdzie A jest długością A (np. P(X [a, b]) = b a) Jeśli x < 0 to F (x) = P(X x) = 0 Jeśli x [0, ] to F (x) = P(X < 0) + P(X [0, x]) = x }{{}}{{} =0 =x 8 / 42
71 Przykład: losowanie punktu z odcinka Zmienna losowa X [0, ] jest zadana rozkładem prawdopodobieństwa: P(X A) = A, dla A [0, ] gdzie A jest długością A (np. P(X [a, b]) = b a) Jeśli x < 0 to F (x) = P(X x) = 0 Jeśli x [0, ] to F (x) = P(X < 0) }{{} =0 Jeśli x > to F (x) = P(X ) }{{} = + P(X [0, x]) = x }{{} =x = + P(X (, x]) }{{} =0 8 / 42
72 Przykład: losowanie punktu z odcinka Zmienna losowa X [0, ] jest zadana rozkładem prawdopodobieństwa: P(X A) = A, dla A [0, ] gdzie A jest długością A (np. P(X [a, b]) = b a) Jeśli x < 0 to F (x) = P(X x) = 0 Jeśli x [0, ] to F (x) = P(X < 0) }{{} =0 Jeśli x > to F (x) = P(X ) }{{} F (x) = + P(X [0, x]) = x }{{} =x = + P(X (, x]) }{{} =0 0 0 x 8 / 42
73 Zmienna losowa dyskretna (typu skokowego) Zmienną losową X przyjmującą co najwyżej przeliczalną liczbę możliwych wartości X = {x, x 2,...} nazywamy zmienną dyskretną (typu skokowego) Dla dowolnego A B zachodzi: P(X A) = lub w zdarzeniowej notacji: P X (A) = P(X = x i ), i : x i A P X ({x i }) i : x i A Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej dyskretnej jest więc w pełni zdefiniowany poprzez określenie prawdopodobieństw P(X = x i ) = P X ({x i }) dla wszystkich x i X 9 / 42
74 Zmienna losowa dyskretna (typu skokowego) Troszkę ogólniejsza definicja: Mówimy, że zmienna losowa X jest dyskretna (typu skokowego) jeśli istnieje zbiór przeliczalny X R taki, że P(X X ) = Czyli prawdopodobieństwo przyjęcia wartości spoza X wynosi zero. 20 / 42
75 Zmienna losowa dyskretna (typu skokowego) Troszkę ogólniejsza definicja: Mówimy, że zmienna losowa X jest dyskretna (typu skokowego) jeśli istnieje zbiór przeliczalny X R taki, że P(X X ) = Czyli prawdopodobieństwo przyjęcia wartości spoza X wynosi zero. Przykład: Zmienna X przyjmująca dowolne wartości z R taka, że: P(X A) = { jeśli 0 A 0 w przeciwnym przypadku Czyli P(X = 0) = 20 / 42
76 Zmienna losowa dyskretna (typu skokowego) Troszkę ogólniejsza definicja: Mówimy, że zmienna losowa X jest dyskretna (typu skokowego) jeśli istnieje zbiór przeliczalny X R taki, że P(X X ) = Czyli prawdopodobieństwo przyjęcia wartości spoza X wynosi zero. Przykład: Zmienna X przyjmująca dowolne wartości z R taka, że: P(X A) = { jeśli 0 A 0 w przeciwnym przypadku Czyli P(X = 0) = Konwencja: dla zmiennej losowej dyskretnej będziemy odtąd pomijać wartości przyjmowane z prawdopodobieństwem zero! (tzn. tak, jakby zmienna losowa ich po prostu nie przyjmowała) 20 / 42
77 Zadanie Zadanie 2 Z talii 52 kart ciągniemy i zliczamy liczbę pików. Znaleźć rozkład określonej w ten sposób zmiennej losowej. Zadanie 3 Mamy dwie monety: jedną uczciwą (szansa orła i reszki po 50%) i jedną nieuczciwą (szansa orła 80%, reszki 20%). Wybieramy losową jedną z nich i rzucamy nią 3 razy. Niech X będzie zmienną losową oznaczającą liczbę orłów. Wyznacz rozkład X. Zadanie 4 Wybieramy losową permutację liczb {, 2,..., 0}. Niech X oznacza pozycję (licząc od ), na której pojawi się pierwsza liczba parzysta. Podaj rozkład X. (np. dla permutacji {, 3, 0, 2, 5, 8, 9, 7, 4, } mamy X = 3) 2 / 42
