Elementy aproksymacji i interpolacji funkcji
|
|
- Ksawery Bednarski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdził 4 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji 4.. Uwgiwstępne W tym rozdzile przedstwimy w sposób zwięzły podstwowe pojęci i metody teorii proksymcji i jej szczególnego przypdku, proksymcji interpolcyjnej, którą będziemy krótko nzywć interpolcją[4]. Aproksymcję, jk wiemy, wykorzystujemy kiedy dn funkcj m złożoną postć lub dn jest w postcidyskretnej,lubgdywogólejestnieznn,jktommiejsceprzyrozwiązywniu równń różniczkowych. W kżdym z tych przypdków poszukujemy innej, n ogół prostej funkcji, któr dobrze przybliż funkcję pierwotną. W zsdzie ogrniczymy się tylko do proksymcji wielominowej i to w tkim zkresie, który będzie nm potrzebny w nstępnych rozdziłch podręcznik. Wzory i równni wyprowdzimy w zpisie wskźnikowym orz w zpisie mcierzowym, wykorzystując opercje rchunku mcierzowego, zestwione w dodtku D Aproksymcjoptymln Zdnie proksymcji optymlnej w bzie jednominów poleg n dobrniu wielominu proksymcyjnego P m ()= m m + m m = m k k =p() (4.)
2 4.2. Aproksymcj optymln 5 gdzie: p=[... m ] mcierzjednowierszowjednominów, =[ 0... m ] T wektornieznnychprmetrówproksymcji, wtkisposób,byprzybliżłondnąfunkcjęf()wpewnymsensienjlepiej. Tk sformułowne zdnie może być rozwiązne jeśli ustlimy stopień wielominu m orz przyjmiemy kryterium, według którego będziemy ocenić jkość proksymcji. Przyjęcie określonego stopni m wielominu proksymcyjnego jest trudne, zleżne od wielu czynników, i może decydowć o jkości proksymcji. Kryteriów oceny proksymcji jest wiele, w podręczniku ogrniczymy się do metody njmniejszych kwdrtów, formułującej kryterium njczęściej wykorzystywne. W dlszym ciągu przedstwimy metodę njmniejszych kwdrtów dl tzw. proksymcji ciągłej i proksymcji punktowej. Aproksymcją ciągłą nzwiemy proksymcję funkcji f() określonej w pewnym przedzile, ntomist w proksymcji punktowej będziemy proksymowć dyskretny zbiór wrtości funkcjif(),dnychwtzw.węzłchproksymcji i,i=0,,2,...,n. f() f+e f-e P f b Rys.4.. Interpretcj grficzn twierdzeni Weierstrss W podręczniku njczęściej będziemy wykorzystywli funkcje proksymcyjne w postci wielominów lgebricznych(4.). Skuteczność tkiej proksymcji ciągłej wynik z twierdzeni Weierstrss.
3 52 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji Twierdzenie (Weierstrss). Jeślif()jestfunkcjąokreślonąiciągłąwprzedzile[,b]idnejestε>0, towówczsistniejewielominp(),określonyw[,b],tkiże f() P() <ε dlkżdego [,b] Z twierdzeni tego wynik wżny wniosek, że zwsze możemy wyznczyć tki wielomin P(), który będzie wystrczjąco bliski dnej funkcji, rys Aproksymcjciągł Funkcję f() C[, b] proksymujemy w metodzie njmniejszych kwdrtówwielominemp m,stopninjwyżejm,wykorzystującwrunekminimlizcjibłęduεwsensienormyl 2 (ptrzdodteka) ε= f() P m () 0 = Podstwijąc(4.) do(4.2) otrzymmy funkcję b ( f() P m ()) 2d (4.2) ε( 0,,..., m )= b ( f() m k k) 2 d (4.3) któr po wprowdzeniu zpisu mcierzowego m postć ε()= b ( f() p()) 2d (4.3b) Nieznneprmetryproksymcji i, i=0,,...,m,obliczymyzwrunku koniecznego minimum ε Poniewż ε= b ( f() ε i =0 dlkżdegoi=0,,...,m (4.4) ) 2d 2 m b k b k f()d+ ( m k k) 2 d
4 4.3. Aproksymcj ciągł 53 to otrzymujemy ε b = 2 i i f()d+2 m b k i+k d (4.5) Wykorzystując(4.5) w(4.4) otrzymujemy tk zwny ukłd m + równń normlnych m b k i+k d= b i f()d i=0,,...,m (4.6) dlobliczeniniewidomych i,i=0,,...,m.sątorównniliniowe,które zwszemjąrozwiązniejednozncznepodwrunkiem,żef C[,b]i b. Odpowiednikiem równń(4.6) w zpisie mcierzowym jest równnie [ b p T ()p()d ] = b p T ()f()d (4.6b) Przykłd 4.. Obliczymy metodą njmniejszych kwdrtów proksymcję funkcjif()=sinπwprzedzile[0,]. Wielomin proksymcyjny przyjmiemy w formie P 2 ()= Wykorzystując(4.6) dostniemy ukłd równń d+ 0 d+ 0 2 d+ 0 d d d d= 3 d= 4 d= sinπd sinπd 2 sinπd (4.7)
5 54 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji lub stosując zpis mcierzowy(4.6b) [ 0 2 ] [ 2] b d= 2 sinπd (4.7b) Wykonując nkzne cłkowni otrzymmy ukłd równń którego rozwiązniem jest = 2 π = π = π2 4 π 3 0 = 2π2 20 π 3 0, = 2 = π2 π 3 4,225 Wielomin proksymcyjny m postć Błąd proksymcji(4.3) wynosi ε= 0 P 2 ()= 4, ,225 0, ( sinπ+4, ,225+0, ) 2 d=0,0 Zuwżmy, że elementy mcierzy ukłdu równń(4.7) obliczyć możn z ogólnego wzoru b i+k d= bi+k+ i+k+ i+k+ Tk obliczone elementy tworzą tzw. mcierz Hilbert, któr jest źle uwrunkown i przy jej obliczniu występuje duży błąd obcięci, co m znczenie przy rozwiązywniu dużego ukłdu równń. W dlszym ciągu uogólnimy wyprowdzone równni n przypdek proksymcji w innej przestrzeni funkcji bzowych niż przestrzeń jednominów. Wymg to jednkże podni dwóch definicji i jednego twierdzeni.
