5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim

Transkrypt

1 5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną w punkce c, to jest w tym punkce cągła. Zauważmy, że Wobec tego (x c) x c lm lm x c x c (x c) lm x c x c x c Skąd wnoskujemy cągłość funkcj f w punkce c, gdyż lm f(x) f(c) x c lm(x c) 0 x c Uwaga 5.1 Jeśl w defncj pocodnej w punkce przyjmemy x c, to otrzymujemy lm x c x c lm 0 f(c + ) f(c) Uwaga 5.2 Twerdzene odwrotne do (5.1) ne jest prawdzwe. Na przykład dla funkcj f(x) x mamy x 0 lm x 0 x 0 lm x x 0 1 lm x 0 x x 0 + x 0 lm x x 0 + x 1 A węc pocodna w zerze ne stneje pommo, że funkcja jest w tym punkce cągła. Twerdzene 5.2 Nec f, g: (a, b) R. Jeśl funkcje f g mają pocodne w punkce c (a, b), to funkcja f +g też ma w tym punkce pocodną oraz zacodz (f +g) (c) f (c)+g (c) Zauważmy najperw, że (f + g)(c + ) (f + g)(c) f(c + ) f(c) + Skąd po przejścu do grancy wynka teza. (f(c + ) + g(c + )) (f(c) + g(c)) g(c + ) g(c) Twerdzene 5.3 Nec f, g: (a, b) R. Jeśl funkcje f g mają pocodne w punkce c (a, b), to funkcja f g też ma w tym punkce pocodną oraz zacodz (f g) (c) f (c) g (c)

2 Twerdzene 5.4 Nec f, g: (a, b) R. Jeśl funkcje f g mają pocodne w punkce c (a, b), to funkcja fg też ma w tym punkce pocodną zacodz (fg) (c) f (c)g(c)+f(c)g (c) Zauważmy najperw, że (fg)(c + ) (fg)(c) f(c + )g(c + ) f(c)g(c + ) + f(c)g(c + ) f(c)g(c) f(c + ) f(c) g(c + ) g(c) g(c + ) + f(c + ) Skąd po przejścu do grancy wynka teza. Twerdzene 5.5 Nec f, g: (a, b) R nec g(x) 0 dla x {x: x c < δ} (dla pewnego δ > 0). Jeśl funkcje f g mają pocodne w punkce c (a, b), to funkcja f/g też ma w tym punkce pocodną zacodz ( ) f (c) f (c)g(c) f(c)g (c) g g 2 (c) Zauważmy, że: ( f(c + ) g(c + ) f(c) ) 1 g(c) f(c + )g(c) f(c)g(c + ) g(c + )g(c) f(c + ) f(c) g(c) g(c + ) g(c) f(c) g(c + )g(c) g(c + )g(c) Skąd po przejścu do grancy wynka teza. Twerdzene 5.6 Nec f: (a, b) (s, t) oraz g: (s, t) R. Jeśl funkcja f ma pocodną w punkce c funkcja g ma pocodną w punkce f(c), to złożene funkcj g f ma pocodną w punkce c zacodz: (g f) (c) g (f(c))f (c). Twerdzene 5.7 Nec f: (a, b) (s, t) oraz g: (s, t) (a, b) jest funkcją odwrotną do f. Jeśl funkcja f ma pocodną w punkce c (a, b), to funkcja g ma pocodną w punkce f(c) zacodz: g (f(c)) 1/f (c) Twerdzene 5.8 (Rolle a) Jeśl f: a, b R jest funkcją cągłą na przedzale domknętym a, b posada pocodną w każdym punkce przedzału (a, b) oraz f(a) f(b) 0, to stneje tak punkt d (a, b), że f (d) 0 Poneważ f jest funkcją cągłą, to na mocy twerdzena o osąganu kresów mamy f(d) sup f(x) x (a,b) d (a,b) Ponadto na mocy założena w punkce d funkcja posada pocodną, stąd ( ) f(x) f(d) lm f f(x) f(d) (d) 0 lm f (d) 0 f (d) 0 x d x d x d + x d

3 Twerdzene 5.9 (Lagrange a) Jeśl f: a, b R jest funkcją cągłą na przedzale domknętym a, b posada pocodną w każdym punkce przedzału (a, b), to stneje tak punkt d (a, b), że Zdefnujmy funkcję pomocnczą f (d) g(x) f(x) f(a) (x a) Funkcja g spełna założena tw. Rolle a, węc stneje d (a, b) tak, że g (d) 0. Ponadto g (x) f (x) A węc dla x d otrzymujemy: 0 g (d) f (d) f (d) Wnosek 5.1 Nec f: (a, b) R posada pocodną w każdym punkce x (a, b). Wtedy jeśl f (x) 0 dla wszystkc x (a, b), to funkcja f jest stała. Nec x 1, x 2 (a, b) x 1 < x 2. Na mocy tw. Lagrange a stneje take d, że 0 f (d) f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 f(x 2 ) f(x 1 ) const Wnosek 5.2 Nec f: (a, b) R posada pocodną w każdym punkce x (a, b). Wtedy jeśl f (x) > 0 dla wszystkc x (a, b), to funkcja f jest rosnąca. Nec x 1, x 2 (a, b) x 1 < x 2. Na mocy tw. Lagrange a stneje take d, że 0 < f (d) f(x 2) f(x 1 ) f(x 2 ) > f(x 1 ) x 2 x 1 Wnosek 5.3 Nec f: (a, b) R posada pocodną w każdym punkce x (a, b). Wtedy jeśl f (x) < 0 dla wszystkc x (a, b), to funkcja f jest malejąca. Wnosek 5.4 Nec f: (a, b) R posada pocodną w każdym punkce x (a, b). Wtedy jeśl f (x) 0 dla wszystkc x (α, β) (a, b), to f(α) f(β). Założmy ne wprost, że f(α) f(β). Wtedy: f(β) f(α) 0 β α dostajemy sprzeczność. f (d) dla pewnego d (α, b) Z wnosku 5.4 wynka, że twerdzene Rolle a jest prawdzwe, gdy funkcja f przyjmuje na końcac przedzału równe wartośc (nekoneczne równe zeru).

4 Twerdzene 5.10 (Caucy ego o wartośc średnej) Jeśl funkcje f, g: a, b R są cągłe na przedzale a, b posadają pocodne w każdym punkce x (a, b) oraz g (x) 0 dla x (a, b), to stneje punkt d (a, b) tak, że f (d) g (d) g(b) g(a) Wprowadźmy funkcję ϕ(x) f(x) Cg(x) doberzmy stałą C tak, aby zacodzła równość ϕ(a) ϕ(b). Stąd C g(b) g(a) Ponadto ϕ (x) f (x) g(b) g(a) g (x) Poneważ ϕ(a) ϕ(b), to na mocy tw. Rolle a stneje tak punkt d (a, b), że ϕ (d) 0. Ale to oznacza, że co kończy dowód. 0 ϕ (d) f (d) g(b) g(a) g (d) Uwaga 5.3 Jeśl w twerdzenu (5.10) przyjmemy, g(x) x to otrzymujemy tw. Lagrange a. Twerdzene 5.11 (Reguła de L Hosptala) Nec f, g: a, b R. Załóżmy, że stneją pocodne f (a), g (a) oraz g (a) 0. Nec ponadto lm f(x) 0 lm g(x) 0 x a x a Wówczas f(x) lm x a g(x) f (a) g (a) Istnene pocodnyc f (a) g (a) gwarantuje cągłość funkcj f g. Ponadto poneważ g (a) 0, to dla x dostateczne blskc a jest g(x) 0. Wtedy na mocy twerdzena Caucy ego o wartośc średnej mamy f(x) g(x) f(x) f(a) f(x) f(a) g(x) g(a) x a g(x) g(a) Przecodząc do grancy przy x a dostajemy tezę twerdzena. x a

5 6. Pocodne wyższyc rzędów Defncja 6.1 Jeśl funkcja f: a, b R ma pocodną skończoną f (x) w pewnym przedzale X. Wówczas jeśl funkcja f (x) ma pocodną w pewnym punkce x 0 X, to nazywamy ją pocodną drugego rzędu funkcj f. Analogczne defnujemy pocodną rzędu trzecego, czwartego, td. Twerdzene 6.1 (wzór Lebntza) Nec f, g: a, b R mają każda z osobna pocodne rzędu n włączne. Wówczas funkcja fg ma pocodną rzędu n daną wzorem (n) (fg) (n) 0 ( ) n f (n ) g () Oczywśce dla n 1 wzór jest prawdzwy. Załóżmy, że dla n k wzór jest prawdzwy. Jeśl funkcje f, g mają pocodne rzędu k + 1, to różnczkując jeszcze raz (n) względem zmennej x dostajemy wynos ( k 0 (k+1) k 0 ( k ) (f (k ) g ()) k 0 ( ) k f (k +1) g () + k 0 ( ) k f (k ) g (+1) Pogrupujemy teraz składnk obu sum zawerające jednakowe loczyny pocodnyc funkcj f g. Iloczyn f (k+1) ) g (0) wystąp tylko raz - w perwszej sume dla 0, a jego współczynnk. Podobne f (0) g (k+1) wystąp tylko raz w drugej sume dla k, a jego ). współczynnk wynos ( k k Łatwo zauważyć, że wszystke pozostałe loczyny mają postać f (k j+1) g (j) (przy czym 1 j n). Każdy tak loczyn wystąp zarówno w perwszej sume (dla j) jak w drugej sume (dla j 1). Suma odpowednc współczynnków będze równa W ten sposób otrzymujemy: (k+1) f (k+1) g (0) + 0 ( ) ( ) k k + j j 1 k+1 0 ( ) k k + 1 f ((k+1) ) g () + 1 f ((k+1) ) g () j f (0) g (k+1) k + 1