78 Rozkład jednopunktowy Zmienna X ma rozkład jednopunktowy, jeśli istnieje taki x R, że P(X = x) = Cały rozkład zmiennej X jest skoncentrowany w jednym punkcie Taka zmienna losowa to efektywnie stała 22 / 42
79 Rozkład jednostajny Zmienna X ma rozkład jednostajny, jeśli X {x, x 2,..., x n } oraz: P(X = x i ) = n, i =,..., n 23 / 42
80 Rozkład jednostajny Zmienna X ma rozkład jednostajny, jeśli X {x, x 2,..., x n } oraz: P(X = x i ) = n, i =,..., n Przykład: wynik rzutu kostką, X {, 2, 3, 4, 5, }, P(X = i) =, i =,..., 23 / 42
81 Rozkład dwupunktowy Zmienna X ma rozkład dwupunktowy jeśli X {x 0, x } Oznaczamy: p = P(X = x ), a więc P(X = x 0 ) = p Zwykle przyjmuje się x 0 = 0 i x =, wtedy p = P(X = ) jest prawdopodobieństwem sukcesu Rozkład dwupunktowy oznaczamy przez B(p) 24 / 42
82 Rozkład dwupunktowy Zmienna X ma rozkład dwupunktowy jeśli X {x 0, x } Oznaczamy: p = P(X = x ), a więc P(X = x 0 ) = p Zwykle przyjmuje się x 0 = 0 i x =, wtedy p = P(X = ) jest prawdopodobieństwem sukcesu Rozkład dwupunktowy oznaczamy przez B(p) Przykład: wynik rzutu nieuczciwą monetą dla której orzeł (X = ) wypada z prawdopodobieństwem p, a reszka (X = 0) z prawd. p. Uwaga: jeśli p = 0 lub p =, to X ma rozkład jednopunktowy 24 / 42
83 Rozkład dwumianowy Zmienna X {0,, 2,..., n} ma rozkład dwumianowy z parametrem p jeśli: ( ) n P(X = k) = p k ( p) n k, k = 0,,..., n k 25 / 42
84 Rozkład dwumianowy Zmienna X {0,, 2,..., n} ma rozkład dwumianowy z parametrem p jeśli: ( ) n P(X = k) = p k ( p) n k, k = 0,,..., n k Zmienna X określa więc liczbę sukcesów w n próbach, jeśli prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p (schemat Bernoulliego). Rozkład dwumianowy oznaczamy przez B(n, p) Uwaga: jeśli n =, to X ma rozkład dwupunktowy 25 / 42
85 Rozkład dwumianowy B(n =, p = 0.5) B(0, 0.4) P(X = k) P(X = k) k = B(20, 0.3) k = B(30, 0.7) P(X = k) P(X = k) k = k = / 42
86 Rozkład dwumianowy przykład Zadanie 5 Mamy urnę z 0 białymi i 20 czarnymi kulami. Wybieramy losowo ze zwracaniem 9 kul. Niech X określa liczbę wylosowanych białych kul. Jaki rozkład ma X? 27 / 42
87 Rozkład geometryczny Zmienna X {, 2,...} ma rozkład geometryczny z parametrem p jeśli: P(X = k) = ( p) k p, k =, 2, / 42
88 Rozkład geometryczny Zmienna X {, 2,...} ma rozkład geometryczny z parametrem p jeśli: P(X = k) = ( p) k p, k =, 2,... Zmienna X określa więc liczbę prób do uzyskania pierwszego sukcesu w nieskończonym ciągu Bernoulliego, jeśli prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu wynosi p. 28 / 42
89 Rozkład geometryczny Zmienna X {, 2,...} ma rozkład geometryczny z parametrem p jeśli: P(X = k) = ( p) k p, k =, 2,... Zmienna X określa więc liczbę prób do uzyskania pierwszego sukcesu w nieskończonym ciągu Bernoulliego, jeśli prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu wynosi p. Rozkład geometryczny oznaczamy przez G (p) 28 / 42
