Charakterystyka składu strukturalno-grupowego olejów napędowych i średnich frakcji naftowych z zastosowaniem GC/MS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Charakterystyka składu strukturalno-grupowego olejów napędowych i średnich frakcji naftowych z zastosowaniem GC/MS"

Transkrypt

1 NAFTA-GAZ lipiec 2012 ROK LXVIII Xymen Mzur-Bdur, Michł Krsodomski Instytut Nfty i Gzu, Krków Chrkterystyk skłdu strukturlno-grupowego olejów npędowych i średnich frkcji nftowych z zstosowniem GC/MS Wstęp Pliw uzyskiwne z ropy nftowej, szczególnie komponowne z udziłem średnich destyltów, są niezwykle złożonymi mieszninmi różnych grup węglowodorów. Złożoność t jest wynikiem lwinowo rosnącej liczby struktur izomerycznych przy wzroście tempertury wrzeni frkcji. Wiąże się to z rosnącą liczbą tomów węgl w destylujących w corz wyższej temperturze cząsteczkch węglowodorów i wzrstjącą wrz z nią liczbą sposobów uporządkowni tworzących je tomów węgl, zrówno w strukturch węglowodorów prfinowych, jk i podstwników w lkilonftench czy lkilorench (izomeri konstytucyjn). Dodtkowy wzrost liczby skłdników frkcji jest związny z możliwością występowni różnic w strukturch przestrzennych węglowodorów (stereoizomeri). Destylown frkcj nftow jest w pełni zdefiniown, gdy znn jest zwrtość i budow wszystkich jej komponentów, jednk z powodu różnorodności i zncznej liczby skłdników w destyltch nftowych wrzących powyżej około 200 C (średnie destylty) tk dokłdne określenie ich skłdu jest obecnie niemożliwe. Mówiąc ogólnie, węglowodory występujące w średnich destyltch nftowych mogą być, dl zstosowń prktycznych, definiowne przez podnie liczby tomów tworzącego je węgl lbo poprzez rodzj struktury molekulrnej. Z tego względu zwykle nie ozncz się indywidulnych skłdników w wyżej wrzących frkcjch nftowych, ntomist chrkteryzuje się je pod względem zwrtości poszczególnych grup węglowodorów, tj. prfin, nftenów i renów, co jest zdniem nlizy skłdu strukturlno-grupowego. W prktyce ozncz to poznnie sttystycznej dystrybucji określonych elementów strukturlnych w bdnej frkcji, bez względu n to, w jkim konkretnym połączeniu znjduje się określny element strukturlny [15]. Informcje o dystrybucji we frkcjch nftowych struktur o określonej liczbie tomów węgl uzyskuje się njczęściej metodmi destylcyjnymi w połączeniu z oznczniem ms cząsteczkowych wąskich destyltów. Ocenę skłdu strukturlno-grupowego prowdzi się (tblic 1) metodmi chromtogrficznymi, w tym głównie klsyczną chromtogrfią elucyjną [4, 5, 6, 14]. Zstosownie chromtogrfii gzowej do bezpośredniej nlizy skłdników frkcji z destylcji ropy nftowej ntrfi n wiele ogrniczeń. Przede wszystkim, jk już wspomnino, liczb możliwych skłdników frkcji o określonym zkresie tempertury destylcji rośnie gwłtownie wrz ze zwiększniem się ich msy cząsteczkowej, co gorsz towrzyszy temu zmniejsznie się różnic włściwości fizykochemicznych (powinowctwo sorpcyjne) związków będących izomermi. To zjwisko jest przyczyną zncznych trudności, czsem wręcz brku możliwości wydzieleni i identyfikcji pojedynczego związku z destyltów nftowych techniką chromtogrfii gzowej. Techniki te co prwd pozwlją n włściwie pełną identyfikcję skłdników frkcji benzynowych [3], lecz już bdni skłdu cięższych frkcji nftowych nie dją oczekiwnych rezulttów. Dopiero sprzężenie chromtogrfu gzowego z detektorem ms (GC/MS) umożliwiło głębsze poznnie typów struktur węglowodorów występujących w średnich destyltch (zkres wrzeni od około 200 C do 350 C). Istotą GC/MS jest wykorzystnie połączeni zlet spektrometrii ms, zstosownej jko nrzędzi identyfikcji 438

2 rtykuły Tblic 1. Zestwienie znormlizownych metod oznczni skłdu strukturlno-grupowego produktów nftowych techniką chromtogrfii elucyjnej [4, 5, 6, 14] Norm Tytuł normy Stosowne sorbenty Stosowne eluenty PN-72/C ASTM D 2007 ASTM D 4124 ASTM D 2549 Ozncznie skłdu grupowego metodą chromtogrfii elucyjnej Stndrd Test Method for Chrcteristic Groups in Rubber Extender nd Processing Oils nd Other Petroleum-Derived Oils by the Cly-Gel Absorption Chromtogrphic Method Stndrd Test Method for Seprtion of Asphlt into Four Frctions Stndrd Test Method for Seprtion of Representtive Aromtics nd Nonromtics Frctions of High-Boiling Oils by Elution Chromtogrphy żel krzemionkowy tlenek glinu żel krzemionkowy ttpulgit tlenek glinu żel krzemionkowy tlenek glinu eter nftowy benzen etnol n-pentn toluen ceton n-heptn toluen metnol trichloroetylen substncji orgnicznych, z techniką ich rozdziłu w fzie gzowej. Zstosownie niepolrnej kolumny chromtogrficznej skutkuje rozdziłem komponentów mieszniny, prktycznie zgodnym z ich temperturmi wrzeni, możliwość rejestrcji widm ms pojedynczego skłdnik umożliwi jego identyfikcję. Rozwój techniki komputerowej z jednej strony, z drugiej doskonlenie techniki seprcji jonów wytworzonych w źródle spektrometru ms umożliwiją rejestrcję widm ms skłdników pików chromtogrficznych nieml w czsie rzeczywistym, co z kolei stło się podstwą tworzeni mp występowni określonych jonów we frkcjch eluownych z kolumny chromtogrficznej. Niestety, już w przypdku nlizy średnich destyltów stosunkowo rzdko możn obserwowć n chromtogrmie wyrźny pik (zwykle n-prfin), częściej poddje się nlizie spektrometrycznej określoną frkcję chromtogrficzną, zwierjącą wiele połączeń. W przypdku miesznin wieloskłdnikowych ilościow interpretcj widm ms jest stosunkowo trudn. Wykorzystnie wrunków wzbudzeni preferujących powstwnie pików molekulrnych (zstosownie niskiej energii jonizcji) zncznie obniż czułość nlizy i wymg większych ilości substncji, to wpływ negtywnie zrówno n prcę kolumny chromtogrficznej, jk i n czystość źródł jonów. Zstosownie wrunków stndrdowych dl wzbudzeni strumieniem elektronów (70 ev) prowdzi z kolei do tworzeni zncznej liczby jonów frgmentcyjnych, niekiedy o tej smej msie, pochodzących od różnych skłdników mieszniny. Z tego względu wykorzystnie techniki GC/MS do ilościowej oceny skłdu mediów węglowodorowych opier się przede wszystkim n bdnich doświdczlnych [10]. Anliz skłdu grupowego metodą spektrometrii ms był rozwijn w XX w., wyniki tych bdń opisują m.in. prce Hood [7, 11], Fitzgerld [8], Snyder [16] i Gehron [9]. Wszyscy ci utorzy zkłdją, że widmo ms mieszniny węglowodorów jest sumą widm poszczególnych skłdników frkcji nftowej, obserwowne w nim piki stnowią sumę pików o tym smym m/e pochodzących od tych skłdników. Inczej mówiąc, intensywność piku o określonej wrtości m/e jest sumą intensywności odpowiednich pików powstłych w wyniku jonizcji kżdego związku obecnego w mieszninie. Cząstkow wrtość intensywności piku o określonym m/e, pochodzącego od określonego związku, jest z kolei zleżn od stężeni tego związku w mieszninie orz od intensywności tego piku w jego widmie ms. Wynik z tego, że rozwiązując odpowiednio rozbudowny ukłd równń liniowych, możn określić udził poszczególnych typów związków w bdnej frkcji. Problemem jest to, że różne struktury węglowodorowe mją różną energię jonizcji i ich rozpd n jony frgmentcyjne jest zróżnicowny, energi t zleży również od wielkości cząsteczki. W bdnich, nstępnie w normch (ASTM D 2425 [1] i ASTM D 2786 [2]) wyróżniono do piętnstu grup związków o podobnych schemtch frgmentcji: prfiny, izoprfiny, cykloprfiny nieskondensowne, bi-, tri-, tetr- pent-, hekscykloprfiny, lkilobenzeny, indny i tetrliny, indeny, nftlen i nftleny, cenfteny, cenftyleny orz tricykliczne węglowodory romtyczne. Metod ASTM D 2425 pozwl n wyznczenie skłdu grupowego z widm ms średnich destyltów nftowych ( C) przy zstosowniu klsycznej jonizcji elektronmi o energii 70 ev. Rejestruje 439

3 NAFTA-GAZ się prąd jonowy dl m/e od 40 do 292. Bdne mogą być produkty o średniej liczbie tomów węgl pomiędzy C 12 C 16, zwierjące prfiny o liczbie tomów węgl od C 10 do ok. C 18. Próbki mogą być dzielone n frkcję nsyconą W związku z brkiem metod nlitycznych umożliwijących szerszą chrkterystykę skłdu strukturlnogrupowego frkcji nftowych o temperturch wrzeni wykrczjących poz zkres benzyn (< 200 C) istnieje potrzeb rozpoznni tej temtyki zwłszcz w obszrze rozróżnini struktur nftenowych i prfinowych, trudnych do oznczeni innymi metodmi. Do określni skłdu strukturlno-grupowego szerokiego zkresu średnich destyltów nftowych wykorzystno GC/MS. Bdniom poddno lekki olej opłowy, pliwo do lotniczych silników turboodrzutowych, pliwo żeglugowe, olej npędowy i frkcję ropy nftowej uzysknej z destylcji o zkresie tempertur wrzeni C. Bdni prowdzono, wzorując się n zlecenich normy ASTM D 2425, dotyczącej bdni średnich destyltów techniką spektrometrii ms z bezpośrednim wprowdzniem próbki do źródł jonów. Złożono, że sum widm ms wszystkich eluownych frkcji chromtogrficznych uzyskiwnych podczs rozdziłu bdnego średniego destyltu nie różni się w istotny sposób od widm uzyskiwnego przez bezpośrednie wprowdzenie nlitu do spektrometru ms. Przeprowdzono optymlizcję wrunków nlizy techniką GC/MS i zrejestrowno prąd jonowy dl chrkteryi renową, zgodnie z metodą ASTM D 2549, i nlizowne odrębnie. Ozncznych jest jedenście grup węglowodorów wymienionych wrz z zestwmi ms chrkterystycznych w tblicy 2. Tblic 2. Liczby msowe przyjęte do wyznczeni współczynników wykorzystywnych w obliczenich skłdu grupowego średnich destyltów według ASTM D 2425 [1] Związki m/e 71 Alkny Mono- i/lub nieskondensowne policykloprfiny Skondensowne dicykloprfiny Skondensowne tricykloprfiny Alkilobenzeny Indny/tetrliny Indeny Nftleny Acenfteny Acenftyleny Tricykliczne reny Część eksperymentln stycznych ms nlizownych grup związków (tblic 2). Wdrożono procedurę obliczeniową zwrtą w normie, umożliwijącą wyznczenie procentowej zwrtości w bdnym produkcie: lknów, cykloprfin, lkilobenzenów, indnów, indenów, nftlenów, cenftenów, cenftylenów i trójpierścieniowych renów. W bdnich wykorzystno chromtogrf gzowy Clrus 500 firmy PerkinElmer z dozownikiem split/splitless z progrmowlnym sterownikiem pneumtycznym (PPC), wyposżony w kpilrną kolumnę chromtogrficzną Elite 5 MS długości 30 m, o średnicy zewnętrznej 0,25 mm i grubości fzy rozdzielczej 0,5 µm. Fzą rozdzielczą był 5% difenylo-95% dimetylopolisiloksn. Chromtogrf był sprzężony ze spektrometrem msowym Clrus 560D, wykorzystującym jonizcję elektronową, wyposżonym w kwdrupolowy nliztor ms i detektor fotopowielcz. Pomiry prowdzono dl zkresu ms podlegjących detekcji od 50 dltonów do 400 dltonów (mu), przy rozdzielczości detektor 0,1 mu. Aprt był sterowny komputerem z zinstlownym oprogrmowniem TurboMs. Wrunki prcy GC/MS zebrno w tblicy 3. W celu przedstwieni możliwości bdwczych GC/ MS w zkresie oceny skłdu strukturlno-grupowego do bdń wybrno trzy produkty hndlowe z grupy średnich 440

