Różne rozkłady prawdopodobieństwa

Transkrypt

1 Różne rozłady prawdopodobieństwa. Rozład dwupuntowy D(p). Zmienna losowa ξ ma rozład D(p), jeżeli P p {ξ = 0} = p oraz P p {ξ = } = p. Eξ = p D ξ = p( p). Rozład dwumianowy Bin(n, p). Zmienna losowa ξ ma rozład dwumianowy z parametrami (n, p), jeżeli ( ) n P n,p {ξ = } = p ( p) n, = 0,,..., n. Eξ = np D ξ = np( p) a. Jeżeli ξ, ξ,..., ξ n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozładach Bin(n i, p), to zmienna losowa η = i= ξ i ma rozład Bin( i= n i, p). b. D(p) = Bin(, p). c. Jeżeli ξ, ξ,..., ξ n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozładach D(p), to zmienna losowa η = n i= ξ i ma rozład B(n, p). 3. Rozład geometryczny Ge(p). Zmienna losowa ξ ma rozład geometryczny z parametrem p, jeżeli P p {ξ = } = p( p), = 0,,,... Eξ = p D ξ = p p p 4. Rozład ujemny dwumianowy N B(r, p). Zmienna losowa ξ ma rozład ujemny dwumianowy z parametrami (r, p), jeżeli ( ) r + P r,p {ξ = } = p r ( p), = 0,,,... Eξ = r( p) p D ξ = r( p) p a. Jeżeli ξ, ξ,..., ξ n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozładach NB(r i, p), to zmienna losowa η = i= ξ i ma rozład NB( i= r i, p). b. Ge(p) = NB(, p). c. Jeżeli ξ, ξ,..., ξ n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozładach Ge(p), to zmienna losowa η = n i= ξ i ma rozład NB(n, p). 5. Rozład Poissona P o(λ). Zmienna losowa ξ ma rozład P o(λ), jeżeli P λ {ξ = } = λ! e λ, = 0,,... Eξ = λ D ξ = λ a. Jeżeli ξ, ξ,..., ξ n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozładach P o(λ i ), to zmienna losowa η = i= ξ i ma rozład P o( i= λ i). W Z Statmat 0.

2 6. Rozład hipergeometryczny H(N, n, M). Zmienna losowa ξ ma rozład hipergeometryczny z parametrami (N, n, M) (0 M N), jeżeli ( M )( N M ) n P N,n,M {ξ = } = ( N, = 0,,..., n. n) Eξ = nm D ξ = N n nm N M N n N N 7. Rozład jednostajny U(a, b). Zmienna losowa ξ ma rozład jednostajny na przedziale (a, b), jeżeli jej funcja b a, jeżeli x (a, b), 0, dla pozostałych x. Eξ = b + a + ( =,...), D (b a) ξ = b a + 8. Rozład trójątny T r(a, b). Zmienna losowa ξ ma rozład trójątny na przedziale (a, b), jeżeli jej funcja { b a a + b x, (b a) jeżeli x (a, b), 0, dla pozostałych x. [ ( ) ] + Eξ 4 a + b = (b a) a + + b + ( + )( + ) ( =,...), D ξ = (b a) 4 a. Jeżeli ξ oraz ξ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozładach U(a, b), to ξ = (ξ +ξ )/ ma rozład trójątny na przedziale (a, b). 9. Funcje specjalne. a. Funcja gamma: Γ(z) = e t t z dt. 0 b. Γ(n) = (n )! dla naturalnych n. c. Γ(z + ) = zγ(z). d. Γ(/) = π. e. Funcja beta: B(a, b) = 0 ta ( t) b dt. f. B(a, b) = Γ(a)Γ(b)/Γ(a + b). 0. Rozład beta Bet(a, b). Zmienna losowa ξ ma rozład beta z parametrami (a, b), jeżeli jej funcja B(a,b) xa ( x) b, x [0, ] 0, x [0, ] Eξ = Γ(a + )Γ(a + b) Γ(a)Γ(a + b + ) = a(a + ) (a + ) (a + b)(a + b + ) (a + b + ), ab D ξ = (a + b) (a + b + ) a. Bet(, ) = U(0, ). W Z Statmat 0.

3 . Rozład wyładniczy E(λ). Zmienna losowa ξ ma rozład wyładniczy z parametrem λ, jeżeli jej funcja λ e x λ, x > 0 0, x 0 Eξ = λ, D ξ = λ. Rozład gamma G(α, λ). Zmienna losowa ξ ma rozład gamma z parametrami (α, λ), jeżeli jej funcja λ α Γ(α) xα e x λ, x > 0 0, x 0 Eξ = α(α + ) (α + )λ, D ξ = αλ a. Jeżeli ξ, ξ,..., ξ n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozładach G(α i, λ), to zmienna losowa η = i= ξ i ma rozład G( i= α i, λ). b. G(, λ) = E(λ). c. Jeżeli ξ, ξ,..., ξ n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozładach E(λ), to zmienna losowa η = i= ξ i ma rozład G(n, λ). 3. Rozład normalny N(µ, σ ). Zmienna losowa ξ ma rozład normalny z parametrami µ oraz σ, jeżeli jej funcja f µ,σ (x) = σ π e ( x µ σ ), < x <. Eξ = µ, E(ξ µ) = 3 5 ( )σ, E(ξ µ) + = 0, D ξ = σ. 4. Rozład Cauchy ego. Zmienna losowa ξ ma rozład Cauchy ego z parametrami (α, λ), jeżeli jej funcja λ π λ + (x α), < x <. a. Zmienna losowa ξ nie ma wartości oczeiwanej. b. Jeżeli zmienne losowe ξ oraz η są niezależne o rozładach N(0, ), to zmienna losowa ξ/η ma rozład Cauchy ego z parametrami (0, ). 5. Rozład chi wadrat χ (v). Zmienna losowa ξ ma rozład chi wadrat z v stopniami swobody, jeżeli jej funcja f v (x) = v/ Γ(v/) x v e x, x > 0. Eξ = v(v + ) [v + ( )], D ξ = v. a. Jeżeli ξ, ξ,..., ξ n są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednaowym rozładzie N(0, ), to zmienna losowa ξ = i= ξ i ma rozład chi wadrat z n stopniami swobody. b. χ (v) = Γ(v/, ). W Z Statmat 0.3

4 6. Rozład t (Studenta) t(v). Zmienna losowa ξ ma rozład t z v stopniami swobody, jeżeli jej funcja Eξ = 0, f v (x) = B(/, v/) v Eξ = v π Γ ( v, < x <. ( + x /v)(v+)/ ) ) Γ ( + Γ ( ) v ( < v), D ξ = { v v, v >,, v. a. Jeżeli zmienna losowa ξ ma rozład N(0, ), zmienna losowa η ma rozład chi wadrat z v stopniami swobody oraz zmienne te są niezależne, to zmienna losowa t = ξ/ η/v ma rozład t z v stopniami swobody. 7. Rozład F (Snedecora) F (u, v). Zmienna losowa ξ ma rozład F (Snedecora) z u oraz v stopniami swobody, jeżeli jej funcja f u,v (x) = uu/ v v/ Γ( u+v ) Γ(u/)Γ(v/) xu/ (v + ux) (u+v)/, x > 0. Eξ = Γ ( v + ) Γ ( v ) v Γ ( ) u u Γ ( ) v ( < v) D ξ = v (u + v ) u(v ) (v 4) (v > 4) a. Jeżeli zmienna losowa ξ ma rozład chi wadrat z u stopniami swobody, zmienna losowa η ma rozład chi wadrat z v stopniami swobody i zmienne te są niezależne, to zmienna losowa F = (ξ/u)/(η/v) ma rozład F z (u, v) stopniami swobody. b. Jeżeli ξ F (r, p), to +ξ Bet(p, r). c. Jeżeli ξ F (, v), to ξ t(v). 8. Rozład z Fishera. Zmienna losowa ξ ma rozład z Fishera z (r, s) stopniami swobody, jeżeli jej funcja r r s s Γ ( ) r+s e rx Γ ( ( r ) Γ s ), x R (s + re x ) r+s Eξ = 0, D ξ = r + s rs a. Jeżeli ξ F (r, s), to ln ξ ma rozład z Fishera z (r, s) stopniami swobody. 9. Rozład wielomianowy. Wetor losowy ξ = (ξ,..., ξ ) ma rozład wielomianowy z parametrami (n, p,..., p ), jeżeli P {ξ = m} = P {ξ = m,..., ξ = m } = gdzie m = (m,..., m ), i= m = n, 0 < p i <, i= p =. n! m! m! pm p m Eξ = n(p,..., p ), Covξ i ξ j = np i p j (i j), D ξ i = np i ( p i ). a. Jeżeli ξ (),..., ξ () są niezależnymi wymiarowymi wetorami losowymi o rozładach wielomianowych z parametrami (n, p),..., (n, p), to ξ = ξ (i) ma rozład wielomianowy z parametrami ( i, p). b. Rozład wielomianowy jest wielowymiarowym analogiem rozładu dwumianowego. W Z Statmat 0.4

5 0. Rozład Dirichleta. Wetor losowy ξ = (ξ,..., ξ ) ma rozład Dirichleta z parametrami α = (α,..., α ) (α i > 0), jeżeli funcja { Γ(α + +α ) Γ(α ) Γ(α ) xα xα, x S 0, x S gdzie S = {x R : i= x =, x i > 0}. Eξ = α, Covξ i ξ j = α iα j α 0 α0 ( + α (i j), 0) D ξ i = α i α 0 ( ) α 0 = α i. i= a. Rozład Dirichleta jest wielowymiarowym analogiem rozładu beta.. Wielowymiarowy rozład normalny N n (µ, Σ). Wetor losowy ξ = (ξ,..., ξ n ) T ma n wymiarowy rozład normalny, jeżeli jego funcja { (π)n det Σ exp } (x µ)t Σ (x µ). Ex = µ, D x = Σ a. Jeżeli ξ N n (µ, Σ), A p n macierz stałych, to Ax N p (Aµ, AΣA T ). b. Jeżeli ξ,..., ξ n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozładach normalnych o tej samej wariancji oraz T jest macierzą ortogonalną, to elementy wetora losowego Tξ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozładach normalnych. c. Jeżeli ξ ma n wymiarowy rozład normalny, to ażda sładowa ma jednowymiarowy rozład normalny (twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.) d. Wetor ξ ma wielowymiarowy rozład normalny wtedy i tylo wtedy, gdy ( a 0) a T ξ ma jednowymiarowy rozład normalny. e. Niech ξ N n (µ, Σ). Zmienne losowe a T ξ oraz b T ξ są niezależne wtedy i tylo wtedy, gdy a T Σb = 0. W Z Statmat 0.5