90 Rozkład geometryczny Zmienna X {, 2,...} ma rozkład geometryczny z parametrem p jeśli: P(X = k) = ( p) k p, k =, 2,... Zmienna X określa więc liczbę prób do uzyskania pierwszego sukcesu w nieskończonym ciągu Bernoulliego, jeśli prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu wynosi p. Rozkład geometryczny oznaczamy przez G (p) Przykład: rzucamy kostką aż do uzyskania szóstki. Liczba rzutów X ma rozkład G (p = ) 28 / 42
91 Rozkład geometryczny Zmienna X {, 2,...} ma rozkład geometryczny z parametrem p jeśli: P(X = k) = ( p) k p, k =, 2,... Zmienna X określa więc liczbę prób do uzyskania pierwszego sukcesu w nieskończonym ciągu Bernoulliego, jeśli prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu wynosi p. Rozkład geometryczny oznaczamy przez G (p) Przykład: rzucamy kostką aż do uzyskania szóstki. Liczba rzutów X ma rozkład G (p = ) Uwaga: Istnieje wersja rozkładu geometrycznego G 0 (p) określająca liczbę porażek do uzyskania pierwszego sukcesu: P(X = k) = ( p) k p, k = 0,, 2, / 42
92 Rozkład geometryczny 0.5 G (p = 2 ) P(X = k) k = G (p = 5 ) P(X = k) 0. 0 k = / 42
93 Rozkład geometryczny przykłady Kupujemy losy na loterii, dopóki nie wygramy. Szansa wygrania wynosi p = /000. Niech X określa liczbę kupionych losów na loterii: X ma rozkład G (p). 30 / 42
94 Rozkład geometryczny przykłady Kupujemy losy na loterii, dopóki nie wygramy. Szansa wygrania wynosi p = /000. Niech X określa liczbę kupionych losów na loterii: X ma rozkład G (p). Na lotnisku próbujemy złapać wolną taksówkę, ale 9 na 0 taksówek przyjeżdża już zarezerwowana/zajęta. Niech X określa liczbę zajętych taksówek, które zaobserwujemy; X ma rozkład G 0 (/0). 30 / 42
95 Przykład Jaka jest szansa, że potrzeba co najmniej k prób do uzyskania pierwszego sukcesu, jeśli w pojedynczej próbie sukces uzyskujemy z prawdopodobieństwem p? 3 / 42
96 Przykład Jaka jest szansa, że potrzeba co najmniej k prób do uzyskania pierwszego sukcesu, jeśli w pojedynczej próbie sukces uzyskujemy z prawdopodobieństwem p? X ma rozkład G (p) P(X k) = P(X = k) + P(X = k + ) / 42
97 Przykład Jaka jest szansa, że potrzeba co najmniej k prób do uzyskania pierwszego sukcesu, jeśli w pojedynczej próbie sukces uzyskujemy z prawdopodobieństwem p? X ma rozkład G (p) P(X k) = P(X = k) + P(X = k + ) +... = ( p) i p i=k 3 / 42
98 Przykład Jaka jest szansa, że potrzeba co najmniej k prób do uzyskania pierwszego sukcesu, jeśli w pojedynczej próbie sukces uzyskujemy z prawdopodobieństwem p? X ma rozkład G (p) P(X k) = P(X = k) + P(X = k + ) +... = ( p) i p i=k = ( p) k p ( p) i i=0 3 / 42
99 Przykład Jaka jest szansa, że potrzeba co najmniej k prób do uzyskania pierwszego sukcesu, jeśli w pojedynczej próbie sukces uzyskujemy z prawdopodobieństwem p? X ma rozkład G (p) P(X k) = P(X = k) + P(X = k + ) +... = ( p) i p i=k = ( p) k p ( p) i i=0 = ( p) k p p = ( p)k 3 / 42
100 Własność braku pamięci Niech X ma rozkład G (p). Oblicz P(X k + l X k + ) dla l ( pierwszy sukces pojawił się po co najmniej niż k + l próbach, jeśli nie pojawił się w pierwszych k próbach ) 32 / 42
101 Własność braku pamięci Niech X ma rozkład G (p). Oblicz P(X k + l X k + ) dla l ( pierwszy sukces pojawił się po co najmniej niż k + l próbach, jeśli nie pojawił się w pierwszych k próbach ) P(X k + l X k + ) = P( {X k + l} {X k + } ) P({X k + }) 32 / 42
102 Własność braku pamięci Niech X ma rozkład G (p). Oblicz P(X k + l X k + ) dla l ( pierwszy sukces pojawił się po co najmniej niż k + l próbach, jeśli nie pojawił się w pierwszych k próbach ) P(X k + l X k + ) = P( {X k + l} {X k + } ) P({X k + }) = P( {X k + l} ) P({X k + }) 32 / 42
103 Własność braku pamięci Niech X ma rozkład G (p). Oblicz P(X k + l X k + ) dla l ( pierwszy sukces pojawił się po co najmniej niż k + l próbach, jeśli nie pojawił się w pierwszych k próbach ) P(X k + l X k + ) = P( {X k + l} {X k + } ) P({X k + }) = P( {X k + l} ) P({X k + }) = ( p)k+l ( p) k = ( p) l = P(X l) 32 / 42
104 Własność braku pamięci Niech X ma rozkład G (p). Oblicz P(X k + l X k + ) dla l ( pierwszy sukces pojawił się po co najmniej niż k + l próbach, jeśli nie pojawił się w pierwszych k próbach ) P(X k + l X k + ) = P( {X k + l} {X k + } ) P({X k + }) = P( {X k + l} ) P({X k + }) = ( p)k+l ( p) k = ( p) l = P(X l) Brak pamięci: jeśli sukces nie pojawił się w pierwszych k próbach, możemy zapomnieć o przeszłości i wyznaczyć prawdopodobieństwa jakbyśmy dopiero zaczynali losować 32 / 42
105 Rozkład ujemny dwumianowy (Pascala) Rozważmy nieskończony ciąg prób Bernoulliego z prawd. sukcesu p. Losujemy, dopóki nie uzyskamy r porażek. Jakie jest szansa zaobserwowania do tego momentu k sukcesów? 33 / 42
106 Rozkład ujemny dwumianowy (Pascala) Rozważmy nieskończony ciąg prób Bernoulliego z prawd. sukcesu p. Losujemy, dopóki nie uzyskamy r porażek. Jakie jest szansa zaobserwowania do tego momentu k sukcesów? Zdarzenia elementarne: ciągi binarne (b, b 2,..., b n ), n =, 2,..., zawierające r zer, przy czym b n = 0. Liczba sukcesów to k = n r. 33 / 42
107 Rozkład ujemny dwumianowy (Pascala) Rozważmy nieskończony ciąg prób Bernoulliego z prawd. sukcesu p. Losujemy, dopóki nie uzyskamy r porażek. Jakie jest szansa zaobserwowania do tego momentu k sukcesów? Zdarzenia elementarne: ciągi binarne (b, b 2,..., b n ), n =, 2,..., zawierające r zer, przy czym b n = 0. Liczba sukcesów to k = n r. P(b, b 2,..., b n ) = ( p) r p n r 33 / 42
108 Rozkład ujemny dwumianowy (Pascala) Rozważmy nieskończony ciąg prób Bernoulliego z prawd. sukcesu p. Losujemy, dopóki nie uzyskamy r porażek. Jakie jest szansa zaobserwowania do tego momentu k sukcesów? Zdarzenia elementarne: ciągi binarne (b, b 2,..., b n ), n =, 2,..., zawierające r zer, przy czym b n = 0. Liczba sukcesów to k = n r. Ile jest takich ciągów o długości n? P(b, b 2,..., b n ) = ( p) r p n r 33 / 42
109 Rozkład ujemny dwumianowy (Pascala) Rozważmy nieskończony ciąg prób Bernoulliego z prawd. sukcesu p. Losujemy, dopóki nie uzyskamy r porażek. Jakie jest szansa zaobserwowania do tego momentu k sukcesów? Zdarzenia elementarne: ciągi binarne (b, b 2,..., b n ), n =, 2,..., zawierające r zer, przy czym b n = 0. Liczba sukcesów to k = n r. P(b, b 2,..., b n ) = ( p) r p n r Ile jest takich ciągów o długości n? ( n ) r 33 / 42
110 Rozkład ujemny dwumianowy (Pascala) Rozważmy nieskończony ciąg prób Bernoulliego z prawd. sukcesu p. Losujemy, dopóki nie uzyskamy r porażek. Jakie jest szansa zaobserwowania do tego momentu k sukcesów? Zdarzenia elementarne: ciągi binarne (b, b 2,..., b n ), n =, 2,..., zawierające r zer, przy czym b n = 0. Liczba sukcesów to k = n r. P(b, b 2,..., b n ) = ( p) r p n r Ile jest takich ciągów o długości n? ( n ) r Stąd prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów do momentu uzyskania r porażek: ( ) ( ) n r + k ( p) r p n r = ( p) r p k r r 33 / 42
111 Rozkład ujemny dwumianowy (Pascala) Zmienna X {0,,...} ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami r i p jeśli: ( ) r + k P(X = k) = ( p) r p k r 34 / 42
112 Rozkład ujemny dwumianowy (Pascala) Zmienna X {0,,...} ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami r i p jeśli: ( ) r + k P(X = k) = ( p) r p k r Rozkład ujemny dwumianowy oznaczamy przez NB(r, p) 34 / 42
113 Rozkład ujemny dwumianowy (Pascala) Zmienna X {0,,...} ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami r i p jeśli: ( ) r + k P(X = k) = ( p) r p k r Rozkład ujemny dwumianowy oznaczamy przez NB(r, p) Przykład: Bezzałogowy samolot wraca z misji rozpoznawczej z prawdopodobieństwem p. Ile misji uda się nam wykonać mając do dyspozycji r samolotów? 34 / 42
114 Podsumowanie Rozkład dwupunktowy modeluje prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie Rozkład dwumianowy modeluje prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach Rozkład geometryczny modeluje prawdopodobieństwo k prób do uzyskania pierwszego sukcesu Rozkład ujemny dwumianowy modeluje prawdopodobieństwo k sukcesów przed uzyskaniem r porażek 35 / 42
115 Rozkład Poissona Life is good for only two things, discovering mathematics and teaching mathematics Siméon Denis Poisson (78-840) 3 / 42
116 Rozkład Poissona Rozważmy ciąg n prób Bernoulliego z prawd. sukcesu p, gdzie: n jest bardzo duże, p jest bardzo małe (bliskie zeru) ale n p jest umiarkowane (ani małe, ani duże) 37 / 42
117 Rozkład Poissona Rozważmy ciąg n prób Bernoulliego z prawd. sukcesu p, gdzie: n jest bardzo duże, p jest bardzo małe (bliskie zeru) ale n p jest umiarkowane (ani małe, ani duże) Przykłady Szansa rozpadu atomu promieniotwórczego w ciągu sekundy wynosi p = 0 4. Mając n = 0 5 atomów wyznacz rozkład prawdopodobieństwa liczby rozpadów w danej sekundzie. 37 / 42
118 Rozkład Poissona Rozważmy ciąg n prób Bernoulliego z prawd. sukcesu p, gdzie: n jest bardzo duże, p jest bardzo małe (bliskie zeru) ale n p jest umiarkowane (ani małe, ani duże) Przykłady Szansa rozpadu atomu promieniotwórczego w ciągu sekundy wynosi p = 0 4. Mając n = 0 5 atomów wyznacz rozkład prawdopodobieństwa liczby rozpadów w danej sekundzie. Mamy artykuł z n = słów. Szansa literówki w danym słowie to p = /000. Znaleźć rozkład liczby literówek. 37 / 42
119 Rozkład Poissona Rozważmy ciąg n prób Bernoulliego z prawd. sukcesu p, gdzie: n jest bardzo duże, p jest bardzo małe (bliskie zeru) ale n p jest umiarkowane (ani małe, ani duże) Przykłady Szansa rozpadu atomu promieniotwórczego w ciągu sekundy wynosi p = 0 4. Mając n = 0 5 atomów wyznacz rozkład prawdopodobieństwa liczby rozpadów w danej sekundzie. Mamy artykuł z n = słów. Szansa literówki w danym słowie to p = /000. Znaleźć rozkład liczby literówek. DNA człowieka składa się z n = par zasad (w pojedynczej komórce). Szansa mutacji na parę zasad na rok wynosi p = Wyznacz rozkład liczby mutacji w ciągu roku. 37 / 42
120 Rozkład Poissona Rozważmy ciąg n prób Bernoulliego z prawd. sukcesu p, gdzie: n jest bardzo duże, p jest bardzo małe (bliskie zeru) ale n p jest umiarkowane (ani małe, ani duże) Przykłady Szansa rozpadu atomu promieniotwórczego w ciągu sekundy wynosi p = 0 4. Mając n = 0 5 atomów wyznacz rozkład prawdopodobieństwa liczby rozpadów w danej sekundzie. Mamy artykuł z n = słów. Szansa literówki w danym słowie to p = /000. Znaleźć rozkład liczby literówek. DNA człowieka składa się z n = par zasad (w pojedynczej komórce). Szansa mutacji na parę zasad na rok wynosi p = Wyznacz rozkład liczby mutacji w ciągu roku. Szansa katastrofy lotniczej wynosi na mln lotów (rocznie). Wyznacz rozkład liczby katastrof na rok, jeśli w ciągu roku odbywa się n = mln lotów. 37 / 42
121 Rozkład Poissona jako granica rozkładu dwumianowego P(X = k) = ( ) n p k ( p) n k = k n! k!(n k)! pk ( p) n k 38 / 42
122 Rozkład Poissona jako granica rozkładu dwumianowego P(X = k) = ( ) n p k ( p) n k = k n! k!(n k)! pk ( p) n k Bierzemy granicę n równocześnie zakładając np = λ dla pewnej stałej λ R (co oznacza p = λ/n 0) 38 / 42
123 Rozkład Poissona jako granica rozkładu dwumianowego P(X = k) = ( ) n p k ( p) n k = k n! k!(n k)! pk ( p) n k Bierzemy granicę n równocześnie zakładając np = λ dla pewnej stałej λ R (co oznacza p = λ/n 0) lim P(X = k) = lim n n n (n )... (n k + ) k! } {{ } ( k) n λ k n k }{{} p k ( λ/n) n ( λ/n) k } {{ } ( p) n k 38 / 42
124 Rozkład Poissona jako granica rozkładu dwumianowego P(X = k) = ( ) n p k ( p) n k = k n! k!(n k)! pk ( p) n k Bierzemy granicę n równocześnie zakładając np = λ dla pewnej stałej λ R (co oznacza p = λ/n 0) lim P(X = k) = lim n n = λk k! n (n )... (n k + ) k! } {{ } ( k) n lim n λ k n k }{{} p k n (n )... (n k + ) n k ( λ/n) n ( λ/n) k } {{ } ( p) n k ( λ/n) n ( λ/n) k 38 / 42
125 Rozkład Poissona jako granica rozkładu dwumianowego P(X = k) = ( ) n p k ( p) n k = k n! k!(n k)! pk ( p) n k Bierzemy granicę n równocześnie zakładając np = λ dla pewnej stałej λ R (co oznacza p = λ/n 0) lim P(X = k) = lim n n = λk k! = λk k! n (n )... (n k + ) k! } {{ } ( k) n lim n ( ) lim n n... λ k n k }{{} p k ( λ/n) n ( λ/n) k } {{ } ( p) n k n (n )... (n k + ) ( λ/n) n n k ( λ/n) k ( ) ( λ/n) k n n ( λ/n) k 38 / 42
126 Rozkład Poissona jako granica rozkładu dwumianowego P(X = k) = ( ) n p k ( p) n k = k n! k!(n k)! pk ( p) n k Bierzemy granicę n równocześnie zakładając np = λ dla pewnej stałej λ R (co oznacza p = λ/n 0) lim P(X = k) = lim n n = λk k! = λk k! n (n )... (n k + ) k! } {{ } ( k) n lim n ( ) lim n n... λ k n k }{{} p k ( λ/n) n ( λ/n) k } {{ } ( p) n k n (n )... (n k + ) ( λ/n) n n k ( λ/n) k ( ) ( λ/n) k n n 0 0 ( λ/n) k 0 38 / 42
127 Rozkład Poissona jako granica rozkładu dwumianowego P(X = k) = ( ) n p k ( p) n k = k n! k!(n k)! pk ( p) n k Bierzemy granicę n równocześnie zakładając np = λ dla pewnej stałej λ R (co oznacza p = λ/n 0) lim P(X = k) = lim n n = λk k! = λk k! n (n )... (n k + ) k! } {{ } ( k) n lim n ( ) lim n n... λ k n k }{{} p k ( λ/n) n ( λ/n) k } {{ } ( p) n k n (n )... (n k + ) ( λ/n) n n k ( λ/n) k ( ) ( λ/n) k n n 0 0 ( = λk lim λ ) n k! n n ( λ/n) k 0 38 / 42