4 rtykuły Tblic 3. Wrunki prcy GC/MS podczs nlizy średnich destyltów ropy nftowej Prmetry prcy GC Prmetry prcy MS Próbk o stężeniu ok. 5 mg/ml Temp. linii trnsferowej 200 C Nstrzyk 0,5 µl bez dzielnik strumieni, nstępnie split 5 Temp. dozownik 300 C Przepływ gzu nośnego 1 cm 3 /min Progrm temperturowy piec: 50 C 5 min ogrzewnie do 300 C z prędkością 10 C/min destyltów z ropy nftowej, tj. lekki olej opłowy, pliwo lotnicze JET orz pliwo żeglugowe. Zrejestrowno chromtogrmy bdnych produktów, mierząc cłkowity prąd jonowy (TIC Totl Ion Current) w zoptymlizownych wrunkch prcy GC/MS podnych w tblicy 3. Uzyskne chromtogrmy bdnych produktów przedstwiono n rysunku 1. Odzwierciedlją one różnice zkresów ich tempertur wrzeni i wskzują obszr czsów retencji, w których eluowne są skłdniki tych produktów. Dl lekkiego oleju opłowego zkres tempertur wrzeni wynosi C, dl pliw lotniczego to C, dl pliw żeglugowego C. Temp. źródł 180 C dorów (tblic 2), dl związków eluownych przy odpowiednich czsch retencji. Dl przykłdu n rysunkch 2 i 3 przedstwiono je w postci odrębnych wykresów zmin intensywności prądu jonowego w funkcji czsu retencji dl bdnego lekkiego oleju opłowego. Mierzony prąd jonowy odpowid sumie intensywności pików określonych ms chrkterystycznych, zgodnie z tblicą 2, odpowiednio dl: lknów ( 71), mono- i/lub nieskondensownych policykloprfin ( 67), skondensownych dicykloprfin ( 123), skondensownych tricykloprfin ( 149) i lkilobenzenów ( 91). Intensywność określon n chromtogrmch jko 100% odpowid wrtości sygnłu Pozostłe grupy związków, zgodnie z tblicą 2, to jest: indny ( 103), indeny ( 115), nftleny ( 141), cenfteny ( 153), cenftyleny ( 151) i reny trójpierścieniowe ( 177), dją sygnły dziesięciokrotnie słbsze. Z tego względu pełnemu zkresowi skli intensywności odpowid wrtość sygnłu Możn n tym przykłdzie zobserwowć, że intensywności pików nsyconych ukłdów policyklicznych w mirę zwiększni liczby pierścieni są corz mniejsze. Intensywności pików chromtogrmu odpowidjącego lkilobenzenom są porównywlne z tricykloprfinmi. Jk widć, njwiększe intensywności pików są obserwowne dl lknów, monocykloprfin i dicykloprfin, ntomist intensywność odpowidjąc związkom romtycznym jest około dziesięciokrotnie mniejsz. Intensywność kżdego piku w chromtogrmch przedstwionych n rysunkch 2 i 3 jest wynikiem sumowni wybrnych, zgodnie z tblicą 2, pików widm ms Energi jonizcj EI 70 ev Zkres ms u Prc detektor: 0 5 min detektor wyłączony 5 35 min zbiernie dnych Rys. 1. Chromtogrm rejestrowny w trybie TIC dl: oleju opłowego fioletowy, pliw do lotniczych silników turboodrzutowych zielony i pliw żeglugowego czerwony Dl wyznczeni skłdu strukturlno-grupowego, zgodnie z normą ASTM D 2425, z dnych GC/MS zrejestrownych w trybie TIC dl bdnych produktów uzyskno obrzy chromtogrficzne, będące odzwierciedleniem intensywności prądu jonowego dl sum ms chrkterystycznych dl ozncznych, wybrnych grup węglowo- związków eluownych z kolumny przy dnym czsie retencji. Z tk uzysknej sumrycznej intensywności wybrnych pików widm ms, przy zstosowniu złożonych przeliczeń wykorzystujących stbelryzowne w normie współczynniki, możn obliczyć skłd grupowy, czyli zwrtość wymienionych grup związków w procentch msowych. Nie możn bowiem, z powodu złożonego skłdu kżdej eluownej frkcji chromtogrficznej, wprowdznej do źródł jonów, i różnego stopni jonizcji kżdego ze 441

5 NAFTA-GAZ Rys. 2. Chromtogrmy sum ms chrkterystycznych dl poszczególnych grup związków według tblicy 2: 71 lkny czerwony, 67 monocykloprfiny brązowy, 123 dicykloprfiny czrny, 149 tricykloprfiny fioletowy, 91 lkilobenzeny zielony. Uwg: intensywność 100% odpowid sygnłowi o intensywności Rys. 3. Chromtogrmy sum ms chrkterystycznych dl poszczególnych grup związków według tblicy 2: 103 indny ciemnozielony, 115 indeny czerwony, 141 nftleny brązowy, 153 cenfteny czrny, 151 cenftyleny fioletowy, 177 trójpierścieniowe romty jsnozielony. Uwg: intensywność 100% odpowid sygnłowi o intensywności związków, dokonywć bezpośredniej interpretcji wyników uzysknych n przedstwionych chromtogrmch. Poniżej przedstwiono przykłdowy schemt obliczni skłdu grupowego. W celu określeni zwrtości lknów, cykloprfin, lkilobenzenów, indnów, indenów, nftlenów, cenftenów, cenftylenów i renów trójpierścieniowych w procentch msowych nleży njpierw obliczyć średnią liczbę tomów węgl w bdnym produkcie. 442 Średni liczb tomów węgl (A) w cząsteczce to prmetr chrkteryzujący wielkość cząsteczek w dnej grupie związków. Wrtość tego prmetru oblicz się dl dwóch grup związków: lkilobenzenów i nftlenów, które njłtwiej tworzą piki molekulrne. Dl tych grup stbelryzowno odpowiednie współczynniki izotopowe i współczynniki czułości molowej, zleżne od złożonej liczby tomów węgl (n). Wyznczenie średniej liczby tomów węgl w nlizownym produkcie poleg n po-