6 4.3. Aproksymcj ciągł 55 Definicj. Zbiórfunkcji{u 0,u,...,u m }nzwiemyliniowoniezleżnymw przedzile[,b],gdzieb>,jeśliwrunek c 0 u 0 ()+c u ()+ +c m u m ()=0 dlkżdego [,b] mmiejscetylkodlc 0 =c =...=c m =0.Wprzeciwnymprzypdkuzbiór funkcji jest liniowo zleżny. Definicj 2. Funkcją wgową w w przedzile[, b] nzwiemy dowolną nieujemną funkcję cłkowlną w tym przedzile. Funkcję wgową będziemy też nzywć funkcją testową i jej celem jest rozłożenie wgi(lub: wżności) proksymcji w różnych miejscch przedziłu[, b], co powinno poprwić jkość proksymcji. Twierdzenie 2. Jeśliu i jestwielominemstopnii,dlkżdegoi=0,,...,m,towówczs zbiórfunkcji{u 0,...,u m }jestliniowoniezleżnywprzedzile[,b],gdzie <b. Przyjmijmyterz,że{u 0,u,...,u m }jestzbioremfunkcjibzowychliniowo niezleżnychwprzedzile[,b]iwjestfunkcjąwgowąw[,b]orzf C[,b]. Prmetry i,i=0,,...,m,funkcjiproksymcyjnej P()= m k u k ()=p() (4.8) obliczymy minimlizując błąd z wgą w() ε( 0,,..., m )= który w zpisie mcierzowym m formę ε()= b b [ w() f() m 2d k u k ()] (4.9) [ 2d w() (f() p()] (4.9b) gdzie: p()=[u 0,u,...,u m ] mcierzjednowierszowfunkcjibzowych.
7 56 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji Ukłd równń normlnych, otrzymny z wrunku koniecznego minimum ε, m postć nlogiczną do(4.6) b w()f()u i ()d= lub w postci mcierzowej [ b m b k ] b w()p T ()p()d= w()u k ()u i ()d dli=0,,...,m p T ()w()f()d (4.0) (4.0b) Przykłdmi funkcji bzowych p() są wielominy trygonometryczne, wielominy Legendre lub wielominy Czebyszew. Czytelników zinteresownych dlszymi studimi problemtyki proksymcji ciągłej odsyłmy do podręcznik z metod numerycznych[4, 6] Aproksymcjpunktow W proksymcji punktowej funkcj f() dn jest w formie dyskretnej wpostcizbioruwrtościfunkcjif=[f 0,f,...,f n ] T (gdzieoznczonof i f( i ))wwęzłchproksymcji=( 0,,..., n ). Wogólnymprzypdku,wielominproksymcyjnyP m ()możnwybrćw postci wielominu uogólnionego P m ()= m u m ()+ m u m ()+ + 0 u 0 ()= m = k u k ()=p() (4.) gdziep()jestmcierząjednowierszowąfunkcjibzowychu i (),i=0,,...,m, znnych i liniowo niezleżnych p()= [ u 0 (),u (),...,u m () ] Odpowiednikiem błędu ε(4.2) w metodzie njmniejszych kwdrtów jest terz błąd n [ ε= f(i ) P m ( i ) ] 2 n [ = f(i ) p( i ) ] 2 (4.2) i=0 i=0
8 4.4. Aproksymcj punktow 57 Wrunekkoniecznyminimumfunkcjiε( 0,,..., m )npiszemyodrzuwformie równni mcierzowego ε [ n =0: ] n p T ( i )p( i ) = p T ( i )f( i ) (4.3) i=0 i=0 Jest to liniowy ukłd równń normlnych, który m rozwiąznie jednoznczne podwrunkiem,że i j dli j,i,j=0,,...,n.przyjmującoznczeni mcierzy n A= p T ( i )p( i ) B= i=0 [ ] p T ( 0 )p T ( i )...p T ( n ) (4.4) równnie(4.3) możemy npisć w zwrtej formie A=BF (4.5) Podstwijącdo(4.)rozwiąznie=A BFotrzymmywzórnwielomin uogólniony P m ()=p()a BF=N()F (4.6) gdzie zdefiniowno mcierz jednowierszową funkcji N()=p()A B (4.7) Wewzorze(4.6)współczynnikmikombincjiliniowejfunkcjiN i (),i = 0,,...,msąobecnieznnewrtościfunkcjif( i ),zwrtewwektorzef. Poniewżzwyklefunkcjf()mjkiśsensfizyczny(nprzykłdjestto funkcj tempertury, przemieszczeni, nprężeni,...) to elementy wektor F nzyw się fizycznymi stopnimi swobody. Elementy zwrte w wektorze będziemy ntomist nzywć mtemtycznymi stopnimi swobody. W przypdku, kiedy wielomin proksymcyjny stopni m < n m postć P m ()= m k k (4.8) tzn. funkcje bzowe są jednominmi, ukłd równń normlnych w formie
9 58 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji rozwiniętej jest n n n n n 0 0 i + i i + + m m i = f( i ) 0 i i=0 i=0 i=0 i=0 i=0 n 0 n i+ 2 n i+ 2 3 n n i+ + m m+ i = f( i ) i i=0 i=0 i=0 i=0 i=0 n 0 m n i + m+ n i + 2 m+2 n n i + + m 2m i = f( i ) m i i=0 i=0 i=0 i=0 i=0 (4.9) Również i w proksymcji punktowej możemy dl poprwy jkości rozwiązni wprowdzić funkcję wgową. Zostnie to pokzne w rozdzile siódmym, przy omwiniu metody bezelementowej Glerkin. Przykłd4.2. ObliczymyliniowywielominproksymcyjnyP ()= 0 + dldnychztb.4.. i i f( i ) Tbel 4.. Dne do przykłdu 4.2 Wtymprzypdkun=3im=.Wykorzystujączpismcierzowyprmetry proksymcjizwrtewwektorze=[ 0 ] T obliczymyzrównni(4.5) (możn też skorzystć z ukłdu równń(4.9)). Odpowiednie wektory i mcierze mją postć p=[] A= 3 3 i i=0 i=0 3 3 i 2 i i=0 i=0 = [ ]
