DYDAKTYCZNA PREZENTACJA PRÓBKOWANIA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Transkrypt

1 POZA UIVE RSIY OF E CHOLOGY ACADE MIC JOURALS o 73 Electricl Engineering 3 Wojciech LIPIŃSI* DYDAYCZA PREZEACJA PRÓBOWAIA SYGAŁÓW ORESOWYCH Przedstwiono dydtyczną prezentcję próbowni przebiegów oresowych o ogrniczonym pśmie. Obliczeni numeryczne wyonno w progrmie Mthcd.. WPROWADZEIE Sumując słdową stłą orz hrmonicznych otrzymmy sygnł oresowy s(t) o oresie i częstotliwości podstwowej f = /. Psmo jest ogrniczone do f mx, moc sygnłu jest sończon. Sygnł s(t) o niesończonym czsie trwni nie zwier słdowych widm o częstotliwościch przerczjących f mx = /. s(t) cos( t) bsin( t), mx f, f t t s(t) cos( t) dt, b s(t) sin( t) dt, f f mx t t Widmo dysretne sygnłu oresowego s(t) przechodzi dl oresu w widmo ciągłe. Przyjmujemy że, psmo jest ogrniczone i energi sygnłu jest sończon. mx st d sexp jt d, Sj dl mx mx st exp j td sexpjd S jexp j td * Zchodniopomorsi Uniwersytet echnologiczny w Szczecinie. mx mx mx Próbownie sygnłu w dziedzinie czsu jest podstwą cyfrowego przetwrzni sygnłów i teleinformtyi cyfrowej. Sygnł nlogowy s(t) przesztłcny jest n ciąg próbe przy dnym rou czsu Δt. W przypdu próbowni równomiernego w czsie częstotliwość próbowni f S jest stł i równ /Δt. s n t s n, s 3, s, s, s, s, s, s 3,, f S t () mx

2 44 Wojciech Lipińsi Częstotliwość próbowni f S dwurotnie więsz od częstotliwości f mx nosi nzwę częstotliwości yquist f fmx. W oresie -tej hrmonicznej równym / pobiermy dwie próbi sygnłu s(t).. OBLICZEIA UMERYCZE Sygnł s(t) może zostć odtworzony w dziedzinie czsu n podstwie próbe lub przedstwiony jo sum hrmonicznych. Sygnł s(t) może zostć dołdnie odtworzony n podstwie ciągu próbe jeśli częstotliwość próbowni fs f fmx. Częstotliwość próbowni f S jest co njmniej równ podwójnej msymlnej częstotliwości widm. olejne próbi s(n t) są mnożone przez funcję σ n (t) sin (t n t) sin f (t n t) n t, f f (t n t) f (t n t) t f mx mx mx S S mx S f mx t sin n sin f mx (t n t) f S t n t t t n n t t,

3 Dydtyczn prezentcj próbowni sygnłów oresowych 45 sumowne i otrzymujemy pierwotny sygnł Próbując z częstotliwością yquist S n () s t s(n t) t n f f f t otrzymmy t sin n t st s(n t) t s(n t), t t f n t n (3) n n mx mx Rys.. Odtwrznie sygnłu z próbe s(n Δt) Ogrniczjąc sumownie do n = ±5 przyjmujemy, że sygnł s(t) o niesończonym czsie trwni jest równy zero dl t > 5 Δt, energi sygnłu jest sończon. Dl przyjętych wrtości, pomimo zerowni dl t > 5 Δt, wrune ogrniczeni widm jest prtycznie spełniony. Przy przybliżeniu sygnłu oresowego s(t) sumą hrmonicznych s (t) cos( t) b sin( t), f, f s(t) s (t) dt dl

4 46 Wojciech Lipińsi średni błąd wdrtowy jest njmniejszy jeśli współczynnii, b są oreślone wzormi podnymi w wprowdzeniu, błąd dąży do zer dl. Rozwżmy sygnł oresowy s(t) o sończonej szeroości psm do f mx, sum hrmonicznych jest ogrniczon do -tej hrmonicznej. s(t) cos( t) b sin( t), f mx f (4) s(t) cos( t) dt, b s(t) sin( t) dt, mx Sygnł s(t) jest jednozncznie oreślony z pomocą wrtości (próbe) w dysretnych chwilch czsu t n nleżących do jednego oresu. Ores dzielimy n roów czsu Δt. Przyjmujemy =. t n n t t, t, t,, t, n,,,3,,, t sn t s s, s, s,, s, s, t n t n, f t n n S Wrtość sygnłu s(t) w dowolnej chwili czsu jest oreślon przez wrtości (próbi) w dysretnych chwilch czsu. Obliczymy wrtości próbe s n, sygnł jest oresowy s = s. s(t ) cos( t ) b sin( t ), n,,,,, n n n n s cos n t b sin n t, t, s s sn cos n bsin n, sn próbi, n,,, Dl = niewidomymi są współczynnii,, b,, b, 3, b 3,..., -, b -,. Liczb niewidomych współczynniów szeregu Fourier jest, liczb równń jest. Sumujemy równości stronmi, obliczmy sn cos n b sin n, s s st n n sn cos n b sin n n n n Zstosujemy tożsmość trygonometryczną i obliczymy, że sum cosinusów jest równ zero. (5)

5 Dydtyczn prezentcj próbowni sygnłów oresowych 47 cos n cosn, n n sin.5 sin.5 cos n n sin.5 sin.5 Sum sinusów jest tże równ zero, słdow stł sygnłu s(t) jest równ: sn (6) n Rozwiązując ułd równń o niewidomych współczynnich, b otrzymmy: s(t n ) cos( t n ) bsin( t n), n,,, sn cos n b sin n, sn próbi n n n n s cos n, b s sin n Przyłdowo dn jest funcj s(t) oresow o oresie jo sum słdowej stłej orz = hrmonicznych. Funcj s(t) jest jednozncznie oreślon współczynnimi, b. Sygnł nlogowy s(t) oreślony jest w dowolnej chwili czsu. Widmo sygnłu s(t) jest ogrniczone do częstotliwości -tej hrmonicznej. (7) Rys.. Sygnł nlogowy s(t), sum = hrmonicznych i słdowej stłej, dne są współczynnii, b

6 48 Wojciech Lipińsi Obliczmy próbi funcji s(t) w dysretnych chwilch t n = n Δt, w oresie jest próbe. Przyjmijmy, że dnych jest próbe funcji s(t). Obliczmy współczynnii szeregu Fourier n podstwie dnych próbe. Rys. 3. Przyłd obliczeni współczynniów szeregu Fourier przy dnych próbch LIERAURA [] Bolowsi S. eori obwodów eletrycznych. Stron: 584. W, 7. [] Hyin S. Systemy teleomunicyjne, Wydwnictwo ił, Wrszw 998. [3] ietze U., Schen H.: Ułdy półprzewodniowe, W, W [4] Lipińsi W.: Obliczeni numeryczne w teorii sygnłów i obwodów eletrycznych. ZAPOL 8, str [5] Miołju., rzs Z. Eletrotechni eoretyczn, PW Wrszw 984. EDUCAIOAL PRESEAIO OF SAMPLIG OF PERIODIC SIGALS Shows the didctic presenttion of the periodic wveform smpling with limited bndwidth. umericl clcultions were performed in Mthcd.