6 rtykuły mirze intensywności odpowiednich jonów mcierzystych (m) i jonów (m-1), obliczeniu udziłu molowego dl dnego homologu zgodnie z równniem (1) i dokonniu obliczeń zgodnie z równniem (2). n Pm Pm 1 K1/ K2 (1) n18 n n 18 A (2) n / n10 n10 gdzie: µ n udził molowy dl cząstek o zdnej liczbie tomów węgl, P m intensywność piku o msie m odpowidjącej cząsteczkom o zdnej liczbie tomów węgl, P m-1 intensywność piku o msie cząsteczkowej m-1, K 1 współczynnik izotopowy, K 2 współczynnik czułości molowej, A średni liczb tomów węgl w cząsteczce, n złożon liczb tomów węgl w cząsteczce. N podstwie wyznczonej średniej wrtości liczby tomów węgl w lkilobenzench przyjmuje się ich odpowiednią liczbę dl prfin i cykloprfin (tblic 4). Tblic 4. Związki pomiędzy obliczoną średnią liczbą tomów węgl w lkilobenzench ich średnią liczbą w prfinch i cykloprfinch w eluownych frkcjch nftowych [1] Alkilobenzeny Średni liczb tomów węgl n Prfiny i cykloprfiny (14,5) (15,5) Oszcownie średniej liczby tomów węgl w pozostłych grupch węglowodorów nie jest wymgne i przyjmuje się, że jest on równ wrtości obliczonej dl nftlenów, z tym że dl renów tricyklicznych przyjmuje się ją jko nie niższą od 14. Istotą metody oznczni skłdu strukturlno-grupowego destyltów nftowych jest rozwiąznie ukłdu równń liniowych wiążących sumryczne wrtości intensywności pików o wybrnych stosunkch m/e z wyznczonymi eksperymentlnie współczynnikmi udziłu w nich poszczególnych grup węglowodorów. Znjąc średnią liczbę tomów węgl w poszczególnych grupch ozncznych związków, możn, korzystjąc z tblicy 5, odczytć współczynniki, jkie nleży wprowdzić do ukłdu równń liniowych. Tblic 5. Zestwienie współczynników równń liniowych ( i ) dl poszczególnych wrtości średniej liczby tomów węgl (l. t. C) [1] Tricykl. reny Acenftyleny i CnH2n-16 Acenfteny i CnH2n-14 Prfiny Monocykloprfiny Bicykloprf. Tricykloprf. Alkilobenzeny Indny i tetrliny Indeny Nftleny l. t C ,5 15, ,5 15, ,5 15, ,5 15, ,1 1, ,3 0,3 0,4 0,5 0,2 0,4 0,4 1 0,3 1,7 0,5 5,2 1, , ,7 0, , ,3 6 0,8 1,2 1,5 2 0, , ,1 0, ,1 0,1 0,2 0,3 0, ,4 4,8 0,2 0,5 7, , ,3 1 1,5 2 0,4 0,2 0,3 0,9 0,1 0,7 0,5 91 0,4 0,4 0,4 0,4 0, ,6 6,2 0,1 0, , ,5 20,3 0,6 0,1 0,1 0,1 3 0,2 3 1, , ,5 4,4 4, , ,8 0,8 0,3 2, , , ,7 5,6 5,6 1 0,7 0,2 0,1 0, ,3 0,2 0,1 0,1 0,4 1 2, , , , , ,

7 NAFTA-GAZ W przypdku wyznczni skłdu strukturlno-grupowego średnich destyltów z ropy nftowej otrzymuje się ukłd jedenstu równń o jedenstu niewidomych. Ukłd tkich równń liniowych pozwljący n uzysknie jednozncznych wyników powinien skłdć się z co njmniej tkiej liczby równń jk liczb oblicznych zmiennych. Możn więc zpisć go w postci mcierzy, w której wierszch zostną umieszczone współczynniki równni, związne z poszczególnymi zmiennymi, orz wrtość wyrzu wolnego kolumny będą reprezentowć prmetry równni związne z określoną zmienną. Poniżej przedstwiono zpis ukłdu równń liniowych w postci mcierzowej. W wierszch umieszczone zostły współczynniki równni ( i ), związne z poszczególnymi zmiennymi (x i ), orz wrtość wyrzu wolnego (b i ). Ukłd równń liniowych: 11 x x x n x n = b 1 21 x x x n x n = b n1 x 1 + n2 x 2 + n3 x nn x n = b n Zpis mcierzowy: n n2 W x = b (3) 1 n x1 b1 2n x2 b2 nn xn bn Kolejne etpy rozwiązywni tego rodzju ukłdu równń są szczegółowo opisne w literturze [12, 13]. W skrócie, po sprwdzeniu, czy wyzncznik mcierzy współczynników (W) nie jest równy zero, czyli gdy istnieje rozwiąznie ukłdu, wyzncz się mcierz odwróconą (W -1 ) i mnoży przez nią lewostronnie równnie (3). W wyniku otrzymujemy (w zpisie mcierzowym): poniewż W -1 W x = W -1 b W -1 W = I (mcierz jednostkow) I x = x ztem x = W -1 b (4) Uzyskne równnie (4) jest rozwiązniem ukłdu równń. W przypdku wyznczni wrtości zmiennych spełnijących ukłd równń uzyskny podczs nlizy lekkiego oleju npędowego stosowno progrm obliczeniowy Excel 2007 z pkietu Microsoft Office. Nleży zuwżyć, że zstosownie w obliczenich funkcji odwrcni mcierzy umożliwi osiągnięcie brdziej precyzyjnych wyników od klsycznego obliczni wrtości wyznczników, co jest efektem zokrąglni dużych liczb podczs obliczeń. W tblicy 6 przedstwiono wyniki obliczeń zwrtości poszczególnych skłdników w bdnych produktch (zmienne x 1 do x 11 ), uzyskne zgodnie z przedstwionym schemtem postępowni, wyrżone w procentch msowych. Tką smą gmą kolorów zznczono zwrtości: prfin (ciemnopomrńczowy), nftenów (żółty) i węglowodorów romtycznych (zielony). Anlizując uzyskne wyniki, zobserwowno podobny przebieg zleżności zwrtości określonego rodzju połączeń od ich budowy strukturlnej, co m związek z tym, że bdne Grup związków Tblic 6. Wyznczony skłd strukturlno-grupowy bdnych średnich destyltów Frkcj z ropy C Olej npędowy Olej opłowy Pliwo lotnicze Pliwo żeglugowe % (m/m) Prfiny 15,4 19,2 20,4 16,1 27,0 Monocykloprfiny 27,0 36,3 38,8 44,8 28,8 Bicykloprfiny 8,2 7,4 6,3 4,2 9,4 Tricykloprfiny 2,7 2,1 1,5 0 3,9 Alkilobenzeny 16,2 16,7 18,3 23,8 9,2 Indny/tetrliny 9,1 9,8 8,9 9,4 5,1 Indeny 3,9 2,6 1,1 0,3 2,1 Nftleny 10,4 1,4 1,7 0,3 5,6 Acenfteny 4,9 3,2 2,8 1,1 5,6 Acenftyleny 1,7 0, ,7 Areny tricykliczne 0,6 0,4 0,1 0 1,5 444

8 rtykuły Zwrtość skłdnik [% (m/m )] monocykloprfiny bicykloprfiny tricykloprfiny lkilobenzeny indny/tetrliny indeny nftleny Rys. 4. Grficzn interpretcj różnic skłdu produktów uzyskiwnych ze średnich destyltów z ropy nftowej produkty mją zbliżony zkres tempertur wrzeni i wrtość średniej liczby tomów węgl (prmetr chrkteryzujący wielkość cząsteczki) w nlizownych grupch związków. Różnice przebiegu krzywych skłdu n wykresie obserwuje się wyrźnie dl frkcji ropy nftowej (surowc do uzyskiwni pozostłych produktów) i pozostłych produktów, frkcj ropy C olej npędowy olej opłowy pliwo lotnicze pliwo żeglugowe cenfteny cenftyleny zwłszcz w zwrtości lkilobenzenów i nftlenów (w pliwie lotniczym zwrtość nftlenów wynosi około 0,3% (m/m)). Ozncznie skłdu strukturlno-grupowego techniką GC/MS stwrz dużo większe możliwości nlityczne niż zstosownie klsycznych technik chromtogrfii elucyjnej. Uzyskuje się informcje o zwrtości ż jedenstu grup związków: lknów, mono-, di-, tricykloprfin, lkilobenzenów, indnów, indenów, nftlenów, cenftenów, cenftylenów i trójpierścieniowych renów. Metodmi klsycznego rozdziłu chromtogrficznego możn oznczyć tylko zwrtość węglowodorów prfinowo-nftenowych i renów. W związku z rosnącymi wymgnimi dotyczącymi pliw silnikowych, którymi są średnie destylty nftowe i uzyskiwne z nich produkty, dokłdniejsz chrkterystyk skłdu strukturlno-grupowego techniką GC/MS jest pożądn i może dostrczyć informcji ułtwijących zrówno optymlizcję procesów technologicznych, jk i poprwę jkości uzyskiwnych produktów. reny tricykliczne Litertur [1] ASTM D Stndrd Test Method for Hydrocrbon Types in Middle Distilltes by Mss Spectrometry. [2] ASTM D (2006) Stndrd Test Method for Hydrocrbon Types Anlysis of Gs-Oil Sturtes Frctions by High Ionizing Voltge Mss Spectrometry. [3] ASTM D (2008) Stndrd Test Method for Detiled Anlysis of Petroleum Nphths through n-nonne by Cpillry Gs Chromtogrphy.ASTM D (2008) Stndrd Test Method for Chrcteristic Groups in Rubber Extender nd Processing Oils nd Other Petroleum-Derived Oils by the Cly-Gel Absorption Chromtogrphic Method. [4] ASTM D (2007) Stndrd Test Method for Seprtion of Representtive Aromtics nd Nonromtics Frctions of High-Boiling Oils by Elution Chromtogrphy. [5] ASTM D Stndrd Test Method for Seprtion of Asphlt into Four Frctions. [6] Clerc R. J., Hood A., O Nel M. J. Jr.: Mss Spectrometric Anlysis of High Moleculr Weight Sturted Hydrocrbons. Anlyticl Chemistry 1955, vol. 27, no. 6, s [7] Fitzgerld M. E., Cirillo V. A., Glbrith F. J.: Mss Spectrometric Method for Anlysis of Petroleum Distilltes in the Furnnce Oil-Kerosine Boilind Rnge. Anlyticl Chemistry 1962, vol. 34, no. 10, s [8] Gehron M. J., Yost R A.: Hydrocrbon-Type Anlysis of Jet Fuel with Gs Chromtogrphy/Mss Spectrometry. Novel Techniques in Fossil Fuel Mss Spectrometry. ASTM STP 1019, 1989, s [9] Grob R. L., Brry E. F.: Modern Prctice of Gs Chromtogrphy. John Wiley & Sons, Inc., [10] Hood A., O Nel M. J.: Sttus of Appliction of Mss Spectrometry to Hevy Oil Anlysis [w:] Advnces in Mss Spectrometry. Wyd. IP, 1959, s [11] Krysicki W., Włodrski L.: Anliz mtemtyczn w zdnich. Część I. Wrszw, PWN, 1999, s [12] Meyer C. D.: Mtrix Anlysis nd Applied Liner Algebr. SIAM, [13] PN-72/C Ozncznie skłdu grupowego węglowodorów metodą chromtogrfii elucyjnej. [14] Rizi M. R.: Chrcteriztion nd Properties of Petroleum Frctions. ASTM mnul Series: MNL50, [15] Snyder L. R., Howrd H. E., Ferguson W. C.: Direct Mss Spectrometric Anlysis of Petroleum Smples Boiling in Kerosine Rnge. Anlyticl Chemistry 1963, vol. 35, no. 11, s Mgr Xymen Mzur-Bdur bsolwentk Wydziłu Chemii Uniwersytetu Jgiellońskiego, Asystent w Zkłdzie Anliz Nftowych Pionu Technologii Nfty Instytutu Nfty i Gzu w Krkowie. Zjmuje się relizcją prc nukowo-bdwczych z zkresu mikronlizy chemicznej. Dr Michł Krsodomski główny nlityk w Zkłdzie Anliz Nftowych Pionu Technologii Nfty Instytutu Nfty i Gzu, specjlist w dziedzinie chemii orgnicznej i bdń identyfikcyjnych. 445

