V. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH

Transkrypt

1 Krs na Stdach Doktoranckch Poltechnk Wrocławskej wersja: lty V. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH. Zbór np. lczb rzeczywstych a, b elementy zbor A a A b A, podzbór B zbor A : B A, sma zborów : A B, loczyn zborów : A B, różnca zborów : A \ B, loczyn kartezjańsk zborów : A B; a A, b B A B={a,b a A, b B }. Rys. 5.. Fnkcja F Fnkcja jednoznacznym przekształcenem zbor A w zbór B, F : A B lb Fa = b gdze a A, b B, A dzedzna fnkcj F, Jeżel ogólne zachodz FA=B fnkcja jest jednoznaczna to stneje fnkcja odwrotna F - : B A. 3. Grpa G Jest to algebraczny system złożony ze zbor A operacj takej, że przekształca A A w A. Jeżel a, b, c A to operacja ma następjące własnośc a b c = a b c, stneje element e A tak, że e a = a e = a, dla dowolnego a stneje a - A, że a - a = a a - = e. Jeżel a b = b a to grpa abelowa komtatywna. 4. Przestrzeń lnowa wektorowa V Elementy przestrzen: a, b V. Nech R zbór lczb rzeczywstych lb zespolonych z operacjam +. Przestrzeń lnowa V jest: grpa abelowa składająca sę ze zbor elementów a, b,..., operacj smy +,

2 Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teora zastosowana 35 fnkcj R V V takej, że dla α,β R, a, b V mamy αβ a = αβa, α + β a = αa + βa, 5. 3 αa + b = αa + αb, 4 a = a, wymarem przestrzen V jest lczba nezależnych lnowo elementów przestrzen V zwykle oznaczamy V k, który to zbór nazywamy bazą przestrzen. 5. Norma przestrzen Jest to fnkcja przyporządkowana każdem elementow a V lczbę nejemną, o następjących własnoścach: a 0, = 0 dla a = 0, λa = λ a, λ R jednorodność, 5. 3 a + b a + b, warnek trójkąta, Lnowa przestrzeń ze zdefnowaną normą nazywa sę normowaną przestrzeną lnową. Nech a a, K, a, K cąg elementów {a n }., n Jeżel zachodz lm a a 0 jest to cąg Cachy ego. m n = m, n Jeżel dla każdego cąg {a n } stneje element a 0 V lm a0 = 0 pełna. Jeżel ne to zawsze do V można dołączyć a 0. n a n to taka przestrzeń jest 6. Przestrzeń Banacha Jest to lnowa, normowana, pełna przestrzeń lnowa wektorowa. 7. Przestrzeń z loczynem skalarnym W przestrzen lnowej zdefnowany jest loczyn skalarny. Jest to fnkcja, która V V R dla każdej pary a,b V V. Iloczyn skalarny oznaczamy a, b, o własnoścach a, a 0 = 0 dla a = 0 a, b = b, a λ a + γb, c = λ a, c + γ b, c

3 Krs na Stdach Doktoranckch Poltechnk Wrocławskej wersja: lty Pojęce ortogonalnośc: elementy a b jeżel a, b = 0. Defncja normy: a = a, a Przestrzeń Hlberta Jest to neskończene wymarowa przestrzeń Banacha z określonym loczynem skalarnym. Każda przestrzeń z określonym loczynem skalarnym jest przestrzeną metryczną. Metryka słży do pomar odległośc pomędzy elementam przestrzen. Nech a, b V da,b odległość pomędzy a b metryka o własnoścach: da,a = 0, da,b = db,a, da,b da,c + dc,b. Jeżel przyjąć da,b = a b = a b, a b 5.6 to wdać, że każda przestrzeń z loczynem skalarnym jest metryczna w szczególnośc przestrzeń Hlberta jest metryczna. 9. Przestrzeń fnkcj całkowalnych w kwadrace L Przestrzeń jest całkowalna w kwardrace L jeżel: L jeżel, = d stneje jest ogranczona. 5.7 Przykładem takej przestrzen jest przestrzeń Hlberta. 0. Przestrzene skończene wymarowe Stosowane są w MES. Bazy lokalne: N ϕ = { ϕ, ϕ, K, ϕ }. 5.8 Baza globalna: e Φ = Φ, Φ, K, Φ }. 5.9 { N

4 Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teora zastosowana 37. Przykład model MES dla zagadnena jednowymarowego Model dyskretny Fnkcje bazowe na elementach skończonych Fnkcje bazowe dla model po agregacj Fnkcje bazowe są cągłe klasy C 0. Fnkcje bazowe ne mają cągłej szej pochodnej w pnktach węzłowych pochodna rozmana w zwykłym sense ne jest określona. Rys. 5.. Model dyskretny obszar Rys Lokalne fnkcje bazowe kształt dla poszczególnych elementów skończonych Rys Fnkcje bazowe po agregacj globalne

5 Krs na Stdach Doktoranckch Poltechnk Wrocławskej wersja: lty Pochodna dystrybcyjna Mówmy, że w jest pochodną dystrybcyjną fnkcj względem zmennej, jeżel d = w ϕ d 5.0 dla każdej fnkcj ϕ klasy C znkającej tożsamoścowo na brzeg. Przykład lstrjący Nech e klasy C na e, klasy C 0 na, ϕ klasy C na zerje sę na. Wówczas d = ϕ d + ϕ n d. 5. Lczymy pochodną na całym obszarze d = E e= d = Rys. 5.5 e ϕ d + e ϕn d, 5. na wspólnej krawędz e f n mają przecwne zwroty, na e ne stykające sę z nnym elementam ϕ = 0, stąd ostatn składnk = 0. Na elemence pochodna jest równa. Całka Lebesqe a na grancach = 0 poneważ obszary te są mary zero. 3. Przestrzeń Sobolewa rzęd H Z defncj: H = { L L }, 5.3

6 Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teora zastosowana 39 gdze pochodną rozme sę w sense dystrybcyjnym Iloczyn skalarny + = d, H v v v. 5.4 Norma, v H =. 5.5 W MES dodatkowo zakłada sę, że poszkjemy rozwązana w przestrzen Sobolewa fnkcj knematyczne dopszczalnych } na 0, { H V = = =. 5.6