Laboratorium wytrzymałości materiałów

Transkrypt

1 oitechnia Lbesa MECHANIA Laboratorim wytrzymałości materiałów Ćwiczenie - Statycznie wyznaczany przypade osiowego rozciągania rzygotował: Andrzej Teter (do żyt wewnętrznego)

2 Statycznie wyznaczany przypade osiowego rozciągania Metoda eementów sończonych (w srócie: MES) jest metodą nmeryczną poegającą na zastąpieni obiet rzeczywistego modeem złożonym z małych eementów o sończonych wymiarach. ażdy eement, w przyjętym ładzie współrzędnych, ma oreśone tzw. węzły. Znając położenie węzłów oraz właściwości mechaniczne materiał można wyznaczyć ich przemieszczenia, odpowiadające obciążenia działające na eement oraz zewnętrzne obciążenie onstrcji. Znając zaeżność odształcenie przemieszczenie można oreśić odształcenia, a z zaeżności naprężenia odształcenia wyniają naprężenia. Eementy sończone mogą mieć różne ształty geometryczne. W daszej części zajęto się najbardziej typowymi eementami jednowymiarowymi o jednym stopni swobody w ażdym węźe. Jednowymiarowy eement prętowy Da łatwiejszego zrozmienia metody na wstępie do rozważań przyjęto eement jednowymiarowy o jednym stopni swobody w ażdym węźe. Jest to sprężyna o znanej sztywności obciążona siłami, przyłożonymi na ońcach w tzw. pntach węzłowych, (Rys. ). Rys. rzemieszczenia węzłów i wzdłż przyjętej osi x wynoszą odpowiednio:,. Siły onieczne do wywołania tych przemieszczeń można wyznaczyć na drodze bezpośredniej z zaeżności: ( ) ( ) Zaeżność () można zapisać w postaci macierzowej: () ()

3 oitechnia Lbesa, Lbin 8 b w rótiej formie: () gdzie: nazywamy macierzą sztywności eement, tóra opisje onieczne siły do wywołania założonych przemieszczeń. Wyrażenia () nie są niezaeżne, ponieważ zachodzi związe: to powodje, że macierz sztywności eement jest macierzą osobiwą i niemożiwe jest zapisanie macierzy odwrotnej. Znając przemieszczenie pierwszego pnt węzłowego np. δ oraz siłę działającą w pncie, z zaeżności (b) można zapisać: przeształcając: () δ δ (5) Rys. rezentowane rozwiązanie jest bardzo proste gdy ład jest jednoeementowy, ae staje się bezżyteczne w ładach wieoeementowych. Aby epiej przedstawić metodę MES zbdjmy ład sładający się z dwóch sprężyn o sztywności oraz (rys. ). Rys. Zgodnie z poprzednimi rozważaniami rozbijamy ład na dwa eementy (rys. ) i zapisjemy zaeżności opisjące zaeżności sił i przemieszczeń w oejnych węzłach. Z prostej anaizy otrzymjemy: (6)

4 oitechnia Lbesa, Lbin 8 b w zapisie macierzowym, zgodnie z () otrzymjemy: Eement (7) Eement (8) Całowite siły w węzłach wynoszą:,, więc: (9) Wyonjąc działania: wyłączając wspóny czynni i dodając macierze sztywności eementów otrzymjemy równanie macierzowe o postaci: () b () gdzie: macierz sił: przedstawia siły działające w węzłach. W tym przypad również gobana macierz sztywności ład: jest osobiwa, ponieważ zachodzi zaeżność pomiędzy siłami zewnętrznymi. Anaogiczne działania możemy prowadzić da dowonej iczby połączonych eementów. Rys. W daszej części zajęto się prętem iniowo sprężystym przedstawionym na rys.. W tym przypad macierz sztywności zaeży od właściwości mechanicznych: geometrii przeroj, dłgości i stałych materiałowych. W iniowej anaizie jednowymiarowego eement przemieszczenia dowonego pnt można zapisać w postaci ombinacji iniowej:

