460 Szeregi Fouriera. Definicja. Definicja. Układ trygonometryczny. Definicja Układ ortogonalny funkcji ( ϕ n

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "460 Szeregi Fouriera. Definicja. Definicja. Układ trygonometryczny. Definicja Układ ortogonalny funkcji ( ϕ n"

Marian Matuszewski
7 lat temu
Przeglądów:

1 6 Szeregi Fourier Defiij Dwie fuje ψ :< > C zywmy fujmi ortogolymi przedzile < > gdy ψ Defiij Ciąg fuji ) :< > C zywmy ułdem ortogolym przedzile < > gdy fuje są prmi ortogole przedzile < > tz gdy j j λ > gdy j = i Ułd trygoometryzy < >=< Nieh > i ieh = = si x = os x = six = os x PowyŜszy iąg fuji zywmy ułdem trygoometryzym Uwg Ułd trygoometryzy jest ułdem ortogolym six osx dl = si jx osx si j + ) x + si j ) dl j = os jx osx os j + ) x + os j ) dl j si jx six os j + ) x os j ) dl j si x os ) = dl = os x + os + ) = dl = Defiij Ułd ortogoly fuji ) :< > C zywmy ułdem ortoormlym przedzile < > gdy gdy j j gdy j =

2 Uwgi Ułd trygoometryzy ie jest ułdem ortoormlym KŜdy ułd ortogoly fuji moŝ zmieić ułd ortoormly zmieiją fuje fuje λ Ułd fuji x ) = si x = os x = six = osx = jest ułdem ortoormlym przedzile < > Sumy szeregu fuyjego Nieh ) :< > C ędzie ułdem ortogolym przedzile < > i złóŝmy Ŝe: fuj f : < > C jest sumą szeregu fuyjego = tz f = = istieją łi ozzoe f dx dl = Ji jest związe między współzyimi fują f? f = = Przypuśćmy Ŝe sumę w powyŝszym wzorze moŝemy słowć wyrz po wyrzie Wtedy Stąd f = = f λ = λ Defiij Nieh ) :< > C ędzie ułdem ortogolym przedzile < > i ieh f : < > C ędzie tą fują Ŝe dl Ŝdego istieje ł ozzo f Współzyimi Fourier fuji f względem ułdu ) zywmy lizy = f λ

3 Szereg gdzie ) jest iągiem współzyiów Fourier zywmy = szeregiem Fourier dl fuji f względem ułdu ) Wzory Euler-Fourier Współzyii Fourier dl szeregu trygoometryzego) Nieh f : < > R ędzie tą fują Ŝe dl Ŝdego istieją łi ozzoe f osx dx i f six Współzyimi Fourier fuji f względem ułdu trygoometryzego zywmy lizy = = f dx = = f osx dx dl = = = f six dx dl = Podstwowe pyti Nieh ) :< > C ędzie ułdem ortogolym przedzile < > i ieh f : < > C ędzie tą fują Ŝe dl Ŝdego istieją współzyii Fourier ) dl fuji f względem ułdu ) Czy szereg Fourier jest zieŝy w puie x < >? = Jeśli szereg Fourier jest zieŝy w puie x < > to ji jest = wzór jego sumę? Kiedy sum szeregu Fourier w puie x < > jest rów = f tz f =? = Czy szereg Fourier jest zieŝy jedostjie < >? = Czy iąg współzyiów Fourier ) jest zieŝy do zer? Czy szereg lizowy jest zieŝy? = Czy szereg lizowy jest zieŝy? = Itd

4 Włsość miimum współzyiów Fourier Nieh ) :< > C ędzie ułdem ortogolym przedzile < > i ieh f : < > C ędzie tą fują Ŝe f jest fują łowl z wdrtem < > tz istieje ł ozzo dl Ŝdego Wtedy fuj f dx N istieje ł ozzo f m α αm) = f α = Λ α osig jmiejszą wrtość wtedy i tylo wtedy gdy α są współzyimi Fourier fuji f względem ułdu ) tz α = dl = m dx Nierówość Bessel Nieh ) :< > C ędzie ułdem ortogolym przedzile < > i ieh f : < > C ędzie tą fują Ŝe f jest fują łowl z wdrtem < > tz istieje ł ozzo dl Ŝdego f dx N istieje ł ozzo Wtedy szereg lizowy λ jest zieŝy orz = = λ f f W szzególośi jeśli ułd ) jest ortoormly przedzile < > lu iąg λ ) jest ogrizoy z dołu przez lizę dodtią to szereg = zieŝy orz gdy if λ = f dx jest

5 Lemt Riem Nieh f : < > R ędzie fują ezwzględie łowlą przedzile < > w sesie włśiwym lu iewłśiwym) Wtedy Wiose six lim f orz lim f osx Nieh f : < > R ędzie fują ezwzględie łowlą przedzile < > w sesie włśiwym lu iewłśiwym) Wtedy istieją współzyii Fourier ) ) fuji f względem ułdu trygoometryzego orz gdy 5

Podobne dokumenty

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy