Sformułowanie zagadnienia. c c. Analiza zagadnienia dla przypadku m = 4 i n = 3. B 2. c A. c A

Transkrypt

1 ZGDNIENIE TRNSPORTOWE Sformułowne zgdnen Przypuśćmy, że z m punktów odprwy,, K, m m być wysłny w lośh,, K, m ednorodny produkt do n punktów przyęć,, K, n. odboru przymuą produkt w lośh b, b, K, bn. Kżdy z dostwów może zoptrywć dowolnego odborę odwrotne kżdy odbor może otrzymywć towr od dowolnego dostwy. Oznzmy przez koszt trnsportu z punktu odprwy do punktu odboru. Przymuemy, że welkoś są znne. W opru o te dne nleży ustlć tk pln przewozów mędzy punktm odprwy punktm odboru, który zpewn mnmlny koszt trnsportu przewożonyh towrów. Tk sformułowne zgdnene nzyw sę zgdnenem trnsportowym. Zkłdmy, że ogóln lość produktu wysłnego est równ ogólne loś produktu przymownego, zyl m n b. Zgdnene trnsportowe spełnąe powyższy wrunek nzywmy zgdnenem trnsportowym zmknętym lub zblnsownym (ZZT). nlz zgdnen dl przypdku m n. Tbl kosztów przewozu odprwy () odboru () Merz utworzoną przez współzynnk nzywmy merzą kosztów przewozu

2 Tbel welkoś przewozów odprwy () odboru () b b b Welkoś,,,,,,, są welkośm neznnym oznzą loś przewożonyh produktów z punktu wysyłkowego do punktu odboru. Merz utworzoną przez współzynnk nzywmy merzą przepływów. W tym przypdku model zgdnen trnsportowego m postć: Funk elu: mn mnmlz łkowtego kosztu trnsportu Wrunk dostwów:,,, kżdy dostw () m dostrzyć odborom ły posdny towr Wrunk odborów: b,, kżdy odbor () m dostć tyle towru od wszystkh dostwów le potrzebue Wrunk brzegowe:,,,,,,, Modele zgdneń trnsportowyh są szzególnym przypdkem model lnowyh mogą być rozwązne z pomoą lgorytmów dotyząyh tyh model. Jednk w tym przypdku stneą brdze efektywne lgorytmy.

3 Metod oblzenow. Zgdnene trnsportowe rozwązuemy według nstępuąego plnu: ) wyznzmy wstępne rozwązne bzowe wybrn metodą (w nszym przypdku będze to metod mnmum merzy) b) eżel wstępne rozwązne ne est rozwąznem optymlnym ulepszmy rozwązne (metod potenłów) Przykłd. Cztery punkty odprwy,,, wysyłą ednorodny produkt w lośh, 5, 8, 8 ednostek. Cztery punkty odboru,,, przymuą ten produkt w lośh b, b, b 9, b 6 ednostek. Koszty trnsportu przedstw ponższ tbel: odprwy () odboru () Wyznzn rozwązn bzowego metodą mnmum merzy Powyższą tbelę uzupełnmy o dodtkowy wersz kolumnę, do któryh wpsuemy odpowedno podż popyt: odprwy () odboru () b 9 6 Nmneszym współzynnkem est. Przymuemy ztem mn( 8, b ) 8

4 wpsuemy w pole (,). Dl odróżnen od wrtoś berzemy w nws. Welkość 8 łkowe wyzerpue zsoby punktu odprwy, wę przymuemy. Zpotrzebowne punktu zmneszmy o 8. Wynos ono terz b 8. odprwy () odboru () () (8) 7 () () 8 b 9 6 Nstępnym współzynnkem o do welkoś est. Przymuemy wtedy (, ) mn(8,6) 6 mn b Wrtość 6 łkowe zspok zpotrzebowne punktu, wę zsoby punktu odprwy zostną zmneszone o 6 wynoszą terz 8 6 odprwy () odboru () 8 7 () 6 () (6) 8 () (8) 7 () () 8 b 9 6 Nstępnym współzynnkm o do welkoś są. Pol odpowdąe tym współzynnkom obsdzmy po kole, borą pod uwgę nperw krtkę, któr odpowd współzynnkow o mneszym perwszym wskźnku. Przymuemy ztem mn(, b ) mn(,) Wrtość wykorzystue łkowe zsoby punktu, wę przymuemy