10 4.4. Aproksymcj punktow 59 B=[p T ( 0 )p T ( )p T ( 2 )p T ( 3 )]= BF=B RównnieA=BFjestwformie [ ][ 0 = imrozwiąznie 0 = 2,50i =6,55. Wielomin proksymcyjny wynosi ] [ = [ ] [ P ()= 2,50+6,55 Wynik obliczeń przedstwiono grficznie n rys ] ] P () f( ) i P () f( ) i Rys.4.2. Wyniki obliczeń w przykłdzie 4.2 Przykłd4.3. ZstosujemyproksymcjękwdrtowąP 2 ()= dodnychztb.4.2 Obecnien=4im=2.Podobniejkwprzykłdzie4.2niewidomeprmetry proksymcji=[ 0 2 ] T obliczymykorzystjączrównnimcierzowego (4.5). Potrzebne do obliczeń wektory i mcierze mją postć p=[ 2 ]
11 60 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji A= i i 0 0,25 0,50 0,75,00 f( i ),0000,2840,6487 2,70 2,783 Tbel 4.2. Dne do przykłdu i 2 i i=0 i=0 i=0 4 4 i 2 4 i 3 i i=0 i=0 i= i 3 4 i 4 i i=0 i=0 i=0 B=[p T ( 0 )...p T ( 4 )]= BF=B RównnieA=BFmpostć = 5 2,5,875 2,5,875,5625,875,5625, ,25 0,50 0,75,00 0 0,0625 0,25 0,5625,00, 0000, 2840, , 70 2, ,5,875 2,5,875,5625,875,5625,3828 = 0 2 8, , 454 4, 405 = 8, , 454 4, 405 jegorozwiązniewynosi 0 =,0052, =0,864, 2 =0,8437. Wielomin proksymcyjny jest P 2 ()=,0052+0,864+0, Nrys.4.3porównnowynikobliczeńzdnymiztb.4.2. Błąd 4 [f( i ) P 2 ( i )] 2 =2, i=0 jest njmniejszym błędem, jki możn uzyskć dl kwdrtowego wielominu proksymcyjnego.
12 4.5. Interpolcj 6 P 2() 3,0 2,0 f( ) i P () 2 f( ) i,0 0,25 0,50 0,75, Interpolcj Rys.4.3. Wyniki obliczeń w przykłdzie Interpolcj Lgrnge funkcji jednej zmiennej Interpolcj funkcji f() jest szczególnym przypdkiem proksymcji, którymmiejscedlm=n.wówczswwęzłchinterpolcji=[ 0... n ] wrtość funkcji interpolcyjnej P() jest dokłdnie równ funkcji interpolownejf(),rys.4.4 P () n f() P () n f( ) 0 n Rys.4.4. Interpolcj funkcji f()
13 62 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji P n ( i )=f( i ) i=0,,...,n (4.20) Wzory i równni wprowdzone w punkcie 4.4 są oczywiście wżne również i dl interpolcji, po uwzględnieniu, że m = n. Prostszym jednkże sposobem jest bezpośrednie wykorzystnie wrunków(4.20). Jeśli funkcję interpolcyjną wybierzemy w postci wielominu uogólnionego(4.), to równni(4.20) przybierją postć p( i )=f i i=0,,...,n (4.2) lub w zpisie mcierzowym B T =F (4.2b) gdzie wykorzystno definicję(4.4) mcierzy B B T =[p T ( 0 )p T ( )...p T ( n )] T = orzwektorówif u 0 ( 0 ) u ( 0 )... u n ( 0 ) u 0 ( ) u ( )... u n ( ).... u 0 ( n ) u ( n )... u n ( n ) =[ 0... n ] T F=[f 0 f...f n ] T Podstwijącrozwiąznierównni(4.2b)=(B T ) Fdowielominuinterpolcyjnego(4.) otrzymmy P n ()=p()=p()(b T ) F=N()F (4.22) gdzie obecnie N() zwier funkcje liniowo niezleżne i tworzy nową bzę interpolcyjną N()=p()(B T ) =[N 0 ()N ()...N n ()] (4.23) z fizycznymi stopnimi swobody zwrtymi w wektorze F. Jeśli bzę p() przyjmiemy w postci jednominowej p()=[ 2... n ]
14 4.5. Interpolcj 63 to ukłd równń(4.2) przyjmuje postć n n..... n 2 n... n n 0. n = f 0 f. f n Pondto, bz N() jest wówczs tzw. bzą Lgrnge N()=[N n,0 ()N n, ()...N n,n ()] utworzoną z wielominów bzowych Lgrnge stopni n o postci ogólnej N n,i ()= j=n j=0 j i j i j = = ( 0)( )...( i )( i+ )...( n ) ( i 0 )( i )...( i i )( i i+ )...( i n ) (4.24) Nrys.4.5pokznowykresfunkcjiLgrnge N n,i (). N () n,i 0 i- i i+ n- n Rys.4.5.WykresfunkcjiLgrnge N n,i () Zinterpretcjiwzoru(4.22)orzwłsnościinterpolcjiLgrnge (N n,k ( i )= δ ki,gdzieδ ki jestdeltąkroneckerowłsnościδ ki =dlk=iorzδ ki =0 dlk i)wynikwżnrówność n N n,k ()= (4.25)
15 64 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji wyrżjąc tzw. wrunek kompletności rzędu zerowego dl funkcji bzowych. Ogólnie, wrunek kompletności rzędu p jest postci n N n,k () p k =p, p=0,,...,n (4.25b) Jeśli funkcje bzowe spełniją wrunki kompletności do rzędu p to ozncz to, że przez ich kombincję liniową możn dokłdnie przedstwić dowolny wielomin lgebriczny ż do stopni p włącznie. W prktyce wrunki kompletności (zwłszcz njprostszy rzędu zerowego) wykorzystujemy do sprwdzeni poprwności wyników obliczeń funkcji bzowych Lgrnge. Błąd interpolcji Lgrnge wyrż wzór f() P n ()= f(n+) (ξ()) ( 0 )( )...( n ) (4.26) (n+)! gdzief C n+ [,b]iξ (,b). Przykłd 4.4. Wyprowdzić wzór n liniowy wielomin interpolcyjny Lgrnge P ()(n=). Dne: węzłyinterpolcji=( 0 ), wrtościfunkcjiinterpolownejwwęzłch:f=[f 0 f ] T. Wielomin interpolcyjny(4.22) m postć P ()=N 0 ()f 0 +N ()f =N()F Funkcje bzowe obliczymy njpierw z wzoru(4.23), gdzie [ ] p()=[] B T 0 = orz (B T ) = 0 [ 0 ] otrzymując N()=p()(B T ) =[] 0 [ 0 ] = [ ] Ten sm wynik oczywiście otrzymmy wykorzystując wprost wzór(4.24). Przyjmując 0 =0orz =Lmmy N,0 ()= L N, ()= L (4.27)