128 Rozkład Poissona jako granica rozkładu dwumianowego P(X = k) = ( ) n p k ( p) n k = k n! k!(n k)! pk ( p) n k Bierzemy granicę n równocześnie zakładając np = λ dla pewnej stałej λ R (co oznacza p = λ/n 0) lim P(X = k) = lim n n = λk k! = λk k! = λk k! n (n )... (n k + ) k! } {{ } ( k) n lim n ( ) lim n n... λ k n k }{{} p k ( λ/n) n ( λ/n) k } {{ } ( p) n k n (n )... (n k + ) ( λ/n) n n k ( λ/n) k ( ) ( λ/n) k n n ( lim λ n n 0 0 ) n = λk k! e λ ( λ/n) k 0 38 / 42
129 Rozkład Poissona Zmienna X {0,,...} ma rozkład Poissona z parametrem λ jeśli: P(X = k) = λk k! e λ 39 / 42
130 Rozkład Poissona Zmienna X {0,,...} ma rozkład Poissona z parametrem λ jeśli: P(X = k) = λk k! e λ Rozkład Poissona oznaczamy przez Pois(λ) 39 / 42
131 Rozkład Poissona Zmienna X {0,,...} ma rozkład Poissona z parametrem λ jeśli: P(X = k) = λk k! e λ Rozkład Poissona oznaczamy przez Pois(λ) Sprawdzamy, czy rozkład poprawnie się normalizuje: P(X = k) = e λ λ k = e λ e λ = k! k=0 k=0 39 / 42
132 Rozkład Poissona Zmienna X {0,,...} ma rozkład Poissona z parametrem λ jeśli: P(X = k) = λk k! e λ Rozkład Poissona oznaczamy przez Pois(λ) Sprawdzamy, czy rozkład poprawnie się normalizuje: P(X = k) = e λ λ k = e λ e λ = k! k=0 k=0 Zadanie Odszukaj dlaczego e x = n=0 x n n! Zadanie 7 Wyznacz rozkład prawdopodobieństwa dla wszystkich wymienionych poprzednio przykładów. Oblicz kilka pierwszych prawdopodobieństw. 39 / 42
133 Rozkład Poissona λ = 0.5 λ = 2 P(X = k) P(X = k) k = k = λ = 5 λ = 0 P(X = k) P(X = k) k = k = / 42
134 Rozkład Poissona a dwumianowy p = 0.2, n = 0, λ = 2 p = 0.04, n = 50, λ = 2 P(X = k) Poisson dwumian P(X = k) Poisson dwumian k = k = p = 0.0, n = 200, λ = 2 p = 0.002, n = 000, λ = 2 P(X = k) Poisson dwumian P(X = k) Poisson dwumian k = k = / 42
135 Rozkład Poissona a dwumianowy p = 0.05, n = 20, λ = 0 p = 0., n = 00, λ = 0 P(X = k) Poisson dwumian P(X = k) Poisson dwumian k = p = 0.02, n = 500, λ = 0 k = p = 0.005, n = 2000, λ = 0 P(X = k) Poisson dwumian P(X = k) Poisson dwumian k = k = / 42
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 6. Momenty zmiennych losowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8.11.2018 1 / 47 Funkcje zmiennych losowych Mierzalna funkcja Y
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW
PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Bardziej szczegółowoStatystyka podstawowe wzory i definicje
1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowo2. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.
Literatura:. Jerzy Greń, Statystyka matematyczna. Modele i zadania.. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.. J. Koronacki, J. Mielniczuk, Statystyka dla
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Bardziej szczegółowoSieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 1
Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 1 Plan laboratoriów Teoria zdarzeń dyskretnych Modelowanie zdarzeń dyskretnych Symulacja zdarzeń dyskretnych Problem rozmieszczenia stacji raportujących i nieraportujących