5 odprwy () odboru () () () 8 () 7 () 6 () (6) 8 () (8) 7 () () 8 b 9 6 Podobne przymuemy mn(, b ) mn(9,5) orz odprwy () odboru () () () 8 () 7 () (9) 6 () () (6) 8 () (8) 7 () () 8 b W nstępne kolenoś przymuemy mn(, b ) odprwy () odboru () () () 8 () 7 () (9) 6 () 5 5 () () 9 () (6) 8 () (8) 7 () () 8 b 9 6

6 Osttezne mn(5 9, ), odprwy () odboru () () () 8 () 7 () () () (9) 6 () 5 5 () () 9 () (6) 8 () (8) 7 () () 8 b 9 6 Ztem rozwązne pozątkowe est nstępuąe (dl wększe przerzystoś pommy w tbel zer): odprwy () odboru () b 9 6 Wrtość funk elu dl tego rozwązn wynos: Z *+*+*+9*+*+6*+8* Sprwdzne optymlnoś ulepszne rozwązn pozątkowego metodą potenłów. by zbdć zy dopuszzlne rozwązne bzowe est rozwąznem mnmlnym posługuemy sę metodą potenłu. Metod t poleg n tym, że znduemy tke lzby u orz v, że eżel lzb est dodtn nleży do dopuszzlnego rozwązn bzowego, to spełnone est równne u + v gdze est współzynnkem kosztów odpowdąyh zmenne. Oznzmy przez wrtość sumy lzb u v, eśl zmenn ne whodz do rozwązn bzowego. Jeśl dl wszystkh pr (, )

7 to dne bzowe rozwązne est rozwąznem mnmlnym. Jeżel powyższy wrunek ne est spełnony dl pewnyh pr (, ), to nowe rozwązne bzowe dąe mneszą wrtość funk kosztów możemy otrzymć wprowdzą do bzy tk wektor odpowdąy polu o numerh (, ), dl którego różn est dodtn. Jeżel stnee węe nż eden tk wektor, to spośród nh berzemy ten, dl którego różn est nwększ. Przykłd Kontynuuemy poprzedn przykłd. ) Tbel kosztów przewozu ) Rozwązne bzowe (w nszym przypdku otrzymne metodą mnmum merzy) u v by zbdć, zy przedstwone rozwązne est optymlne w tbel umeszzmy koszty przewozu odpowdąe różnym od zer wrtośom rozwązn bzowego wyznzmy wrtoś u v tk by u + v dl pól dotyząyh rozwązn bzowego. W ponższym ukłdze przymuemy u pozostłe wrtoś wyznzmy tk by były spełnone wszystke równn u + v.

8 v u Po wyznzenu potenłów tworzymy tbelę kosztów pośrednh uzupełną puste mese z powyższe tbel według wzoru u + v v u Nstępne wyznzmy wrtoś różn Żdn różn ne est dodtn, wę otrzymne rozwązne est optymlne

9 PRZYKŁD Dl dnyh z Przykłdu otrzymno (nną metodą) nstępuąe rozwązne bzowe Rozwązne bzowe X 7 6 Dl tego rozwązn łązny koszt przewozu wynos: Z * + * + * + * + 7 *9 + *7 + 6* 85 Potenły koszty pośredne u + v u v Różne Istneą w tbel dodtne różne, ztem rozwązne X ne est optymlne. Poprwmy rozwązne wprowdzą do bzy nowy wektor w mese mksymlne dodtne różny. W nszym przypdku m ( ) 7.

10 -Θ Θ + Θ 7-Θ 6 Przymuemy Θ 7 Nowe rozwązne X : Rozwązne X możemy przedstwć w post merzowe: X Koszt trnsportu dl tego poprwonego rozwązn X wynos: ( )* 85 7 *7 66 Z Z m Θ Dle bdmy, w powyższy sposób zy rozwązne X est optymlne. Jeżel ne, w tk sm sposób poprwmy rozwązne X.