16 4.5. Interpolcj 65 Powyższe funkcje spełniją wrunki kompletności rzędu zerowego i rzędu pierwszego poniewż N,k ()= L + L = orz N,k () k =( L ) 0+ L =0+= N rys. 4.6 pokzno wykresy liniowych funkcji bzowych Lgrnge (4.27). f() f( ) f 0 0 P () f() f( ) f 0 L N,0 ()=- L N, ()= L Rys.4.6. Liniow interpolcj Lgrnge Przykłd 4.5. Wyprowdzić wzór n kwdrtowy wielomin interpolcyjny Lgrnge P 2 ()(n=2). Dne: węzłyinterpolcji=( 0 2 ), wrtościfunkcjiinterpolownejwwęzłch:f=[f 0 f f 2 ] T. Wielomin interpolcyjny(4.22) jest w formie P 2 ()=N 0 ()f 0 +N ()f +N 2 ()f 2 =N()F (4.28)
17 66 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji FunkcjebzoweN i (),i=0,,2znowumożnobliczyćzwzoru(4.23),co już jednk jest brdziej kłopotliwe(możn potrktowć to jko ćwiczenie), dltego skorzystmy od rzu z wzoru(4.24) otrzymując N 2,0 ()= ( )( 2 ) ( 0 )( 0 2 ) N 2, ()= ( 0)( 2 ) ( 0 )( 2 ) N 2,2 ()= ( 0)( ) ( 2 0 )( 2 ) N rys. 4.7 zilustrowno grficznie wzór(4.28). f() N 2,2 ()f 2 P ()= 2 N ()f 2 2,k k N 2,0 ()f N 2, ()f Rys.4.7. Interpretcj grficzn kwdrtowego wielominu interpolcyjnego Przyjmując 0 =0orz = L 2 i 2=Ldostniemy N 2,0 ()= 2 L 2( L)( L 2 ) N 2, ()= 4 L 2(L ) (4.29) N 2,2 ()= 2 L 2( L 2 )
18 4.5. Interpolcj 67 N rys. 4.8 nrysowno kwdrtowe funkcje bzowe Lgrnge (4.29). f() f() P 2 () f 2 f 0 f 0 L L L N 2,0 ()= 2(-L)(- ) L 2 4 N 2, ()= 2(L-) L 2 L N 2,2 ()= 2(- ) L 2 Rys.4.8. Kwdrtow interpolcj Lgrnge Przykłd 4.6. Wyprowdzić wzór interpolcyjny Lgrnge stopni drugiegoprzybliżjącyfunkcjęf()=,przyjmującwęzłyinterpolcji 0=2, =2,5i 2 =4. Wykorzystując wzory z przykłdu 4.5 obliczymy N 2,0 ()= ( 2,5)( 4) (2 2,5)(2 4) =2 6,5+0 N 2, ()= ( 2)( 4) (2,5 2)(2,5 4) = 3 ( ) N 2,2 ()= ( 2)( 2,5) (4 2)(4 2,5) = 3 (2 4,5+5)
19 68 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji Wrtości funkcji f() w węzłch interpolcji wynoszą f 0 f( 0 )=f(2)= 2 =0,5 f f( )=f(2,5)= 2,5 =0,4 f 2 f( 2 )=f(4)= 4 =0,25 Wielomin interpolcyjny Lgrnge stopni drugiego m postć P 2 ()= 2 N 2,k ()f( k )=( 2 6,5+0) 0,5+ 3 ( ) 0,4+ Dlprzykłdu,P 2 (3)=0,325,f(3)= 3 =0, (2 4,5+5) 0,25=0,05 2 0,425+,5 Z powyższego przykłdu wynik, że obliczony wielomin interpolcyjny dobrzeprzybliżfunkcjęf()=.niezwszejednktkjest,cowidzimy rozwżjąc interpolcję pokzną n rys N rysunku tym funkcją interpolowną jest prost łmn A B C D E, funkcjmi interpolcyjnymi sąwielominystopnidrugiegop 2 (),czwrtegop 4 ()iósmegop 8 ().Jk widć,wprzypdkuwielominuinterpolcyjnegop 8 ()jkośćinterpolcjiw skrjnych przedziłch trudno uznć z zdowljącą: różnice pomiędzy f() ip 8 ()sąduże.tenefektpogrsznisięjkościinterpolcjiwielominmi wysokiego stopni w skrjnych przedziłch znny jest jko tzw. efekt Rungego. Dltego zzwyczj interpolcję funkcjmi wielominowymi ogrniczmy do wielominów niskiego stopni. Pewnym wyjściem jest zstosownie interpolcji sklejnej, któr jest złożon przedziłmi z wielominów niskiego stopni. Pokzno to n rys.4.9b, gdzie wielomin interpolcyjny jest złożony z czterech wielominów stopni drugiego. Tk ide interpolcji sklejnej jest wykorzystywn we współczesnych metodch komputerowych, n przykłd w metodzie elementów skończonych, przedstwionej w rozdzile szóstym. Innym problemem w stosowniu interpolcji Lgrnge jest to, że jest on klsyc 0,przezcorozumiemy,żewwęzłchinterpolcjispełnionyjesttylko wrunek zgodności wrtości funkcji interpolownej z funkcją interpolującą, ntomist nie m ciągłości w węzłch przynjmniej pierwszych pochodnych (punkty B, C i D n 4.9b). Ten wrunek spełni interpolcj Hermit, opisn wp.4.6.
20 4.5. Interpolcj 69 ) P 2 () P 8 () P 4 () b) P 2 () C A P 2 () B D E Rys.4.9. ) efekt Rungego, b) interpolcj sklejn Interpolcj Lgrnge funkcji dwóch zmiennych Wielomin interpolcyjny Lgrnge dl funkcji f(, y) obliczć będziemy podobnie jk to miło miejsce przy interpolcji funkcji jednej zmiennej, pmiętjąc jednkże, że obecnie funkcje i mcierze funkcyjne zleżą od dwóch zmiennych(, y). Przepisując wzór(4.22) mmy P n (,y)=n(,y)f (4.30) gdzie mcierz funkcji bzowych Lgrnge wyrżon jest wzorem N(,y)=p(,y)(B T ) (4.3) Zstosownie powyższych wzorów zilustrujemy dwom przykłdmi interpolcji funkcji nd obszrem trójkątnym i prostokątnym. Przykłd 4.7. Wyprowdzić wzór interpolcyjny Lgrnge nd obszrem trójkątnym z trzem węzłmi. Dne: węzłyinterpolcji=(( i,y i )( j,y j )( k,y k )), wrtości funkcji interpolownej w węzłch: F=[f( i,y i ) f i f( j,y j ) f j f( k,y k ) f k ] T.
21 70 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji N rys. 4.0 pokzno rozwżny trójkąt z numercją węzłów i współrzędnymi węzłów. y k ( k,y k ) A - powierzchni trójk¹t ( i,y i ) i A j ( j,y j ) Rys.4.0. Obszr trójkątny z trzem węzłmi Interpolcję funkcji możemy też wyrzić poprzez mtemtyczne stopnie swobodywykorzystującwzór(4.)(dlm=n),cozostłopokznenrys. 4.. Nleży zuwżyć, że numercj węzłów i, j, k jest przeciwn do ruchu wskzówek zegr. f(,y) f k P n ()= y = Ni f i + Nj f j + Nk fk f j f i k j y i Rys.4.. Interpolcj liniow funkcji f(, y) nd obszrem trójkątnym Korzystjąc w dlszym ciągu ze wzorów(4.30) i(4.3) npiszemy potrzebne wektory i mcierze. Mcierz jednowierszow jednominów p(,y)=[y]
22 4.5. Interpolcj 7 McierzB T ijejodwrotność (B T ) = 2A B T = i y i j y j k y k j y k k y j k y i i y k i y j j y i y j y k y k y i y i y j k j i k j i gdzieajestpowierzchniątrójkątlub2ajestwyzncznikiemmcierzyb T. Znk wyzncznik się zmieni, jeśli węzły zostną ponumerowne zgodnie z ruchem wskzówek zegr. Funkcje bzowe Lgrnge otrzymmy ze wzoru(4.3)(pomijjąc w dlszym ciągu pierwszy dolny indeks) N i (,y)= 2A [ jy k k y j +(y j y k )+( k j )y] N j (,y)= 2A [ ky i i y k +(y k y i )+( i k )y] N k (,y)= 2A [ iy j j y i +(y i y j )+( j i )y] (4.32) N N i (,y) i y k N k (,y) k N j (,y) k i i j j j Rys.4.2. Liniowe funkcje bzowe Lgrnge nd obszrem trójkątnym Funkcje te możemy również zpisć w zwrtej postci N i (,y)= 2A (α i+β i +γ i y) α i = j y k k y j β i =y j y k γ i = k j i j k (4.33)
23 72 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji zezminąindeksówwgpermutcjipodstwoweji j k.funkcjebzowe (4.32)spełnijąoczywiściewrunekkompletności 3 k N k (,y)=.nrys. 4.2 pokzno wykresy funkcji bzowych(4.32). Wzór interpolcyjny Lgrnge przyjmuje formę P 2 (,y)=n i (,y)f i +N j (,y)f j +N k (,y)f k Przykłd 4.8. Wyprowdzić funkcje bzowe Lgrnge nd obszrem prostokątnym z czterem węzłmi. Dne: węzłyinterpolcji=((,y )( 2,y 2 )( 3,y 3 )( 4,y 4 )), wrtości funkcji interpolownej w węzłch: F=[f(,y ) f f( 2,y 2 ) f 2 f( 3,y 3 ) f 3 f( 4,y 4 ) f 4 ] T. Rozwżny obszr prostokątny jest pokzny n rys y (,y ) (,y ) 3 3 2b (,y ) 2 2 (,y ) 2 2 Rys.4.3. Obszr prostokątny z czterem węzłmi Mcierz jednowierszową jednominów przyjmiemy w postci p(,y)=[yy] Możnbyłobyzmistbzowegoelementukwdrtowegoywybrć 2 lub y 2.Wybóryjestjednkpreferownyponiewżimplikujeto,żezleżność funkcji interpolcyjnych od i y jest podobn, tzn. że proksymcj jest tego smegotypuwtychkierunkch.pomimotego,żewmcierzyp(,y)występujeelementkwdrtowyytozminfunkcjibzowychwkierunkchiy (dlodpowiednioy=const.i=const.)jestliniow.ztegopowodutk interpolcj jest nzywn interpolcją dwuliniową. Funkcje bzowe interpolcji możn obliczyć w sposób nlogiczny jk to miło miejsce w przykłdzie 4.7. Łtwiej jednk jest skorzystć ze wzoru
24 4.5. Interpolcj 73 (4.24). Rozwżmy n przykłd węzeł n rys Funkcj bzow Lgrnge w kierunku jest nstępując ntomist w kierunku y jest L ()= 2 2 L (y)= y y 4 y y 4 FunkcjębzowąN (,y)obliczymyzewzoru N (,y)=l ()L 2 (y)= 2 2 y y 4 y y 4 = 4b ( 2)(y y 4 ) gdzie2= 2 = 3 4 i2b=y 4 y =y 3 y 2.Łtwosprwdzić,że wrunkiinterpolcjisąspełnione:n (,y )=in ( 2,y 2 )=N ( 3,y 3 )= N ( 4,y 4 )=0.Wyprowdzjącwtensposóbpozostłefunkcjebzoweotrzymmy cztery funkcje bzowe Lgrnge N (,y)= 4b ( 2)(y y 4 ) N 2 (,y)= 4b ( )(y y 3 ) N 3 (,y)= 4b ( 4)(y y 2 ) N 4 (,y)= 4b ( 3)(y y ) (4.34) N y 2 Rys.4.4.DwuliniowfunkcjbzowLgrnge N 4 (,y)ndobszremprostokątnym
