Metody Numeryczne II rok Informatyka Stosowana Inżynieria Obliczeniowa

Transkrypt

1 etody umeryczne II ro Informty Stosown Inżyner Olczenow etody numeryczne Błędy w olczench numerycznych Rozwązywne ułdów równń lnowych metod elmncj Guss Jordn Guss metody deompozycj (LU) Interpolcj Lgrnge, ewton, Czeyszew funcjm slejnym 4 prosymcj prosymcj lnow ( zmennych; metod njmnejszych wdrtów) prosymcj trygonometryczn Trnsformcj Fourer FFT 5 Różnczowne cłowne numeryczne podstwy 6 umeryczne rozwązywne równń nelnowych ułdów równń nelnowych (metod secj, secznych stycznych) 7 Rozwązywne numeryczne równń różnczowych zwyczjnych metod Runge Kutty metod predytor oretor zgdnene rzegowe w równnch zwyczjnych 8 etod różnc sończonych równn pól geofzycznych (równn prolczne, hperolczne elptyczne)

2 Ltertur Zgnew Kosm etody numeryczne dl zstosowń nżynersch Jerzy Krup, Romn orws, Lesze Opls Wstęp do metod numerycznych dl studentów eletron techn nformcyjnych Ew jchrz, Bohdn ochnc, etody numeryczne Podstwy teoretyczne, spety prtyczne lgorytmy 4 Bogusłw Boże etody olczenowe ch omputerow relzcj 5 Segmund Brndt nlz dnych 6 Red Ew Strszec Lortorum metod numerycznych 7 Fortun, Z, cuow, B, Wąsows, J, etody umeryczne Reprezentcj lcz [ Ułd dzesętny 4 ] Ułd nrny Lczy cłowte (np () ) reprezentowne są w postc stłopozycyjnej n( ) z α ( ) B α n α B Ocążene B jest ustlne hrdwrowo omputer, tóry przezncz jty (6 tów) n przechowywne lcz cłowtych dysponuje zresem 6-768, B 768 α KK α α α 448 ( ) { K perwsz reprezentcj 8 8 α KKα αα ( ) drug reprezentcj 8 8

3 Reprezentcj lcz Lczy rzeczywste wymerne są przedstwne przy pomocy reprezentcj zmennoprzecnowej (G flotng pont representton) x( ) z α β z zn α, β {, } j x( ) z ( Kαα Kαα ββ Kβ jβ jk) c x( ) z γ z m mntys cech lterntywn postć reprezentcj: m γ c B δ j j c jczęścej mntys jest lczą unormowną z przedzłu m, γ, x ± γ γ Kγ tj sngle precson IEEE-754 stndrd (4 jty) c -6:7 B 7-7 doule precson IEEE-754 stndrd (8 jtów) c-: B - ( ) c Reprezentcj lcz łędy olczeń numerycznych symln lcz j mus yć reprezentown tym zpsem m postć B K { K zś mnmln K B jmnejsz lcz zmennoprzecnow, tór dodn do d w wynu lczę zmennoprzecnową różną od nzywn jest dołdnoścą reprezentcj zmennoprzecnowej Innym słowy lcz t (ε) oreśl o le zmenją sę lczy przy zmne njmnej znczącego (zerowego) tu mntysy Jest uzleżnon od długośc mntysy Cech t z ole wpływ n wrtość njmnejszej dodtnej lczy zmennoprzecnowej (jej odległośc od zer) ε m dołdność mszynow ożn to udowodnć przyjmując lczę x d x ol 678 K łąd ezwzględny t sm

4 Błędy olczeń numerycznych Inne rodzje łędów w olczench numerycznych ) łędy wejścowe (łędy dnych wejścowych) ) łędy ocęc n n x x x e n! n c) łędy zorągleń n n! x fd( x) x c m m~ c m c sup m m~ nf m ( ) ε m średno pesymstyczne ε m ε m Złożoność olczeń numerycznych Złożoność olczeń zleży od rozmru rozwązywnego zgdnen (lośc równń lnowych, długośc cągu dnych je ędą nterpolowne lu dl jch ędze lczon FFT, td) Do chrterysty złożonośc służy pojęce rzędu funcj: Funcj f (n): R jest rzędu funcj g(n): R (zpsujemy to jo f O(g)) jeśl: f ( n) lm < C R,, n > : f n g( n) ( n) C g( n) f ( n) ln( n) n p nln( n) O( n ) gdyż lm lm lm n g( n) n n n Funcją złożonośc olczenowej lgorytmu nzywmy funcję f (n) zleżną od wymru zdn n równą lcze roów elementrnych nezędnych do rozwązn zdn z pomocą lgorytmu dl dnych o rozmrze n < Ze względu n złożoność olczenową lgorytmy numeryczne dzelmy n: lgorytmy welomnowe (efetywne): K f ( n) O αn lgorytmy wyłdncze (neefetywne): f K ( n) O αn

5 Porównne złożonośc olczenowej dl lgorytmów welomnowych wyłdnczych f (n) CZS WYKOI LGORYTU 6 O(n) se 6 se O(n ) se 6 se O(n 5 ) se mn O( n ) se 66 stulec O( n ) 59 se x stulec Wpływ wzrostu szyośc olczeń n czs wyonywn lgorytmów welomnowych wyłdnczych f (n) Rozmr njwęszego zdn rozwązywnego w cągu godzny przez Komputer wzorcowy Komputer rzy szyszy Komputer rzy szyszy O(n) W x W x W O(n ) W 464 x W x W O(n 5 ) W5 5 x W5 98 x W5 O( n ) P P 664 P 997 O( n ) P P 49 P 69