6 Twerdzene 6.2 (wzór Taylora) Nec funkcja f: a, b R posada cągłe pocodne rzędu n na przedzale a, b nec posada pocodną rzędu n + 1 w przedzale (a, b). Wówczas f(b) f(a)+ f (1) (a) (b a)+ f (2) (a) 2! Wprowadzmy dwe nowe funkcje: F (x) f(x) f(a) 1 (b a) f (n) (a) (b a) n + f (n+1) (ξ) (b a)n+1 f () (a) (x a) G(x) (x a) n+1! Poneważ F (a) 0 oraz G(a) 0 to na mocy twerdzena Caucy ego mamy G(b) F (a) G(b) G(a) F (1) (ξ 1 ) G (1) (ξ 1 ) ξ 1 (a, b) F (1) (x) f (1) (x) f (1) (a) 2 f () (a) ( 1)! (x a) 1 G (1) (x) (n + 1)(x a) n Poneważ F (1) (a) 0 oraz F (1) (a) 0, to z twerdzena Caucy ego mamy G(b) F (1) (ξ 1 ) G (1) (ξ 1 ) F (1) (ξ 1 ) F (1) (a) G (1) (ξ 1 ) G (1) (a) F (2) (ξ 1 ) G (2) (ξ 1 ) ξ 2 (a, ξ 1 ) F (2) (x) f (2) (x) f (2) (a) 3 f () (a) ( 2)! (x a) 2 G (2) (x) (n + 1)n(x a) n 1 Poneważ F (2) (a) 0 oraz F (2) (a) 0, to z twerdzena Caucy ego mamy G(b) F (2) (ξ 2 ) G (2) (ξ 2 ) F (2) (ξ 2 ) F (2) (a) G (2) (ξ 2 ) G (2) (a) F (3) (ξ 3 ) G (3) (ξ 3 ) ξ 3 (a, ξ 2 ) Kontynuując powyższe rozumowane otrzymujemy w końcu G(b) F (1) (ξ 1 ) G (1) (ξ 1 ) F (2) (ξ 2 ) G (2) (ξ 2 )... F (n) (ξ n ) G (n) (ξ n ) F (n+1) (ξ n+1 ) G (n+1) (ξ n+1 ) gdze a < ξ n+1 < ξ n <... < ξ 2 < ξ 1 < b. Ponadto zauważmy, że F (n+1) (x) f (n+1) (x) G (n+1) (x) G(b) f (n+1) (ξ n+1 ) f (n+1) (ξ n+1 ) G(b) f (n+1) (ξ n+1 ) () n+1 ( ) Korzystając z defncj funkcj F z równośc ( ) mamy f (n+1) (ξ n+1 ) () n+1 po przegrupowanu wyrazów dostajemy ostateczne f(b) f(a) + f (1) (a) gdze ξ ξ n+1 () + + f (n) (a) 1 f () (a) ()! () n + f (n+1) (ξ) ()n+1

7 Uwaga 6.1 Ostatn składnk sumy nos nazwę reszty wzoru Taylora w postac Lagrange a. Ponadto podstawając w powyższym twerdzenu a x 0 oraz b x otrzymujemy wzór: f(x) f(x 0 ) + f (1) (x 0 ) (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + R n gdze R n jest wspomnaną resztą w postac Lagrange a. Uwaga 6.2 Przyjmując we wzorze Taylora x 0 0 otrzymujemy szczególną postać tego wzoru zwaną wzorem MacLaurna. f(x) f(0) + f (1) (x) x + + f (n) (0) x n + R n GRZEGORZ GIERLASIŃSKI