25 74 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji Nrys.4.4pokznoprzykłdowowykresfunkcjiN 4 (,y).funkcjzmieni się liniowo dl linii równoległych do osi ukłdu współrzędnych. Obecność członuywp(,y)ozncz,żewkżdyminnymkierunkuzminfunkcjijest już nieliniow. Budow funkcji bzowych Lgrnge w obszrze dwuwymirowym jest zdniem trudnym, wymgjącym dużego doświdczeni. Pomijjąc fkt, że obszr w którym dokonujemy interpolcji może mieć złożoną geometrię, istotnym jest wybór odpowiedniej mcierzy p(, y). Korzyst się w tym przypdku z trójkąt Pscl, w którym jednominy są ułożone w sposób systemtyczny, rys Dl interpolcji jednowymirowej trójkąt Pscl degeneruje się do 2 y y y y 2 y y 2 y 2 y 3 y Rys.4.5. Trójkąt Pscl,, 2, 3,...Jeśliwmcierzyp(,y)zwrtesąwszystkieczłonyokreślonego rzędu(z jednej linii trójkąt Pscl) to otrzymujemy w efekcie kompletny wielomin interpolcji. Często, z przyczyn uzsdnionych, konstruuje się wielominy niekompletne. Nie wchodząc w szczegóły powiemy tylko, że uzsdnioną przyczyną jest brk poprwy zbieżności interpolcji przy zwiększniu stopni wielominu. Wówczs pomijmy te człony, które są tego przyczyną (tzw. człony psożytnicze). y 4.6. InterpolcjHermite W zstosownich prktycznych, w których operuje się zbiormi o dużej liczbie punktów węzłowych, interpolcj Lgrnge z konieczności musi być stosown w wersji sklejnej bowiem, jk już o tym mówiliśmy, tylko w ten sposób możn uniknąć stosowni wielominów interpolcyjnych zbyt wysokiego stopni. Tk sklejon interpolcj nie zwsze jednk może sprostć
26 4.6. Interpolcj Hermite 75 wymgniom zstosowń, głównie z powodu występowni nieciągłości funkcji interpolcyjnejp n (),będącychkonsekwencjądokonnych sklejeń.tymczsem, wymgni dotyczące ciągłości nie tylko smej funkcji f() lecz tkże jej pochodnych do dnego rzędu m włącznie pojwiją się brdzo często i bywją brdzo istotne. Powstje więc uzsdnion potrzeb odpowiedniego uogólnieni koncepcji interpolcji Lgrnge. Tkie uogólnione wielominy mją tą włsność,żedldnychn+punktówwęzłowych 0,,..., n inieujemnychliczbcłkowitychm 0,m,...,m n,wielominemproksymującymfunkcję f() C m [,b],gdziem=m(m 0,m,...,m n )i i [,b],i=0,,...,n, jest wielomin stopni co njwyżej m M= m i +n i=0 zwłsnością,żewkżdympunkciewęzłowym i,i=0,,...,n,funkcjtijej wszystkiepochodnerzędumniejszegolubrównegom i,i=0,,...,nsąrówne funkcji f() i jej odpowiednim pochodnym. Stopień M wielominu wynik n stąd, że liczb wrunków, które muszą być spełnione wynosi m i +(n+) iwłśniewielominstopnimmm+współczynników. Powyższe stwierdzeni podsumujemy w definicji. Definicj 3.Niech 0,,..., n jestzbioremn+punktówwęzłowych wprzedzile[,b]im i sąnieujemnymiliczbmicłkowitymizwiąznymiz punktmi i,i=0,,...,n,orz m=m 0 i n m i i f() C m [,b] Wielominem uogólnionym, proksymującym funkcję f() jest wielominem P() co njmniej tkiego stopni, że d k P( i ) d k = dk f( i ) d k dlwszystkichi=0,,...,ni,,...,m i. Zuwżmy, że jeśli n = 0 to wielomin uogólniony jest wielominem Tylorstopnim 0 dlf()wpunkcie 0.Jeślim i =0dli=0,,...,n, to wielomin uogólniony jest wielominem interpolcyjnym f() w punktch 0,,..., n,tzn.jestwielominemlgrnge. i=0
27 76 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji WielominuogólnionynzywsięwielominemHermite jeślim i = dlwszystkichi=0,,...,n.tkiwielominmtęwłsność,żewpunktchwęzłowych 0,,..., n wrtościfunkcjif()ip()iichpierwszych pochodnych są sobie równe. Postć wielominu Hermite jest określon dokłdniej przez poniższe twierdzenie. Twierdzenie 3. Jeślif C [,b]i 0,,..., n [,b]sąizolownymipunktmiwęzłowymi, to wielominem Hermite, co njmniej stopni zpewnijącego jego zgodność zfunkcjąfijejpochodnąf,jestwielominstopniconjwyżej2n+określony wzorem n n H 2n+ ()= f( j )H n,j ()+ f ( j )Ĥn,j() (4.35) j=0 j=0 gdzie funkcje bzowe interpolcji są równe [ ] H n,j ()= 2( j )N n,j ( j) Nn,j 2 () Ĥ n,j ()=( j )N 2 n,j() WpowyższymtwierdzeniuN n,j oznczfunkcjębzowąlgrnge stopnindlpunktuwęzłowego j orz( ) d d ( ). Dodtkowo,jeślif C 2n+2 [,b]tobłądinterpolcjihermite wynosi f() H 2n+ ()= ( 0) 2...( n ) 2 (2n+2)! f (2n+2)( ξ() ) (4.36) gdzieξ (,b). W dowodzie twierdzeni, którego nie będziemy przytczć, wykzuje się, że funkcjeh n,j iĥn,jspełnijąwrunki H n,j ( k )= { 0 j k j=k Ĥ n,j ( k )=0 dlkżdegok d d H n,j( k )=0 dlkżdegok { d 0 j k dĥn,j( k )= j=k co jest zilustrowne n rys. 4.6.