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

Układ elektrohydrauliczny do badania siłowników teleskopowych i tłokowych

Układ elektrohydrauliczny do badania siłowników teleskopowych i tłokowych TDUSZ KRT TOMSZ PRZKŁD Ukłd elektrohydruliczny do bdni siłowników teleskopowych i tłokowych Wprowdzenie Polsk Norm PN-72/M-73202 Npędy i sterowni hydruliczne. Cylindry hydruliczne. Ogólne wymgni i bdni

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze do ćwiczeń z przedmiotu: Ogrzewnictwo, wentylacja i klimatyzacja II. Klimatyzacja

Materiały pomocnicze do ćwiczeń z przedmiotu: Ogrzewnictwo, wentylacja i klimatyzacja II. Klimatyzacja Mteriły pomocnicze do ćwiczeń z przedmiotu: Orzewnictwo, wentylcj i klimtyzcj II. Klimtyzcj Rozdził 1 Podstwowe włsności powietrz jko nośnik ciepł mr inż. Anieszk Sdłowsk-Słę Mteriły pomocnicze do klimtyzcji.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH Michł PAWŁOWSKI 1 1. WSTĘP Corz większy rozwój przemysłu energetycznego, w tym siłowni witrowych stwi corz większe wymgni woec producentów przekłdni zętych jeśli

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

OCENA BARWY ORAZ ZAWARTOŚCI BARWNIKÓW KAROTENOIDOWYCH W OWOCACH POMIDORA NOWYCH LINII HODOWLANYCH

OCENA BARWY ORAZ ZAWARTOŚCI BARWNIKÓW KAROTENOIDOWYCH W OWOCACH POMIDORA NOWYCH LINII HODOWLANYCH BROMAT. CHEM. TOKSYKOL. XLII, 2009, 3, str. 926 931 Ew Jbłońsk-Ryś, Mrt Zlewsk-Koron OCENA BARWY ORAZ ZAWARTOŚCI BARWNIKÓW KAROTENOIDOWYCH W OWOCACH POMIDORA NOWYCH LINII HODOWLANYCH Ktedr Technologii

Bardziej szczegółowo

Aparatura sterująca i sygnalizacyjna Czujniki indukcyjne zbliżeniowe LSI

Aparatura sterująca i sygnalizacyjna Czujniki indukcyjne zbliżeniowe LSI Aprtur sterując i sygnlizcyjn Czujniki indukcyjne zbliżeniowe LSI Czujnik indukcyjny zbliżeniowy prcuje n zsdzie tłumionego oscyltor LC: jeżeli w obszr dziłni dostnie się metl, to z ukłdu zostje pobrn

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy

Bardziej szczegółowo

Fizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule

Fizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule Fizyk Kurs przygotowwczy n studi inżynierskie mgr Kmil Hule Dzień 3 Lbortorium Pomir dlczego mierzymy? Pomir jest nieodłączną częścią nuki. Stopień znjomości rzeczy często wiąże się ze sposobem ich pomiru.

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH Ochron przeciwwybuchow Michł Świerżewski WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH 1. Widomości ogólne Zgodnie z postnowienimi rozporządzeni Ministr Sprw Wewnętrznych

Bardziej szczegółowo

KSZTAŁTOWANIE ŁUKOWO-KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW W UZĘBIENIU CZOŁOWYM NA FREZARCE CNC

KSZTAŁTOWANIE ŁUKOWO-KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW W UZĘBIENIU CZOŁOWYM NA FREZARCE CNC KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 8 nr Archiwum Technologii Mszyn i Automtyzcji 008 PIOTR FRĄCKOWIAK KSZTAŁTOWANIE ŁUKOWO-KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW W UZĘBIENIU CZOŁOWYM NA FREZARCE CNC W rtykule

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik nr 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: POKL.05.02.01 00../..

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL Złącznik nr 5 Krt oceny merytorycznej Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu innowcyjnego testującego skłdnego w trybie konkursowym w rmch PO KL NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE RÓWNANIA NASGRO DO OPISU KRZYWYCH PROPAGACYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOWYCH

ZASTOSOWANIE RÓWNANIA NASGRO DO OPISU KRZYWYCH PROPAGACYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOWYCH Sylwester KŁYSZ *, **, nn BIEŃ **, Pweł SZBRCKI ** ** Instytut Techniczny ojsk Lotniczych, rszw * Uniwersytet rmińsko-mzurski, Olsztyn ZSTOSONIE RÓNNI NSGRO DO OPISU KRZYYCH PROPGCYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOYCH

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Katedra Chemii Fizycznej Uniwersytetu Łódzkiego. Energia aktywacji jodowania acetonu. opracowała dr B. Nowicka, aktualizacja D.

Katedra Chemii Fizycznej Uniwersytetu Łódzkiego. Energia aktywacji jodowania acetonu. opracowała dr B. Nowicka, aktualizacja D. Ktedr Chemii Fizycznej Uniwersytetu Łódzkiego Energi ktywcji jodowni cetonu oprcowł dr B. Nowick, ktulizcj D. Wliszewski ćwiczenie nr 8 Zkres zgdnień obowiązujących do ćwiczeni 1. Cząsteczkowość i rzędowość

Bardziej szczegółowo

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Foli Univ. Agric. Stetin. 2007, Oeconomic 254 (47), 117 122 Jolnt KONDRATOWICZ-POZORSKA ROLA KLIENTA W ZRÓWNOWAŻONYM ROZWOJU FIRMY ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych kls drug zkres podstwowy Wymgni konieczne (K) dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny być opnowne przez

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3. Dobór mikrosilnika prądu stałego do układu pozycjonującego

Ćwiczenie 3. Dobór mikrosilnika prądu stałego do układu pozycjonującego - projektownie Ćwiczenie 3 Dobór ikrosilnik prądu stłego do ukłdu pozycjonującego Instrukcj Człowiek - njlepsz inwestycj Projekt współfinnsowny przez Unię Europejską w rch Europejskiego Funduszu Społecznego

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie analizy widmowej sygnału ultradwikowego do okrelenia gruboci cienkich warstw

Zastosowanie analizy widmowej sygnału ultradwikowego do okrelenia gruboci cienkich warstw AMME 1 1th JUBILEE INTERNATIONAL SC IENTIFIC CONFERENCE Zstosownie nlizy widmowej sygnłu ultrdwikowego do okreleni gruboci cienkich wrstw A. Kruk Wydził Metlurgii i Inynierii Mteriłowej, Akdemi Górniczo-Hutnicz

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKA TEKSTURY WYBRANYCH MIKSÓW TŁUSZCZOWYCH. Ewa Jakubczyk, Ewa Gondek, Karolina Samborska

CHARAKTERYSTYKA TEKSTURY WYBRANYCH MIKSÓW TŁUSZCZOWYCH. Ewa Jakubczyk, Ewa Gondek, Karolina Samborska Zeszyty Problemowe Postępów Nuk Rolniczych nr 579, 214, 17 26 CHRKTERYSTYK TEKSTURY WYBRNYCH MIKSÓW TŁUSZCZOWYCH Ew Jkubczyk, Ew Gondek, Krolin Smborsk Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie Streszczenie.

Bardziej szczegółowo

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych Edwrd Musił Oddził Gdński SEP Zokrąglnie i zpisywnie wyników obliczeń przybliżonych Inżynier wykonuje nieml wyłącznie obliczeni przybliżone i powinien mieć nieustnnie n względzie dokłdność, jką chce uzyskć

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi

Bardziej szczegółowo

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.

Bardziej szczegółowo

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące,

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 424 PRACE INSTYTUTU KULTURY FIZYCZNEJ NR 22 2005

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 424 PRACE INSTYTUTU KULTURY FIZYCZNEJ NR 22 2005 ZEZYTY NAUKOWE UNIWERYTETU ZCZECIŃKIEGO NR 424 PRACE INTYTUTU KULTURY FIZYCZNEJ NR 22 2005 MARIA MAKRI PRAWNOŚĆ FIZYCZNA I AKTYWNOŚĆ RUCHOWA KOBIET W WIEKU 20 60 LAT 1. Wstęp Dobr sprwność fizyczn jest

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 2. Zakres podstawowy

Plan wynikowy klasa 2. Zakres podstawowy Pln wynikowy kls Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące. SUMY ALGEBRAICZNE 0. Sumy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności

Bardziej szczegółowo

Ochrona przed przepięciami w sieciach ISDN

Ochrona przed przepięciami w sieciach ISDN OGANICZANIE PZEPIĘĆ W YEMACH PZEYŁ YGNAŁÓW Ochron przed przepięcimi w siecich IDN Andrzej ow Wstęp Wzrost zpotrzeowni n usługi odiegjące od klsycznego przekzu telefonicznego spowodowł gwłtowny rozwój sieci

Bardziej szczegółowo

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE CHARAKTERYSTYK RDZENI FERROMAGNETYCZNYCH

MODELOWANIE CHARAKTERYSTYK RDZENI FERROMAGNETYCZNYCH Krzysztof Górecki Akdemi orsk w Gdyni Klin Detk Pomorsk Wyższ Szkoł Nuk Stosownych w Gdyni ODELOWANIE CHARAKTERYSTYK RDZENI FERROAGNETYCZNYCH Artykuł dotyczy modelowni chrkterystyk rdzeni ferromgnetycznych.

Bardziej szczegółowo

Uszczelnienie przepływowe w maszyn przepływowych oraz sposób diagnozowania uszczelnienia przepływowego zwłaszcza w maszyn przepływowych

Uszczelnienie przepływowe w maszyn przepływowych oraz sposób diagnozowania uszczelnienia przepływowego zwłaszcza w maszyn przepływowych Uszczelnienie przepływowe w mszyn przepływowych orz sposób dignozowni uszczelnieni przepływowego zwłszcz w mszyn przepływowych Przedmiotem wynlzku jest uszczelnienie przepływowe mszyn przepływowych orz

Bardziej szczegółowo

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):

Bardziej szczegółowo

załącznik nr 3 do uchwały nr V-38-11 Rady Miejskiej w Andrychowie z dnia 24 lutego 2011 r.

załącznik nr 3 do uchwały nr V-38-11 Rady Miejskiej w Andrychowie z dnia 24 lutego 2011 r. złącznik nr 3 do uchwły nr V-38-11 Rdy Miejskiej w Andrychowie z dni 24 lutego 2011 r. ROZSTRZYGNIĘCIE O SPOSOBIE ROZPATRZENIA UWAG WNIESIONYCH DO WYŁOŻONEGO DO PUBLICZNEGO WGLĄDU PROJEKTU ZMIANY MIEJSCOWEGO

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń

Bardziej szczegółowo

Materiały szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA. Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB

Materiały szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA. Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB Mteriły szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB 1. Wprowdzenie Drgnimi nzywne są procesy, w których chrkterystyczne dl nich wielkości fizyczne

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane? INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj

Bardziej szczegółowo

POROZUMIENIE. z dnia 27 czerwca 2008 r. w sprawie budowania Lokalnego Systemu Przeciwdziałania Przemocy w Rodzinie w Suwałkach

POROZUMIENIE. z dnia 27 czerwca 2008 r. w sprawie budowania Lokalnego Systemu Przeciwdziałania Przemocy w Rodzinie w Suwałkach pomóżmy innym, by sobie pomogli POROZUMIENIE z dni 27 czerwc 2008 r. w sprwie budowni Loklnego Systemu Przeciwdziłni Przemocy w Rodzinie w Suwłkch zwrte pomiędzy: Mistem Suwłki z siedzibą w Suwłkch, ul

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

POWŁOKI ELEKTROISKROWE WC-CO MODYFIKOWANE WIĄZKĄ LASEROWĄ. 88 Powłoki elektroiskrowe WC-Co modyfikowane wiązką laserową. Wstęp