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.0 Definicje Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. (A) Bolek postawił na czerwone, (B)
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoWstęp do rachunku prawdopodobieństwa
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Rozdział 06: Zmienne losowe. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Wprowadzenie Przykład 6.1 Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowop k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Bardziej szczegółowoALGEBRA ZDARZEŃ. PRZYKŁAD Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 } A = {ω 1, ω 2} DEFINICJA Mówimy, Ŝe zdarzenie elementarne w sprzyja zdarzeniu A (A Ω), jeŝeli ω A
ALGEBRA ZDARZEŃ Podobnie jak inne działy matematyki np. geometria, rachunek prawdopodobieństwa wychodzi z pewnych pojęć pierwotnych. Pojęciem pierwotnym rachunku prawdopodobieństwa jest zdarzenie elementarne,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski
WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.
Bardziej szczegółowoII WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowo02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoWykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoJoanna Karłowska-Pik Procesy Poissona w geometrii stochastycznej
Joanna Karłowska-Pik Procesy Poissona w geometrii stochastycznej Wykład dla stypendystów Krajowego Funduszu na Rzecz Dzieci, Toruń, 1-3 grudnia 2006 roku 1. Przestrzeń probabilistyczna Przestrzenią probabilistyczną
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowo{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)
.. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 26 lutego 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 26 lutego 2018 1 / 16 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) zaliczenie wykładu
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoc) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.
Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),
Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoWykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoRzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoc. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,
Bardziej szczegółowoStatystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz
Bardziej szczegółowoćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9.10.2010 ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności 1. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewną σ-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowo1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa
1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo
Bardziej szczegółowo(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008
STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowoσ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;
Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoMETODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA
Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)
Bardziej szczegółowo