6 umeryczn lger lnow Ułd równń lnowych m postć: x j j j,, postć mcerzow: X B X x x x B { } j j j d D B { } { } j j j d D B ± ± Sum różnc Iloczyn umeryczn lger lnow Równowżność ułdów równń lnowych : Dw ułdy są równowżne jeśl mją te sme rozwązn Opercje elementrne przesztłcją ułd równń w ułd mu równowżny Te opercje to : Przestwene dwóch równń w ułdze (zmn werszy mcerzy) Pomnożene ou stron równn przez lczę λ Dodne stronm do równn welorotnośc nnego równn ( ) ( ) l ( ) ( ) λ ( ) ( ) ( ) l λ K W B D

7 ( ) ( ) ( ) det 5 det 5 4 det 5 4 det umeryczn lger lnow j j j ) det( ) ( ) det( > ) det( Wyznczn (mcerzy wdrtowej rzędu!!!) to funcjonł -rgumentowy, lnowy względem żdego rgumentu n wetorch zy zerojedynowej w E n przyjmuje wrtość j jest mcerzą o wymrch (-) x (-) powstłą przez sreślene z mcerzy -tego wersz j-tej olumny ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n I π π π π π K ) det( Wyznczn jest sumą n! słdnów (lość permutcj zoru n-elementowego) z tórych żdy jest loczynem n elementów mcerzy Kżdy t loczyn zwer po jednym elemence z żdej olumny po jednym elemence z żdego wersz (permutcj przyst) - (permutcj neprzyst) ( ) π I Rozwnęce Lplce U det det Poleg n sprowdzenu mcerzy rzędu do postc głównej dgonlnej U umeryczn lger lnow - etod elmncj Guss

8 umeryczn lger lnow - etod elmncj Guss Procedury elmncj Guss wyjśnmy n przyłdze wyznczn o wymrch x nstępującej postc: ( ) det U det Kro ), Kro ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () () () umeryczn lger lnow - etod elmncj Guss Kro ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Kro 4) ( ) Kro 5) ( ) ( ) ( ) () () () det( U ) () ()

9 umeryczn lger lnow cerz odwrotn jest to mcerz wdrtow - spełnjąc nstępujące wrun - - I, I mcerz jednostow Defncj: det( ) j j j ( ) det( ), j,, - cerz powstł z mcerzy poprzez sreślene j tego wersz j tej olumny Bezpośredne orzystne z tego wzoru do olczen mcerzy odwrotnej jest neprtyczne z uwg n dużą lczę dzłń umeryczn lger lnow metod deompozycj LU Deompozycj LU jest stosown ne tylo do olczen mcerzy odwrotnej le równeż jo efetywn metod rozwązywn ułdów lnowych (szczególne dużych!) LU L L L L U L L L U U U U U U U U U U Deompozycj n mcerze tej postc jest jednoznczn jest to tzw rozłd Doolttle Inne postc deompozycj to rozłd Crout gdy U L dowolne lu rozłd Cholesy ego gdy UL T (tylo gdy mcerz jest rzeczywst, symetryczne dodtno oreślon )

10 umeryczn lger lnow metod deompozycj LU Oznczmy element -tej olumny mcerzy odwrotnej jo () - zś -tą olumnę mcerzy jednostowej I jo I () Stąd: () - I () Po doonnu deompozycj otrzymujemy LU () - I () Oznczmy wetor U () - jo Y () ; otrzymmy LY () I () Olczmy z tego równn Y (), nstępne z równn U () - Y () olczmy () - Wetory te tworzą mcerz odwrotną - [ () - () - () - ] umeryczn lger lnow metod deompozycj LU lgorytm deompozycj LU W celu wyzerown wyrzów perwszej olumny mcerzy pod główną przeątną mnożymy perwszy wersz przez wyrz: odejmujemy go od -tego wersz,,, Jest to równowżne opercj : () () () () () () () () () () () () () Ogóln postć L () () ( ) ( ) L U

11 umeryczn lger lnow metod deompozycj LU Opercję tę oznczymy jo L () U () (mcerz L () zerując perwszą olumnę jest mcerzą trójątną dolną) Zerowne -tej olumny może yć wyonne poprzez wymnożene mcerzy U () wyzerownym (ponżej głównej przeątnej) - olumnm poprzez mcerz L () : L, L, L, L ( ) ( ) Po wyonnu - roów tj wymnożenu mcerzy olejno przez mcerze L (), L (),, L (-) otrzymujemy mcerz trójątną górną tj L (-) L (-) L () L () U czyl L U gdze L L (-) L (-) L () L () umeryczn lger lnow metod deompozycj LU nożąc oe strony osttnego równn olejno przez L (-)-, L (-)-,, L ()-,L ()- otrzymmy: L (-) L () L () L (-)- U, L (-) L () L () L (-)- L (-)- U td Stąd otrzymujemy, że L ()- L ()- L (-)- U cerz odwrotn do mcerzy L () m postć (udowodnj to!) : L ( ) L L L,,, Oznczjąc loczyn L ()- L ()- L (-)- jo L otrzymujemy:

12 umeryczn lger lnow metod deompozycj LU L L L L L L L LU czyl szun postć deompozycj Osonego omówen wymg przypde, gdy tóryś z elementów () (tj otrzymmy n przeątnej mcerzy po -tym rou) ędze zerem W tym przypdu olczen prowdzone utomtyczne ędą ztrzymne By tego unnąć nleży doonć zmny wersz -tego (gdze n głównej przeątnej występuje zero () ) z tórymolwe z werszy,,, gdze (),,,,