cz. 2 dr inż. Zbigniew Szklarski

Transkrypt

1 Wykłd 11: Elektrosttyk cz. 2 dr inż. Zbigniew Szklrski szkl@gh.edu.pl

2 Pole elektryczne przewodnik N powierzchni metlicznej (przewodzącej) cły łdunek gromdzi się n zewnątrz (wewnątrz pole E=0). Istnieje tylko skłdow prostopdł do powierzchni skłdow styczn równ się zeru (gdyby istnił skłdow styczn to: po powierzchni płynąłby prąd wywołny ruchem elektronów). E S 0 0 2

3 Dygresj mtemtyczn - opertory Opertor przyporządkowuje np. polu sklrnemu odpowiednie pole wektorowe g grde p E p gdzie iˆ x ˆj y kˆ z Grdient funkcji sklrnej to pole wektorowe wskzujące kierunki njszybszych wzrostów wrtości dnego pol sklrnego w poszczególnych punktch, przy czym moduł (długość) kżdej wrtości wektorowej jest równy szybkości wzrostu. 3

4 Dywergencj (źródłowość) pol wektorowego - opertor różniczkowy przyporządkowujący trójwymirowemu polu wektorowemu pole sklrne będące formlnym iloczynem sklrnym opertor nbl z polem. div E lim 0 div E E E d A jest w grnicy nieskończenie młej objętości, strumieniem wychodzącym ze źródł i określ jego wydjność 4

5 Rotcj lub wirowość opertor różniczkowy dziłjący n pole wektorowe, tworzy pole wektorowe wskzujące wirownie (gęstość cyrkulcji) pol wyjściowego. Krążenie (cyrkulcj) pol wektorowego po konturze zmkniętym jest zdefiniowne jko cłk krzywoliniow: dl dl dl Krzyw ogrnicz pewną powierzchnię zmkniętą rozpiętą n tej krzywej. to element drogi cłkowni - m kierunek styczny do krzywej w dnym punkcie. Jeżeli jest siłą, to krążenie Γ m sens fizyczny prcy. Jeżeli jest siłą zchowwczą to Γ=0. 5

6 6 Rotcj pol dl l d 2 1 d d d l l l Prowdząc krzywą B tworzymy dw zmknięte kontury 1 i 2 tkie, że: i l i i d lim ˆ ) ( 0 n rot definicj opertor rotcji

7 rotcj wektor : rot iˆ x x ˆj y y kˆ z z Jeżeli rotcj dnego pol wektorowego jest równ zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe posid potencjł (i odwrotnie: pole posidjące potencjł jest polem bezwirowym). 7

8 Przykłd: Zbdć wirowość pol elektrosttycznego orz pol mgnetycznego przewodnik. ds E Przewodnik z prądem i E d l 0 rot E 0 B dl 0 rot B 0 Pole mgnetyczne jest polem wirowym. To określ prwo Ampère. 8

9 Zdnie ztery z przedstwionych pól wektorowych mją znikjącą dywergencję w przedstwionym obszrze. ), c), d), e) Trzy z nich mją znikjącą rotcję. b), c), d) Proszę ocenić, które z pól mją omwine włsności? 9

10 Przykłdy z rchunku opertorowego Mjąc zdefiniowne: - pole sklrne - pole wektorowe - wektory: r xiˆ yj ˆ zk orz oblicz: 2 ) grd r b) A r c) ( x, y, z) div d) x, y, z) i ˆ (,, ) ˆ (,, ) ˆ 1 x y z j2 x y z k ( x, y, z) ( 3 ˆ grd A div A x iˆ rota A y e) ˆj A z kˆ 10

11 Twierdzenie Guss-Ostrogrdskiego umożliwi zminę cłki powierzchniowej n objętościową (potrójną) i n odwrót S E d A div E d Z prw Guss w postci cłkowej: S E d A Q wew ε o gdzie Q wew ρd E d A S ε ρ o d Porównując wyrżeni podcłkowe: div E E ρ ε o 11

12 Potencjł pol Wektor ntężeni pol istnieje zwsze Ε o Potencjł (sklr) istnieje tylko dl pól zchowwczych (potencjlnych) E p o 12

13 Wielkości chrkteryzujące: sił energi potencjln E p ntężenie potencjł Ε oddziływnie pomiędzy łdunkmi punktowymi E p 1 4 πε o 1 4 πε o r r 2 rˆ pole elektrosttyczne Ε o E p o 13

14 Związek potencjłu z ntężeniem pol Dl dowolnej siły zchowwczej, zmin energii potencjlnej de p dn jest wzorem: de p d l o E d l Z definicji potencjłu: d de o p E grd prc dw E d d l b więc cłkując otrzymmy: b E d l 14

15 b b E d l Δ b W o Różnic potencjłów Δ między dwom punktmi jest równ wziętej z przeciwnym znkiem prcy W wykonnej przez siłę elektrosttyczną, przy przesunięciu jednostkowego łdunku z jednego punktu do drugiego. Różnicę potencjłów nzywmy npięciem U=Δ Jednostki: Ep U 1 o E m J 15

16 Potencjł pol jednorodnego > b Potencjł wyższy b Potencjł niższy b d b b E d l b b Edl E dl E( b ) Ed 16

17 Potencjł pol łdunku punktowego Przesuwmy łdunek próbny o do nieskończoności z punktu P E d s E ds cosθ P E d s R R Edr Przyjmujemy =0 i E πε r o ztem (r) 1 4 πε o r 17

18 Potencjł ciągłego rozkłdu łdunków Dl nłdownej łdunkiem powierzchniowym Q powłoki sferycznej, gdy r < R jest: E = 0, czyli potencjł jest wielkością stłą, niezleżną od r. Dl r>r, znik z odległością r jk 1/r Zdnie: Pokzć, że potencjł dl powłoki sferycznej wykzuje tką zleżność (r) jk n powyższym wykresie 18

19 Pojemność Q Δ Jednostką pojemności jest 1 (frd). W prktyce używmy μ, p, n Anlogi między kondenstorem mjącym łdunek i sztywnym zbiornikiem o objętości, zwierjącym n moli gzu doskonłego: n RT p Przy ustlonej temperturze T, pojemność kondenstor pełni podobną funkcję jk objętość zbiornik. 19

20 Kondenstor Powierzchni Guss E o ε σ o ε o S E o ε o S 20

21 E o ε o S z definicji Δ Dl pol jednorodnego pokzliśmy, że E 0 d E0 εo S εo S E d d 0 Energi kondenstor, gęstość energii Energi nłdowni = energii rozłdowni kondenstor W U d d 2 Objętość kondenstor 2 Wn obj = S d Gęstość energii U Ed Wn 0 W SdE 2 n 2 2 W n obj 2 0E J 2 m

22 Zdnie Okłdki kondenstor płskiego o powierzchni S znjdują się w położenich x = 0 i x = d i nłdowne są odpowiednio z gęstościmi powierzchniowymi łdunku + i -. Efekty brzegowe są do zniedbni. Korzystjąc z prw Guss oblicz wypdkowe ntężenie pol elektrycznego wewnątrz i n zewnątrz kondenstor (rysunek!) orz nrysuj wykres E(x). Korzystjąc ze związku między ntężeniem pol E potencjłem oblicz różnicę potencjłów między okłdkmi orz wyprowdź wzór n pojemność tego kondenstor. Oblicz energię tego kondenstor przy zdnej gęstości powierzchniowej łdunku. 22