28 4.6. Interpolcj Hermite 77 H () n,j 0 j- j j+ n H () n,j 0 j- Nchylenie stycznej pod k¹tem 45 o j j+ n Rys.4.6. Funkcje bzowe interpolcji Hermite Przykłd 4.9. Wyprowdzić wzór interpolcyjny Hermite dl dwóch punktów węzłowych. Dne: węzłyinterpolcji( 0, ) wrtościfunkcjifwwęzłch:(f( 0 ) f 0,f( ) f ) wrtościpochodnychfunkcjifwwęzłch:(f ( 0 ) f 0,f ( ) f ) Wielomininterpolcyjnyjeststopni2n+=2 +=3impostć H 3 ()= H,j ()f j + Ĥ,j ()f j j=0 j=0 Funkcje bzowe wyznczymy obliczjąc kolejno N,0 ()= N,0 0 ()= 0 [ ]( ) 2=(2ξ+)(ξ ) 2 H,0 ()= 2( 0 ) 0 0 gdzieoznczonoξ=( 0 )/L,L= 0
29 78 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji ( ) 2=Lξ(ξ ) 2 Ĥ,0 ()=( 0 ) 0 N, ()= 0 N,()= 0 0 [ ]( 0 ) 2=ξ H, ()= 2( ) 2 (3 2ξ) 0 0 ( 0 ) 2=Lξ Ĥ, ()=( ) 2 (ξ ) 0 f 0,f 0 ' H () 3 f,f ' 0 L H,0 () =45 o H,0 () H, () =45 o H, () Rys.4.7. Funkcje bzowe interpolcji Hermite Przyjmując 0 =0mmyL= iwzorynfunkcjebzoweinterpolcji Hermite są w postci
30 4.6. Interpolcj Hermite 79 ( ) 2+2 ( ) 3 Ĥ,0()=( H,0 ()= 3 L L ( ) 2 2 ( ) 3 H, ()=3 L L Ĥ,()= N rys. 4.7 pokzno wykresy tych funkcji. ) 2 L (( 2 L) L ) (4.37) Przykłd 4.0. Obliczyć wzorem interpolcyjnym Hermite f(, 5) dl dnychztbeli4.3. Wtymprzykłdzien=2iwielomininterpolcyjnyjeststopni2n+= 2 2+=5wyrżonywzorem 2 2 H 5 ()= H 2,j ()f j + Ĥ 2,j ()f j j=0 j=0 k k f( 0 ) f ( k ) 0,3 0,620-0,522,6 0,455-0,570 2,9 0,282-0,58 Tbel 4.3. Dne do przykłdu 4.0 Obliczmy kolejno N 2,0 ()= ( )( 2 ) ( 0 )( 0 2 ) = N 2,0 ()= N 2, ()= ( 0)( 2 ) ( 0 )( 2 ) = N 2,()=
31 80 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji N 2,2 ()= ( 0)( ) ( 2 0 )( 2 ) = N 2,2()= [ ]( 50 H 2,0 ()= 2(,3) ( 5) ) 2= ( 50 (0 2) ) H 2, ()= ( ) ( 50 H 2,2 ()=0 (2 ) ) ( 50 Ĥ 2,0 ()=(,3) ) Ĥ 2, ()=(,6) ( ) ( 50 Ĥ 2,2 ()=(,9) ) H 5 ()=0,620H 2,0 ()+0,455H 2, ()+0,282H 2,2 () 0,522Ĥ2,0() 0,570Ĥ2,() 0,58Ĥ2,2() ( 4 ) ( 64 ) ( 5 ) ( 4 ) H 5 (,5)=0,620 +0,455 +0,282 0, ,570 ( 32 ) 0,58 ( 2 ) =0, Interpolcję Hermite możn też stosowć w wersji sklejnej. Funkcje interpolcyjne mogą być w ogólności sklejne z wielominów różnych stopni w podprzedziłch n jkie podzielimy przedził[, b] będący dziedziną funkcji f(). Szczegóły tkiej interpolcji funkcjmi sklejnymi(ng. spline interpoltion functions) możn znleźć w podręcznikch z metod numerycznych.
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko Wprowdzenie
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoPochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju
Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim
Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne
Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Bardziej szczegółowoPrace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014)
Prce Koł Mt. Uniw. Ped. w Krk. 1 014), 1-5 edgogicznego w Krkowie PKoło Mtemtyków Uniwersytetu Prce Koł Mtemtyków Uniwersytetu Pedgogicznego w Krkowie 014) Bet Gwron 1 Kwdrtury Newton Cotes Streszczenie.
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski
Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość
Bardziej szczegółowoMetoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).
Metod sił jest sposoem rozwiązywni ukłdów sttycznie niewyznczlnych, czyli ukłdów o ndliczowych więzch (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowdz się on do rozwiązni ukłdu sttycznie wyznczlnego (ukłd potwowy
Bardziej szczegółowoVI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona
VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x
Bardziej szczegółowoO SZEREGACH FOURIERA. T (x) = c k e ikx
O SZEREGACH FOURIERA Funkcję postci. Wielominy i szeregi trygonometryczne. T x = N k= N c k e ikx nzywmy wielominem trygonometrycznym. Jk widć, wielomin trygonometryczny jest funkcją okresową o podstwowym
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.
Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne
Bardziej szczegółowoPODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach
PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Bardziej szczegółowoWspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad
Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f
Bardziej szczegółowoO pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych
Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych Macierze rzadkie
wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Ukłdy równń liniowych Mcierze rzdkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Pln zjęć. Zdnie rozwiązni ukłdu równń liniowych..
Bardziej szczegółowoMES-1 08 Element 3-węzłowy. Całkowanie numeryczne
MES- 8 Element -węzłowy. Cłkownie numeryczne Elementy drugiego rzędu (kwdrtowe) Co nm dje interpolcj kwdrtow liniow kwdrtow Interpolcj kwdrtow pozwl n lepsze odzwierciedlenie nie tylko funkcji, le i jej
Bardziej szczegółowo1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowoRedukcja układów sił działających na bryły sztywne
1 Redukcj ukłdów sił dziłjących n bryły sztywne W zdnich tego rozdziłu wykorzystuje się zsdy redukcji ukłdów sił wykłdne w rmch mechniki ogólnej i powtórzone w tomie 1 podręcznik. Zdnie 1 Zredukowć ukłd
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM
WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoWyrównanie sieci niwelacyjnej
1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży
Bardziej szczegółowousuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń
Bardziej szczegółowo3. Rozkład macierzy według wartości szczególnych
Rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych Wprowdzenie Przypomnimy podstwowe zleżności związne z zstosowniem metody nmnieszych kwdrtów do proksymci fnkci dyskretne Podstwowe równnie m nstępącą postć: +
Bardziej szczegółowoWykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera
Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoPRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,
WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,
Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Bardziej szczegółowoGrażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH
Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.
Bardziej szczegółowoTyp szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2016/2017 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.
Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 016/017 Zwód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zwody Przedmiot: MATEMATYKA Kls II (67 godz) Rozdził 1. Funkcj liniow 1. Wzór i
Bardziej szczegółowoWyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A
Wzncznik mcierz Uwg Wzncznik definiujem tlko dl mcierz kwdrtowch:,,,,,, =,,,,,, n n n n nn n,,, det = n,,, n n nn - mcierz - wzncznik mcierz Wzncznik mcierz to wzncznik n wektorów, które stnowią kolumn
Bardziej szczegółowoAlgebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej
Bardziej szczegółowo( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)
List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowoWartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.
Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli
Bardziej szczegółowoZadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna.
dnie 5. Krtownic sttycznie wyznczln. Wyznczyć wrtości sił w prętch krtownicy sttycznie wyznczlnej przedstwionej n Rys.1: ). metodą nlitycznego równowżeni węzłów, ). metodą gricznego równowżeni węzłów;
Bardziej szczegółowoPierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
Bardziej szczegółowoZastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych
Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni
Bardziej szczegółowoKlasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa
Kls drug: II TK1, II TK2 Poziom podstwowy 3 godz. 30 tyg.= 0 nr progrmu DKOS-5002-7/07 I. Funkcj kwdrtow Moduł - dził - L.p. temt Wykres 1 f()= 2 2 Zkres treści Pojęcie Rysownie wykresów Związek współczynnik
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Całkowanie. Janusz Szwabiński. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 23/10/ :07 p.
Metody numeryczne Cłkownie Jnusz Szwbiński szwbin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/2002 10:07 p.1/69 Cłkownie numeryczne 1. Kilk uwg ogólnych 2. Kwdrtury Newton Cotes
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Bardziej szczegółowof(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty
Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów
Bardziej szczegółowoNiewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6
Niewymierność i przestępność Mteriły do wrszttów n WWW6 Piotr Achinger 23 sierpni 2010 1 Wstęp 1.1 Liczby wymierne i niewymierne Pytnie 1. Czy istnieją liczby niewymierne? Zdnie 1. Wykzć, że 1. 2 / Q,
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolcj funkcjmi sklejnymi Kzimierz Jkubczyk 19 lutego 2008 Przykłd Rungego Jedyną możliwością uzyskni lepszego przybliżeni w interpolcji wielominowej jest zwiększenie stopni wielominu interpolcyjnego,
Bardziej szczegółowoR + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10
Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:
Bardziej szczegółowoTemat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Bardziej szczegółowoPropozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Bardziej szczegółowo1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie
Funkcj kwdrtow - powtórzenie z klsy pierwszej (5godzin) PLANIMETRIA Moduł - dził - temt Miry kątów w trójkącie Lp Zkres treści 1 klsyfikcj trójkątów twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie Trójkąty przystjące
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 19 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zdnie 19 z Informtor turlnego poziom rozszerzony 1 Zdnie 19. Rmię D trpezu D (w którym D) przedłużono do punktu E tkiego, że E 3 D. unkt leży n podstwie orz 4. Odcinek E przecin przekątną D
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoLISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&
LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.
Bardziej szczegółowoWykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wykłd z mtemtyki dl studentów Inżynierii Środowisk Wykłd. Litertur. Gewert M., Skoczyls Z.: Anliz mtemtyczn, Oficyn Wydwnicz GiS, Wrocłw, 0.. Jurlewicz T., Skoczyls Z.: Algebr liniow, Oficyn Wydwnicz GiS,
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 14
Obliczeni nuowe Wyłd nr 14 Pweł Zielińsi Ktedr Informtyi, Wydził Podstwowych Problemów Technii, Politechni Wrocłws Litertur Litertur podstwow [1] D. Kincid, W. Cheney, Anliz numeryczn, WNT, 2005. [2] A.
Bardziej szczegółowoIII. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.
III. Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej. 1. Cłki nieoznczone. Niech f : I R, I R - przedził n prostej. Definicj 1.1. (funkcji pierwotnej) Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I,
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini sierpień 0 Poziom Podstwowy Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Klucz punktowni zdń zmkniętych Nr zdni 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoMatematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II
1.Sumy lgebriczne Mtemtyk wykz umiejętności wymgnych n poszczególne oceny KLASA II N ocenę dop: 1. Rozpoznwnie jednominów i sum lgebricznych 2. Oblicznie wrtości liczbowych wyrżeń lgebricznych 3. Redukownie
Bardziej szczegółowoAlgebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna
lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?
Kombinownie o nieskończoności.. Jk zmierzyć? Projekt Mtemtyk dl ciekwych świt spisł: Michł Korch 9 kwietni 08 Trochę rzeczy z wykłdu Prezentcj multimediln do wykłdu. Nieskończone sumy Będzie nm się zdrzć
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 1. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Całkowanie numeryczne. Definicje, twierdzenia, algorytmy
http://wwwiiuniwrocpl/ sle/teching/n-wdrpdf Anliz numeryczn Stnisłw Lewnowicz Styczeń 008 r Cłownie numeryczne Definicje, twierdzeni, lgorytmy 1 Pojęci wstępne Niech IF IF [, b] ozncz zbiór wszystich funcji
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. I poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile. LICZBY RZECZYWISTE Kl. I poziom podstwowy podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur
Cłkownie numeryczne przy użyciu kwdrtur Pln wykłdu: 1. Kwdrtury Newton-Cotes ) wzory: trpezów, prbol etc. b) kwdrtury złożone. Ekstrpolcj ) Ekstrpolcj Richrdson b) Metod Romberg c) Metody dptcyjne 3. Kwdrtury
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE Ib ZAKRES PODSTAWOWY
. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje liczbę do odpowiedniego zbioru liczb stosuje cechy podzielności
Bardziej szczegółowo2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć
Bardziej szczegółowoTydzień 1. Linie ugięcia belek cz.1. Zadanie 1. Wyznaczyć linię ugięcia metodą bezpośrednią wykorzystując równanie: EJy = -M g.
Studi dzienne, kierunek: Budownictwo, semestr IV Studi inżynierskie i mgisterskie (ilość godz. w2, ćw1, proj1) Wytrzymłość mteriłów. Ćwiczeni udytoryjne. Przykłdow treść ćwiczeń. Tydzień 1. Linie ugięci
Bardziej szczegółowoPEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje
PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze
Bardziej szczegółowo