5 oitechnia Lbesa, Lbin 8 5 α x () α gdzie: α oraz α są stałymi. Da pntów węzłowych oraz mamy: α α x α α x () Rozwiązjąc powyższy ład równań otrzymjemy wartości stałych α oraz α : czyi: α x x x x x α () x x [( x x ) ( ) x] x onieważ dłgość początowa eement wynosi: x x to mamy: [( x x ) ( ) x] W przypad osiowego rozciągania odształcenie obiczamy z zaeżności: ε x b x W zapisie macierzowym mamy: ε (5) (6) ε x (7) x [ ] b ε x B (8) gdzie: macierz powiązań: B [ ] opisje zaeżność pomiędzy odształceniem i przemieszczeniem. Głównie zaeży od położenia węzła eement. W anaizo- wanym przypad obowiązje prawo Hooe a da osiowego rozciągania w postaci: σ x E ε x (9) gdzie: E oznacza modł Yong a da materiał eement. odstawiając (8) do (9) otrzymano: E σ x [ ] () Z definicji naprężeń można zapisać zaeżność naprężeń i sił węzłowych oraz : σ x F oraz σ x F ()

6 6 oitechnia Lbesa, Lbin 8 gdzie: F oznacza poe przeroj poprzecznego eement. W zapisie macierzowym mamy: odstawiając wyrażenia () mamy: F σ EF x [ ] () EF owyższe równanie można zapisać w równoważnej postaci: gdzie: EF () () Anaogiczne rozważanie ja da dwóch połączonych sprężyn można przeprowadzić da połączonych prętów. rzypade statycznie wyznaczany wał stopniowany Szczegółowej anaizie doświadczanej i teoretycznej poddamy statycznie wyznaczany, stopniowany wał poddany osiowem rozciągani b ścisani poazany na rys. 5. W ce wyznaczenia sił, naprężeń i całowitego wydłżenia posłżymy się metodą sperpozycji i MES. o przyłożeni siły na całej dłgości pręta powstanie stała siła normana o wartości N, wynia to wprost z warn równowagi dowonego wycina wał. Naprężenia σ wyznaczamy z definicji: Rys. 5

7 oitechnia Lbesa, Lbin 8 7 F N σ (5) gdzie: F poe przeroj poprzecznego. Całowite wydłżenie wynosi: σ E dx F E dx N (6) Jeżei założymy, że modł Yong a Econst to w anaizowanym przypad mamy: σ i i i E (7) gdzie: i iczba stopni na wał. Wyznaczmy powyższe zaeżności metodą MES. Zgodnie ze wzorem () sztywności poszczegónych stopni wała wynoszą: E F E F E F (8) Da oejnych eementów zgodnie z zaeżnością () mamy: Eement (9) Eement () Eement () Całowite siły w węzłach wynoszą:,, więc: ()

8 oitechnia Lbesa, Lbin 8 8 Wyonjąc działania: wyłączając wspóny czynni i dodając macierze sztywności eementów, otrzymjemy równanie macierzowe o postaci: () b () Wprowadzamy dane ład: w zamrowani mamy nieznaną reację R oraz przemieszczenie. Znamy zewnętrzne obciążenia:,, wartości podstawiamy do równania () otrzymjemy: (5) Uład równań (5) można zapisać w postaci: { } { } { } { } F F q R (6) Oznaczmy: { } { } R { } { } { } q F { } F [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (7) Wyonjemy proste operacje na eementach macierzy i otrzymjemy dwa równania macierzowe: { } [ ] { } [ ] { } F R (8) { } [ ] { } [ ] { } F F q (9) czyi:

9 oitechnia Lbesa, Lbin 8 9 { R} [ ] { } () F { q } [ ] { } () F F Rozwiązjemy równanie () mnożąc ewostronnie obie strony równania przez macierz odwrotną [ ] : [ ] { qf } [ ] [ ] { F } () orzystając z właściwości [ ] [ ] I mamy: onieważ [ I ] { } { }, gdzie I to macierz jednostowa [ ] { q } [ I ] { } F F ostatecznie otrzymjemy: Zaś reacja w zamocowani wynosi: F F () { } [ ] { } () F q F { R} [ ] { } F (5) (6) (7) { R} [ ] W przypad programów ompterowych do rozwiązania ład (5) stosje się inną procedrę poegającą na przemnożeni macierzy sztywności ład przez dobraną macierz zerojedynową. Dobór poega na tym, aby z macierzy sztywności wyreśić wiersze i omny o nmerach wyzerowanych stopni swobody. W omawianym przypad przemieszczenie, więc z macierzy sztywności wyreśamy omnę oraz wiersz. Naeży pamiętać, aby z wetorów sił i przemieszczeń wyreśić wiersz. Otrzymjemy nowy ład równań o postaci: (8) Otrzymjemy identyczne wyrażenie ja w zaeżności (), dasza procedra obiczeń jest taa sama.

10 oitechnia Lbesa, Lbin 8 owyższe obiczenia możemy prowadzić na papierze, ae o wiee wygodniej jest zastosować program ompterowy. oparność, jaą zysała metoda MES, wynia z jej niwersaności i łatwości impementacji ompterowej. Znanych jest wiee omercyjnych programów do obiczeń MES, my jednaże wyorzystamy prosty program stworzony do rozwiązywania tyo taich przypadów. Atorem program jest Wacław ś, pracowni atedry Wytrzymałości Materiałów i Metod ompterowych Mechanii, oitechnii Śąsiej. Stanowi on integraną część siążi []. Można pobrać go bezpłatnie ze strony wraz z piami pomocy i samocziem. Urchamiamy pi rozc.exe, w otwartym onie z men: i wybieramy poecenie Nowy (rys.6). Rys. 6 W otwartym onie (rys. 6) - Dane podstawowe - wpisjemy iość eementów, tóra jest równa iości stopni wała oraz iość obciążeń, pozostałe wieości bez zmian. Na oniec potwierdzamy wybór awiszem O. Otwiera się następne ono: Rys. 7 W onie arametry przeroj (rys. 7) podajemy dane zgodnie z rysniem, wybór potwierdzamy awiszem O. Wprowadzając dane posłgjemy się ładem jednoste SI tzn. siły w [N], naprężenia w [Ma], zaś wszeie wymiary w [mm]. rocedrę powtarzamy da wszystich przerojów. W nowym onie Współrzędne węzłów (rys. 8) wprowadzamy dłgości poszczegónych stopni podając współrzędne oejnych węzłów (miejsc zmiany średnicy). Naeży pamiętać, że współrzędne x mszą być dodatnie.

11 oitechnia Lbesa, Lbin 8 Rys. 8 W następnym etapie wsazjemy miejsce zamrowania, w naszym przypad począte ład współrzędnych, czyi węzeł (rys. 9). Rys. 9 Załadamy zamrowanie, więc przemieszczenie tego węzła wynosi, jeżei podparcie przyjmjemy podatne to wartość ta jest różna od zera. W następnym onie (rys. ) wprowadzamy do ład obciążenie: na ońc, w węźe, działa siła np. 5 N. Mamy, więc: Rys. rogram prowadzi obiczenia i po chwii możemy przegądać wynii. Z men Wido wybieramy Naprężenia, na eranie pojawiają się wynii obiczeń (rys. ): Rys. Szczegółowe wynii znajdją się w men Wido/Wynii obiczeń: wartości naprężeń w poszczegónych stopniach wał, przemieszczenie oejnych węzłów i reacja podpory. Całowite wydłżenie pręta (rys. ).

12 oitechnia Lbesa, Lbin 8 Rys. Warto jeszcze sprawdzić, czy dane są dobrze wprowadzone. Wybieramy z men Wido/Dane do obiczeń (rys. ): Rys. Jeżei dane są dobrze wprowadzone, wynii możemy zapisać na dys b ontynować obiczenia innego obciążenia b całowicie inny przyład.

13 oitechnia Lbesa, Lbin 8 oitechnia Lbesa, Wydział Mechaniczny atedra Mechanii Stosowanej Laboratorim Wytrzymałości Materiałów Imię i nazwiso Grpa Data wyonania rowadzący Ocena Laboratorim Wytrzymałości Materiałów Statycznie wyznaczany przypade osiowego rozciągania. Ce ćwiczenia Ceem ćwiczenia jest wizaizacja zjawis zachodzących podczas obciążania statycznie wyznaczanego, stopniowanego pręta pracjącego w osiowym rozciągani b ścisani. orównanie da zadanego przypad wartości wydłżenia przy narastającym obciążeni otrzymanych na drodze badań doświadczanych oraz obiczeń metodą sperpozycji i MES.. Opis stanowisa badawczego Badania doświadczane stopniowanego wała pracjącego w osiowym rozciągani b ścisani wyonywane są na stanowis badawczym sładającym się ze zrywari Z firmy Zwic oraz zestaw ompterowego. Dodatowo do pomiarów próbi na stanowis znajdją się przyrządy pomiarowe: swmiara oraz śrba mirometryczna.. rzebieg ćwiczenia. Szicjemy zarys anaizowanego pręta i wymiarjemy go. omiary powtarzamy, a w sprawozdani zamieszczamy wartości średnie.. Zmierzone dane mieszczamy w tabei.. róbę mocjemy w szczęach maszyny wytrzymałościowej i mierzymy da zadanych sił wydłżenie całowite wała. Wynii wpisjemy do tabei.. Z wyorzystaniem omptera metodą MES sprawdzamy otrzymane wynii. Wydri wprowadzonych danych i wynii obiczeń naeży dołączyć do sprawozdania.. Opracowanie wyniów i wyonanie sprawozdania W ce przygotowania sprawozdania naeży:

14 oitechnia Lbesa, Lbin 8 a) Narysować zwymiarowaną próbę. Dołączyć wagi dotyczące stan próbi i doładności jej wyonania. b) Ze zmierzonych danych da podanej przez prowadzącego siły obiczyć: naprężenia σ we wszystich stopniach i narysować wyres naprężeń σf(x). Metodą sperpozycji obiczyć teoretyczną wartość całowitego wydłżenia wała t. c) oiczyć błąd popełniony przy wyznaczani całowitego wydłżenia: δ d t ( ) % t gdzie d - wartość doświadczana całowitego wydłżenia wała. d) Z danych doświadczanych narysować wyres zaeżności całowitego wydłżenia od przyłożonej siły. e) Otrzymane wynii teoretyczne i doświadczane porównać z wyniami obiczonymi metodą MES. Dołączyć wydri obiczeń. f) Osoby chętne mogą obiczenia MES wyonać na papierze bez żywania programów ompterowych. 5. Schemat próbi 6. Wymiary i inne dane: Lp. Tabea d d d E [ ] [..] [ ] [..] [ ] [ ] [ ]

15 oitechnia Lbesa, Lbin 8 5 Średnia 7. Wynii obiczeń: Lp. Obiczenia (5) Tabea A A A σ σ σ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] MES 8. Wynii pomiarów i obiczeń wydłżenia całowitego: Siła Wydłżenie całowite - metoda sperpzycji t Wydłżenie całowite - esperyment d Wydłżenie całowite - metoda MES Tabea Błąd popełniony d t δ ( ) % [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] t Uwaga. odać wszystie wzory, podstawienia i wynii obiczeń teoretycznych i błędów.

16 6 oitechnia Lbesa, Lbin 8 9. Wyres zaeżności całowitego wydłżenia od przyłożonej siły. Wyres naprężeń σf(x). Wniosi i wagi ońcowe.