POWŁOKI ELEKTROISKROWE WC-CO MODYFIKOWANE WIĄZKĄ LASEROWĄ. 88 Powłoki elektroiskrowe WC-Co modyfikowane wiązką laserową. Wstęp Rdek N.,* Szlpko J.** *Ktedr Inżynierii Eksplotcji Politechnik Świętokrzysk, Kielce, Polsk **Khmelnitckij Uniwersytet Nrodowy, Khmelnitckij, Ukrin Wstęp 88 POWŁOKI ELEKTROISKROWE WC-CO MODYFIKOWANE WIĄZKĄ

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 2 Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy MATeMAtyk 2. Propozycj przedmiotowego systemu ocenini. ZP Wyróżnione zostły

Bardziej szczegółowo

Szkolnictwo zawodowe a rynek pracy sektora rolno-spożywczego w województwie łódzkim

Szkolnictwo zawodowe a rynek pracy sektora rolno-spożywczego w województwie łódzkim Szkolnictwo zwodowe dl sektor rolno-spożywczego w województwie łódzkim dignoz potrzeb edukcyjnych Szkolnictwo zwodowe rynek prcy sektor rolno-spożywczego w województwie łódzkim Prognozy oprcowne w rmch

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II 1.Sumy lgebriczne Mtemtyk wykz umiejętności wymgnych n poszczególne oceny KLASA II N ocenę dop: 1. Rozpoznwnie jednominów i sum lgebricznych 2. Oblicznie wrtości liczbowych wyrżeń lgebricznych 3. Redukownie

Bardziej szczegółowo

NOWE NIŻSZE CENY. Ceny spiral introligatorskich DOUBLE-LOOP WIRE. www.radpor.pl

NOWE NIŻSZE CENY. Ceny spiral introligatorskich DOUBLE-LOOP WIRE. www.radpor.pl Rok złożeni 1994 Nowodworsk 32, 21-100 Lubrtów tel./fks 81-855-6154, RADPOR 81-854-2860 Nowodworsk 32, 21-100 Lubrtów tel./fks 81-855-6154, 81-854-2860 www.rdpor.pl Ceny spirl introligtorskic DOUBLE-LOOP

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU Oprcowny n podstwie: 1. Rozporządzeni ministr edukcji nrodowej z dni 10.06.2015 roku w sprwie

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW

ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW 1 ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GANULOMETYCZNEJ SUOWCÓW I PODUKTÓW 1. Cel zkres ćwczen Celem ćwczen jest opnowne przez studentów metody oceny mterłu sypkego pod względem loścowej zwrtośc frkcj

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z matematyki

Plan wynikowy z matematyki ln wynikowy z mtemtyki Dl kls 1-3 liceum ogólnoksztłcącego i 1-4 technikum sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym i rozszerzonym Oznczeni: wymgni konieczne, wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne z przedmiotu : Napędy Hydrauliczne i Pneumatyczne

Ćwiczenia laboratoryjne z przedmiotu : Napędy Hydrauliczne i Pneumatyczne Lbortorium nr 11 Temt: Elementy elektropneumtycznych ukłdów sterowni 1. Cel ćwiczeni: Opnownie umiejętności identyfikcji elementów elektropneumtycznych n podstwie osprzętu FESTO Didctic. W dużej ilości

Bardziej szczegółowo

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie I. ZASADY OGÓLNE PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnzjum nr 2 im. ks. Stnisłw Konrskiego nr 2 w Łukowie 1. W Gimnzjum nr 2 w Łukowie nuczne są: język ngielski - etp educyjny III.1 język

Bardziej szczegółowo

Próba określenia czynników determinujących wyniki ocen wprowadzenia euro przez mieszkańców Unii Europejskiej

Próba określenia czynników determinujących wyniki ocen wprowadzenia euro przez mieszkańców Unii Europejskiej Mieczysłw Kowerski Wyższ Szkoł Zrządzni I Administrcji w Zmościu Ewelin Włodrczyk Wyższ Szkoł Zrządzni I Administrcji w Zmościu Prób określeni czynników determinujących wyniki ocen wprowdzeni euro przez

Bardziej szczegółowo

Opis i analiza metod pomiaru prędkości kątowej. Prądnice tachometryczne.

Opis i analiza metod pomiaru prędkości kątowej. Prądnice tachometryczne. Opis i nliz metod pomiru prędkości kątowej. Prądnice tcometryczne. Prądnice tcometryczne są to młe prądnice elektryczne, któryc npięcie wyjściowe zwier informcję o prędkości obrotowej, w niektóryc przypdkc

Bardziej szczegółowo

Piłka nożna w badaniach statystycznych 1

Piłka nożna w badaniach statystycznych 1 Mterił n konferencję prsową w dniu 31 mj 212 r. GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY Deprtment Bdń Społecznych i Wrunków Życi Nottk informcyjn WYNIKI BADAŃ GUS Piłk nożn w bdnich sttystycznych 1 Bdni klubów sportowych

Bardziej szczegółowo

Normy PN-EN 288 (już wycofane) i ich zmodyfikowane

Normy PN-EN 288 (już wycofane) i ich zmodyfikowane Technologie Wyrne spekty dń szczelności (LT) spwnych kotłów grzewczych w fzie ich produkcji Brdzo istotnym zgdnieniem w procesie produkcyjnym kotłów centrlnego ogrzewni jest ich szczelność. Produkcj kotłów

Bardziej szczegółowo

WPŁYW WILGOTNOŚCI NA SZTYWNOŚCIOWE TŁUMIENIE DRGAŃ KONSTRUKCJI DREWNIANYCH

WPŁYW WILGOTNOŚCI NA SZTYWNOŚCIOWE TŁUMIENIE DRGAŃ KONSTRUKCJI DREWNIANYCH 95 ROCZNII INŻYNIERII BUDOWLANEJ ZESZYT 3/03 omisj Inżynierii Budowlnej Oddził Polskiej Akdemii Nuk w towicch WPŁYW WILGOTNOŚCI NA SZTYWNOŚCIOWE TŁUMIENIE DRGAŃ ONSTRUCJI DREWNIANYCH mil PAWLI, Zbigniew

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,

Bardziej szczegółowo

system identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki

system identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki krt A03 część A znk mrki form podstwow Znk mrki Portu Lotniczego Olsztyn-Mzury stnowi połączenie znku grficznego (tzw. logo) z zpisem grficznym (tzw. logotypem). Służy do projektowni elementów symboliki

Bardziej szczegółowo